巧妙利用“基本不等式”解决椭圆中三角形面积的最值问题
基本不等式解决解三角形面积最值问题
基本不等式解决解三角形面积最值问题1.引言解决三角形面积最值问题是数学中的经典问题之一，而基本不等式是解决这类问题的重要工具。
本文将介绍基本不等式的概念和基本性质，并通过实例演示如何利用基本不等式解决解三角形面积最值问题。
2.基本不等式定义三角形的基本不等式基本不等式是指数学中一类带有不等号的基本关系式，其中最常见的就是，即三边关系式的不等式形式。
3.三角形的基本不等式对于任意三角形A BC，其三边长度分别为a、b、c，我们有以下基本不等式成立：三角不等式-：$a+b>c$，$b+c>a$，$c+a>b$角边不等式-：对于锐角三角形，有$a>b>c$，$si nA>s in B>s in C$，$c os A<co sB<c os C$，$tg A>tg B>tg C$；对于钝角三角形，有$a<b<c$，$s in A<si nB<s in C$，$co sA>c os B>co sC$，$tg A<tg B<tg C$4.利用三角形的基本不等式求解面积最值问题下面通过具体实例，演示如何利用三角形的基本不等式求解解三角形面积最值问题。
问题：求解一个等边三角形的最大面积。
解答：对于等边三角形A BC，三边长度均相等，记为$a$。
根据基本不等式，我们有$a+a>a$，即$2a>a$，所以$a>0$。
进一步，我们利用三角形的面积公式$S=\fr ac{1}{2}\cd o ta\c do th$，其中$h$为等边三角形的高，可以根据勾股定理求解，得$h=\sq rt{a^2-(\fr ac{a}{2})^2}=\fr ac{a\s qr t{3}}{2}$。
将$h$代入面积公式得$S=\fr ac{1}{2}\cd o ta\c do t\fr ac{a\s qr t{3}}{2}=\fra c{a^2\s qr t{3}}{4}$。
椭圆中三角形
椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。
点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则12020=+y x ，即442020=+y x 。
椭圆中一个三角形最大面积问题
椭圆中一个三角形最大面积问题作者：姜坤崇来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第03期问题设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆上的两点（A、B、O不共线），求△AOB面积的最大值.对于这个问题，笔者经过探讨，得到了如下两个有趣的结论.定理1设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为O，A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），则当且仅当直线AB与椭圆F：x2a2+y2b2=12相切时，S△AOB取得最大值12ab.由于kOA=y1x1、kOB=y2x2是关于t的二次方程④的两根，故由韦达定理知kOA·kOB+b2a2=b2（m2-a2k2）a2（m2-b2）+b2a2=-b2（a2k2+b2-2m2）a2（m2-b2）.因此，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时，kOA·kOB=-b2a2.又由定理1证明中已得结论知，当且仅当a2k2+b2-2m2=0时直线AB与椭圆F相切，故当且仅当kOA·kOB=-b2a2时直线AB与椭圆F相切.（ⅱ）当直线AB过点（0，±b）时，不妨设过点（0，b），则由直线AB与椭圆F相切的充要条件a2k2+b2-2m2=0可得k=±ba，此时直线AB过点（±a，0），从而OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴.（ⅲ）当直线AB与x轴垂直时，易证（证明从略）：当且仅当直线AB过点（±22a，0）（此时直线AB与椭圆F相切于点（±22a，0））时，kOA·kOB=-b2a2.综上可得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时直线AB与椭圆F相切，从而由定理1的结论得，当且仅当kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴）时S△AOB取得最大值12ab.最后作一点说明：设A、B是椭圆E上的两点（A、B、O不共线），若记P：直线AB与椭圆F相切，Q：kOA·kOB=-b2a2（或OA、OB分别为椭圆E的长、短半轴），R：S△AOB取得最大值12ab，则由以上两个定理的结论可知，将P、Q、R中任一个作为条件，剩余两个中的一个作为结论，都为一个正确的命题（共有6个结论，若R作为条件时应改为：S△AOB=12ab）.参考文献[1]姜坤崇.相似椭圆的性质又探[J].数学通讯，2011（4）（下半月）.[2]姜坤崇.对2011年高考山东卷理科22（Ⅰ）题的研究[J].数学教学，2012（2）.[3]姜坤崇.椭圆的“姊妹椭圆”与“姊妹圆”及其性质[J].中学教研（数学），2011（12）.。
基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究知识讲解
基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究建水县第二中学： 贾雪光从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题， 这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是C B A sin )sin(=+、C B A sin 2cos =+的联系是关键。
于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如： 1、在锐角△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且A A 22sin 21cos =+，7=a 求△ABC 的面积的最大值；2、已知向量)21,(sin A M =与)cos 3sin ,3(A A N +=共线，其中A 是△ABC 的内角，（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 的面积S 的最大值。
