罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位
罗素的分析哲学
罗素的分析哲学罗素（Bertrand Russell）是20世纪最重要的哲学家之一，他对分析哲学的发展做出了巨大贡献。
分析哲学是一种哲学方法，强调通过逻辑分析和语言分析来解决哲学问题。
本文将介绍罗素的分析哲学思想，并探讨其对哲学领域的影响。
一、逻辑原子主义罗素是逻辑原子主义的倡导者之一。
逻辑原子主义认为，语言和思维可以通过逻辑原子的组合来解释。
逻辑原子是最基本的概念，不能再分解。
通过逻辑原子的组合，可以构建出复杂的概念和命题。
罗素认为，通过逻辑原子主义可以解决哲学中的一些难题，如语言的意义和真理的问题。
二、逻辑与数学的关系罗素认为，逻辑和数学是密切相关的。
他通过逻辑的研究，发展了数理逻辑，并提出了著名的罗素悖论。
罗素悖论是一个自指的命题，它引发了对集合论的深入思考。
罗素通过逻辑的分析，揭示了数学的基本原理和结构，对数学的发展产生了重要影响。
三、分析哲学与科学罗素认为，分析哲学与科学是紧密相关的。
他强调科学方法的重要性，认为通过科学方法可以解决哲学问题。
罗素的分析哲学对科学哲学的发展产生了深远影响，推动了科学哲学的兴起。
四、逻辑与语言罗素认为，逻辑和语言是密不可分的。
他通过逻辑分析语言的结构和意义，提出了逻辑语义学的概念。
逻辑语义学研究语言的意义和真理条件，对语言学和哲学的发展产生了重要影响。
五、道德哲学罗素对道德哲学也做出了重要贡献。
他提出了一种基于理性的道德观，认为道德是基于人类的理性和共同利益的。
罗素的道德观对伦理学的发展产生了重要影响。
六、对哲学的影响罗素的分析哲学对哲学领域产生了深远影响。
他通过逻辑分析和语言分析，解决了哲学中的一些难题，推动了哲学的发展。
罗素的思想对逻辑学、语言学、科学哲学和伦理学等领域产生了重要影响。
总结：罗素的分析哲学是20世纪最重要的哲学思潮之一。
他通过逻辑分析和语言分析，解决了哲学中的一些难题，推动了哲学的发展。
罗素的思想对逻辑学、语言学、科学哲学和伦理学等领域产生了重要影响。
罗素
罗素的逻辑原子主义的基本论点是，世界是由一些简单的特殊事实构成的，它们只有简单的性质和相互之间的简单的关系，因此了解任何事物或主题的实质的途径是分析，直到无可再分析的“逻辑原子”为止。逻辑原子并不是小粒的物质，而是构成事物的所谓观念。罗素的这一套理论，对20年代中叶出现的维也纳学派以及30年代出现的逻辑语义学有着巨大的影响。
罗素11岁时，跟着他的哥哥学习欧氏几何学，当时他只能接受定义，却怀疑公理的可靠性。这种怀疑决定了罗素哲学生涯的风格和目标，即以怀疑主义和谨慎的风格，探求“我们能知道多少以及具有何种程度”的确定性和可疑性。
1890年10月，罗素考入剑桥大学三一学院，从Байду номын сангаас进入空气清新、思想活跃的教育园地。然而老师对他影响不大，倒是与同学的交往使他受益颇深。不久，他同学校的著名人物怀特海、莫尔、麦克塔格特、经济学家凯恩斯等人结识，很快他便成为他们中间最受欢迎的一员。在第三学年时，罗素虽以优异成绩通过学位考试，却发誓再也不念这种只注重技巧而不重视基础理论证明的数学了，改学哲学。他立志要像黑格尔那样，建立一套哲学体系，献身于哲学事业。
浅析罗素的逻辑学和分析哲学
浅析罗素的逻辑学和分析哲学罗素（Bertrand Russell）是英国哲学家、数学家和逻辑学家。
他在哲学和数学方面取得了巨大的成就，特别是在逻辑学和分析哲学方面。
本文将浅析罗素的逻辑学和分析哲学。
一、罗素的逻辑学罗素是逻辑学的著名先驱，他的贡献之一是在逻辑学中引入了集合论的概念，将逻辑学与数学联系起来。
