弹性扭转问题的多互易杂交边界点解法
6弹塑性4_弹性基本问题与解法_2012课件第一部分
第四章一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于线弹性体小变形的线性问题，建立了一组线性方程组可以描述为在S 为边界的域V 上以u ,ε,σ作为求解变量的偏微分方程边值问题：微分提法2变分提法积分提法第四章第四章适定问题：第四章均匀变形状态()()1222111 1d d E c d d E c νν−=−=第四章弹性力学的基本方程和解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 适定问题与非适定问题简例蓝色：边界给定量红色：边界未知量6适定问题例一第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量7适定问题例二第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量8适定问题例三边界全部给定面力时约束刚体位移才能求得确定位移边界全部给定面力时给定面力和体积力必须整体平衡第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量9非适定问题例一有多余边界条件情况一般无解第四章蓝色：边界给定量红色：边界未知量10非适定问题例二边界条件识别（逆问题）复杂！第四章 1.3 界面连续条件第四章弹性力学的基本方程和解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件II I u u =IIIi i u u =位移面力3个条件0t t =+II I 0II II I I =+ji j ji j n n σσIII S IIS +−u3个条件+12∀X ∈S It I I t0)(II I I =−ji ji j n σσ界面连续条件应为边界条件个数的两倍I S第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章。
弹性力学问题中的双重互易杂交边界点法
弹性力学问题中的双重互易杂交边界点法
苗雨;晏飞
【期刊名称】《南阳理工学院学报》
【年(卷),期】2009(001)001
【摘要】杂交边界点法是一种边界类型的纯无网格方法,它同时具有边界元法降维的优势和无网格法无需插值和积分网格的优良特性.但在求解非齐次问题时,不可避免的需要域内积分.本文将双重互易法引入到该方法中,将对非齐次项的域内积分转化成边界积分,形成双重互易杂交边界点法.该方法将问题的解分为通解和特解两部分,通解使用杂交边界点方法求解,特解利用局部径向基函数近似.为了达到特解插值的通用性,本文提出了特解基本形式.该方法是一种边界型纯无网格方法.数值算例表明,该方法是一种计算量小、精度较高的数值方法,适合于求解各种弹性力学问题.【总页数】5页(P52-55,75)
【作者】苗雨;晏飞
【作者单位】华中科技大学土木工程与力学学院,湖北,武汉,430074;华中科技大学控制结构湖北重点实验室,湖北,武汉,430074;华中科技大学土木工程与力学学院,湖北,武汉,430074;华中科技大学控制结构湖北重点实验室,湖北,武汉,430074
【正文语种】中文
【中图分类】O241
【相关文献】
1.双互易杂交边界点法参数及域内节点分布 [J], 樊志华
2.双重互易杂交边界点方法在势问题中的应用 [J], 司马玉洲;朱宏平;苗雨
3.求解二阶椭圆型偏微分方程的双重互易杂交径向边界点法 [J], 汪学海
4.含非均匀体力机械结构弹性力学问题的双互易边界元法 [J], 曾华;周枫林;余江鸿
5.弹性力学问题中一个新的边界积分方程——自然边界积分方程 [J], 牛忠荣;王秀喜;周焕林;张晨利
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
弹性力学柱体的扭转
第九章柱体的扭转9.1 扭转问题的位移解法学习思路:本节讨论自由扭转问题的位移解法。
首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。
通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数Φ (x，y)。
基本未知量翘曲函数Φ (x，y)。
确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。
位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。
因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。
自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。
对于自由扭转，侧面边界不受力。
根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。
端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。
这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。
学习要点：1. 扭转位移假设；2. 扭转翘曲函数满足的基本方程；3. 扭转边界条件；4. 扭转端面边界条件；当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。
本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。
对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。
柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。
设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z轴建立坐标系。
柱体扭转时发生变形，设坐标为z 的横截面的扭转角为α，则柱体单位长的相对扭转角为。
而横截面的扭转角α = ϕ z。
对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。
观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。
根据上述观察结论，对柱体部位移作以下的假设：1．刚截面假设。
柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z 轴转动，如图所示。
