二次根式与一元二次方程测试
二次根式和一元二次方程综合测试题
姓名: 、选择题（每小题 2分，共 1 .函数y = J x -9中自变量 A. x> 0 B .x >0 二次根式和一元二次方程综合检测题（本卷满分120分; 20 分)x 的取值范围是（ C . x>9 2.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ 测试时间100分钟） 分数: .x > 9 2 2 A. x -2x -1 =0 B . x -2x +3 =0 x 2 243x-3 D . X 2-4x + 4 = 0 3.下列运算正确的是（） A . + yf 2 = B .寸3 X 42 = J 6 e -1)2 =3-1 D .加-32 =5-3 2 4.方程x =0的解的个数为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.1 5、如果关于x 的方程ax 2+x - 1=有实数根，则a 11 1 -B.a >- - C.a -且 a 丰 0 D.a >- 4 4 4 x 2— 7x + 12 --- 9一 的值为0，则x 的值为( ) x 9 或2 的取值范围是 A.a >- 6、若分式 A.3、4 B.—3、一 4 C.3 D.4 7.关于x的一元二次方程 X 2 +nx+m =0的两根中只有一个等于 1 -且 a z0,则下列条件正确的是（）A. m=0, n=0B. m=0, n^OC. mHO, n=0D. mHO, n^O 8. 已知关于x 的方程（a 2 - 1） x 2- （ a + 1 ） x + 1 = 0 的两实根互为倒数，则 a 的值为（） 入±眾 B 、-眾 C D - 1 9. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是A. x （x + 1） = 18B. x （x10 .某商品连续两次降价， 每次都降 () 1) = 182 C. 2x ( x + 1) = 182 20%后的价格为 m 元，则原价是 182件，如 D. x (x — 1) = 182 X 2 ) A. m 元 B.1.2 1.22 二、填空题（每空 2分, 共 20 分) 1.方程(x + 2)(x — 1)=0的解为 3.化简兽 5.当aC. 元 0.82D.0.8 ；2.当 a= V 3 时，贝U J l5 +a 24.在实数的范围内分解因式4 -x -9时，方程（a 2— 1）x 2+ 3ax + 1 = 0是一元二次方程6.若方程X 2+ px +q =0的两个根是-2和3,贝U P,q 的值分别为 7.若代数式4x 2 -2x-5与2x 2+1的值互为相反数，则x 的值是 8. 已知关于x 的一元二次方程 x 2+kx+k=0的一个根是-2，那么k=9. 如果关于x 的方程2x 2-（4k+1）x + 2 k 2- 1 = 0有实数根，那么k 的取值范围是 10. 一个直角三角形的两条直角边的长刚好是方程的斜边长为 _____________ 三.计算题（共28分）1. 化简下列各式（每小题 4分，共12分）四.解答题（共52 分）1.已知等腰三角形底边长为 8，腰长是方程 X 2 -9x +20=0的一个根，求这个三角形的面积.（5分）:X 2- 7x + 12=0的两个根，则该直角三角形(1)侦-725 + ^/5(2) J3a~2b~2.用适当的方法解下列一元二次方程（每小题 4分，共16 分）(1)(X+4)2 =5(x+4) (2) (x+3)2 =(1-2x)2(3) 2x 2-10x =32(4) x +3x-4 = 02.若 a =3 +2J2 , b =3 _2J2，求 a2b -ab2的值(5 分)13.若的整数部分为a，小数部分为b，求a --的值（5 分）b1 ----- F------ 1 ---- /-------2 2 4.若X =-( J3a 帖b +U3a —5b)，y =刁(J3a +5b -J3a-5b)，求x +xy +y 的值(6 分)25.已知方程X+3x+m=0的两根之差为5. （1）求两根之和与两根之积（2）求m的值（6分）6.两个数的和为8,积为9.75，求这两个数？（6 分）7. 某种手表原来每只售价 96元,经过连续2次降价后，现在每只售价54元，平均每次降价的百分率 是多少？( 6分)8.已知关于x 的一元二次方程X 2 —(2m+3)x + m 2= 0 (6分)9•一辆汽车以20米每秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行了 停车.(7分)(1 )从刹车到停车用了多少时间？(2) 从刹车到停车平均每秒减速减少多少？(3) 刹车后汽车滑行到 15米时约用了多少时间？(精确到 0.1秒)？(1 )当m 取何值时，方程式有实数解?(2)当m 取何值时，方程没有实数解25米后。
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《二次根式及一元二次方程》、选择题1.估算V31-2的值（）A . 在 1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间已知方程x 2+bx+a=0有一个根是-a （ aM 0）,则下列代数式的值恒为常数的是（ ）C 有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根 5.武汉市2016年国内生产总值（GDP 比2015年增长了 12%,由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%,若这两年GDP 年平均增长率为X%,则X%满足 的关系是（）12%+7%=x% B ( 1+12%)( 1+7%) =2 (1+X%) 12%+7%=2?x% D.( 1+12%)( 1+7%) = (1+x%) 2D .关于x 的方程（a -5） x 2-4x - 1=0有实数根，则a 满足（ ）b 是方程x 2+x - 2016=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）2. 要使与'恵.］有意义，贝U x 应满足（）A .B. x< 3 且 xM 寺C. y Vxv 3D.吉Vx<33. A . ab B.C. a+b D . a - b4. 已知a , b , c 分别是三角形的三边，则方程（a+b ） x 2+2cx+ （a+b ） =0的根的情况是A .没有实数根B •可能有且只有一个实数根A . C. 6. A .B.C.下列各式计算正确的是（ （1杜=寸石^在=7^ （av 1） 引2?+ 3 込+3=5 1-a 1-a7. A . a > 1B . a > 1 且 aM 5 C. a > 1 且 a ^5 D . a ^5设a ,A . 2014B . 2017 C. 2015 D . 20169.方程（x -3）（x+1） =x - 3 的解是（）A. x=0B. x=3C. x=3 或 x=- 1D. x=3或 x=010.方程X 2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A . 12 B. 12或15 C 15 D .不能确定 11.定义：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （aM 0）满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为凤凰”方程.已知ax 2+bx+c=0（ aM 0）是 凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下 列结论正确的是（）A . a=c B. a=b C. b=c D . a=b=c12.如图，已知双曲线yp （kv0）经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ,且与直角边AB 相交于点C .若点A 的坐标为（-6, 4）,则^ AOC 的面积为（）二、填空题13.化简 U1-工+Vx-l = 14.计算忆歹的结果是 15 .计算：+辰16.如果方程ax 2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是 ______________ . 17 .设X 1,沁是一元二次方程x 2- 3x - 2=0的两个实数根，则X 12+3x 1X 2+x 22的值为18.已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，贝U m 2+2mn+n 2的值为 _____________ . .（答案不唯一）20.