他的集合论方法对于数学、逻辑学和哲学的发展都有着深远的影响。
罗素还提出了著名的“罗素悖论”，这是一个逻辑上的悖论。
在集合论中，罗素提出了一个问题：是否存在一个集合，它包含所有不包含自身的集合？如果这个集合存在，那么我们可以把它加进去，就会产生一个新的集合，这个集合既包含自身，又不包含自身，这是一个逻辑上的悖论。
罗素悖论的出现揭示了集合论的缺陷，并引发了人们对于逻辑学和数学基础的深入思考。
罗素为解决悖论问题提出了一个新的集合论，被称为“类型论”，它对于集合的分类和定义做出了更加严格的规定，避免了悖论问题的出现。
二、罗素的分析哲学罗素还是分析哲学运动的重要代表之一。
分析哲学起源于20世纪初期的欧洲和美国，它把哲学问题视为语言问题，认为哲学问题的核心是语言问题，而不是本体论或形而上学问题。
分析哲学以逻辑思维为核心方法，以精炼、明确和准确的语言表达为目标，强调严格的思维和逻辑分析，摒弃了大量过去哲学的繁琐、晦涩和无意义的问题。
罗素认为，哲学的最终目的是揭示真理。
他认为，真理是一种符合事实的表达式，这种表达式必须具有清晰、准确并严密的表达方式，以确保其真实性。
他还提出了语言分析的概念，认为哲学问题可以通过深入剖析语言来得到解决。
罗素对于分析哲学和逻辑学的贡献，被认为是哲学史上最伟大的贡献之一。
他的思想影响了20世纪的哲学界，也为今天的哲学研究提供了重要的思想资源。
三、结论罗素在逻辑学和分析哲学方面的贡献，深刻地影响了哲学和数学领域的发展。
他的哲学思想和逻辑方法，对于今天的哲学研究和学术研究仍然具有重要的指导意义。
罗素逻辑构成原则
罗素逻辑构成原则引言：罗素逻辑构成原则是由数学家、哲学家罗素提出的一套逻辑思维的基本原则。
这些原则被广泛应用于数理逻辑、哲学推理、科学研究等领域。
本文将详细介绍罗素逻辑构成原则的基本概念、应用场景以及其在现实生活中的重要性。
一、非矛盾原则非矛盾原则是指一个命题与其否定命题不可能同时为真。
换句话说，一个命题要么为真，要么为假，不存在中间状态。
这个原则在逻辑推理中起到了至关重要的作用，它保证了推理过程的准确性和一致性。
例如，当我们面对一个陈述时，如果我们发现它与已知的事实相矛盾，我们就可以排除该陈述的真实性。
二、排中律排中律是指一个命题与其否定命题必然有一个为真。
这意味着在任何情况下，一个命题要么为真，要么为假，不存在其他可能性。
排中律在数理逻辑中常用于证明或推理过程中的假设，它确保了我们能够得到确定的结论。
三、第三中间原则第三中间原则是指一个命题与其否定命题之外，还存在第三个可能性。
这个原则强调了在逻辑推理中不仅仅局限于二元对立的观点，还要考虑到其他可能的情况。
第三中间原则在哲学、科学研究和辩论中起到了重要的作用，它使我们能够更全面地分析和探讨问题。
四、爆炸律爆炸律是指从矛盾前提可以推导出任何命题的原则。
换句话说，如果我们从一个矛盾的前提出发，我们可以得到任何命题。
这个原则在逻辑学中用于证明一个命题的真假，它显示了矛盾的前提会导致推理过程的混乱和不确定性。
五、同一律同一律是指一个命题与其自身相等。
这个原则保证了逻辑推理的一致性和稳定性。
在逻辑推理中，我们可以根据同一律来简化复杂的命题，使得推理过程更加简洁和清晰。
六、替换律替换律是指在一个命题中，如果两个子命题等价，那么可以互相替代。
这个原则在逻辑推理中经常用于简化复杂的命题，使得推理过程更加高效。
替换律可以帮助我们找到更简单、更直接的推理路径，从而更好地理解和解决问题。
七、联结词的运用联结词是指用来连接命题的词语，如“与”、“或”、“非”等。
在逻辑推理中，联结词的运用非常重要，它可以帮助我们构建复杂的命题和推理关系。
罗素简介——精选推荐
