第八章 点的合成运动

u
动点
v
动系
牵连运动
定系
动点的绝对运动和相对运动都是指动点的运动， 而牵连运动是指坐标系的运动，实际上是刚体的运 动。
三、合 成 运 动 的 概 念
8.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
如果没有牵连运动，则 u 动点的相对运动就是它的绝 对运动；反之，如果没有相 对运动，则动点随同动坐标 v 系所作的运动（牵连运动） 就是它的绝对运动。由此可 见，动点的绝对运动既决定于动点的相对运动，也 决定于动坐标系的运动即牵连运动，它是这两种运 动的合成，因此这种类型的运动就称为点的合成运 动。
点 的 速 度 合 成 定 理
注意：（1）动点及动坐标系的选取；（2）对于
三种运动及三种速度的分析；（3）根据速度合 成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量 图；然后利用三角关系或矢量投影定理求解未知 量。
例2 如图半径为R的半圆形凸轮以匀速 v 0 沿水平
8.2 轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示 B 点 位置时，杆AB的速度。
eห้องสมุดไป่ตู้a

0 ve vr cos 30 因为 ve OA 2e 于是可解得 2 3 4 3 va e vr e 3 3
va vr sin 30
8.2
B 点 va v 的 Ce R v r 速 o 度 合 成 解：以凸轮圆心C为动点，定系取在地面上， 定 动系取在顶杆AB上。 v a ve v r ve va cos 理 2 方向 e cos 45 e 2 大小 e ？ ？
r1
2
1
1
e2
r2
2
C
比较（1）、（2）式，可得： 8.2
ve1 vr1 ve 2 vr 2
v1
点 的 速 度 合 成 定 理
A
建立如图的投影轴，将上 式投影到投影轴上，得：
y
o x
i
y
x
vr
ar
~ dr
~ dvr dt
dx dy dz i j k dt dt dt dt
~ d r
2
dt
2
d 2 y d 2 z d x i j k 2 2 2 dt dt dt
第八章 点的合成运动
相对运动 牵连运动 绝对运动
点的速度合成定理
牵连运动是平移时点的加速度合成定理
牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定
理
一、动点、定坐标系、动坐标系
8.1
前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。
u
M
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
v
在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描 述得到的结果是不一样的。
dr
五、相对运动 的速度与加速度
8.1
动点在动系的运动中的轨
迹、速度和加速度称为相对轨 迹、相对速度和相对加速度。 用 v r和 a r 分别表示相对速度和 相对加速度。
z
z
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
M
k i
k
ro
j
r
r
o
j
例5 图示平底顶杆凸轮机构， 顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心 凸轮以等角速度 绕O轴转动，O 轴位于顶杆的轴线上，工作时顶 杆的平底始终接触凸轮表面，设 凸轮半径为R，偏心距OC=e ， OC 与水平线的夹角为 ，试求 45 当 时，顶杆AB的速度。
A
8.2
点 的 速 度 合 成 定 理
例6 如图车A沿半径为150m 的圆弧道路以匀速v A 45 km h 行驶， v B 60 km h 车B沿直线道路以匀速 vA vB O 行驶 ，两车相距30m，求：（1） A B R A车相对B车的速度；（2）B车相 对A车的速度。 解：（1）以车A为动点，定系取在地面上， 动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
的 速 度 合 成 定 理
解：以杆端A为动点，定系 取在地面上，动系取在凸轮上。
v0
vr

va A
O
ve
v a ve v r
方向
大小 ？
v0
？
va ve ctg v0 ctg
v AB va v0 ctg
8.2
点 的 速 度 合 成 定 理
轨迹、速度和加速度称为绝 对轨迹、绝对速度 和绝对 加速度。用 v a 和 a a分别表示 绝对速度和绝对加速度。
x
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
z
z
M
k i
k
ro
j
r
r
o
j
y
o
i
y
x
va
dx dy dz i j k dt dt dt dt 2 2 d 2 y d 2z dv a d r d x aa 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt
为了研究方便，把所研究的点称为动点， 把固连于地球上的参考坐标系称为定坐标系 （静坐标系）；而把另一个相对于定坐标系运 动的坐标系称为动坐标系（动系） 。
二、绝对运动 相对运动 牵连运动的概念
8.1
相 对 运 动 牵 连 运 动 绝 对 运 动
为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定： 动点相对于定坐标系的运动称为绝对运动。 动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。 动坐标系相对于定坐标系的运动称为牵连运动。
2
六、 牵连运动 的速度与加速度
8.1
在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（
相 瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该 对 运 瞬时的牵连速度和牵连加速度。用 v e 和 a e分别表示 动 牵连速度和牵连加速度。 牵 t t B 连 t u 运 M 动 A M 绝 对 运 动 注意：牵连速度和牵加速度完全由动坐 标系的运动决定；
e a

0 ve vr cos 30 因为 ve OA 2e 于是可解得 2 3 4 3 va e vr e 3 3
va vr sin 30
例4 直角折杆OBC绕O轴匀速转动，并带动套 8.2 在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图。已知： 点 OB=10cm，折杆的角速度 0.5 rad s 。 求当 60 ，小环M的速度。 的 vr C M O A 解：以小环M为动点，定 速 60 v v 度 系取在地面上，动系取在折 B 杆OBC上。
B 例3 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转 动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑 v v r v A 槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半 r 径 r 3e ，试求 OCA 90 的图示位 C O 置时，顶杆AB的速度。 30 由几何关系可得 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系 取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴，由 va ve vr 将矢量投 影到投影轴上，得
2 42
vA
45 10 3
ve vA vB A 2B vr 2
8.2
点 的 速 度 A B va ve1 vr1 （1） v 合 M v C 成 以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在 定 v CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。 va 理 D v v 于是有： v v A B va ve 2 ve1 （2） M v
点 0.083 rad / s y R 3600 150 O x 的 速 ve 180 0.083 15 m / s 54 km / s R 度 2 v r 2 v B ve2 80 .72 k m / h 合 ve 54 成 sin 2 0.669 v r 2 80 .72 定 理
vr
M
va ve
M
B
M1
t
A
t t
A
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该
瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就
是点的速度合成定理。
注意：（1）速度关系式是平面矢量方程； （2）绝对速度是对角线； （3）牵连速度为任何形式的运动时， 速度关系式都成立。
8.2
在应用速度合成定理来解决具体问题时，应


10 0 .5
0.5 10 cm s
vr 20 cm s
va 10 3 cm s
v M v a 10 3 cm s
8.2
点 的 速 度 合 成 定 理
B 例3 偏心凸轮以匀角速度 绕O轴转 动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑 v v r v A 槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半 r 径 r 3e ，试求 OCA 90 的图示位 C O 置时，顶杆AB的速度。 30 由几何关系可得 解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系 取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。 建立如图的投影坐标轴，由 va ve vr 将矢量投 影到投影轴上，得
vr1 v v
2 A 2 e
v v 75 k m / h
2 A 2 B
O
ve
sin 1
vA vr1


45 75
0 .6
R
v A v y r1 x 1 A vB B
1 36 .9
（2）以车B为动点，定系取在地面上，动系取 8.2 在车A上。动点的速度合成矢量图如图。
M 如图，由图中矢量关系可得： 2