关于x 的一元二次方程x 2- mx+2m - 1=0的两个实数根分别是X 1、X 2,且X 12+X 22=7, 则（X 1 - X 2） 2的值是 .21.若把代数式x 2- 2x - 3化为（x - m ） 2+k 的形式，其中m , k 为常数，则m+k= 22 .将寸¥根号外面的因式移进根号后等于 _____________ .19.请你写出一个有一根为1的一元二次方程: 423•若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数尸上(k〉0)的图象上.若正方形OABC的面积为1,则k的值为___________;点E的坐标为 _______ .三、解答题24.计算: 护点后1)2-25.用配方法解方程：2X2+1=3X.26 .已知关于x的一元二次方程x2-( 2k+1) x+4k- 3=0.(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当RtA ABC的斜边长a逅，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时, 求^ ABC的周长.27.已知一元二次方程X2-2x+m=0.(1)若方程有两个实数根，求m的范围；(2)若方程的两个实数根为x i, X2,且x i+3x2=3,求m的值.28.已知关于x的一元二次方程x2=2 (1 - m) x- m2的两实数根为为,x?(1)求m的取值范围；(2)设y=x i+X2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值.《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析、选择题1.估算IV31-2I 的值（ ）A .在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间【考点】估算无理数的大小. 【专题】应用题.【分析】首先利用平方根的定义估算 31前后的两个完全平方数25和36,从而判断顶 的范围，再估算V^-2的范围即可. 【解答】解：••• 5<顶< 6••• 3V 负-2v 4故选C .【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算顶的 整数部分和小数部分.2. 要使|存^+云=有意义，则x 应满足（ ）A. — w x< 3 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解. 3-A >0 ® 2x-L>0 ②，解不等式①得，x < 3， 解不等式②的，x>y . 所以，刁V x < 3. 故选：D .【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0;二次根式的被开方数是非负数.B. x< 3 且 xM 寺C. y vxv3D..寺 V x< 3【解答】解：由题意得,3.已知方程x 2+bx+a=0有一个根是-a(aM0),则下列代数式的值恒为常数的是()【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把 x=- a 代入方程，即可求解.又••• aM 0,故 a - b=- 1 . 故本题选D .【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手 推导、发现新的结论.4.已知a , b , c 分别是三角形的三边，则方程(a+b ) x 2+2cx+ (a+b ) =0的根的情况是A .没有实数根B •可能有且只有一个实数根C 有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系.【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况. 能够根据三角形的三边关系，得到关于 a , b , c 的式子的符号.【解答】解：•••△ = (2c ) 2-4 (a+b ) 2=4[c 2-(a+b ) 2] =4 (a+b+c )( c -a -b ), 根据三角形三边关系，得c - a- bv 0, a+b+c >0.•该方程没有实数根. 故选A .【点评】本题是方程与几何的综合题.主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点.重点是对( -4 (a+b )( a+b )进行因式分解.A . ab B.C. a+b D . a - bb【考点】一元二次方程的解.【解答】解：•••方程 x 2+bx+a=0有一个根是-a (a ^0), •••(— a ) 2+b (- a ) +a=0,•等式的两边同除以a ,得 a - b+1=0,5.武汉市2016年国内生产总值(GDP 比2015年增长了 12%,由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%,若这两年GDP 年平均增长率为X%,则X%满足 的关系是()A . 12%+7%=x%B (1+12%)( 1+7%) =2 (1+x%)C. 12%+7%=2?x%D.( 1+12%)( 1+7%) = (1+x%) 2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【专题】增长率问题.【分析】增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量X( 1+增长率)，然后用平均增 长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即 关系式. 【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y .则根据实际增长率和平均增长率分别得到 2010年和今年的国内生产总值分别为: 2016年国内生产总值：y (1+X%)或y (1+12%)， 所以 1+x%=1+12%, 今年的国内生产总值：y (1+x%) 2或y (1+12%)( 1+7%), 所以(1+x%) 2= (1+12%)( 1+7%). 故选D .【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程.D .【考点】二次根式的混合运算；立方根.【分析】A 根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以; B 、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了;X%满足的6. 下列各式计算正确的是( A . B. C. ta-l) ) 2 •丄(av 1)耳 2?+ 3 乞+3=5C 先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了; 【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结 算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键.7.关于x 的方程（a -5） x 2-4x - 1=0有实数根，则a 满足（ ）A . a 》1B . a > 1 且 aM 5C. a 》1 且 a M 5 D . a M 5【考点】根的判别式. 【专题】判别式法.【分析】由于x 的方程（a -5） x 2-4x - 1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a- 5=0时，方程一定有实数根；（2）当a -5M 0时，方程成为一元二次方程，利用判别式 即可求出a 的取值范围. 【解答】解：分类讨论: ①当a - 5=0即a=5时，方程变为-4x - 1=0,此时方程一定有实数根; ②当a - 5工0即aM 5时,•••关于x 的方程（a - 5） x 2- 4x - 1=0有实数根 •••16+4 (a -5)> 0, ••• a> 1. • a 的取值范围为a > 1. 故选：A .【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ aM 0）的根的判别式△ =b 2- 4ac ：当^ >0,方程有两个不相等的实数根；当^ =0,方程有两个相等的实数根；当△< 0,方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.D 、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了.