3、△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，向量)2cos ,2(cos ),1,4(2A A N M =-=，27=•N M ，（1）求角A 的大小；（2）若3=a 是判断当c b ⋅取得最大值时△ABC 的形状。
面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的收获哦。
我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式：A bc c b a cos 2222⋅-+=,B ac c a b cos 2222⋅-+=,C ab b a c cos 2222⋅-+=同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：bc c b 222≥+，ac c a 222≥+ ，ab a b 222≥+在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a 、 b 是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：)cos 1(22A bc a -⋅≥,)cos 1(22C ac b -⋅≥)cos 1(22c ab c -⋅≥于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；二、导函数；三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。
破解椭圆中最值问题的常见策略
破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。
圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。
要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。
本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。
第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax yk a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+ax y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或2222)ab a b ≤=-，得：03b a <≤，由e =136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。
面积与椭圆——基本不等式
面积与椭圆——基本不等式三角形面积求法(2018·湘潭调研)例 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设点A ，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)．解：(1)由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F (1,0)，A (2,0)，设直线CD 的方程为x ＝ky ＋1，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得(3k 2＋4)y 2＋6ky －9＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝－6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4.∴S 四边形OCAD ＝S ∴OCA ＋S ∴ODA ＝12×2×|y 1|＋12×2×|y 2| ＝|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝12k 2＋13k 2＋4.设t ＝k 2＋1(t ≥1)，则S 四边形OCAD ＝12t 3t 2＋1＝123t ＋1t.∴当t ≥1时，y ＝3t ＋1t 单调递增，∴3t ＋1t ≥4(当t ＝1时取等号)， ∴S 四边形OCAD ≤3(当k ＝0时取等号)，即四边形OCAD 面积的最大值为3. 求以下式子的最值（1）()2222288842m m t m m m m +-=-=-≤= （2）()()222221183383833t m m m m m =-=⋅-=⋅- （3）2323231323m t m m==≤=+（4）222211212m k m t k ++-==≤=+ （5）t =设x =，则221m x =-()2211313143x x t x x x x====+-++上述式子可以通过配凑，换元，使用均值不等式得到最值.（6）221k t k==+ ；（7）t == ；（8）228m t +== ；（9）t == ；上述式子求最值可以通过分离常数法实现. 【例3】.例 已知点2(0,)A ﹣,椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,F 是椭圆的右焦点,直线AF 的斜率为2√33,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 解:(1) 设F (c ,0),由条件知2c =2√33,得c =√3又ca =√32, 所以a =2,b 2=a 2﹣c 2=1,故E 的方程x 24+y 2=1 .….