第八章.点的合成运动解剖
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理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
点的合成运动(相对牵连绝对运动)(课堂)-2022年学习资料
理论力学-第八章京的合刻-1
第八章点的合成运动->☑§8-1-点的合成运动的概念-§8-2点的速度合成定理->☒-§8-3牵连运动为平 时点的加速度合成定理->§8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理-☑习题课
运动学-前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考-体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面 动着的参-考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞-机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点 向后斜落的等-为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不-同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。 面我们就将研-究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先-来介绍有关的概念。-§8-1点的合成 动的概念-一.坐标系：-1静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系，简称静系。-2动坐标系：把固结于相 于地面运动物体上的坐标系，-称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。-3
运动学-四.动点的选择原则：-般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有-运动的点。-五.动系的选 原则：-动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，-或者能直接看出的。-下面举例说明以上各概念：-动 ：AB杆上A点-动系：固结于凸轮O上-静系：固结在地面上-5
运动学-绝对运动：-直线-相对运动：-曲线（圆弧）-A-牵连运动：直线平动-n-雌-y
运动学-B-[例2]曲柄摆杆机构-已知：OA=r,0,OO,=l图示瞬时OA⊥O0-a-求：摆杆O,B角速 o-解：取OA杆上A点为动点，摆杆OB为动系，-基座为静系。-绝对速度v。=ro方向⊥OA-相对速度y,= 方向1O1B-牵连速度v。=?方向⊥OB-由速度合成定理y=,+y。作出速度平行四边形如图示。-Onie20-9u.-040me-0Ar-1.r2w=2w-∩-16
第八章点的合成运动->☑§8-1-点的合成运动的概念-§8-2点的速度合成定理->☒-§8-3牵连运动为平 时点的加速度合成定理->§8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理-☑习题课
运动学-前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考-体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面 动着的参-考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞-机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点 向后斜落的等-为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不-同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。 面我们就将研-究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先-来介绍有关的概念。-§8-1点的合成 动的概念-一.坐标系：-1静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系，简称静系。-2动坐标系：把固结于相 于地面运动物体上的坐标系，-称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。-3
运动学-四.动点的选择原则：-般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有-运动的点。-五.动系的选 原则：-动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，-或者能直接看出的。-下面举例说明以上各概念：-动 ：AB杆上A点-动系：固结于凸轮O上-静系：固结在地面上-5
运动学-绝对运动：-直线-相对运动：-曲线（圆弧）-A-牵连运动：直线平动-n-雌-y
运动学-B-[例2]曲柄摆杆机构-已知：OA=r,0,OO,=l图示瞬时OA⊥O0-a-求：摆杆O,B角速 o-解：取OA杆上A点为动点，摆杆OB为动系，-基座为静系。-绝对速度v。=ro方向⊥OA-相对速度y,= 方向1O1B-牵连速度v。=?方向⊥OB-由速度合成定理y=,+y。作出速度平行四边形如图示。-Onie20-9u.-040me-0Ar-1.r2w=2w-∩-16
理论力学第八章点的合成运动
3
实例三
描述一个长杆在平面内同时作直线运动和回转运动的合成运动，讨论合成运动对 杆心运动特性的影响。
合成运动中的矢量操作
在合成运动中，我们经常需要进行矢量的加法、减法和乘法等操作。这些操作可以帮助我们推导、计算和分析 合成运动的各种特性。
合成运动的应用及展望
应用