=冷仃$亡「7匸;（av 1）,本答案正确;引忑尹二药芮二帧产5,本答案错误； 話亍牙”=2W+2十AZj =4M 2,本答案错误.故选B .【解答】解：A 、B 、 D 、 (a-1)8.设a，b是方程x2+x—2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为( )A. 2014B. 2017C. 2015D. 2016考点】根与系数的关系；一元二次方程的解.专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b= (rf+a) + (a+b)，故根据方程的解的意义，求得(a F+a)的值, 由根与系数的关系得到(a+b)的值，即可求解.【解答】解：••• a是方程x2+x —2016=0的根,• a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=—1，• a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2016—1=2015.故选：C．点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9.方程( x—3)( x+1)=x—3 的解是( )A. x=0B. x=3C. x=3 或x=- 1D. x=3或x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法.专题】计算题；压轴题．分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为( x—3)，提公因式，降次即可求得.【解答】解：•••( X- 3)( x+1) =x- 3•°.( X—3)( x+1) — ( X—3) =0•••( x—3)( x+1 —1) =0• x1=0，x2=3.故选D.点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x—3 当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果.10.方程x2—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )第 8页(共 18页)A. 12B. 12或15 C 15 D.不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系.专题】分类讨论．分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2- 9x+18=0，得X1=6, x2=3•••当底为6,腰为3时，由于3+3=6,不符合三角形三边关系•••等腰三角形的腰为6,底为3 •••周长为6+6+3=15故选C．点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用,注意分类讨论．11.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (aM0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0( aM 0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c考点】根的判别式．专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2- 4ac=0,又a+b+c=0, 即b=- a- c,代入b2- 4ac=0得(-a - c) 2- 4ac=0,化简即可得到a与c的关系.【解答】解：•一元二次方程ax2+bx+c=0 (aM0)有两个相等的实数根,=b2- 4ac=0,又a+b+c=0, 即卩b=- a- c,代入b2- 4ac=0得(-a- c) 2- 4ac=0,即( a+c) 2- 4ac=a2+2ac+c2- 4ac=a2- 2ac+c2=( a- c) 2=0,. a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系:("△> 0?方程有两个不相等的实数根;(2)A =0?方程有两个相等的实数根；（3）^< 0?方程没有实数根.12.如图，已知双曲线y 史（k <0）经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ,且与直角边AB 相交于点C .若点A 的坐标为（-6, 4）,则^ AOC 的面积为（）【考点】反比例函数系数k 的几何意义. 【专题】压轴题.【分析】△ AOC 的面积=△ AOB 的面积-△ BOC 的面积，由点A 的坐标为（-6, 4）, 根据三角形的面积公式，可知△ AOB 的面积=12，由反比例函数的比例系数 k 的几何意 义，可知△ BOC 的面积驾I k| .只需根据OA 的中点D 的坐标，求出k 值即可. 【解答】解：••• OA 的中点是D ,点A 的坐标为（-6, 4）, •-D (- 3, 2),T 双曲线yp 经过点D , …k= — 3 X 2= — 6,•••△ BOC 的面积=刁 k| =3. 又AOB 的面积令X 6X 4=12,AOC 的面积=△ AOB 的面积-△ BOC 的面积=12- 3=9.故选B .【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数 k 与其图象上的 点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即、填空题13.化简 x-l = 0 .4【考点】二次根式有意义的条件.【分析】由1 - x>0, X- 1> 0,得出X- 1=0,从而得出结果.【解答】解：••• 1 - x>0, X- 1 >0,X- 1=0,-.Ml-y 十V 5£-1=0 .【点评】二次根式的意义和性质.概念：式子(a>0)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.14 .计算厶护的结果是_4【考点】算术平方根.【专题】常规题型.【分析】根据算术平方根的定义解答即可.【解答】解:2 ="^=4.故答案为：4.【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理.15 .计算：迈+岳.【考点】二次根式的加减法.【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式.【解答】解：原式=MW狂刃^.【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式.二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变.16.如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是av 1且a^0【考点】根的判别式.【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件: 第11页(共18页)(1)二次项系数不为零;(2)在有不相等的实数根下必须满足△ =b2—4ac>0. 4-药>0#0 '【解答】解：根据题意列出不等式组解之得av 1且aM 0.故答案为：av 1且aM0.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.17.设x i,X2是一元二次方程X2-3x-2=0的两个实数根，则x i2+3x i x2+x22的值为7 .【考点】根与系数的关系.【分析】根据根与系数的关系，可求出X1+X2以及X1X2的值，然后根据X12+3X1X2+X22=(X1+X2)2+X1x2进一步代值求解.【解答】解：由题意，得：X1+X2=3, X1X2=—2;原式=(X1+x2)2+X1x2=9 - 2=7.故答案为：7.【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键.18.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，贝U m2+2mn+n2的值为_1【考点】一元二次方程的解；完全平方公式.【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0,然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果.【解答】解：••• x=1是一元二次方程x2+mx+ n=0的一个根,m+n+1=0,m+n= —1,m2+2mn+n2二(m+n) 2= (- 1) 2=1.故答案为：1.