罗素简介1950年，当罗素获得该年度诺贝尔⽂学奖的消息传出时，没有⼈感到吃惊--作为⼀个涉猎众多社会科学领域并取得较⾼研究成果的哲学家、数学家、社会学家，罗素在诺贝尔⽂学奖设⽴的第50周年荣获该奖是当之⽆愧的。
伯特兰亚瑟威廉罗素（Bertrand Arthur Wieeiam Russel，1872--1970），⽆疑是我们这个时代最伟⼤的学者。
纵观他的⼀⽣，我们可以这么说，他是当今时代理性主义和⼈道主义的代⾔⼈，是西⽅思想解放与⾔论⾃由的见证⼈，其哲学真正体现了诺贝尔先⽣当初创设诺贝尔⽂学奖的初哀，他使诺贝尔的思想在新的时代得到新的光⼤：他们对⼈⽣持有相似的看法，两⼈都不但是怀疑论者，⽽且都怀有乌托邦主义的⾼尚理想，并且真正由于对现实社会的悲观看法⽽特别强调⼈类⾏为的理性化。
1872年，罗素出⽣在英国威尔⼠莫⽭斯郡⼀个贵族世家。
幼年时⽗母双亡，是祖母将他抚育成⼈。
1890年他考⼈剑桥⼤学攻读数学，三年后转攻哲学。
1908年成为剑桥⼤学讲师（后任研究员），这⼀年，他与⼈合作开始写作著名的《数学原理》，三年后，《数学原理》发表。
作为哲学家，罗素的主要贡献在于数理逻辑⽅⾯，是逻辑原⼦论和新实在论的主要创始⼈之⼀。
以此为基础的现代分析哲学在西⽅近代哲学史上具有重要的地位。
作为社会活动家，他⼀⽣追求真理，积极参加社会政治活动，为维护世界和平，反对侵略战争，多次发表声明和演讲。
⼆战期间，还因为反战坐了六个⽉的牢，但他仍不改此哀。
罗素作为他⽣活的时代的思想界的泰⽃，⼀直是当时全世界注意与争论的中⼼⼈物，研究。
著述并应付多种挑战成了他⽣活中最重要的责任。
在⼈类知识和数理逻辑这两个领域，他的创获也是空前的。
在研究的同时，他写下了众多著作，⼏乎涉及社会科学的各个领域，如《哲学问题》（1912）、《社会重建原理》（1916）、《神秘主义与逻辑》（1918）、《⼼的分析》（1921）、《婚姻与道德》（1929）、《教育与社会秩序》（1932）、《权⼒论》（1938）等。
罗素的逻辑原子主义
罗素的逻辑原子主义逻辑原子主义是英国哲学家罗素在20世纪初提出的一种哲学思想，它对于逻辑和语言的研究产生了深远的影响。
逻辑原子主义认为，语言可以通过将复杂的概念分解为简单的基本概念来理解和描述世界。
本文将探讨罗素的逻辑原子主义的核心概念以及其对哲学和语言学的影响。
首先，罗素的逻辑原子主义强调了语言的基本单位，即逻辑原子。
逻辑原子是无法再分解的最小单位，它们是构成语言和思维的基础。
罗素认为，通过将复杂的概念分解为逻辑原子，我们可以更清晰地理解和描述现实世界。
这种分解过程类似于化学中的原子理论，将复杂的物质分解为最基本的元素。
逻辑原子主义的核心思想是，通过逻辑原子的组合和关系，我们可以构建出整个语言和思维系统。
其次，逻辑原子主义对于语言和概念的研究产生了深远的影响。
罗素认为，语言是思维的工具，而概念是语言的基本单位。
逻辑原子主义强调了概念的重要性，它们是我们理解和描述世界的基础。
通过将复杂的概念分解为逻辑原子，我们可以更准确地表达和传达我们的思想。
逻辑原子主义对于语言学的研究也产生了重要的影响，它推动了语义学和语用学的发展，使我们更好地理解语言的含义和使用。
逻辑原子主义还对哲学的发展产生了重要的影响。
罗素认为，逻辑原子是构建逻辑和数学系统的基础。
他的逻辑原子主义为逻辑学和数学哲学的发展提供了重要的理论基础。
罗素的逻辑原子主义对于形式逻辑和数理逻辑的研究起到了重要的推动作用，推动了逻辑学从形式上的推理规则到语义上的含义的转变。
逻辑原子主义也对认识论和哲学方法论的研究产生了影响，它强调了逻辑的重要性，认为逻辑是哲学的基础。
然而，逻辑原子主义也面临一些批评和挑战。
一些哲学家认为，逻辑原子主义过于简化了语言和思维的复杂性，忽略了语言和概念的动态性和多义性。