奇异杂交边界点法求解扭转问题
奇异杂交边界点法求解扭转问题苗雨;晏飞;郑伟峰【摘要】提出了一种新的边界类型的无网格方法--奇异杂交边界点法用于求解扭转问题,该方法是以修正变分原理和移动最小二乘近似为基础,同时利用无网格法局部边界积分方程中的局部化思想,计算时仅仅需要边界上离散点的信息,因此它同时具有边界元法和无网格法的优良特性.本文将该方法同双重互易法结合用来求解扭转问题,将该问题的解分为通解和特解两部分,其中通解使用奇异杂交边界点方法求解,特解则利用局部径向基函数近似,彻底避免了域内积分.使用刚体位移法处理方法中的强奇异积分,同时提出了一种自适应的积分方案,解决了边界类型方法中存在的"边界层效应".数值计算表明,本文方法具有较高的精度和收敛性.【期刊名称】《土木工程与管理学报》【年(卷),期】2007(024)003【总页数】4页(P45-48)【关键词】奇异杂交边界点法;双重互易法;扭转问题【作者】苗雨;晏飞;郑伟峰【作者单位】华中科技大学,土木工程与力学学院,湖北,武汉,430074;华中科技大学,控制结构湖北省重点实验室,湖北,武汉,430074;中国科学院,岩土力学重点实验室,湖北,武汉,430071;华中科技大学,土木工程与力学学院,湖北,武汉,430074;华中科技大学,控制结构湖北省重点实验室,湖北,武汉,430074;河南省禹州市公路管理局,河南,禹州,461670【正文语种】中文【中图分类】O343.1弹性扭转是弹性理论中最重要的空间问题，目前只是对一些简单的边界形状，如椭圆、等边三角形、矩形和扇形等求出解析解。
对稍微复杂的形状，因边界不规则，使得其弹性分析较为困难。
弹性扭转问题实际上是泊松方程求解问题。
由于只有少量的泊松方程有解析解，因此寻求该类方程高精度的数值解成为理论研究的重要内容。
用传统的边界元方法求解泊松方程[1,2]时，除了需要边界单元划分外，对域内分布源函数需要域内单元划分来计算域内积分，这带来了应用上的不便。
弹性力学 第六章 柱体的扭转与弯曲
利用其求端面合力分量得
ν ∂ψ R x = ∫∫ Tx dA = Gθ ∫∫ − y dA ∂x A A ν ∂ψ R y = ∫∫ T y dA = Gθ ∫∫ ∂y + x dA A A
68
第七章 柱体的扭转与弯曲
式中 R x 为端面的 x 向合力，因 R y 为 y 向合力，A 为截面定义域。由于在截面内 (7.1.4) 式 成立，可有如下变换：
D = 2G ∫∫ ΦdA
A
(7.1.17)
当是复连域时，例如二连域，环路积分成为
k 0 ∫ xdy − ydx − k1 ∫ xdy − ydx = 2k 0 A0 − 2k1 A1
C0 c1
代替 2kA 并且用 A0 − A1 代替 A ，其中可以取 k 0 = 0 ，则有
D = 2G ∫∫ Φ dA + 2k1 A1
∂ 2ψ ∇ τ = 2G θ 2 + ∂x 2
2
∂ 2ψ + 2 ∂y
71
第七章 柱体的扭转与弯曲
由于有此式的结果， τ 2 被称为上调和函数，如在域内有极大值, 根据复合函数求极值的法 则，应有某点 ( x0 , y 0 ) ∈ A
§7.1 位移法
现在我们来讨如图 7.1 所示的柱体的自由扭转，根据观察，柱体扭转时从纵向看过去 截面形状不变，截面作刚体运动；截面产生翘曲且沿轴不变。如选定某一截面其转角为α的 话，参见图 7.2, 那末所选定截面中的任一点的位移分量
0
z
y
α x
y
x
图 7.1
x
可写成： u = −αy, v = αx 和w ，即
A
《弹性力学》第九章 扭转
15
§9-3 薄膜比拟
由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面 直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没 有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄 壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相 当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复 杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建 立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜 之间数学关系相似的基础上。 设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比 例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜 内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z方向微 小的垂度。
u 0 x v 0 y w 0 z
积分后得到
w v 1 y z G x u w 1 z x G y v u 0 x y
u u 0 y z z y Kyz v v 0 z x x z Kxz
2
T z 0 q s
a
而应力函数所满足的微分方程和边界条件为
2 2Gk ,
s 0
18
其中Gk也是常量，故也可改写为
1 0, 2Gk
2
0 2Gk s
b
T 将式 b与式 a对比，可见2Gk与 z 决定于同样的微 q
y
o
T q
x
y
T
z
x d Tdy dy b
Tdx
a
c
简化后得
dx
2z 2z T 2 2 q 0 x y
17
即
q z T
2
此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即
弹性力学逆解法和半逆解法多项式解法
1. 弯应力σ x 与材料力学的解相同。
2. 铅直线的转角 u M x , 故在任一截面x
y EI
处，平面截面假设成立。
3.纵向纤维的曲率
1
2v x 2
M EI
同材料力学的结
果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力
学解相同。
第三章 平面问题的直角坐标解答
⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必须 精确满足应力边界条件。
b.后校核次要边界（小边界），若不 能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替。
第三章 平面问题的直角坐标解答
主要边界 y yh/2 0,
( xy )yh/2 0 .
