2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷(一) (解析版)
2021年广东深圳市中考数学模拟试卷解析版
2021年广东深圳市中考数学模拟试卷解析版
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．﹣3的倒数为（）
A ．﹣
B ．C．3D．﹣3
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．2．截止2020年4月22日，新冠肺炎全球国内外累计确诊病例超过2500000人，2500000用科学计数法表示为（）
A．2.5×107B．2.5×106
C．25×106 D．25×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据2500000用科学记数法表示为2.5×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图
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2021年广东深圳市中考数学模拟试卷解析版
2021年广东深圳市中考数学模拟试卷解析版一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．−34的绝对值是（）A．−34B．34C．−43D．43解：|−34|=34，故选：B．2．如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，故选：A．3．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（）A．64°B．68°C．58°D．60°解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠AEG．∵EG平分∠AEF，∴∠AEF＝2∠AEG，∴∠AEF＝2∠1＝64°．∴∠2＝64°．故选：A．4．下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．5．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（）A．25台B．50台C．75台D．100台解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，根据题意可得：x＝3（100﹣x），解得：x＝75．故选：C．6．小明将一正方形纸片画分成16个全等的小正方形，且如图所示为他将其中四个小正方形涂成灰色的情形．若小明想再将一小正方形涂成灰色，使此纸片上的灰色区域成为线对称图形，则此小正方形的位置为何？（）A．第一列第四行B．第二列第一行C．第三列第三行D．第四列第一行解：根据题意得：涂成灰色的小方格在第二列第一行．故选：B．7．某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下：年龄（岁）1213141516人数31251则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（）A．15岁和14岁B．15岁和15岁C．15岁和14.5岁D．14岁和15岁解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是14512名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数14+152=14.5，因而中位数是14.5．故选：C．8．已知下列命题：①若a ＞b ，则ac ＞bc ； ②若a ＝1，则√a =a ； ③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解；①若a ＞b ，则ac ＞bc 是假命题，逆命题是假命题； ②若a ＝1，则√a =a 是真命题，逆命题是假命题； ③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题； 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个； 故选：A ．9．如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′＝1，则A ′D 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32解：设A ′B ′交BC 于E ，A ′C ′交BC 于F ． ∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线， ∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '， ∴A ′E ∥AB ， ∴△DA ′E ∽△DAB ，则（A′DAD ）2=S △A′DE S △ABD，即（A′D A′D+1）2=928=916，解得A ′D ＝3或A ′D =−37（舍）， 故选：B ．10．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB=12∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y =k x（x ＞0）的图象经过A ，B 两点，若菱形ABCD 的面积为2√5，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6解：过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，∵A ，B 两点在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （k4，4），B （k2，2），∴AE ＝2，BE =12k −14k =14k ， ∵菱形ABCD 的面积为2√5， ∴BC ×AE ＝2√5，即BC =√5， ∴AB ＝BC =√5，在Rt △AEB 中，BE =√AB 2−AE 2=1 ∴14k ＝1，∴k ＝4． 