2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想转化与化归思想热点难点突破文含解析
2019年高考数学考试说明解读及复习备考策略(二)
2019年高考数学考试说明解读及复习备考策略(二)一、2019年高考数学考试大纲解读将2019年(文理)考试大纲与2018年相比，考核目标与要求、考试范围与要求等方面都没有变动，所以《2019年高考数学考试大纲》(文理)在指导思想、考核要求及考试范围方面会延续2018年的要求：1.坚持“一体四层四翼”的命题指导思想，明确“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能；2.知识、能力、个性品质和考查四个方面的要求都没有变化。
既全面又突出重点地考查数学基础知识，又注重学科内在联系和知识综合性，还要达到知识网络交会点处考查的深度。
强调“以能力立意”的同时，不忘对高层次理性思维的考查。
二、2019年高考数学考试说明变化2019年理科与2018年相比，除了“Ⅱ考核目标与要求”目录下的“一、数学基础知识”内容中的“(八)统计与概率”知识模块增加了“2018年全国Ⅰ卷理科第(10)题”和“2018年全国Ⅲ卷理科第(18)题”两个例题。
其他均没有变化。
2019年文科与2018年比，除了“Ⅱ考核目标与要求”目录下的“一、数学基础知识”内容中的“(八)统计与概率”知识模块增加了“2018年全国Ⅲ卷文科第(18)题”一个例题。
其他均没有变化。
三、2019年高考命题趋势分析2019年高考数学的命题仍将保持相对稳定，在新一轮高考改革到来之前，以平稳过渡的方式进入新课改。
1.试题结构稳定。
2.聚焦主干内容，突出关键能力。
高频考点依然不变，虽然2018年Ⅱ卷选填没有考查三视图，但Ⅰ、Ⅲ考查了，此考点2019年可能会出现，估计难度不大。
3.注重通性通法，淡化解题技巧。
4.降低计算难度，强调数学应用。
2018年全国卷Ⅱ解析几何题与立体几何题位置对调，18题以环境基础设施投资为背景，预计2019年高考数学试题运算不会非常繁杂，加强对数据的分析处理、空间想象能力、数学思想方法等的考查，加强考查学生的应用意识和创新意识。
5.更加注重数学文化。
2019年高考数学全国卷大纲及考试说明分析解读
空间想象能力、数据处理能力以及应用意识和创新 意识. 案例一 推理论证能力：推理是思维的基本形式之一， 它由前提和结论组成；论证是由已有的正确的前提 到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演 绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括形式划 分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直
接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再 运用演绎推理进行证明，演绎推理是考查的考点.
全国卷注重对数学通性通法的考查，试题 以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解 决这一类题的通用方法，也即一解多题.
（2018 全国Ⅱ理 20，12 分）
四 贴近生活实际 体现应用价值
全国卷在数学试题的设计上紧密结合社会实际和 考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中 的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强 应用的特点，很好地体现了“立德树人”的教育理 念. 例如（2017 全国Ⅰ理 12）
（2017 年版）的颁布，意味着 2019 年高考 命题必然会适度接轨新高考，体现从知识立 意、能力立意向素养立意转化的趋势，发挥 高考的导向作用.为此，我们需要深度解读 《考试大纲》所蕴含的命题导向、命题思路 以及更深层的含义，强化能力，提高素养， 科学备考. 《考试大纲》 、 《考试说 明》 、 《试题分析》三者的关系： 《考试大纲》 是高考的纲领性文件， 《考试说明》和《试题
例 3 （2019 益阳高三调研 12）
例 4 （2018 河南省实验中学月考一 12）
例5
六构建解决数学问题的模式识别能力
当遇到一道数学题目时，你的第一反 应是什么?当然是迅速形成解题方案.在经过 审题并且理解题意后，立即思考问题属于哪 一部分（代数部分、立体几何部分、三角部 分、解析几何部分等等） 、哪一章节? 与这 一章节的哪个类型比较接近?解决这个类型 有哪些方法?哪个方法可以首先拿来试用?这
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想转化与化归思想热点难点突破文含解析
分类讨论思想、转化与化归思想1.如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A.a 1a 8>a 4a 5B.a 1a 8<a 4a 5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5 D .a 1a 8＝a 4a 5答案 B解析 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立，即a 1a 8<a 4a 5.2.设函数f ()＝⎩⎨⎧ 3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B.[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1， ＋∞) 答案 C解析 由f (f (a ))＝2f (a )得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1； 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C. 3.过双曲线2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案 D解析 ∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A.是变量且有最大值B.是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值D.是常数答案 D解析 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值.