x2 x v0。
3.待定的刚体位移分量 u0 ,v0 ，.
须由边界约束条件来确定。
第三章 平面问题的直角坐标解答
归纳：从应力求位移步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u,v ；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量 u0, v0, 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例1 一次式Φ ax by c 对应于无体力，
无面力，无应力状态。故应力函数加减
一次式，不影响应力。
例2 二次式 Φ ax2 bxycy2，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a
y
b
xo
b
x
o
x
b
yb
2c
2c
y
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
3.半逆解法 步骤： ⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情 况，边界条件等）；
奇异杂交边界点法求解扭转问题
和 虿分 别 是 势 已知 的边 界 和 法 向流 已知 的边 界 上 的边 界 值 ， 是边 界 外 法 向 ， 是法 向分 ｍ
目前 只是对 一些 简单 的边 界形状 ， 如椭 圆、 等边 三 角形 、 形 和扇形 等求 出解析解 。 稍微 复杂 的形 矩 对
量 。为 推导简便 ， 以下面 的简单 泊松 方程为例
项 目。
维普资讯
奇 异 杂 交边 界 点 法 求解 扭转 问题
苗 雨卜。 晏 飞 ， 郑伟峰 ， 。
（． 中科技大学 １华 ２华 中科 技 大 学 ． ３ 中 国科 学 院 ．
摘
土木工程与力学学院 ， 北 湖 武汉
武汉
４０７ ； ３ ０ ４ ４ ０ ７ ３ ０４ 禹州 ４１７） ６ ６ ０
关 键 词 ： 异 杂 交 边 界 点 法 ； 双 重 互 易 法 ； 扭 转 问 题 奇
中图 分 类 号 ： ４ ． Ｏ３ ３ １ 文献标识码 ； Ａ 文 章 编 号 ：６ ２７３ （０ ７ ０—０ ５０ １ ７－０ ７ ２０ ） ３０ ４—４
弹性 扭 转 是 弹性 理论 中最重 要 的空 间 问题 ，
用 传统 的边 界元 方法求 解泊松 方程 ｎ 时 ， 除
１ｉ三ｑ ＶＶ ∈ 。 ｆ 一虿 ∈ 甜 ， ； ＝ 【 ｑ ， ∈ ｆ
Ｕ
，
…
了需要 边 界 单元 划 分 外 ， 域 内分布 源 函数 需 要 对 域 内单 元 划 分来 计 算 域 内积 分 ， 这带 来 了应 用 上
分 原 理 和 移动 最 ｄ － 乘 近 似 为 基 础 ， 时利 用 无 网格 法 局 部 边 界 积 分 方 程 中 的局 部 化 思 想 ， 算 时 仅 仅 需要 边 ＇－ － 同 计 界 上 离散 点 的信 息 ， 此 它 同 时具 有 边 界 元 法 和 无 网格 法 的优 良特 性 。 因 本文 将该 方法 同双 重 互 易法 结 合 用 来 求
弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理一.内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二. 重点1.弹性力学基本方程与边界条件分类；2.位移解法与位移表示的平衡微分方程；3. 应力解法与应力表示的变形协调方程；4. 混合解法；5. 逆解法和半逆解法；6. 解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
弹性力学--第十章等截面直杆的扭转(全部)
x y z xy 0
xz zx
x 0,
y 0,
z 0
x
yz
u , x
w v , y z
1 1 yz , zx , xy 0 G x G y
v w , z y z u w v u zx , xy z x x y
第十章
等截面直杆的扭转
10.1
扭转问题的应力和位移
柱体扭转
• 圆柱扭转：平面假设 • 非圆截面扭转：横截面发生翘曲 • 柱体扭转精确求解是十分困难的！！！
第十章
等截面直杆的扭转
10.1
扭转问题的应力和位移
等直非圆杆扭转： 横截面翘曲 纯扭转（自由扭转）：端面可以自由翘曲（翘曲不受限制）。 相邻截面翘曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没 有正应力。 约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。
, y
yz zy
x
(10-2）
这里的函数 ( x, y)称为扭转问题的应力函 数，是普朗都提出的。