故选：C ．12．如图，以矩形ABCD 对角线AC 为底边作等腰直角△ACE ，连接BE ，分别交AD ，AC 于点F ，N ，CD ＝AF ，AM 平分∠BAN ．下列结论：①EF ⊥ED ；②∠BCM ＝∠NCM ；③AC =√2EM ；④BN 2+EF 2＝EN 2；⑤AE •AM ＝NE •FM，其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5解：如图1中，连接BD交AC于O，连接OE．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OD＝OB，∵∠AEC＝90°，∴OE＝OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，∴A，B，C，D，E五点共圆，∵BD是直径，∴∠BED＝90°，∴EF⊥ED，故①正确，∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，∴BM平分∠ABC，∵AM平分∠BAC，∴点M是△ABC的内心，∴CM平分∠ACB，∴∠MCB＝∠MCA，故②正确，∵∠EAM＝∠EAC+∠MAC，∠EMA＝∠BAM+∠ABM，∠ABM＝∠EAC＝45°，∴∠EAM＝∠EMA，∴EA＝EM，∵△EAC是等腰直角三角形，∴AC=√2EA=√2EM，故③正确，如图2中，将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，∵∠NAB＝∠GAF，∴∠GAN＝∠BAD＝90°，∵∠EAN＝45°，∴∠EAG＝∠EAN＝45°，∵AG＝AN，AE＝AE，∴△AEG≌△AEN（SAS），∴EN＝EG，GF＝BN，∵∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，∴∠GFB＝∠GFE＝90°，∴EG2＝GF2+EF2，∴BN2+EF2＝EN2，故④正确，不妨设AE•AM＝NE•FM，∵AE＝EC，∴ECFM =ENAM，∴只有△ECN∽△MAF才能成立，∴∠AMF＝∠CEN，∴CE ∥AM ， ∵AE ⊥CE ， ∴MA ⊥AE （矛盾）， ∴假设不成立，故⑤错误， 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．把多项式9m 2﹣36n 2分解因式的结果是 9（m ﹣2n ）（m +2n ）， ． 解：原式＝9（m 2﹣4n 2）＝9（m ﹣2n ）（m +2n ）， 故答案为：9（m ﹣2n ）（m +2n ）．14．在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为（m ，n ），向量OP →可以用点P 的坐标表示为OP →=（m ，n ）．已知：OA →=（x 1，y 1），OB →=（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA →与OB →互相垂直，下列四组向量：①OC →=（2，1），OD →=（﹣1，2）；②OE →=（cos30°，tan45°），OF →=（1，sin60°）； ③OG →=（√3−√2，﹣2），OH →=（√3+√2，12）；④OM →=（π0，2），ON →=（2，﹣1）．其中互相垂直的是 ①③④ （填上所有正确答案的符号）． 解：①因为2×（﹣1）+1×2＝0，所以OC →与OD →互相垂直；②因为cos30°×1+tan45°•sin60°=√32×1+1×√32=√3≠0，所以OE →与OF →不互相垂直；③因为（√3−√2）（√3+√2）+（﹣2）×12=3﹣2﹣1＝0，所以OG →与OH →互相垂直；④因为π0×2+2×（﹣1）＝2﹣2＝0，所以OM →与ON →互相垂直． 综上所述，①③④互相垂直． 故答案是：①③④．15．如图，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y 2=mx （m 为常数且m ≠0）的图象都经过A （﹣1，2），B （2，﹣1），结合图象，则关于x 的不等式kx +b ＞mx 的解集是x ＜﹣1或0＜x ＜2 ．解：由函数图象可知，当一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象在反比例函数y 2=mx （m 为常数且m ≠0）的图象上方时，x 的取值范围是：x ＜﹣1或0＜x ＜2， ∴不等式kx +b ＞m x的解集是x ＜﹣1或0＜x ＜2， 故答案为：x ＜﹣1或0＜x ＜2．16．如图，Rt △ABC ，AB ＝3，AC ＝4，点D 在以C 为圆心3为半径的圆上，F 是BD 的中点，则线段AF 的最大值是 4 ．解：取BC 的中点N ，连接AN ，NF ，DC ， ∵Rt △ABC ，AB ＝3，AC ＝4， ∴BC =√AB 2+AC 2=5， ∵N 为BC 的中点， ∴AN =12BC =52， 又∵F 为BD 的中点， ∴NF 是△CDB 的中位线， ∴NF =12DC =32， ∵52−32≤AF ≤52+32，即1≤AF ≤4．∴最大值为4，故答案为：4．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：6sin45°+|2√2−7|﹣（12）﹣3+（2019−√2019）0． 解：原式＝6×√22−2√2+7﹣8+1=√2．18．（7分）先化简（x +3−7x−3）÷2x 2−8x x−3，再从0≤x ≤4中选一个适合的整数代入求值． 