由C 1D 1∥EF ，C 1D 1⊄平面EFQ ，EF ⊂平面EFQ ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面体PQEF 的体积为常数.6. 设点P (，y )满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －x y 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D.[－1，1] 答案 B解析 作出不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2，1)，B (1，2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t ，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.7.已知函数f ()＝⎩⎨⎧ ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f ()－f (－)＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是( )A.(0，2e)B.(0，e)C.(0，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 8.已知函数f ()＝(e －e －)－cos 的定义域为[－3，3]，则不等式f (2＋1)>f (－2)的解集为( )A.[－2，－1]B.[－2，2]C.[－2，－1)∪(1，2]D.(－2，－1)∪(1，2)答案 C解析 因为f (－)＝－(e －－e)－cos(－)＝(e －e －)－cos ＝f ()，所以函数f ()为偶函数，令g ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，易知g ()在[0，3]上为增函数，令h ()＝－cos ，易知h ()在[0，3]上为增函数，故函数f ()＝(e －e －)－cos 在[0，3]上为增函数，所以f (2＋1)>f (－2)可变形为f (2＋1)>f (2)，所以2<2＋1≤3，解得－2≤<－1或1<≤2，故不等式f (2＋1)>f (－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].9.已知函数f ()＝a ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 当a >1时，函数f ()＝a ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a <1时，函数f ()＝a ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎨⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32. 10.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________. 答案 72或2 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，所以|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，且|PF 1|>|PF 2|，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2. 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2. 11.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ，∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b 2＋a －b 2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴y 2∈[16，20]，∴y ∈[4，25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4，25]. ∴|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2达到最大值， 即∠F 1BF 2≥120°时，椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°， 当∠F 1BF 2＝120°时，e ＝c a ＝sin 60°＝32，而椭圆越扁，∠F 1BF 2才可能越大， 椭圆越扁，则其离心率越接近1，所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.。
高考数学复习 分类讨论思想、转化与化归思想
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。
2019版高考数学二轮复习第一部分方法、思想解读专题对点练3分类讨论思想、转化与化归思想文
专题对点练 3分类议论思想、转变与化归思想一、选择题1. 设函数 f ( x ) =若 f ( a ) >1, 则实数 a 的取值范围是 ()A . (0,2)B . (0, +∞) +∞.(2, +∞).- ∞,0) ∪ (2, )CD (2 . 函数5的最大值为 ()y=A . 9B . 12C .D . 33 . 在等比数列 { a } 中 , 7,前3 项的和21, 则公比 q 的值是 ()n33A.1B. -C.1 或-D. - 1 或4. 若 m 是 2 和 8 的等比中项 , 则圆锥曲线 x 2+ =1 的离心率是 ()A .B .CD..5. 已知中心在座标原点 , 焦点在座标轴上的双曲线的渐近线方程为 y=±x , 则该双曲线的离心率为( ) A. B.C.D.6. 若 a>0, 且 a ≠1, p=log a ( a 3+1), q=log a ( a 2+1), 则 p , q 的大小关系是 ()A. p=qB. p<qC. p >qD.当 a>1 时, p>q ; 当 0<a<1 时, p<q7 . 若函数 f ( ) 3 2 3 在区间 [1,4] 上单一递减 , 则实数 t 的取值范围是 ()x =x -tx + xAB (- ∞ ,3)..CD [3, +∞ )..8. (2018 安徽黄山一模 ) 已知函数 f ( x ) =e |x| +|x|. 若对于 x 的方程 f ( x ) =k 有两个不一样的实根 , 则实数 k 的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(1, +∞)C.( - 1,0)D.( -∞, -1)二、填空题 9. 已知函数 f ( x ) =a x +b ( a>0, a ≠1) 的定义域和值域都是 [ - 1,0], 则 a+b= . 10. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 且当 x ≥0时 , f ( x ) =x 2, 若对随意 x ∈ [ a , a+2], f ( x+a ) ≥ f (3 x+1)恒建立 , 则实数 a 的取值范围是.11. 函数 y= 的最小值为 .12. 在三棱锥 P-ABC 中, PA , PB , PC 两两相互垂直 , 且 AB=4, AC=5, 则 BC 的取值范围是 .三、解答题13. 已知 a ≥3, 函数 F ( x ) =min{2 |x- 1| , x 2- 2ax+4 a- 2}, 此中 min{ p , q } =(1) 求使得等式 F ( x ) =x 2- 2ax+4a- 2 建立的 x 的取值范围 ;(2) ①求 F ( x ) 的最小值 m ( a );②求 F ( x ) 在区间 [0,6] 上的最大值 M ( a ) .分析若 2a- 3>1, 解得a>2, 与a<0专题对点练 3 答案1. B矛盾,若>1,解得 a>0,故 a 的范围是(0, +∞) .2. D分析设 a=(5,1),b=(),∵a·b≤| a|·|b| ,∴y=5=3.当且仅当 5,即 x=时等号建立 .时 , 则a =a =a =7, S =3a =21, 切合要求.3. C分析当公比 q=11233112=21,解得 q=- (q=1舍去) .当公比 q≠1时,则 a q =7,综上可知 , q=1 或q=-.24. D分析因为 m是2和8的等比中项, 因此m=2×8=16, 因此m=±4.当4时 , 圆锥曲线2 1 是椭圆 , 其离心率e=;m=+x =当 4 时,圆锥曲线2 1 是双曲线 , 其离心率e=.m=-x -=综上知 , 选项 D正确.5. C分析当焦点在 x 轴上时,, 此时离心率e=; 当焦点在y轴上时 ,, 此时离心率e=.应选C.x326C分析当01时,可知和log在其定义域上均为减函数 , 则11, .y=a x<a<a a + <a +∴log a( a3+1) >log a( a2+1),即 p>q.当 a>1时 , y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数, 则a3+1>a2+1,∴log a3a2即 p>q.( a +1)>log ( a +1),综上可得 p>q.7. C分析 f'( x) =3x2- 2tx+ 3, 因为f ( x) 在区间 [1,4]上单一递减 , 则有f'( x) ≤0在[1,4]上恒建立 ,即 3x2- 2tx+ 3≤0, 即t≥在[1,4]上恒建立 , 因为y=在 [1,4]上单一递加 , 因此t ≥,应选 C.8. B分析方程 f ( x) =k 化为方程e|x| =k-|x|.令 y1=e|x|, y2=k-|x|.y2=k-|x| 表示斜率为 1 或-1 的平行折线系.当折线与曲线 y=e|x|恰巧有一个公共点时, k=1.由图知 , 对于x的方程f ( x) =k有两个不一样的实根时, 实数k的取值范围是 (1, +∞ ) .应选 B.9 .-分析当 1 时,函数f()x在[-1,0] 上为增函数 , 由题意得无解.当 0 1a>x= a +b<a<时, 函数f ( x)=a x+b 在[ - 1,0]上为减函数,由题意得解得因此 a+b=-.10.( -∞, - 5]分析因为当 x≥0时, f ( x) =x2,因此此时函数 f ( x)在[0, +∞)上单一递加 .又因为 f ( x)是定义在R上的奇函数,且 f (0) =0,因此 f ( x)在R上单一递加 .若对随意 x∈[ a, a+2],不等式 f ( x+a)≥ f (3 x+1)恒建立,则 x+a≥3x+1恒建立,即 a≥2x+1恒建立,因为 x∈[ a, a+2],因此 (21) max 2(2)+1 2 5,x+=a+= a+即 a≥2a+5,解得 a≤- 5.即实数 a 的取值范围是( - ∞, -5] .11.分析原函数等价于y=, 即求x轴上一点到A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值. 将点 A(1,1)对于 x 轴对称,得 A' (1,- 1),连结 A'B 交 x 轴于点 P,则线段 A'B 的值就是所求的最小值, 即|A'B|=.12. (3,)分析如下图 , 问题等价于长方体中, 棱长分别为x, y, z,且 x2+y2 =16, x2+z2=25,求的取值范围 , 转变为y2+z2=41- 2x2, ∵x2+y2=16, ∴0<x<4,∴ 41- 2x2∈ (9,41), 即BC的取值范围是(3,) .13.解 (1)因为 a≥3,则当 x≤1时,( x2- 2ax+4a- 2) - 2|x- 1|=x 2 +2( a- 1)(2 -x ) >0,当 x>1时,( x2 -2ax+4a- 2)- 2|x- 1|= ( x- 2)( x- 2a) . 因此,使得等式 F( x) =x2- 2ax+4a- 2建立的 x 的取值范围为[2,2 a] .(2)①设函数 f ( x) =2|x- 1| , g( x) =x2- 2ax+4a- 2,则 f ( x)min=f (1) =0, g( x)min=g( a) =-a2+4a- 2,因此 , 由F( x) 的定义知m( a) =min{ f (1), g ( a)}, 即m( a) =②当 0≤x≤2时 , F( x) ≤f ( x) ≤max{ f (0), f (2)} =2=F(2),当 2≤x≤6时 , F( x) ≤g( x) ≤max{ g(2), g(6)}=max{2,34 - 8a} =max{F(2), F(6)} .因此 , M( a) =。
2019年高考数学全国卷大纲及考试说明分析解读
全国卷注重对数学通性通法的考查，试题 以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解 决这一类题的通用方法，也即一解多题.