(5分)(2)依题意当l∴x 轴不合题意,故设直线l:y=kx ﹣2,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2) 将y=kx ﹣2代入x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2﹣16kx+12=0, 当∴=16(4k 2﹣3)>0,即k 2>34时,x 1,2=8k±2√4k 2−31+4k 2从而|PQ|=√k 2+1|x 1−x 2|=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k 2又点O 到直线PQ 的距离d =2√k 2+1,所以∴OPQ 的面积S △OPQ =12d|PQ|=4√4K 2−31+4K 2,设√4k 2−3=t ,则t>0,S △OPQ =4tt 2+4=4t+4t≤1,当且仅当t=2,k=±√72等号成立,且满足∴>0,所以当∴OPQ 的面积最大时,l 的方程为:y=√72x ﹣2或y=﹣√72x ﹣2.【例1】.已知椭圆G:x 24+y 2=1.过点(m,0)作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A,B 两点.(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.【解答】解:(1)∴椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为√22, ∴{a =2c a =√22a 2=b 2+c 2∴b=√2∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1;(2)直线y=k(x ﹣1)与椭圆C 联立{y =k(x −1)x 24+y 22=1,消元可得(1+2k 2)x 2﹣4k 2x+2k 2﹣4=0设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−41+2k 2∴|MN|=√1+k 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2∴A(2,0)到直线y=k(x ﹣1)的距离为d =|k|√1+k2∴∴AMN 的面积S=12|MN|d =|k|√4+6k 21+2k 2∴∴AMN 的面积为√103,∴|k|√4+6k 21+2k 2=√103∴k=±1. 【例2】.已知椭圆C:x 22+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√63,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为√32,求△AOB 面积的最大值.【解答】解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意{c a =√63a =√3∴b=1,∴所求椭圆方程为x 23+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)当AB∴x 轴时,|AB|=√3.(2)当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y=kx+m.由已知|m|√1+k 2=√32,得m 2=34(k 2+1). 把y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2﹣3=0,∴x 1+x 2=−6km3k 2+1,x 1x 2=3(m 2−1)3k 2+1. ∴|AB|2=(1+k 2)(x 2﹣x 1)2=(1+k 2)[36k 2m 2(3k 2+1)2−12(m 2−1)3k 2+1] =12(k 2+1)(3k 2+1−m 2)(3k 2+1)2=3(k 2+1)(9k 2+1)(3k 2+1)2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k≠0)≤3+122×3+6=4.当且仅当9k2=1k2,即k=±√33时等号成立.当k=0时,|AB|=√3,综上所述|AB|max=2.∴当|AB|最大时,∴AOB面积取最大值S=12×|AB|max×√3 2=√3 2.。
基本不等式放缩与三角放缩结合：解三角形中的面积最值问题
基本不等式放缩与三角放缩结合：解三角形中的面积最值问题
在解三角形中，经常会遇到在给定关系条件下计算三角形面积的最值问题。
这类问题通常可结合不等式放缩和一些放缩手段来处理。
下面来看一个典型的解三角形中的面积最值问题。
例题：在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2+2c2=8，求ΔABC面积的最大值。
解：
由余弦定理a2+b2+2(a2+b2-2abcosC)=8
即：3(a2+b2)-4abcosC=8
由a2+b2≥2ab，因此6ab-4abcosC≤8(当且仅当a=b取等)
即ab( 3-2cosC)≤4
做到这一步是比较容易的，但是很多朋友可能不知道下面如何做了，这就涉及到一个方法，即：三角放缩。
实际上，
这样就解得了三角形面积的最大值。
实际上，三角放缩也可以理解为包含sinC和cosC的分式函数的最值问题，在这个问题中，利用基本不等式放缩后，直接写出面积表达式，即：
这类函数求极值的方法之前已经发过相关的文章，感兴趣的读者可以参考之前的文章：一类含有三角函数的有理分式函数的值域计算方法。
当然，在上述分式表达式中同时出现sinC和cosC，这很自然联想到圆，因此还有数形结合的方法。
此外，还可以通过余弦定理，采用化为边c的函数再配方进行放缩的方法：
上述方法中，将最后的表达式看作c2的二次函数（或直接配方），也能得到相同的答案。
总而言之，这个题目可以有很多种不同的解法，但各种解法的共同特点是仅通过基本不等式放缩一次无法得到问题的解，还需要与其他的放缩手段相结合。
微专题椭圆中三角形面积最值问题探究
9
-
8# / 16(显-1)
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4丿3(9 _ "厂丄,$ =斗■仙■ 4 9
=y 7(9 - TH2)(771 + 3)2，令 f{m}
(m+3)2,f(m)二(m + 3 )2 (6 - 4m)
令=0
(0,三 3 )心)>0,
=I■时,
四、问题的一般形式
2
例4 已知椭圆E:〒+ y2 = 1,直线= kx +
中学数学研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2019年第6期
此时"吐间的距离"芳，直线与椭圆联立
方程得
卩=尽 + "*22 lx2 + 4y2 = 4
+ %血皿 +4m*2 -4 = 0.