解：（x +3−7x−3）÷2x 2−8x x−3＝（x 2−9x−3−7x−3）÷2x 2−8x x−3 =(x+4)(x−4)x−3•x−32x(x−4) =x+42x ，当x ＝1时，原式=1+42×1=52．19．（7分）为响应市政府关于“垃圾不落地•市区更美丽”的主题宣传活动，郑州外国语中学随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为“A ：非常了解；B ：比较了解；C ：了解较少；D ：不了解．”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题；（1）求m ＝ 20 ，并补全条形统计图；（2）若我校学生人数为1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有 500 名；（3）已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．解：（1）调查的总人数为4÷8%＝50，B 选项所占的百分比为2150×100%＝42%，所以m %＝1﹣8%﹣42%﹣30%＝20%，即m ＝20，C 选项的人数为30%×50＝15（人），D 选项的人数为20%×50＝10（人），条形统计图为：故答案为20；（2）1000×（8%+42%）＝500，所以估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有500名；故答案为500；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到1男1女的结果数为6，所以恰好抽到1男1女的概率=612=1220．（8分）小明想测量湿地公园内某池塘两端A ，B 两点间的距离．他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，当行走到点C 处，测得∠ACF ＝40°，再向前行走100米到点D 处，测得∠BDF ＝52.44°，若直线AB 与EF 之间的距离为60米，求A ，B 两点的距离（结果精确到0.1）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52.44°≈0.79，cos52.44°≈0.61，tan52.44°≈1.30）解：作AM ⊥EF 于点M ，作BN ⊥EF 于点N ，如图所示，由题意可得，AM ＝BN ＝60米，CD ＝100米，∠ACF ＝40°，∠BDF ＝52.44°，∴CM =AM tan40°≈600.84≈71.43（米），DN =BN tan52.44°≈601.30≈46.15（米）， ∴AB ＝CD +DN ﹣CM ＝100+46.15﹣71.43≈74.7（米），即A 、B 两点的距离是74.7米．21．（8分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）解：（1）设第一批仙桃每件进价x 元，则2400x ×32=3700x+5，解得 x ＝180．经检验，x ＝180是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元；（2）设剩余的仙桃每件售价打y 折．可得3700180+5×225×80%+3700180+5×225(1−80%)×0.1y ﹣3700≥440，解得 y ≥6．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB̂的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD ＝AC ，点E 是OB 上一点，且OE EB =23，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当OB ＝2时，求BH 的长．证明：（1）连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，点C 是AB̂的中点， ∴∠AOC ＝90°，∵OA ＝OB ，CD ＝AC ，∴OC 是△ABD 是中位线，∴OC ∥BD ，∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°，∴AB ⊥BD ，∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线；解：（2）由（1）知，OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE ，∴OC BF =OE EB ，∵OB ＝2，∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4，OE EB =23， ∴2BF =23， ∴BF ＝3，在Rt △ABF 中，∠ABF ＝90°，根据勾股定理得，AF ＝5，∵S △ABF =12AB •BF =12AF •BH ，∴AB •BF ＝AF •BH ，∴4×3＝5BH ，∴BH =125．23．（9分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ≠0）与x 轴交于原点及点A ，且经过点B （4，8），对称轴为直线x ＝﹣2，顶点为D ．（1）填空：抛物线的解析式为 y =14x 2+x ，顶点D 的坐标为 （﹣2，﹣1） ，直线AB 的解析式为 y ＝x +4 ；（2）在直线AB 左侧抛物线上存在点E ，使得∠EBA ＝∠ABD ，求E 的坐标；（3）连接OB ，点P 为x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作OB 的平行线交直线AB 于点Q ，当S △POQ ：S △BOQ ＝1：2时，求出点P 的坐标．