合成运动的概念和原理广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域，为我们理解和解决复杂 的运动问题提供了有力的工具。
点的合成运动的基本概念
点的合成运动是指多个点以各自不同的速度和方向同时运动，并在同一时间 到达相对位置的运动方式。它是合成运动的基本形式之一。
合成运动的示意图和公式推导
示意图
通过示意图展示合成运动的过程和结果，帮助加深 理解。
公式推导
推导合成运动的公式，使我们能够定量描述和计算 合成运动的各个特性。
质点运动的合成运动
质点的合成运动是指质点在运动过程中，同时具有平移运动和旋转运动的一 种复杂运动形式。在合成运动中，质点的运动轨迹会呈现出特定的形态和规 律。
质点合成运动实例分析
1
实例一
分析一个小球在倾斜平面上同时进行滚动和滑动的合成运动，探讨其运动规律和 性质。
2
实例二
研究一个弹射体在水平飞行过程中受到重力和空气阻力合成运动的影响，揭示合 成运动对物体运动轨迹的影响。
理论力学第八章点的合成 运动
欢迎大家来到本次关于理论力学第八章点的合成运动的精彩演讲。在本次演 讲中，我们将深入探讨合成运动的定义、基本概念、示意图与公式推导，以 及质点运动的合成运动等内容。
合成运动的定义
合成运动是指由多个简单的运动相结合而成的复杂运动。它将两个或多个运 动矢量合成为一个合成矢量，从而形成全新的运动方式。
点的合成运动习题及解答
第八章 点的合成运动习题及解答P189 8-5. 已知 OA=l ，曲杆BCD 的速度为v ，BC=a; 求：A 点的速度与x 的关系。
解：取曲杆上的点B 为动点，OA 杆为动系，则r e a v v v +=v v a =,得22a e a x a .v s i n .v v +==φ ,a x a.v OB v 22e 0+==ω=A v .v l .0=ωl ,a x a .22+P190 8-7. 已知 两种机构中2m .0a O O 21==, 杆 A O 1的角速度1ω=3rad/s,030=θ;求：杆A O 2A O 1的角速度2ω.解: 图 (a) , 取杆A O 1上的A 点为动点，杆A O 2为动系，图 (b) , 取杆A O 2上的A 点为动点，杆A O 1为动系，由: r e av v v += 分别作速度矢量图。
由图 (a) 解出23a.cos30.v v 10a e ω==，,s /rad 5.12A O v 12e 2===ωω由图 (b) 解出32.a .cos30v v 10e a ω==， ,s /5r a d .12A O v 12e 2===ωω.s /rad 232A O v 12a 2===ωωP190 8-9. 已知 ==V v AB 常数，当t=0时，0=ϕ；求：045=ϕ时，点C 的速度的大小。
解: 取杆AB 上的A 点为动点，杆OC 为动系，由: r e av v v += 作速度矢量图。
ϕϕcos .v cos .v v a e ==，lcos .a OA OC .v v e c ϕ==解出 l a .c o svv 2c ϕ=，当045=ϕ时， 2l av v c =P190 8-10. 已知，轮C 半径为R ，偏心距OC=e, 角速度 ω=常数；求：00=ϕ时，平底杆AB 的速度。
解: 取轮心C 为动点，平底杆AB 为动系，由: r e av v v += 作速度矢量图。
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
3理论力学 第八章点的合成运动解析
? ? tg ?1 v?
v平
[例8-2] 曲柄摆杆机构
φ
已知：OA= r , ? , OO1=l 图示瞬时OA? O
求：摆杆O1B角速度? 1
解：取套筒A点为动点，摆杆O1B为动系.基座为静系。
绝对速度va = r ?
相对速度vr = ?
方向? OA 方向//O1B
牵连速度ve = ?
方向? O1B
由速度合成定理 va ? vr ? ve 作出速度平行四边形 如图示。
r
ve ? va sin? ? r? ?
r2? l2
又?ve ? O1 A?? 1,
? ? 1 ? Ov1eA?
1? r 2 ?l2
r 2?
r2?
l2
?
r
r 2?
2 ? l2
（
）
[例8-3]圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R ? 3e , ? （匀角速度）
vr
va
A veva
B
aa
ar
va
A
Baen
ae?
练习三
解:
A
?
?
o
B
A
? ?
o
ve ? OB??
va
B
vr
动系:OA杆； 动点:滑块B
A
? ?
arn
o
aen ? OB?? 2
ar?
B
aa
a?e ? OB??
[例8-1] 桥式吊车。 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v? 。求物块A的运 行速度。
一、实例 : M点运动
地面: 摆线， 车箱: 圆。
二、复合运动的一般模型
8理论力学
线运动.
D
动系的牵连运动—沿x轴的直线平动. vD
va= ve + vr va = r ve = vD= v
v 解得: va sin
v r sin
16
例题8-7.平底凸轮机构如图
示. 凸轮 O 的半径为R,偏心 距OA = e,以匀角速度 绕 B O 转动,并带动平底从动杆 BCD运动. 试求该瞬时杆 BCD的速度.
动系O—x´y´
e x´
y´
A的绝对运动—以B为中心 l 为 半径的园运动.
x A的相对运动—沿凸轮O边缘的曲线运动.
牵连运动—动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.
牵连点—凸轮O上被AB杆的A端盖住的A´点且随凸轮
O作角速度为的定轴转动.
va= ve + vr va = l AB
解得:
AB
e l
22
ve = rsin
将它表示成转角的函数.
B
D
C e O A
26
解:取偏心园凸轮的 B
D
中心C为动点.
建立静系O—x y和 动系A—x´y´
y
ve va
C e vr
O
A
y´
x
x´
C的绝对运动—以O为中心为e半径的园运动.