将(10 1)及(10 2)代入相容方程 (9 32),可见其中的前三式及 最后总能满足，其余二 式要求：
第十章
等截面直杆的扭转
(1 ) x
(10-2）
根据(b)中的第一式及 (10 2)，式(c)左边的积分式可以写成 ：
Xdxdy zx dxdy
dxdy dx dy ( B A )dx y y
第十章
(2)
等截面直杆的扭转
10.1
扭转问题的应力和位移
(10-8）
2 C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ８Ｎ ｏ ． １ ０ ｃ ｔ ． ０ １ ０ Ｏ ２
弹性扭转问题的多互易杂交边界点解法
谭 飞 王元汉 胡浩军
（ ） 华中科技大学 土木工程与力学学院 ，湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ４
摘要 ：将弹性扭转问题视为泊松方程的边值问题 ， 结合 正 则 杂 交 边 界 点 法 与 多 互 易 法 ， 提出一种新的边界类 — — 多互易杂交边界点法 ． 型的无网格方法 — 该方法将问题 的 解 分 为 通 解 和 特 解 两 部 分 ， 其中通解采用正则杂 交边界点方法求解 ， 特解则利用多互易法的高阶基本解近 似 ． 因而此解法既具有边界元法和无网格法的优良 特性 ， 也避免了域内积分和布点 ． 引入坐标变换 ， 各向异性杆的扭转问题也得到了求解 ． 数值算例表明 ， 该方法 效率高 、 收敛性好 ． 精度高 、 关 键 词 ：弹性扭转 ；泊松方程 ；正则杂交边界点法 ；多互易法 ；高阶基本解 （ ） 中图分类号 ： Ｏ ３ ４ ３． １ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ １ ４ ５ １ ２ ２ ０ １ ０ １ ０ ０ １ ２ ８ ０ ５ － － －
［ ［ ２］ ３］ ４， ５］ 、 法［ 等． Ｒ － 函数法 和边界元法 ［ ６］ 杂交边界点法 （ ｈ ｂ ｒ ｉ ｄ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｎ ｏ ｄ ｅ ｙ ｙ ， ） 是一种 边 界 类 型 的 纯 无 网 格 方 ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ＨＢ ＮＭ
法， 其计算只需边界上离散点的信息 ． 该方法既具 有边界元降维的优势 ， 又无须插值和积分网格 ． 与 普通边 界 元 类 似 ， 边界层效 ＨＢ ＮＭ 也 会 产 生 “
珘） ｕｄ δ Γ－ ｕ δ Ω ＝ ０； ｑ －ｑ ∫（ ∫ ｕｄ 珘） 珘ｄ ｕ －ｕ δ Γ ＝ ０． ｑ ∫（
正则 杂 交 边 界 点 法 是 基 于 修 正 变 分 原 理 的
［ ７］
相应的修正泛函为 ．
Ω－ ∫ ２ｕ ｕ ｄ 珘（ 珘ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 珘ｄ ｕ －ｕ ｄ Γ－ ｑ Γ． ｑ ∫ ∫珔ｕ
Π ＝
ｃ ， ， ｃ ｉ ｃ ｉ
１
Ε
ｃ
ｃ
ｃ ｃ
Γ
Γ ｑ
数值算例表明了该方法的 性杆的弹性扭转 问 题 ． 有效性和收敛性 ．
第３ ８卷 第１ ０期 ２ ０ １ ０年 １ ０月
华 中 科 技 大 学 学 报 （ 自然科学版 ） （ ） Ｊ ．Ｈ ｕ ａ ｚ ｈ ｏ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ．＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ． Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｇ
［ ９， １ ０］
ｕ ＝ｕ ｃ ＋ｕ ｐ， 其中特解 ｕ ｐ 满足非齐次方程 ２ ｕ ｐ ＝ ｆ，
通解 ｕ ｃ 满足齐次方程和修正的边界条件 ：
（ ） ３ （ ） ４
将双互易法同杂 交 边 界 点 法 结 合 ， 提出了双互易 杂交 边 界 点 法 （ ｄ ｕ ａ ｌ ｒ ｅ ｃ ｉ ｒ ｏ ｃ ｉ ｔ ｈ ｂ ｒ ｉ ｄ ｎ ｏ ｄ ｅ ｐ ｙ ｙ ， 但该法需要 域 内 ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ Ｄ ＲＨＢ ＮＭ） ． ｙ 布点 ， 域内点的数 目 和 位 置 对 计 算 精 度 会 产 生 显 而目前关 于 如 何 确 定 域 内 点 的 数 目 和 位 著影响 ， 置还没有一个统一的准则 ． 本文提 出 将 ＲＨＢ ＮＭ 与 多 互 易 法 （ ｍ ｕ ｌ ｔ ｉ ｌ ｅ ｐ
： Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｍ ａ ｂ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ａ ｓ ａ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ Ｐ ｏ ｉ ｓ ｓ ｏ ｎ ′ ｓ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ． Ｃ ｏ ｍ－ ｙ ｙ ｐ ｑ ， ｂ ｉ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｈ ｂ ｒ ｉ ｄ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｎ ｏ ｄ ｅ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ（ ＲＨＢ ＮＭ） ａ ｎ ｄ ｍ ｕ ｌ ｔ ｉ ｌ ｅ ｒ ｅ ｃ ｉ ｒ ｏ ｃ ｉ ｔ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ（ ＭＲＭ） ｇ ｇ ｙ ｙ ｐ ｐ ｙ ，ｗ ａ ｎ ｅ ｗ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｍ ｅ ｓ ｈ ｌ ｅ ｓ ｓ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｈ ｉ ｃ ｈ ｉ ｓ ｃ ａ ｌ ｌ ｅ ｄ ｍ ｕ ｌ ｔ ｉ ｌ ｅ ｒ ｅ ｃ ｉ ｒ ｏ ｃ ｉ ｔ ｈ ｂ ｒ ｉ ｄ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｎ ｏ ｄ ｅ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｙ ｐ ｐ ｙ ｙ ｙ （ ， ｒ ｏ ｏ ｓ ｅ ｄ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ＭＲＨＢ ＮＭ） ｉ ｓ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｗ ａ ｓ ｄ ｉ － ｐ ｐ ｐ ｐ ｇ ， ， ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ｔ ｗ ｏ ａ ｒ ｔ ｓ ｉ ． ｅ ． ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍ ｌ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｒ ａ ｎ ｄ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｕ ｌ ａ ｒ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍ ｌ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｐ ｙ ｐ ｐ ｙ ｉ ｓ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｂ ＲＨＢ ＮＭ， ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ａ ｓ ａ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ ｄ ｂ ｔ ｈ ｅ ｈ ｉ ｈ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｓ ｏ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｕ ｌ ａ ｒ － － ｙ ｐ ｐ ｙ ｇ ｐ ， ， ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｆ ｏ ｒ ｅ ｉ ｔ ｈ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｂ ｏ ｔ ｈ Ｂ ＥＭ ａ ｎ ｄ ｍ ｅ ｓ ｈ ｌ ｅ ｓ ｓ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｉ ｏ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ － ｇ ， ｒ ａ ｌ ｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｎ ｎ ｅ ｒ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｃ ａ ｎ ａ ｌ ｓ ｏ ｂ ｅ ａ ｖ ｏ ｉ ｄ ｅ ｄ ． Ｔ ｈ ｅ ｔ ｏ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ａ ｎ ｉ ｓ ｏ ｔ ｒ ｏ ｉ ｃ ｂ ａ ｒ ｗ ａ ｓ ａ ｌ ｓ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄｉ ｎ ｇ ｐ ｐ ｐ ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｅ ｍ ｌ ｏ ｅ ｄ ． Ｎ ｕ ｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍ ｌ ｅ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ ａ ｃ － ｐ ｙ ｐ ｐ ， ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ． ｇ ： ； ； ；ｍ Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｐ ｏ ｉ ｓ ｓ ｏ ｎ ′ ｓ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｈ ｂ ｒ ｉ ｄ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｎ ｏ ｄ ｅ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｕ ｌ ｔ ｉ ｌ ｅ ｒ ｅ ｃ ｉ － ｑ ｇ ｙ ｙ ｐ ｙ ； ｒ ｏ ｃ ｉ ｔ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｈ ｉ ｈ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍ ｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｐ ｙ ｇ－ 弹性扭转是弹性理论中最重要的空间问题之 一， 目前只是对一些简单的边界形状， 如 椭 圆、 等 边三角形 、 矩形和扇形等求出解析解 ． 对于其他形 状难以找到解析解 ， 因此只得寻求数值解法 ． 弹性 扭转问题可用应力函数和扭转函数求解的方法求 １］ 、 解． 常采用的求解方法有域外奇点法 ［ 加权残值
第１ ０期
谭 飞等 ：弹性扭转问题的多互易杂交边界点解法
·１ ２ ９·
７， ８］ 应” 为 了 解 决 这 一 问 题， 张 见 明 等［ 将基本解 ．
的解可以分解为通解 ｕ 即 ｃ 和特解 ｕ ｐ，
的 源 点 布 置 到 域 外， 提出了正则杂交边界点法 （ ， ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｂ ｒ ｉ ｄ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｏ ｄ ｅ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｈ ｂ ｍ ｇ ｙ ｙ ｎ 然而 ＲＨＢ 需 ＲＨＢ ＮＭ） ． ＮＭ 在 求 解 泊 松 方 程 时 ， 这将失去该方法 要划分域内单元 计 算 域 内 积 分 ， 的无网格特性 ． 为了避免域内积分 ， 晏飞等 人
１ １］ ，ＭＲＭ）［ 相结合来求解扭 ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｒ ｅ ｃ ｉ ｒ ｏ ｃ ｉ ｔ ｐ ｙ ， 转问题 ． 同时通过坐标变换 能方便地求解各向异
２ ， ｕ ｃ ＝０ 珔 珔 ， ｕ ｘ ∈ Γ ｃ ＝ｕ ｃ ＝ ｕ －ｕ ｕ） ｐ （ 珔 珔 ｕ ／ ／ ｕ ｎ ≡ｑ ｎ（ ． ｘ ∈ Γ ｃ ｃ ＝ｑ ｃ ＝ｑ－ ｐ ｑ） ２． １ 正则杂交边界点法
收稿日期 ： ２ ０ ０ ９ １ １ ０ ９． － － ，男 ，博士研究生 ， ： 作者简介 ：谭 飞 （ １ ９ ８ ５ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｔ ａ ｎ ｆ ｅ ｉ ｈ ｕ ｓ ｔ ａ ｈ ｏ ｏ ． ｃ ｏ ｍ． ｃ ｎ ． －） ＠ｙ ；华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 创 新 基 金 资 助 项 目 基金项 目 ： 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ ５ ０ ８ ０ ８ ０ ９ ０） （ ） ０ １ ０ ９ ２ ４ ０ ０ １ ３ ．
由 δ Π＝０ 可以得到弱积分方程 ：
１ 弹性扭转问题的基本方程
根据 圣 维 南 假 设 ， 在 扭 矩 Ｍ 作 用 下， 弹性扭 转问题可以采用应力函数 ｕ 描述为