【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题.19.请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1 .(答案不唯一)第12页(共18页)【考点】一元二次方程的解. 【专题】开放型.【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可.【解答】解：根据题意X=1得方程式X 2=1 .故本题答案不唯一，如X 2=1等. 【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握.可以用因 式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如( y - 1)( y+2)形式为y 2+y - 2=0.20 .关于X 的一元二次方程X 2- mx+2m - 1=0的两个实数根分别是 为、则(X 1 - X 2)2的值是 13.【考点】根与系数的关系；根的判别式.m (需注意m 的值应符合此方程的根的判别式)；然后再代值求解. 【解答】解：由题意，得：X 1+X 2=m ，X 1X 2=2m - 1 ； 贝U ：( X 1+X 2)2=X 12+X 22+2X 1X 2， 即 m 2=7+2 (2m - 1)， 解得 m= - 1，m=5;当 m=5 时，△ =m 2- 4 (2m - 1) =25- 4X 9v0，不合题意； 故 m= - 1，X i +X 2=- 1，X 1X 2= - 3;•••( X 1 - X 2)2= (X 1+X 2)2- 4X 1X 2=1+12=13.【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识.本 题需注意的是在求出m 值后，一定要用根的判别式来判断所求的 m 是否符合题意，以 免造成多解、错解.21.若把代数式X 2- 2x- 3化为(X - m)2+k 的形式，其中m, k 为常数，则m+k= - 3【考点】完全平方公式. 【专题】配方法.【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求 X 2- 2X - 3=X 2- 2X +1 - 4= (X - 1) 2- 4,可知 m=1. k=- 4，贝U m+k=- 3.【解答】解：••• X 2- 2X - 3=X 2- 2X+1 - 4= (X -1) 2-4,第13页(共18页)=0,后化为一般X 2，且 X 12+X 22=7,【分析】首先根据根与系数的关系，得出 X 1+X 2和X 1X 2的值，然后根据 X 12+X 22的值求出m=1, k=— 4, ••• m+k=— 3.故答案为：-3.【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键.完全平方公 式：（a ± b ） 2=a 2± 2ab+b 2.【考点】二次根式的性质与化简. 【专题】计算题.【分析】先根据二次根式定义得到av 0,然后根据二次根式的性质把-a 转化为応, 再利用乘法公式运算即可. 【解答】解：•••-芈0,.3••• av 0,【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a >0）为二次根式； 肯 =| a| ；(a >0, b >0)等.23.若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数气（k 〉0）的图象上.若 正方形OABC的面积为1,则k 的值为1 ；点E 的坐标为 （琴4，半■-y ）.TAo【考点】反比例函数系数k 的几何意义.【分析】（1）根据正方形OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上, 且正方形OABC 的边长为1,得出B 点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D 点在反比例函数图象上，用 a 和正方形OABC 的边长表示出来E 点坐标,第14页（共18页）根号外面的因式移进根号后等于二原式=-（-a ）冷+=— 故答案为-M 二.22.将第15页(共18页)代入y g ( X > 0)求得a的值，即可得出D 点坐标.【解答】解：•••正方形 OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且 正方形OABC 的边长为1 •••• B 点坐标为：(1, 1)设反比例函数的解析式为a ,则 E (1+a , a )，代入反比例函数y 丄(x >0)得：1= (1+a ) a ，又a >0,収■I解得：-寺.•••点E 的坐标为：(爭+寺，乎-寺).【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想, 利用xy=k 得出是解题关键.三、解答题【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幕.【分析】本题涉及分数指数幕、负整数指数幕、乘方、二次根式化简四个考点.在计算 时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】原式=3+4-M - 2兰矜=3.【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题 目的关键是理解分数指数幕的意义，熟练掌握负整数指数幕、零指数幕、二次根式、绝 对值等考点的运算.25.用配方法解方程：2X 2+1=3X .【考点】解一元二次方程-配方法.xy=k=1,设正方形ADEF 的边长为24.计算:【专题】计算题.【分析】首先把方程的二次项系数变成1,然后等式的两边同时加上一次项系数的一半, 则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解. 【解答】解：移项，得2x 2- 3x=- 1， 2 3 1配方$16，3 , 1T二十 4 - 4，•••为二1，七巧.【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握.本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即 ax 2+bx+c=0 (aM 0)的形式，然后再配方求解.26.已知 关于x 的一元二次方程x 2-( 2k+1) x+4k - 3=0. (1) 求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2) 当RtA ABC 的斜边长a 帧，且两条直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根时,求^ ABC 的周长.【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理. 【专题】计算题.【分析】(1)根据△> 0即可证明无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数 根;(2)根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b ，c 的方程，解出b ，c 即可得出答案.【解答】解：(1)关于x 的一元二次方程x 2-( 2k+1) x+4k - 3=0，■7 2 △ = (2k+1) 2 -4 (4k - 3) =4k 2- 12k+13=4【kH^) +4>0 恒成立，故无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)根据勾股定理得：b 2+c 2=a 2=31①二次项系数化为1,得 由此可得因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，第16页(共18页)第17页（共18页）则 b+c=2k+1 ②，bc=4k — 3③， 因为(b+c ) 2 - 2bc=b 2+c 2=31， 即(2k+1) 2-2 (4k - 3) =31，整理得：4k 2+4k+1 - 8k+6- 31=0,即卩 k 2- k -6=0, 解得：k i =3, k 2=- 2,则 b+c=2k+1=7，又因为a ^觅，则^ ABC 的周长=a+b+c M 莎+7.【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙 运用△>0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答.27.