（2018 全国Ⅱ理 20，12 分）
四 贴近生活实际 体现应用价值
全国卷在数学试题的设计上紧密结合社会实际和 考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中 的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强 应用的特点，很好地体现了“立德树人”的教育理 念. 例如（2017 全国Ⅰ理 12）
例 3 （2019 益阳高三调研 12）
例 4 （2018 河南省实验中学月考一 12）
例5
六构建解决数学问题的模式识别能力
当遇到一道数学题目时，你的第一反 应是什么?当然是迅速形成解题方案.在经过 审题并且理解题意后，立即思考问题属于哪 一部分（代数部分、立体几何部分、三角部 分、解析几何部分等等） 、哪一章节? 与这 一章节的哪个类型比较接近?解决这个类型 有哪些方法?哪个方法可以首先拿来试用?这
例如（2017 全国Ⅰ理 20）
2.综合考查素养
全国卷中试题的问题情境更加丰富，设 问方式更加新颖，综合、灵活地考查了考生 的数学素养及学习新知识的能力.
例1 （2018 全国Ⅲ理7 文9 ）
三 注重能力立意 突出通性通法
1.注重能力立意 全国卷以能力立意为核心，重点考查考 生的数学能力.抽象概括能力、推理论证能力、 空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力以 及应用意识和创新意识在试卷中都得到了较好的 考查. 2.突出通性通法
是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本 数学思想. 解读一 参数思维：是指在解题过程中，通过 适当引入一些与题目研究的数学对象发生联 系的新变量（参数） ，以此作为媒介，再进 行分析和综合，从而解决问题.运用参数解题 的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23选择题填空题的解法热点难点突破理含解析20190330283
选择题、填空题的解法1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )A．(0,8) B．{3,5,7}C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}答案 D解析∵M＝{x|0<x<8}，又N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B．所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电C．高一参加军训的有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n－1＋1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式3．1设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S13>0，S14<0，若a k·a k＋1<0，则k等于( ) A．6 B．7 C．13 D．14答案 B解析因为{a n}为等差数列，S13＝13a7，S14＝7(a7＋a8)，所以a7>0，a8<0，a7·a8<0，所以k＝7.4．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(∁R A)∩B为( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案 C解析因为A＝{y|y＝sin x，x∈R}＝[－1,1]，B＝{x|y＝lg x}＝(0，＋∞)，所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)．5．若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c答案 C解析 对于A ：由于0<c <1，∴函数y ＝x c 在(1，＋∞)上单调递增，则a >b >1⇒a c >b c ，故A 错；对于B ：由于－1<c －1<0，∴函数y ＝xc －1在(1，＋∞)上单调递减， ∴a >b >1⇔a c －1<b c －1⇔ba c <ab c，故B 错； 对于C ：要比较a log b c 和b log a c ，只需比较a ln c ln b 和b ln c ln a ，只需比较ln c b ln b 和ln c a ln a， 只需比较b ln b 和a ln a .构造函数f (x )＝x ln x (x >1)，则f ′(x )＝ln x ＋1>1>0，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此f (a )>f (b )>0⇒a ln a >b ln b >0⇒1a ln a <1b ln b， 又由0<c <1，得ln c <0，∴ln c a ln a >ln c b ln b ⇒b log a c >a log b c ，故C 正确； 对于D ：要比较log a c 和log b c ， 只需比较ln c ln a 和ln c ln b， 而函数y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，故a >b >1⇔ln a >ln b >0⇒1ln a <1ln b， 又由0<c <1，得ln c <0，∴ln c ln a >ln c ln b⇒log a c >log b c ，故D 错，故选C. 6．设有两个命题，命题p ：关于x 的不等式(x －3)·x 2－4x ＋3≥0的解集为{x |x ≥3}；命题q ：若函数y＝kx 2－kx －8的值恒小于0，则－32<k <0，那么( )A ．“p 且q ”为真命题B ．“p 或q ”为真命题C ．“綈p ”为真命题D ．“綈q ”为假命题 答案 C解析 不等式(x －3)·x 2－4x ＋3≥0的解集为{x |x ≥3或x ＝1}，所以命题p 为假命题．若函数y ＝kx 2－kx －8的值恒小于0，则－32<k ≤0，所以命题q 也是假命题，所以“綈p ”为真命题．7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5≤0，3x －y ≥0，x －2y ≤0的解集记为D ，z ＝y ＋1x ＋1，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，z ≥1; p 2：∃(x 0，y 0)∈D ，z ≥1；p 3：∀(x ，y )∈D ，z ≤2; p 4：∃(x 0，y 0)∈D ，z <0.其中为真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 3答案 D8．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 可知，当a ＝0时，原式＝1>0恒成立，当a ≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.9．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案 B解析 依题意得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b ， 由a >0，b >0得10＋3b a ＋3a b ≥16，故m ≤16(当且仅当3b a ＝3a b，即a ＝b 时，等号成立)，即m 的最大值为16. 10．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．12答案 C 解析 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0 的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上的动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.故选C.11．复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则复数z 的共轭复数为( )A ．－1－3iB ．－1＋3iC ．1＋3iD ．1－3i答案 A解析 ∵z (2－i)＝1＋7i ，∴z ＝1＋7i 2－i ＝＋＋2－i 2＋i ＝－5＋15i 5＝－1＋3i ， 共轭复数为－1－3i.12．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 2＝3＋2i ，则z 1·z 2等于( )A ．13iB ．－13iC ．13＋12iD ．12＋13i 答案 A解析 由题意得z 1＝2＋3i ，故z 1·z 2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.13．z ＝m ＋i 1－i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 z ＝m ＋＋1－i 1＋i ＝m －1＋m ＋2，由于m －1<m ＋1，故不可能在第四象限．30．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )>0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π8，－π24 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π12，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12 答案 B解析 由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4时，32x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＋φ，3π8＋φ， 因为f (x )>0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ>12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －3π16＋φ≥－π3＋2k π，3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π8，所以－π8<φ≤－π24，故选B. 31．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．答案 1解析 根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6， 所以周期T ＝π，ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又0<φ<π， 所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1. 