解：（1）对称轴为直线x ＝﹣2，则点A （﹣4，0），将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式并解得：a =14，b ＝1，故抛物线的表达式为：y =14x 2+x …①，顶点D 的坐标为：（﹣2，﹣1），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB 的表达式为：y ＝x +4…②，故答案为：y=14x2+x；（﹣2，﹣1）；y＝x+4；（2）作点D关于AB的对称点D′，分别过点D、D′作x轴的平行线交直线AB与点G、H，则四边形GDHD′为正方形，点D（﹣2，﹣1），则点G（﹣5，﹣1），则正方形的边长为3，则点D′（﹣5，2），将B、D′的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BD′的表达式为：y=23x+163⋯③；联立①③并解得：x=−163或4（舍去），故点P（−163，169）；（3）取OB的中点H（2，4），则S△OQH=12S△OBQ，而S△POQ：S△BOQ＝1：2，故S△OQH＝S△POQ，∵PQ∥OH，故PQ＝OH（四边形PQHO为平行四边形），则x Q ﹣x P ＝x H ﹣x O ，设点P （m ，14m 2+m ）， 直线OB 的表达式为：y ＝2x ，则直线PQ 的表达式为：y ＝2x +b ，将点P 的坐标代入上式并解得： 直线PQ 的表达式为：y ＝2x +14m 2﹣m …④，联立②④并解得：x Q =−14m 2+m +4，而x Q ﹣x P ＝x H ﹣x O ，即−14m 2+m +4﹣m ＝2，解得：m =±2√2（舍去正值），故点P （﹣2√2，2﹣2√2）．。
广东省深圳市2021年初中毕业生学业考试数学模拟试卷(含答案)
深圳市2021年初中毕业生学业考试数学模拟试卷第一部分 选择题一、（本部分共12小题,每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确．．的） 1. -2的相反数是（ ）A.21 B.-2 C.2 D.-212.“送人玫瑰，手留余香”，年轻的深圳有一批无私奉献的义工，截至2012年7月深圳注册义工达35000人，用科学计数法表示为（ ）A.3105.3⨯B.4105.3⨯C. 31035⨯D.51035.0⨯ 3．下图中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )A B C D4. 要摆出如图1所示的几何体，则最少需要（ ）个正方体.A ．6个 B.5个 C.7个 D.8个5.下列运算正确的是( )A.()222y x y x +=+ B.()422xy y x = C.()322xy xy y x =+ D.224x x x =÷俯视图 左视图图16.已知点A ()1,2-+a a 在平面直角坐标系的第四象限内，则α的取值范围为 （ ）A.12<<-aB.12≤≤-aC.21<<-aD.21≤≤-a7.如图2，直线a ∥b ，∠1的度数是（ ）A.15°B.150°C.30°D.60°8．从一个袋中摸出一个球（袋中每一个球被摸到的可能性相等），恰为红球的概率为41，若袋中原有红球4个，则袋中球的总数大约是（）A.12B.16C.32D.249.某玩具店用6000元购进甲、乙两种陀螺，甲种单价比乙种单价便宜5元，单独买甲种比单独买乙种可多买40个.设甲种陀螺单价为x 元，根据题意列方程为( ）A.40560006000+-=x x B.40560006000--=x x C.40560006000++=x x D.40560006000-+=x x 10．下列命题中错误的是（）A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.正方形对角线相等C.对角线相等的四边形是矩形D.菱形的对角线互相垂直ba1150°图211.如图3，在矩形ABCD 中，动点P 从B 点以秒/1cm 速度出发，沿BC 、CD 、DA 运动到A 点停止，设点P 运动时间为x 秒，ABP ∆面积为y 2cm ，y 关于x 的函数图象如图4所示，则矩形ABCD 面积是（ ）2cmA.5B.10C.15D.2012. 如图5，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k 值是（ ）A.3B.2C.4D.23 第二部分非选择题二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）A B C DP图3O 2 7 9x5y图4图5图613. 分解因式：=+-a a a 36323.14．如图6，平行四边形ABCD 的周长是18cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△AOD 与△AOB 的周长差是5cm ，则边AB 的长是cm. 15. 二次函数6+2-=2x x y 的顶点坐标是.16.如图7所示，在⊙○中，点A 在圆内，B 、C 在圆上，其中OA=7，BC=18，∠A=∠B=60°，则tan OBC ∠=______.三、解答题（本题共7小题，其中第17小题6分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题7分，第21小题8分，第22小题9分，第23小题9分，共52分．）17．（本题6分）计算：()()︒--+-+-30sin 20131220131πOCBA图718．（本题6分）先化简，再求值：121412-+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x x x ，其中2=x .19.