他们认为，逻辑原子主义无法解释语言和思维中的模糊性和歧义性，无法应对现实世界的复杂性。
此外，逻辑原子主义也受到了语言学和认知科学的挑战，这些学科提出了更多关于语言和思维的复杂性和多样性的理论。
罗素与他的逻辑主义学派
课程论文逻辑主义引领新思想摘要：本文就逻辑主义的代表人物——英国著名数学家、哲学家罗素提出的引发了第三次数学危机的“罗素悖论”阐述个人观点及对现有的一些其他解释的想法，并就由此逐渐形成的三大学派中的逻辑主义派思想进行简单的剖析与探讨，最后就其失败简要分析。
关键词：逻辑主义罗素悖论数学正文：逻辑是人产生的一种抽象思维，严格意义上来讲是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观世界的思维过程，通俗的讲是阐述了一种辩证与因果关系。
数学的发展伴随着每次重大的进步，大胆提出新思想，不断突破旧有观念，在实践中检验真理。
某种意义上来说是一种辩证与因果交替的发展史。
19世纪末，德国数学家康托尔在实数理论的基础上，把研究对象扩大化创立了集合论。
就当大家认为数学的严格性就此实现时，罗素悖论的提出道破了集合论的本身的自相矛盾。
罗素把所有集合分为两类，一类集合也是其本身的元素，即P={A∣A∈A}，如一切集合组成的集合；另一类集合不是其本身的元素，即Q={A ∣A∉A}，如一切整数组成的集合。
有了这样的分类可知，一切集合必须属于这两类集合中的一类，问：Q∈P 还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q∉Q，引出矛盾；若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。
就此数学的基础动摇了，德国数学家弗雷格在收到了罗素的悖论求教时意识到自己建立的体系就此崩塌，在书后加上了这样一段话：“一位科学家所遇到的最难堪的事,莫过于在工作完成之时,它的基础却垮掉了，当本书在等待付印时,罗素先生的一封信恰置我于这种境地。
”时隔一千年后的我看到这条悖论时首先想到的，可能也是大多数人都有这样的疑问：可以设定这样无穷的集合么？集合的定义究竟是怎样的？我无法为此做一个严谨的定义，也不能贸然否定这样集合的存在。
因此避开了关于这样集合的探讨。
就我个人的看法而言，罗素悖论的提出所包含的假设：把所有集合分为两类。
数理逻辑的发展历史和应用
数理逻辑的发展历史和应用数理逻辑是一门研究推理、证明和计算的学科，它通过规定符号和公理系统来描述和分析自然和人工推理过程的规则。
数理逻辑的发展历史可以追溯到古希腊的亚里士多德逻辑，但其现代形式的基础是在19世纪末和20世纪初奠定的。
以下将对数理逻辑的发展历史和应用进行探讨。
1.古希腊的亚里士多德逻辑：亚里士多德逻辑是对自然推理进行形式化的第一个尝试。
他提出了命题逻辑中的“陈述”和“推理”的概念，并发展了一套符号系统来描述和分析逻辑关系。
2. 19世纪的布尔代数和形式逻辑：19世纪逻辑学家乔治·布尔开创了布尔代数，将逻辑符号化为真假值（0和1）。
同时，数学家戈特洛布·弗雷格和乔治·康托尔等人发展了形式逻辑，将逻辑推理的证明过程形式化。
3. 20世纪初的数学逻辑：20世纪初，一些数学家开始将逻辑作为数学的一部分来研究，奠定了数学逻辑的基础。
在这个过程中，罗素和怀特海等人提出了一套符号系统，称为“类型理论”，以解决数学中的自我指涉问题。
4. 20世纪中叶的模型论：模型论是数理逻辑的一个重要分支，它研究了语言和结构之间的关系。
模型论的发展使得可以对逻辑语句进行语义解释，从而使得逻辑符号有了更具体的意义。
5. 20世纪后期的计算逻辑：计算逻辑是一门研究计算过程和计算机科学中的逻辑的学科。