32．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 33．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角B 为锐角，且sin 2B ＝8sin A ·sin C ，则b a ＋c 的取值范围为____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，25534．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是______________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25] 解析 ∵集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，显然不成立， 当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5a (x －a )(x ＋a )<0， 若a <5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <3<5a ，a ≥1，解得1≤a <53； 若a >5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件．综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 35．在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.猜想若正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是_______________________．答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.36．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．答案 32解析 由题意得log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，由程序框图的计算公式，可得 S ＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋[log 2n －log 2(n ＋1)]＝1－log 2(n ＋1)，由S <－4，可得1－log 2(n ＋1)<－4⇒log 2(n ＋1)>5，解得n >31，所以输出的n 为32.37．已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案 233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号， ∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题函数与方程思想数形结合思想教学案文
函数与方程思想、数形结合思想【2019年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 例1.若0<x 1<x 2<1，则( )A.21e e x x ->ln x 2－ln x 1B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1C.1221e >e x x x xD.1221e <e x x x x答案 C解析 设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确； 设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，∴1221e >e x x x x ，故选C.例2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g xex>1的解集为________. 答案 (－∞，0)例3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －＋x －2>0，x －＋x －2>0，解得x >2或x <－1.例4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 答案 [－6，－2]解析 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3.令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x4＝－x －x ＋x4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 例5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23答案 D解析 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.例6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 答案 C例7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 答案 12解析 由已知得， 等差数列{a n }的公差d >0， 设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称， 故S n 取最小值时n 的值为12.例8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103，∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9. 题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例9.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.例10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D. 3 答案 B解析 因为∠PAQ ＝60°，|AP |＝|AQ |， 所以|AP |＝|AQ |＝|PQ |，设|AQ |＝2R ， 又OQ →＝3OP →，则|OP |＝12|PQ |＝R .双曲线C 的渐近线方程是y ＝b ax ，A (a ，0)，所以点A 到直线y ＝b ax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－2＝aba 2＋b 2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)， 在△OQA 中，由余弦定理得，例10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 答案 D解析 如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点， 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ， 所以|PF 2|＝4a .在Rt△F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝c a＝ 5.例11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ， 由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |， 当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12. 例12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________.答案 2 2解析 连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l 时，S 四边形PACB 有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题22不等式选讲教学案理含解析.pdf
不等式选讲【2019年高考考纲解读】本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b2ab 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．a ＋b ＋c33abc 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，a 1＋a 2＋…＋a n nn a 1a 2…a n当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()≥(i b i)2，当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一n∑i ＝1a 2i (n ∑i ＝1b2i )n∑i ＝1a 个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链≤≤≤(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．11a ＋1bab a ＋b2a 2＋b 227．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.【题型示例】题型一 含绝对值不等式的解法【例1】（2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．【变式探究】已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，由f (x )≥4－|x －4|，无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝Error!由|h (x )|≤2，当x ≤0或x ≥a 时，显然不成立．当0<x <a 时，由|4x －2a |≤2，解得≤x ≤.a －12a ＋12又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以Error!于是a ＝3.【感悟提升】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a ≥f (x )恒成立，则a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立，则a ≤f (x )min ”求字母参数的取值范围．【举一反三】已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求＋的最大值．at ＋12bt 解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则解得a ＝－3，b ＝1.