C的相对运动—平行于 y´ 轴的直线运动.
牵连运动—动系沿水平直线作往复平动.
va= ve + vr
长 r,以匀角速1转动.试分析滑
O2
块A的运动.
5
O
例题8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
B
C
知OA= r且转动的角速
A
度为.试分析滑块 A的
第八章 点的合成运动
潍坊学院机电系讲稿专用纸如车轮上的点P的运动，如果以地面作为参考系，点的轨迹是旋轮线，而如果以小车作为参考系，点的轨迹则是一个圆。
相对于地面是直线运动，相对于旋转的工件，是，因此，车刀在工件的表面上切出螺旋线。
在实际问题中，往往不仅要知道物体相对地球的运动，而且有时要知道被观察物体相对于地面运动着的参考系的运动情况。
例如在运动着的飞机、车船上观察飞机、车船潍坊学院机电系讲稿专用纸潍坊学院机电系讲稿专用纸动系上与动点相重合的点相对于定系的速度、加速度称为牵连速度、牵连加速度。
6. 动点和动系的选择基本原则：（1）动点对动系要有相对运动。
（2）动点的相对运动轨迹要明确、容易确定。
具体选择方法：（1）选择持续接触点为动点。
（2）对没有持续接触点的问题，一般不选择接触点为动点。
根据选择原则具体问题具体分析。
实例见PPT。
潍坊学院机电系讲稿专用纸潍坊学院机电系讲稿专用纸潍坊学院机电系讲稿专用纸内的绝对位移绕固定轴O limlim11M M MM '+='M M MMM M '+='11潍坊学院机电系讲稿专用纸潍坊学院机电系讲稿专用纸潍坊学院机电系讲稿专用纸在定系和动系中的矢径分别用r 和r ′表示。
k z j y i x r r ''+''+''+='r潍坊学院机电系讲稿专用纸和为未知量，暂设潍坊学院机电系讲稿专用纸当牵连运动是定轴转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度与相对加速之矢量和。
牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理和角加速度α 绕定系Oxyz 的轴z 转动；动系）分析动系的单位矢量k j i''',,对时间的一阶导数以角速度e ω绕定轴z 转动，则角速度矢e ω沿潍坊学院机电系讲稿专用纸潍坊学院机电系讲稿专用纸0=r v ③ r e v//ω r e v⊥， 此时 e k a =ω2是由于牵连运动和相对运动的相互影响而产生的潍坊学院机电系讲稿专用纸潍坊学院机电系讲稿专用纸潍坊学院机电系讲稿专用纸。
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M (M1 )
A
面
A
的关系式总是成立的:
Va
MM ' MM1' M1' M'
Vr
Ve
由在t 时刻的速度的定义:
M
lim
MM '
lim
MM
' 1
lim
M1' M '
注意: 在点的合成运动的速度 分 t0 t
t0 t
t0 t
析中, 无论平行四边形的形状如何
变化, 其对角线的大小方向恒表示
绝对速度, 两邻边分别表示相对速 即是,
Ve
O
θ Vr
Va r
A
sin
Ve Va sin r
r2 l2
θ 1
O1
1
Ve O1 A
r2 r2 l2
( 方向如图示 )
例二. 如图所示, 半径为R 偏心距为 e 的凸轮, 以匀角速度ω 绕O 轴转动, 杆 的端点A 始终与凸轮接触.
求图示位置时, AB杆的速度.
B
解: 取AB 杆上的A 点为动点, 凸轮为动系.
§ 7 – 2 点的速度合成定理
y 设某动点M 在动系上作相对运动, 其相对轨迹曲线为 AB , 在t 时刻和 t +Δt 时刻运动的位置如图示
t 时刻: B
t +Δt 时刻:
B M ´
速度合成定理:
在点的合成运动中,动点在 任意瞬时的绝对速度等于它 的相对速度和牵连速度的矢 量和.
M (M1 ) A
例三. 图示偏心轮摇杆机构. 已知偏心轮半径为R , 以角速度 绕O 轴转动 , 图示瞬时,OC OO1 , = 60º. 求此瞬时摇杆O1 A 的角速度 1 .
( 参见习 7 – 20 )
解: 取轮心C 点为动点, O1A 杆为
A
动系, 速度分析如图示:
1
O1
30º
Ve603º0º
Va 30º C
t
M
y'
x'
o'
x xo x cos y sin y yo x sin y cos
0
x
x xo xcos ysin y yo xsin ycos
习 7– 1 ( p 188 )
先求M点的相对运动方程. 由已知条件可知, 动系的运动方程为
代入上述公式
xo vet yo 0 0
0 vet x 0 a coskt 0 y x vet y a coskt
相对运动轨迹为:
y
a
cos
kx ve
注意: 动点的牵连速度和牵连加速度是指动点运动的某一瞬时其牵连点的 速度和加速度. 由于牵连点是一个瞬时概念, 所以牵连速度和牵连加 速度也只是个瞬时概念. – 因为动系上的任何点只有在与动点重合 的 那一瞬间才能充当牵连点.