在20世纪后期，随着计算机的发展和应用，计算逻辑得到了快速发展。
一些计算机科学家和数学家提出了一些逻辑系统，如命题逻辑、一阶谓词逻辑、模态逻辑等，用于描述和分析计算过程。
除了数理逻辑的发展历史，数理逻辑在许多领域中都有重要的应用。
1.计算机科学：数理逻辑为计算机科学的算法和程序设计提供了基础。
通过使用逻辑语言和逻辑推理，可以对计算过程进行形式化描述和分析，并证明算法的正确性。
2.。
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罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位【张家龙】20世纪初, 在逻辑和数学中发现了许多悖论, 包括罗素本人所发现的悖论(后被称为罗素悖论) 。
这些悖论动摇了数学的基础, 史称第三次数学危机。
为了解决这一次数学危机, 罗素提出了逻辑主义的纲领, 并得到一些著名的逻辑学家的支持, 成为数理逻辑中的三大学派之一。
本文旨在对罗素的逻辑主义作出全面的科学的评述。
一、数学概念和数学定理的推导罗素的逻辑主义包含两个部分: (1) 数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来; (2) 数学定理可以通过纯逻辑推演(即一阶逻辑演算) 由逻辑公理推导出来。
罗素所使用的逻辑概念有: 命题联结词(否定, 析取, 合取, 蕴涵) ; 函项和量词(全称量词和存在量词) ; 等词。
弗雷格成功地用逻辑概念定义了自然数, 而罗素独立于弗雷格也获得了相同的结果。
这种方法的关键在于, 自然数不是属于事物而是属于概念的逻辑属性(按罗素的定义, 数是某一个类的数, 而一个类的数是所有与之相似的类的类) 。
其它种类的数———正数、负数、分数、实数和复数, 不是用通常增加自然数的定义域的方法来完成的, 而是通过构造一种全新的定义域来实现的。
罗素在将数的概念向前推广时, 认为自然数并不构成分数的子集, 自然数3与分数3 /1不是等同的; 同样, 分数1 /2同与它相联系的实数也不是等同的。
关于正负整数, 罗素认为, + 1与- 1是关系, 并且互为逆关系。
+ 1是n + 1对n的关系, - 1是n对n + 1的关系。
一般地, 如果m是任何归纳数, 对任何n而言, +m是n +m对n的关系, - m是n 对n +m的关系。
+m与m不同, 因为m不是一个关系,而是许多类的一个类。
m /n被定义为, 当xn = ym时, 二归纳数x和y之间的一个关系。
m /1是x, y在x =my情形下所具有的关系。
这个关系如同关系+m一样决不能和m等同, 因为关系和一个类的类是完全不同的两个东西。
罗素说, 在实用上, 只要我们了解分数1 /1和基数1并不相同, 就不必常常拘泥于这个区别。
正负分数可以用类似于正负整数的方法而定义。
实数的定义比较复杂一点。
罗素发展了戴德金的实数论, 作出了实数的定义。
首先定义分数之间的大于或小于关系。
给定两个分数m /n和p /q, 如果mq 小于pn, 则m /n小于p /q。
这样定义的小于关系是序列关系, 因而分数形成以大小为序的序列。
戴德金证明了, 有理数以明显的方式与分数相对应, 无理数对应于分数序列的“间隙”。
例如, 把正分数分成两类: 所有平方小于2的分数组成一类; 其余分数组成另一类。
这种分法就形成分数序列的一个“分割”, 它对应于无理数2。
因为不存在其平方等于2的分数, 所以第一类(“下类”即较小的一类) 不包含最大的元素, 第二类(“上类”即较大的一类) 不包含最小的元素。
因此, 每一个实数都对应于分数序列的一个分割, 分割中的间隙对应于无理数。