由 A = ( - 8Qm) - 36(4m2 -4) > OnO < m _ &匹m
< 3.由韦达定理知衍+ % = ―g ，光1%2 二
4(m2_~ ,AB = ^3 \ xx -x2
AB = a/1 + ni I Ji -y21 ,</ = 1* 1* ,S^Oab = V
71 + m2*
2
⑷.」心严)[联立 7f+ry,消去“,
2
■x + 4y = 4
得到(m2 + 4)y2 + 2mty + i2 - 4 = 0, A = 4m2f2 -
4)(i2 -4) >0 9 4 > f2，由韦达定理知
若 c <0,令 a = - ctan0,b = c2 sec20,由 abc
椭圆中的中心三角形面积问题求解
椭圆中的中心三角形问题求解题目一：y kx m =+与椭圆22221x y a b +=交于A ，B 两点，则22222222OA OBOAB b abk k k a b m S a ∆⋅=-⇔+=⇔=提示：记忆方式利用直线与椭圆相切的公式特点记忆。
222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0b k a x kma x a m b +++-=，2222224()0a b k a b m ∆=+->，2112222kma x x k a b -+=+，22211222()a mb x x k a b-⋅=+， 22212121222212()()OA OBy y b b b k k kx m kx m x x a x x a a⋅=-⇔⋅=-⇔+⋅+=-2222222222121222222222()2()()0()0b b a m b kma k x x km x x m k km m a a k a b k a b--++++=⇒+++=++， 化简得：22222k a b m +=。
122OABab S AB d ∆=⋅===。
题目二：y kx m =+与椭圆22221x y a b +=交于A ，B 两点，则2OAB ab S ∆≤，当且仅当22222k a b m +=时等号成立。
简证：1122OAB S AB d ∆=⋅=222222221()22ab k a b m m abk a b +-+≤⋅=+，m =，即22222k a b m +=时均值不等式中的等号成立。
解法2：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A a b B a b ααββ，则122112OAB S x y x y ∆=- 1cos sin sin cos sin()222ab ab ab ab αβαβαβ=-=-≤。
注意：椭圆参数方程中参数的几何意义不是极角。
关于椭圆中心三角形面积的最值
关于椭圆中心三角形面积的最值关于椭圆中心三角形面积的最大值椭圆的中心三角形是指由椭圆中心和椭圆上一条弦的两个端点所组成的三角形。
当该三角形的面积最大时，其弦所在的直线具有一些特殊的特征。
本文使用初等方法求解了椭圆的中心三角形面积的最大值，并分析了焦点弦所在的中心三角形何时能取得该最大值。
已知直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1相交于P、Q两点，O为椭圆中心。
证明：当且仅当a^2A^2+b^2B^2=2C^2时，三角形OPQ的面积最大为ab。
证明如下：若A=0，则弦PQ在直线y=h上，其中h=-C/B （h∈(-b,b)]，且S(OPQ)≤ab。
当且仅当2h^2=b^2时取等号。