已知一元二次方程x 2- 2x+m=0. （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围;（2）若方程的两个实数根为X 1, X 2,且X 1+3X 2=3,求m 的值.【考点】根与系数的关系；根的判别式. 【专题】压轴题.【分析】（1） 一元二次方程X 2- 2x+m=0有两个实数根，0,把系数代入可求m 的 范围;（2）利用两根关系，已知X 1+X 2=2结合X 1 +3X 2=3，先求X 1、X 2,再求m .【解答】解：（1）v 方程X 2-2x+m=0有两个实数根，•••△ = (- 2) 2 - 4m > 0,解得m < 1；(2)由两根关系可知，X 1+X 2=2, X 1?X 2=m ,K ］斗 3 耳 3'V b+c=2k+1 >0 即 k>-右 ■2••• k 2=- 2 (舍去)， .bc =4k - 3>0即 k4,解方程组3 第18页(共18页)丄 七-2C 3 ••• m=X1?X 2p.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握.28.已知关于X 的一元二次方程X 2=2 (1 — m ) X — m 2的两实数根为X 1，X 2 (1)求m 的取值范围;(2)设y=X 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值.【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质. 【专题】综合题.【分析】(1)若一元二次方程有两不等根，则根的判别式^ =b 2 — 4ac > 0，建立关于m的不等式，可求出m 的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出X 1+X 2的表达式, 据函数的性质及(1)题得出的自变量的取值范围，【解答】解：(1)将原方程整理为X 2+2 (m — 1) •••原方程有两个实数根,•••△ =[2 (m - 1) ]2 - 4m 2= — 8m+4> 0,得 m ;(2)V X 1，X 2为一元二次方程 X 2=2 (1 — m ) X — m 2，即卩 X 2+2 (m — 1) x+m 2=0 的两根, •- y=X 1+x 2= — 2m+2，且 m ^y ； 因而y 随m 的增大而减小，故当 m p 时，取得最小值1.【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题.牢记一次函数的性 质是解答(2)题的关键.进而可得出y 、m 的函数关系式，根即可求出y 的最小值及对应的m 值. x+m 2=0；。
2014年九年级数学下册复习测试题(二次根式、一元二次方程、圆、二次函数、相似)
九年级数学下册期末（二次根式、一元二次方程、圆、二次函数、相似）复习测试数学试卷（时间：120分钟,满分120分）一、选择题（每小题3分，共36分）.1x 的取值范围是（ ）A ．1x >B ．1x ≥C ．1x ≤D ．1x <2的相反数是（ ） A． BC．2- D．23．一元二次方程的2650x x +-=左边配成完全平方式后所得的方程为 ( )A ．2(3)14x -=B ．2(3)14x +=C ．21(6)2x +=D ．以上答案都不对 4．（2008湖北）下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A ．238x x =- B ．2510x x +=- C ．271470x x -+= D ．2753x x x -=-+5．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤36．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=400，则∠OBC 的度数为 ( )A. 200B. 400C. 500D. 707．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长是3，则弦AB 的长是 ( )8．若二次函数32)1(22--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为 ( )A 、-1或3B 、-1C 、3D 、无法确定9．二次函数m x m x y 4)1(22++-=的图象与x 轴 （ ）A 、没有交点B 、只有一个交点C 、只有两个交点D 、至少有一个交点10．二次函数222+-=x x y 有 （ ）A 、最大值1 B 、最大值2 C 、最小值1 D 、最小值211．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．将一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点的连线对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（ ） A ．2：1 B ．1:3 C ．1:2 D ．1：1图二、填空题：（每小题3分，共30分）13．当x __________时，式子31-x 有意义． 14．a －12-a 的有理化因式是____________．15．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．16.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.17.已知a 2+3a=7,b 2+3b=7,且a≠b,则a+b=_______.18.已知210x x +-=，则323x x x +-+的值为19．将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 。
九年级数学期末复习002一元二次方程与二次根式
九年级数学期末复习 方程、根式班级 姓名 学号一、知识点回顾：1.一元二次方程的一般形式： .2.解法:四种 ; ; ; . 求根公式:x =(b 2-4ac ≥0)3.根的判别式: .4.二次根式的定义:形如 ( )5.二次根式的性质:2= (a ≥⎧==⎨⎩;= (a ≥0，b ≥= . (a ≥0,b>0) 二、知识技能训练:1.已知ax 2+4x-5=3x 2关于x 的方程是一元二次方程，则 a 的取值范围 . 2.方程22x x =的解为 .3.已知:方程(k-1)x 2+2x+1=0. (1)若方程有实根,则k ；(2)若方程有两个不等实根,则k .4.一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)(1)当a+b+c=0时,该方程必有一根为: . (2)当4a-2b+c=0时,该方程必有一根为: . 5.若(a 2+b 2)(a 2+b 2-2)=8,则a 2+b 2= .6.当k= 时，二次三项式x 2-2(k+1)x+k+7是一个关于x 的完全平方式.7.在四边形ABCD 中, AB ∥CD,且AB 、CD 的长是关于x 的方程x 2-3mx+2m 2+m-2=0的两个根,则四边形ABCD 是 . 8.函数y =中自变量x 的取值范围是 ．9.已知x ≤1,= .10.,则a= .11.阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a. 根据材料填空:已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为 ． 12.关于x 的一元二次方程()2211a x x a -++=的一个根为0，则a 的值为 . 13.若抛物线y=kx 2+x+1与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 14.若方程x 2+4x+a=0无实根，化简16-8a+a 2= .15.已知 m 是方程x 2-5x-6=0 的一根则 10m-2m 2+5＝ ．16.已知xy<0,.17.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为 . 18.下列二次根式中不可以再化简．．．．．．的是 （ ） A.xy 1.0 B.x 2+1 C.y 3D.3119.下列运算中，错误的是 （ ） A.632=⨯B.2221=C.252322=+D.32)32(2-=-20.（ ） Ａ.6到7之间 Ｂ.7到8之间Ｃ.8到9之间Ｄ.9到10之间21. 计算:(1) 34482714122--+(2) 1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°22.