这样, 罗素把实数定义为: 分数序列中相应分割的下类。
例如, 根号2是其平方小于2的那些分数的类; 1 /3是所有小于1 /3的分数的类。
由这些定义, 整个实数算术都可以导出。
这里, 实数的定义是“构造的”。
一个复数可以简单地看成是有先后次序的一对实数。
构造主义的方法是逻辑主义的一个重要部分。
逻辑主义者用类似于定义实数的方法引进其余的数学概念。
例如, 分析中的收敛、极限、连续性、微分、微商和积分, 集合论中的超穷基数、序数。
罗素在推导数学的过程中发现, 除逻辑公理外, 还需要另外的一些特殊公理, 即无穷公理和乘法公理(选择公理) 。
无穷公理是说, 若n是一个归纳基数, 则至少有一个类有n个个体。
由此得到:如果n是一个归纳基数, 并且至少有一个类有n个分子, 那么n不等于n + 1。
无穷公理保证了确有一些类有n个分子, 于是我们才能断定n不等于n + 1。
没有这个公理, 可能n和n + 1都是空类。
乘法公理是说, 对于不相交的非空集合所组成的每个集合至少存在一个选择集合, 也就是说这个集合与每一个集合恰好有一个共同元素。
二、逻辑类型论为了解决悖论, 并实现逻辑主义论题, 罗素提出了逻辑类型论。
罗素在1903年出版的《数学的原则》( The Principles ofM athem atics) 一书中最早提出类型论; 而在1908年的论文《以类型论为基础的数理逻辑》和1910—1913年与怀特海合著的《数学原理》中, 则全面系统地论述了逻辑类型论。
逻辑类型论分两部分: 简单类型论和分支类型论。
简单类型论同分支类型论是结合在一起的, 但又具有独立性, 并与下面将要说到的恶性循环原则无关。
简单类型论的中心思想是, 把类或谓词分为不同的层。
第0层谓词: 包括一切个体(个体常项和变项) , 这些实体的类型记为0。
第1层谓词: 这是取个体为变目的谓词,包括个体的属性、个体之间的关系。
前者的类型记为(0) , 后者的类型记为(0,0) , (0, 0, 0) 等等。
第2层谓词: 其空位被个体或第1层谓词填补, 并且至少出现一个第1层谓词作为变目。
第2层谓词也根据它的空位的个数及种类而分成不同的类型。
个体属性的属性, 其类型记为( ( 0) ) , 二元谓词(关系) 的一个属性, 其类型记为( (0, 0) ) , 等等。
第3层谓词、第4层谓词等等可类推。
一个谓词如果其变目属于≤n 层并且至少有一个变目是第n层的, 那么它便属于第n + 1层。
第i层谓词能够有意义地述说第j层谓词, 当且仅当i = j + 1。
第j层谓词不能有意义地述说同层的谓词。
在逻辑系统中引入简单类型论以后, 罗素悖论等逻辑悖论就可以消除, 因为这些悖论的发生是由于混淆了不同层的谓词所致。
例如, 在罗素悖论中, 定义类的谓词记为< ^y (这里“^y”是一个空位记号) , 由它所定义的类记为“^y ( <y) ”。
根据简单类型论, “< { ^y( <y) } ”一定是无意义的, 因为^y( <y)是一个类, 其层数高于它的定义谓词< ^y的变目的层数。
因此,我们不能说: “一个类是或不是自身的元素”, 从而“由所有不是自身元素的类组成的类”是无意义的。
简单类型论不能消除说谎者悖论等语义悖论, 于是为了处理这些悖论, 罗素引进了分支类型论。
分支类型论是以恶性循环原则为基础的。
罗素说: “使我们能够避免不合法总体的那个原则, 可以陈述如下: ‘凡牵涉到一个汇集的全体者, 它本身不能是该汇集的一分子’; 或者, 反过来说, ‘如果假定某一汇集有一个总体, 它便将含有一些只能用这个总体来定义的分子, 那么这个汇集就没有总体’。
我们把上述原则叫做‘恶性循环原则’, 因为它能使我们避免那些由假定不合法的总体而产生的恶性循环。