若A≠0，则直线PQ的方程可写成：y=-(A/B)x-C/B，代入椭圆方程可得b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2，消去x并整理得：BCx^2+2ACxy+ABy^2=a^2C^2-AB^2.记a^2A^2+b^2B^2=λ^2，又S(OPQ)=1/2|BC/λ|√[(λ^2-a^2)(λ^2-b^2)]。
因此S(OPQ)≤ab。
当且仅当λ^2=2C^2时，等号成立，此时a^2A^2+b^2B^2=2C^2.注重当S(OPQ)=ab时，直线L的特征，下面仅举一个特例，一般情况留给读者思考。
已知直线L与椭圆x^2+y^2=1相交于A、B两点，O为椭圆中心，且三角形OAB的面积为6.则直线L不过椭圆的焦点F(1/√3，0)。
证明如下：设直线L的方程为y=kx+m，将其代入椭圆方程可得x^2+(kx+m)^2=1，整理得(k^2+1)x^2+2kmx+(m^2-1)=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有y1+y2=k(x1+x2)+2m，y1y2=-k^2(x1x2)+k(m(x1+x2)-y1-y2)+m^2-1.由三角形OAB的面积为6可得AB=2√3，又√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=2√(3/2)。
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安徽 省宁 国中学 （２４２３９９） 汤生兵
摘 要 椭 圆中三角形面 积是高考 中的难点，主要体 现在
方法 ２（基本不等式）
计 算量 很大，很 多学 生望 而却 步，本文 巧妙利 用 “基 本不 等 式 ”，大 大减 少计 算量，首 先从 实例出发，然后寻其本质，最后 利 用 此 特 点 解 决 一 道 相 关 的题 目．
，且 Ｉ Ｂｌ＝
于是
１ ｌＡＢＩ忙 ·
。
接下 来 找 和 ｍ 的关 系 ，因为
解若直线ＡＢ斜率不存时，设Ａ日： ，则薯＋茄
，
①
１．Ｘ ＝
一 箬） 于是
廊 ＝
：
．
Ｘ／１２（ １＋３ｋ２－ｍ２）
．
：
，／５
＼／。 （ 一 ）＾ １
ａ
△ Ａ０ Ｂ ＝
当 。＝２６。时，（Ｓ￣ＡＯＢ） ＝ ａｂ
必须有个 顶点在 原点，其它 情况都 不可 以用，并 且我们 得 到 原 点 ，就 可 以 用 基 本 不 等 式 求 出它 的最 大值 为 ；若 三 个 顶
一 个 很好 的结论 Ｓ△ ｐＢ的最大值为 ，以后遇到小题就可 点 都在椭 圆上，初等数 学很难 解决，能 高 学将 椭 圆
ｓ△Ａ。Ｂ＝ ·ＩＡＢＩ·＾
（一 · ＝
·
）·
关键 词 基本不等式；三角形面积
题 目 １ 如 图 １所 示 ，椭 圆 Ｃ ：Ｘ ＋３ｙ ＝ ３ｂ。（６＞ Ｏ）．
（１）求椭 圆的离心率． （２）若 ｂ＝ １，Ａ，Ｂ 是椭 圆 上 两 点，且 ｌＡＢｌ＝ 、／３，求 ＡＡＯＢ 面积的最大值 ．
主
办 ：华南师范大学数 学科 学学院 广东省数学会
主
管 ：华 南师范大学
协
办 ：广东 教育学会中学数学 教学专业委员会
编 辑 出版 者 ：华南师范大学数学科学学院 《中学数学研究》编辑部
杂 志社社 长 ：黎稳
主
编 ：吕杰
印
刷 ：广东省农 垦总局印刷厂
总 发 行 处 ：广东省发行局 发行 ：在全 国范 围内发行
１６ｋｉ ｎ 一
②
）． ｖｑ＋ｋ２ 又 因 为 １ ２
现
ｎ 。ｍ 。 ０。ｂ。 一
８ｍ ０— ３２
③
。 １ｚ２＋ 惫ｍ（Ｘｌ－￣Ｘ２）＋ｍ２： ＿４ｍ ２＿ ３２ ｋ２ ④