{－b －a ＝2，b －a ＝4，)(2)＋－3t ＋12t＝＋≤34－t t [（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝2＝4，4－t ＋t 当且仅当＝，4－t 3t1即t ＝1时等号成立，故(＋)max ＝4.－3t ＋12t 【举一反三】已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为.{x|23<x <2)}(2)由题设可得，f (x )＝{x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .)所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，(2a －13，0)△ABC 的面积为(a ＋1)2.23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．题型二 不等式的证明【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋.|x －3|(1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：＋≥1.a 2a ＋1b 2b ＋1(2)证明 由绝对值不等式的性质，得|x －1|＋≥＝2，|x －3|| 1－x ＋(x －3)|当且仅当(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3时，等号成立，∴c ＝2，即a ＋b ＝2.令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4，＋＝＋＝m ＋n ＋＋－4＝≥＝1，a 2a ＋1b 2b ＋1(m －1)2mn －1 2n 1m 1n 4mn4(m ＋n 2)2当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立，∴原不等式得证．【感悟提升】(1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．【变式探究】已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集．(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |.(1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6.当x <－时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，13由－6x <6，解得x >－1，∴－1<x <－；13当－≤x ≤时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，1313又2<6恒成立，∴－≤x ≤；1313当x >时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，13由6x <6，解得x <1，∴<x <1.13综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 2－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab )(ab ＋1)＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)．由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1，∴a 2－1<0，b 2－1<0，∴(a 2－1)(b 2－1)>0，∴>|a ＋b |.|ab ＋1|【变式探究】【2017课标II ，理23】已知。
2019年高考数学考纲解读专题23分类讨论思想转化与化归思想热点难点突破文含解析
分类讨论思想、转化与化归思想1.如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A.a 1a 8>a 4a 5B.a 1a 8<a 4a 5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5答案 B解析 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立，即a 1a 8<a 4a 5.2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1， ＋∞) 答案 C解析 由f (f (a ))＝2f (a )得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1； 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C. 3.过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n－1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案 D解析 ∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A.是变量且有最大值B.是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值D.是常数答案 D解析 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值.由C 1D 1∥EF ，C 1D 1⊄平面EFQ ，EF ⊂平面EFQ ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面体PQEF 的体积为常数.6. 设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －x y的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D.[－1，1] 答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2，1)，B (1，2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t ，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ，x ＞0，m x，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是( )A.(0，2e)B.(0，e)C.(0，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e8.已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3，3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( )A.[－2，－1]B.[－2，2]C.[－2，－1)∪(1，2]D.(－2，－1)∪(1，2)答案 C解析 因为f (－x )＝－x (e －x －e x )－cos(－x )＝x (e x －e －x)－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，令g (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，易知g (x )在[0，3]上为增函数，令h (x )＝－cos x ，易知h (x )在[0，3]上为增函数，故函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 在[0，3]上为增函数，所以f (x 2＋1)>f (－2)可变形为f (x 2＋1)>f (2)，所以2<x 2＋1≤3，解得－2≤x <－1或1<x ≤2，故不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].9.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32. 10.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________. 答案 72或2 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，所以|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，且|PF 1|>|PF 2|，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2. 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2. 11.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________. 答案 4 25解析 设a ，b 的夹角为θ，∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b 2＋a －b 2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ.令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴y 2∈[16，20]，∴y ∈[4，25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4，25].∴|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2达到最大值， 即∠F 1BF 2≥120°时，椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°， 当∠F 1BF 2＝120°时，e ＝c a ＝sin 60°＝32，而椭圆越扁，∠F 1BF 2才可能越大， 椭圆越扁，则其离心率越接近1， 所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.。
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分类讨论思想、转化与化归思想
1.如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )
A.a 1a 8>a 4a 5
B.a 1a 8<a 4a 5
C.a 1＋a 8>a 4＋a 5
D.a 1a 8＝a 4a 5
答案 B
解析 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立，即a 1a 8<a 4a 5.