速度分析如图示.
Ve OA e tg
Vr
Va
A
Ve
R
ω
C O
e
Va Ve ctg e
动点A的绝对速度VA Va e 又, AB杆作平动 , A 点的速度就是
AB 杆的速度 . ★ 动点选取的两个原则:
( 1 ) 动点对于动系一定要有相对运动. ( 2 ) 相对运动的轨迹一定要容易确认.
entrainment
二维运动合成的解析描述:
设一动点M在一平面上运动, 运动方程为 x = x (t) 、y = y(t) ,
而此平面的运动方程为 xo xo t
yo yo t
动点M在动平面上的相对运动方程为 x' = x' (t) 、y' = y'(t) ,
任意时刻t , 动点M在 静系、动系的位置关系如图示: y
A
由约束条件和图示的几何位置, C 点的绝对
速度方向如图示 , C 点的牵连速度和相对速
度的可能方向如图示.
B
Va e
O Ve VC a
由 Va Ve Vr 在铅垂方向投影可得 :
Vr
Vr 0 Ve Va e
e
故, 顶杆向上的平动的速度是·e .
y
A
D
B
R
C
e t
我们也可以用建立运动方程的办法来解此题. 顶杆为直线平动, 其上任意一点的运动都可代表顶 杆的运动. 我们选择的顶杆上的D 点也代表整体的 运动. ( 选B 点也可以 )
x´
O
x
三种运动:
绝对运动
相对运动
牵连运动
y
y´
绝对运动 : 动点M 相对于定系( 地面 )
的运动.
相对运动 : 动点M 相对于动系的运动.
V0
( 绕动系上O'点的圆周运动 ) 牵连运动 : 动系相对于定系的运动.
( 车厢及轮轴O' 相对于地面
Ve
的运动 )
O´
M
Va Vr
▲注意: 动点的牵连速度
30º
Vr O
Va R
Ve Vr Va R
O1C 2R
1
Ve O1 R
2
( 方向如图示 )
例四. 习 7 – 10 ( p194)
平底顶杆凸轮机构, 凸轮的半径为R , 偏心距OC = e , 已知凸轮绕O 轴转动的角
速度为 , 求在OC 处水平位置时顶杆的速度.
解: 取凸轮上的C 点为动点 , 平底顶杆为动系
M1 A
Va Ve Vr
x
t 时刻:
t +Δt 时刻:
图示说明了点的速度在t 时刻的合成:
B
Va
B
设t 时刻, 动点M 的位置在M, 此刻,
M'
与动点重合的动系上的点为M1 , 由于
Vr
Ve
M1´
动点和动系的运动, 经过Δt 时间后, 动 点和t 时刻的牵连点分别运动到了M´ 和M1´. 无论动系的运动形式如何, 下
x´ 和牵连加速度并非为动点
本身所具有, 而是动点的
O
x
牵连点的速度和加速度.
牵连点的定义:
V a 动点的绝对速度和绝对加速度: a
a
在给定瞬时, 与动点重合 的固连于动系上的点, 称
V a 动点的相对速度和相对加速度: r
r
为该瞬时的牵连点.
V a 动点的牵连速度和牵连加速度: e
e
‘ 牵连 ’ 一词来源于法文
设OC 线与水平成任意角 = t 建立坐标o y
D 点的运动方程为 y R e sint y e cos t
度和牵连速度.
Va Ve Vr
例一. ( 书上 例 7 – 4 ) P 178 刨床的急回机构如图示. 曲柄OA = r , 以匀角速 ω 绕O轴转动. 设两轴的 间距O O1= l .
求: 当OA 运动到水平位置时摇杆O1 B的角速度1 = ?
Va B
取套筒上的A 点为动点, O1B杆为动系, 速度 分析如图所示
第七章
点的合成运动
§ 7 – 1 绝对运动 , 相对运动和牵连运动
一. 一个点, 两个系 , 三种运动
分析汽车轮子上一点M
动系: 车厢及轮轴O' ( 动坐标系
V0
O´- x´y´ 与之固连 ).
Ve
O´
M
Va Vr
定系: 地面 ( 静坐标系 O –x y 与之固连).