ｎｂ ｍ 。＋ ｂ ＋ ａ ｋ 一 ｍ
２
ｂ２ ａ２ｋ２
ａｂ ２ ‘
由①一④可得， · ＝
２，即 ＝ ４－１，ｍ ： 土 时 ，Ｓ△ＡｏＢ取 又 因为
ｌ＝
． ＝廊
．
９６１ ３７Ｘ
２０１ ８ ．
００６
．
．
腼 ．
Ｓ￣ＡＯＢ＝去·ｌＡＢＩ·ｈ
＿＿１．（ ．
ａｂ ２１ｍｌ－ｘ／ｂ２ ４－ａ０ｋ０一ｍ０
—
２
６０ ＋ ａ２ｋ２
由题 目 ２可 知 ：
２ａ ｋｍ ＋ ｚ 一
解得
￣
ｍ
＝
１＋３ｋ２一 ｝篙
② 若直线 Ｂ斜率存日寸，设 Ｂ方程为 ：忌 ＋ｍ，从而
由①，② 可知，
鼻ｙ２ ：ｚ２
ＩＡＢＩ：
＼／一 （ 、／３
２
一ｚ） ＋
ｆｂ２＋ ｎ２ ２１ ２＋ ２ｎ２ｋｍ ＋ 仃 一 ０２ｂ ＝ ０
＝ ，
△ ＝ ４ａ４ｋ。ｍ２—４ａ２ ｍ Ｍｂ２）（ｎ２ ２＋６。）＝ ４ａ２ｂ２（６２＋０２ｋ２＿Ｔｒｔ２）
２
解 （１）略．（２）方法 １ （常规解 法）若 直线 ＡＢ 斜率 不 存在 ，即 ＡＢ￣ｚ轴时，则 ｓ△Ａ。Ｂ＝ ３ 若直线 Ｂ 斜率存在
．
时，设 ＡＢ 方 程 为 Ｙ＝ ｋｘ＋ ｍ，从 而
大家不难发现 ，方法 ２巧妙 利用了基本不等式解决面积 最大值，是否存在 “巧合 ”，接下来进行一般化，验证 是否仍然 可 以用 ．
，接下来需要找到 南和 ｍ
当且仅 当 ｆｍｌ＝ ＋—ａ２ｋ２—＿ｍ２，即 ？ｎ２
时， 的关系．由题 目 ２可知：（Ｓ￣ＡｏＢ） ａｘ＝ ａｂ： ２ 与题 目中
ｎ ｈ
取等号，所 以 （Ｓ￣ＡＯＢ） ＝ ．
有些学 生会感 到吃惊 ，基本 不等 式很神 奇，其实此 类题
型利用基本不 等式有前 提条件，即 ｈ＝
以秒 杀，相 当的霸气，接下来 利用 上面结论 解决题 目‘３．
压缩 变换为单 位圆去解决，得到最 大值 为
，就 不 一 一
题 目 ３ 已知 椭 圆 Ｅ ： ＋ ＝ １，点 ，Ｂ 为椭 圆上 阐 林 了 ．
两点，ＡＡＯＢ 的面积为 ２、， ，设直线 ＯＡ，ＯＢ 的斜率分 别为
参考 文献
图 １
√３ ２ｌｍ １．
９
１＋ ３ｋ２
，／３ ｍ 。＋ １＋ ３ｋ。一 ｍ 。
’
— —１
一 ２
当 且 仅 当 ｌｍｌ＝ 、／，
且 ｍ ＝ １＋ ３ｋ。一
（１＋３ｋ ） 即 南＝士１，ｍ ： 土、，／ 时，取等号，于是 ５＿△Ｊ４Ｄ ４（１＋ 。１’
取 最 大 值 为
｛Ｉ 。＋３ｙ２＝３ （１＋３ 。） ＋６ｋｍｘ＋３ｍ２—３：ｏ，
Ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍ
题 目 ２ 已知椭 圆 ＋
ｎ
Ｄ ‘
△ ＝３６ｋ ｍ 一１２（ｍ。一１）（３ｋ。＋１）＝ １２（１＋３ｋ。一ｍ。）， 求 △Ａ０Ｂ 面积 的最大值 ．
１，点 Ａ，Ｂ为椭 圆上 两点 ，
由点到直线 的距离公式 可知，＾：
它 的分子必
给 的面积值相 等，意 味着 Ｓ△ＡＯＢ为 最大值，Ｓ△ＡｏＢ为最大 值条件是 ｍ ： ± ， 即 ？ｎ２： ２＋４ ，将此等式代入 ，
可得 ＝ 答 ＝丽２＋４ｋ２－８ｋ２＝＿＿１ ．
须是 ｌｍＩ，才能平 方后与后面 一ｍ 相互抵消 ，等价 于三角形
总 结 通 过 上 面 三 个 题 目，只 要 ＡＡＯＢ 有 一 个 顶 点 为
订 阅 、 零 售 处 ：全 国 各 地 邮 局 （所 ）
ｋ１，ｋ２，求 ｋｌ· ２的值 ．
解设 ｍ ｃ ，于是
兰
２浙０１江８（：３浙 ）：２ 江８－大３１学．出
１．ｋ２＝
１Ｘ ２
①
版社，２０１７，９．
中系教芬研究
１９５５年２月 创 刊 １９８２年 １月 复 刊 复 刊 第４３８期 （上 ） ２０１ ８年 ６月 １０ 日出 版