先化简，再求值：2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 满足方程x 2+x-6=0.23.解下列方程：（1） (x－5)(x－6)＝6 （2） 2x2-x-3=0(用配方法)24.已知关于x的一元二次方程（1-2k）x2-2k+1 x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.25.已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边a=3,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.26.某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元.（1）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件.若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？27.某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？28.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?29.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？课后作业:1～25题；课堂:讲评作业并训练26～29题.。
二次根式和一元二次方程测试题(附完整答案及解析)
二次根式和一元二次方程测试题一．选择题（36分）1。
下列式子中二次根式的个数有 ( ）⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2。
当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是 ( ）A ．a≥2B ．a ＞2C ．a≠2D ．a≠－23.下列二次根式：2xy ，8,a b 2，35x y ，x y +，12，其中最简二次根式共有（ ） A 。
2个 B. 3个 C 。
4个 D 。
5个4。
化简二次根式a a a -+12的结果是 （ ) A 。
--a 1 B 。
---a 1C 。
a -1D 。
--a 1 5. 式子错误!＋错误!有意义的条件是 （ )A 。
x ≥0B 。
x ≤0且x ≠－2C 。
x ≠－2D 。
x ≤0 6。
计算abab b a 1⋅÷等于 ( ） A ．ab ab 21 B ．ab ab 1 C ．ab b1 D ．ab b 7。
下列方程中，一元二次方程是( ） （A ）221xx +(B)bx ax +2（C ）()()121=+-x x (D ）052322=--y xy x 8。
已知21x x 、是方程122+=x x 的两个根，则2111x x +的值为（ ） （A ）21- （B)2 （C)21 （D)－2 9.若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）（A) k ＜1 （B ）k ≠0 （C ）k ＜1且k ≠0 (D ） k ＞110某超市一月份的营业额为100万元,第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x ，则所列方程应为( ）A ．100（1+x)2=800B 。
100+100×2x=800C ．100+100×3x=800 D.100[1+(1+x)+（1+x)2]=80011。
2014浙教版八年级下数学二次根式与一元二次方程第5周大题训练
AC BD第5周周六数学强化练习 徐秀前编辑于2014-3-14 姓名____________1.当x 时，2-x 有意义。
2.若a a -+-33有意义，则a ＝ 。
3.请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式来解的方程，并写出方程的解 ．4.如图，在ABC △中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥于D，若AC =AB =， 则CD 为 _____．5.某中学准备建一个面积为2375m 的矩形游泳池，且游泳池的周长为80m ．设游泳池的长为m x ，则可列方程（ ）A ． x (80－x )＝375B ．x (80＋x )＝375C ． x (40－x )＝375D ．x (40＋x )＝3756.某农场粮食年产量2011年为1600万斤，2013年为1880万斤，如果平均每年的增长率为x ，则x 满足的方程为（ ）A.()1880116002=+x B.()1880211600=+xC.()1880%116002=+x D.()1880%211600=+x7.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）8．如图（1），在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m 2，求道路宽为多少？设宽为x m ，从图（2）的思考方式出发列出的方程是 ．9.若561671781831---+---=a ，若a 的值所在的范围为（ ）A.a ≥0B. a ＞2C.1＜a ＜2D. 0＜a ＜110.已知a ＜3，则()23-a ＝ .11.一元二次方程()()12352=-+x x 的一般形式是 . 12、方程()0312=--+x k x 的一个根是1，则另一个根是 .13.已知三角形三边为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足0836122=-++-b a a ，那么这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A.8>cB.148<<cC.86<<cD.142<<c14.若c （c ≠0）为关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的根，则c+b 的值为 （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 15.甲、乙两位同学对代数式(a>0，b>0)，分别作了如下变形：甲：==乙：== 关于这两种变形过程的说法正确的是( )A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确 16.对于任何实数a 、b ，下列结论正确的是（ ）A ．a 2的算术平方根是aB a =-C ．2=D a =17.已知x 、y 为实数，且,12)1)(2222=-++y x y x （那么22y x +的值是（ ） A 、-3或4 B 、4 C 、3- D 、4-或318.已知关于x 的一元二次方程142=++m x x 。
二次根式和一元二次方程(学生版)
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 初二 课时数：3学员姓名：朱渊聪 辅导科目： 数学 学科教师：程庆娇 课题 二次根式、一元二次方程复习教学目标1.复习二次根式的概念和性质，灵活掌握二次根式的运用2.复习一元二次方程的解法和应用 重点 1.二次根式的运算2.一元二次方程的解法和应用 难点 一元二次方程的解法和应用 考点 1.二次根式的运算2.一元二次方程的解法和运用二次根式、一元二次方程复习【热身练习】1、下列根式中是同类二次根式的个数是（1）b a 32 （2）24ab （3）329b a （4）31225ab （5）b a 522、当x < 2时，化简二次根式442+-x x = .3、若2132n m n -+与6是同类最简二次根式,则m= ;n =；4、因式分解：2222x x y y --= ；5、已知关于x 的一元二次方程2410x x -+=的两个实数根分别为x 1 、x 2，则 1211x x += ；2212x x += ；6、某进出口贸易公司2008年的出口商品利润比2007年增长12％，2009年比2008年增长7％，设这两年的平均增长率为x ，则x 满足的关系式为：7、化简：221(0)a a ba ba ab a a b a b aa b+÷÷>>-+-8、用配方法解方程：2212033x x +-=9、解含有字母系数的方程：()2220a xb c c a a b x b c b c -++++=【知识精要】一、二次根式1、二次根式的概念：代数式()0a a ≥叫做二次根式。