2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1，x<1，2x ，x≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1
B.[0，1]
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ D.[1， ＋∞) 答案 C
解析 由f (f (a ))＝2f (a )得f (a )≥1.
当a <1时，有3a －1≥1，
∴a ≥23，∴23
≤a <1； 当a ≥1时，有2a
≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.
综上，a ≥23
，故选C. 3.过双曲线x 2－y22
＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A.1条 B.2条C.3条 D.4条
4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )
A.等差数列
B.等比数列
C.等差数列或等比数列
D.以上都不对
答案 D
解析 ∵S n ＝p n －1，
∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)，
当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；
当p ＝1时，{a n }是等差数列；
当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.
5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积(
)
A.是变量且有最大值
B.是变量且有最小值
C.是变量且有最大值和最小值
D.是常数
答案 D
解析 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值.由C 1D 1∥EF ，C 1D 1⊄平面EFQ ，EF ⊂平面EFQ ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面体PQEF 的体积为常数.
6. 设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x≥1，y≥1，则y x －x y
的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1 D.[－1，1] 答案 B
解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x≥1，y≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2，
1)，B (1，2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t
，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，32.
7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ，x ＞0，m x
，x<0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是( )
A.(0，2e)
B.(0，e)
C.(0，1)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e
8.已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3，3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( )
A.[－2，－1]
B.[－2，2]
C.[－2，－1)∪(1，2]
D.(－2，－1)∪(1，2)
答案 C
解析 因为f (－x )＝－x (e －x －e x )－cos(－x )＝x (e x －e －x )－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，令g (x )
＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫ex －1ex ，易知g (x )在[0，3]上为增函数，令h (x )＝－cos x ，易知h (x )在[0，3]上为增函数，故函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 在[0，3]上为增函数，所以f (x 2＋1)>f (－2)可变形为f (x 2＋1)>f (2)，所以2<x 2＋1≤3，解得－2≤x <－1或1<x ≤2，故不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].
9.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.
答案 －32
解析 当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝－1，a0＋b ＝0，无解.当0<a <1
时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝0，a0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b
＝－32
. 10.设F 1，F 2为椭圆x29＋y24
＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF1||PF2|
的值为________. 答案 72
或2 解析 若∠PF 2F 1＝90°，
则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2
，
又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，
所以|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF1||PF2|＝72
. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，
所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，且|PF 1|>|PF 2|，
所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF1||PF2|
＝2. 综上知，|PF1||PF2|＝72
或2. 11.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________. 答案 4 2 5
解析 设a ，b 的夹角为θ，
∵|a |＝1，|b |＝2，
∴|a ＋b |＋|a －b |＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!.
令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，
则y 2＝10＋225－16cos2θ.
∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，
∴y 2∈[16，20]，
∴y ∈[4，25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4，25].
∴|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.
12.已知椭圆C ：x2a2＋y2b2
＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________.
答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，1 解析 当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2达到最大值， 即∠F 1BF 2≥120°时，椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°， 当∠F 1BF 2＝120°时，e ＝c a ＝sin 60°＝32
，
而椭圆越扁，∠F 1BF 2才可能越大，
椭圆越扁，则其离心率越接近1，
所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎢
⎡⎭⎪⎫32，1.。