” (Whitehe ad and Russell, pp. 37 - 38) 恶性循环原则强调的是, 总体不能包含只有通过这个总体来定义的分子。
分支类型论就是在恶性循环原则的基础上对命题函项(广义的谓词) 所作的一种分类, 其核心是在类型中再区分出阶。
为简化起见, 下面我们只考察个体的谓词这一类型。
个体是零阶函项。
给定一个固定的论域(由个体x, y, ?组成的个体域) 以及其中的一些函项(谓词) 。
<x, ψ( x, y) , χ( x, y, z?)这些公式称为母式, 即不包含约束变元的公式, 除个体外没有其它变目。
由这些母式可以得到x的其它函项, 例如: ( y). ψ( x, y) , (v y). ψ( x, y)等。
所有这些函项都没有预设除个体的总体之外的总体。
母式和这类函项称为“一阶函项”。
在一阶函项的基础上便可构造二阶函项。
把一阶函项当作一个新的域, 加到原有的个体域上去,得到一个扩大的论域。
“<! ^y” [ “^y”是空位符号, <! ^y即<! ( ) ] 代表一个一阶函项变元, “<! y”代表这样一个函项的任一个值。
“<! x”是包含两个变元的函项, 一个是<! ^y, 另一个是x。
“(x). <! x”是包含变元<! ^y的一个函项。
由于引进一阶函项变元, 因而就有在新的论域上的一组母式。
如果a是个体常项, 那么<! a就是变元<! ^y的一个函项。
如果a和b是个体常项, 那么“<! a蕴涵ψ! b”就是两个变元<! ^y和ψ! ^y的一个函项, 如此等等。
因此以下公式: f ( <!^y) , g( <! ^y, ψ! ^y) , F ( <! ^y, x) , 就是包含个体和一阶函项作为变目的母式, 被称为二阶母式(其中不必含有个体作为变目) 。
由以上母式可得到以下函项: ( <). g( <! ^y, ψ! ^y) , 它是ψ! ^y的函项; ( x).F ( <! ^y, x) , 它是<! ^y的函项; ( <). F ( <! ^y, x) , 它是x的函项。
二阶母式以及从二阶母式导出的量化公式称为二阶函项。
也就是说, 二阶函项包含一阶函项作为变元, 也可包含个体变元, 但不包含其它变元。
仿照以上方法可构成三阶函项和更高阶的函项。
与命题函项类似, 我们可构成各阶的命题。
由上可见, 如果在一个命题函项中出现的变元的最高阶数为n, 那么当有一个属于n阶的变元的两次出现时, 该命题函项的阶数为n + 1。
对于命题函项的阶数, 还要看命题函项的变目, 这时阶数必须高于所有变目的阶数。
当确定一个命题函项的阶数时, 还要考虑作为缩写用的记号的表达式中所出现的阶数, 例如, F ( <! ^y, x)是一个缩写, 表明这是<! ^y和x的函项, 因此该函项为二阶。
通过以上的分阶, 我们可得到两个结果: 第一, 可以把每个命题、性质或关系作为被断定的对象; 第二, 因为只允许依次构成的各个阶的命题函项, 又因为对于某个阶的函项, 它所涉及的对象总体是明确地限定于某一论域之中的, 所以就能避免“所有命题”、“所有谓词”这种不合法的总体。
使用分支类型论, 语义悖论便可消除。
例如说谎者悖论可以写成: “我断定p, 而p是假的”。
如果p是n阶命题, 那么p在其中作为约束变元出现的命题“我断定p, 而p是假的”为n + 1阶, 可记为q, q比p高一个阶, 它不能作为p 的一个值进行代入, 因此不会产生悖论。
换句话说, 如果p具有n阶的真或假, 那么q就具有n + 1阶的真或假。
我们可以认为, “我在某一时刻所说的所有一阶命题都是假的”这句话是真的, 而不会引起悖论, 因为这句话本身是二阶命题。