其中a 是被开方数(可为整式或分式).a 有意义的条件是0a ≥.2、二次根式的性质：性质 1 ()20a a a =≥；※⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a性质2 ()2()0a aa =≥;性质3 a b a b =⋅ ()0,0a b ≥≥※)0,0(≤≤-⋅-=b a b a ab 性质4a ab b= （b a ,0≥>0）一般地,我们有22ab a b b a =⋅= 3、 最简二次根式： 把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如()0m a a ≥的式子叫做最简二次根式。
二次根式测试题及答案
二次根式测试题及答案
一、选择题
1. 以下哪个选项不是二次根式？
A. √3
B. √x
C. √x^2
D. √x^3
答案：D
2. 计算√(4×9)的结果是什么？
A. 6
B. 12
C. √36
D. √4×√9
答案：B
3. 以下哪个表达式等于√(2x)？
A. √2x
B. √x×√2
C. √2×√x
D. √2+√x
答案：C
二、填空题
1. 计算√(25)的结果是______。
答案：5
2. 如果√(a+b) = √a + √b，那么a和b的值分别是______。
答案：0
三、解答题
1. 化简下列二次根式：
√(32) = ______。
答案：4√2
2. 解方程：
√x + 3 = 7。
答案：x = 16
四、证明题
1. 证明√2是一个无理数。
答案：略
五、应用题
1. 一个正方形的面积是50平方厘米，求这个正方形的边长。
答案：边长为√50厘米，即5√2厘米。
六、综合题
1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
答案：斜边长度为5厘米，根据勾股定理，√(3^2 + 4^2) = √(9
+ 16) = √25 = 5。
七、附加题
1. 如果一个数的平方根等于这个数本身，这个数是多少？
答案：0或1（因为√0 = 0，√1 = 1）
请注意，以上测试题及答案仅供参考，具体题目和答案应根据实际教学大纲和教材内容进行调整。
(完整版)《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析
《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简=．14．计算的结果是．15．计算： +=．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的范围，再估算的范围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y（1+x%）或y（1+12%），所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y（1+x%）2或y（1+12%）（1+7%），所以（1+x%）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误；B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题13．化简=0．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0，x﹣1≥0，∴x﹣1=0，∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是4．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： +=3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为1．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．【解答】解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是13．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m（需注意m的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，即m2=7+2（2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意，以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=﹣3．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式；=|a|；=•（a≥0，b≥0）等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为1；点E的坐标为（+，﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y=；∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y=（x＞0）得：1=（1+a）a，又a＞0，解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用xy=k得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方，，由此可得，∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞，∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．。
二次根式与一元二次方程练习题
二次根式与一元二次方程练习题一、选择题1、下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x2、若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）A ．m=0B ．m=1C ．m=2D ．m=33、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是( )A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数根C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根4、已知一元二次方程已知一元二次方程02=++c bx ax，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根为（ ）A. 0B. 1C. -1D. 25、当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ）A ．2B ．22 C ．55 D ．5 6、如果)6(6-=-•x x x x ，那么（ ）A ．x ≥0B ．x ≥6C ．0≤x ≤6D ．x 为一切实数7、mm m m m m 15462-+的值（ ）。
A 、是正数 B 、是负数 C 、是非负数 D 、可为正也可为负8、若x<0，则xx x 2-的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．29、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆和完全平方式2)2(b at M +=的关系是（ ）A.△=MB. △>MC. △<MD. 大小关系不能确定二、填空题10、某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿，设平均每月增长率为 x ，则可列方程为__________________________ 。
11、已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p 。
12、如果02=+a a 则a 的范围是 。
13、如图，ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，P 点在AO上，且∠OPD =60°，则PO ：AO 等于 。
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九年级第一阶段考试数学试题
一、精心选一选（每小题3分，共30分） 1、下列计算正确的是
( )
A
2
28=
-
B
3
12
27-
=
4
9-=1 C
1)52)(52(=+
-
D 2
3226=-
2、下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴
3
1；⑵3-；⑶12
+-
x
；⑷38；⑸2
3
1)(-
；⑹)(11>-x x .
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 3、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A 、4-
B 、3
2a C 、42
+x D 、1-x
4、若关于Ｘ的一元二次方程kx 2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ） A. K<1 B. K ≠0 C. K<1 且K ≠0 D. K ＞1
5、下列各式中，最简二次根式是（ ） A 、
3
2 B 、22
+a C 、a 8 D 、2
3a
6、等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A.8
B.10
C.8或10
D.不能确定 7、若b （b≠0）是方程02=++b cx x 的根，则b+c 的值为（ ）
A 、1
B 、 -1
C 、 2
D 、 -2 8、对任意实数y ，多项式151022
+-y y 的值是一个（ ）
A 、负数
B 、非负数
C 、正数
D 、无法确定正负
9、某课外活动小组有若干人，圣诞节晚会上互送贺年卡一张，已知全组人员共送出贺年
卡72张，则此活动小组共有人数为 （ ） A 8 B 9 C 10 D 11
10、某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增
长率为x ，则所列方程应为 （ ） A 100(1+x)2=800 B 100+100×2x=800 C 100+100×3x=800 D 100[1+(1+x)+(1+x)2]=800
二、开心填一填（每小题3分，共30分）
11、函数y=1
-x x 的自变量x 的取值范围是 ．
12、已知x
x 1-
=2，则
x
x 12
+=
13、比较大小：
-53。
14、若两个最简二次根式x x 32
+与15+x 可以合并，则x = 。
15、已知52
x =
4x -的结果是 ．
16、在实数范围内分解因式：x 4+x 2－6= .
17、已知一次函数y=(m ―2)x+3―m 的图像经过第一、二、四象限，则化简
2
2
6944m m m m +-+
+-=
18、若5+7 的小数部分是a ，5－7 的小数部分是b ，则ab+5b= 。
19．三角形的三边
，则这个三角形的周长为 ． 20、观察下列各式：
1+13 =213 , =314 ,3+15 =41
5
,……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是 。
三、解答题：（60分） 21、(10’) 先化简，再求值：4
42)2
12
1(2
+-÷
++
-a a
a a a ，其中a ＝3．
22、（10）已知x ＋1x =4,求x －1
x
的值。
班级__________________ 姓名_________________ 考号________________
/////////////////////////////////////封/////////////////////////////////////线///////////////////////////内///////////////////////////不/////////////////////////////要//////////////////////////答//////////////////////案//////////
23、(14')按要求解下列方程： （1）（配方法）01522=--x x （2）（因式分解法）04852=--x x
24、(12')阅读材料：)0(02
≠=++a c bx ax 有两根为.242
1a
ac b b x -+-=
.242
2a
ac b b x --
-=∴,2221a
b a
b x x -
=-=
+ .4)
4(2
2
221a
c a
ac b b x x =
--=
∙
综上得，设)0(02≠=++a c bx ax 的两根为1x 、2x ，则有,21a
b x x -
=+.21a
c
x x =
利用此知识解决：是否存在实数m ，使关于x 的方程x 2+(m+1)x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在,求出满足条件的m 的值;若不存在,说明理由.
25、(14')某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.
经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克. （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
祝贺你做完了考题,请再仔细检查一遍,看看有没有错的、漏的,别留下什么遗憾哦!
参考答案： 一 A
1、x ≥0且x ≠1
2、6
3、5―2m
4、―1
5、3―2，7
6、m ≥―21
且m ≠0
7、2―3 8、(―1, 3) 9、8 10、5
11、D
12、A 13、D
14、B
15、B
16、D
17、
B 18、B
19、B
20、C
21、解：原式=
2
22)2()
2)(2(2)
2(2)
2)(2(222
2
+-=
-⨯
+-=
-÷
+--++a a a
a a a a a a a a a a .
当3=a 时，原式=73423232
2-=+-=
+-a a . 22、因为 41=+x
x ,所以1621)
1(2
2
2
=++
=+
x
x x
x
（1）x=
233
5±
（2）x 1=―5
2
，x 2=2
23、m=－3（m=3舍）
24、可求半径为34，A ’B ’=32＞30 25、（1）设涨x 元，则有(10+x)(500－20x)=6000化简得x 2－15x+500=0
∴x 1=5, x 2=10(舍) （2）设利润为y ，则有
y=(10+x)(500－20x)=－20(x －7.5)2+6125 当x=7.5时,y 最大为6125
祝贺你做完了考题,请再仔细检查一遍,看看有没有错的、漏的,别留下什么遗憾哦!。