（本题7分）“地球一小时（Earth Hour ）”是世界自然基金会（WWF ）应对全球气候变化所提出的一项倡议，希望个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20：30-21：30熄灯一小时，来唤醒人们对节约资源保护环境的意识.2021年，因为西方复活节的缘故，活动提前到2021年3月23日,在今年的活动中，关于南京电量不降反升的现象，有人以“地球一小时——你怎么看？”为主题对公众进行了调查，主要有4种态度A ：了解、赞成并支持 B ：了解，忘了关灯 C ：不了解，无所谓 D ：纯粹是作秀，不支持，请根据图8中的信息回答下列问题：(1)这次抽样的公众有__________人；(2)请将条形统计图补充完整；(3)在扇形统计图中，“不了解，无所谓”部分所对应的圆心角是_________度；(4)若城区人口有300万人，估计赞成并支持“地球一小时”的有__________人．并根据统计信息，人数/人DB 30% CA20.（本题7分）图9为学校运动会终点计时台侧面示意图，已知：1=AB 米，5=DE 米，DC BC ⊥，︒60=∠︒30=∠BEC ADC ,.（1）求AD 的长度.（2）如图10，为了避免计时台AB 和AD 的位置受到与水平面成︒45角的光线照射，计时台上方应放直径是多少米的遮阳伞(即求DG 长度)？A B CDE图9GABC DE图1021．（本题8分）如图11，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过A 作AF ⊥AE ，交CB 延长线于点F 。
2021年广东省深圳市中考数学一模试题(word版 含答案)
2021年广东省深圳市中考数学一模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程()20x x +=的根是（ ） A ．2x =B ．0x =C ．120,2x x ==D ．120,2x x ==-2．一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是( ) A ．﹣2、0B ．1、0C ．1、1D ．2、13．人体中成熟的红细胞的平均直径为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示为( ) A ．7.7×10－5 m B ．77×10－6 m C ．77×10－5 mD ．7.7×10－6 m4x 的取值范围为（ ） A ．2x >B ．2x ≥C ．2x =D ．2x ≠5．如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为CD 的中点，6BD =，则DOE △的周长为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．126．一次函数y ＝ax +b 和反比例函数y ＝cx在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．过直线l 外一点P 作直线l 的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，点A ，B ，C ，D 四点均在圆O 上，∠AOD=68°，AO//DC ，则∠B 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．56°D ．68°9．如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣43，﹣1） C ．（﹣1，﹣43） D ．（﹣2，﹣1）10．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=︒，点F 在射线AM 上，且AF =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG 、则下列结论：①45ECF ∠=︒；②AEG △的周长为(1a 2+；③222BE DG EG +=；④EAF △的面积的最大值是218a ；⑤当13BE a =时，G 是线段AD 的中点．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．分解因式：3244a a a -+=__________．12．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为_____． 13．观察下列一组数：12，35，12，717，926，…，它们是按一定规律排列的，那么第7个数是_____．14．点P ，Q ，R 在反比例函数ky x=（常数0k >，0x >）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ．若OE ED DC ==，1325S S +=，则2S 的值为____．15．如图，矩形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE ，将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，在DF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作半圆与CD相切于点G ．若AD ＝4，则图中阴影部分的面积为____．三、解答题16．计算：21()2tan 60(2021)2π---︒--︒+17．化简求值：221(1)11x x x x ÷+--+，其中2x =．18．某市教育局非常重视学生的身体健康状况为此在体育考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查（分数为整数，满分100分），根据测试成绩（最低分为53分）分别绘制了如下统计图（如图）（1）被抽查的学生为__________人； （2）请补全频数分布直方图；（3）若全市参加考试的学生大约有9000人，请估计成绩优秀的学生约有多少人（80分及以上为优秀）？（4）若此次表中测试成绩的中位数为78分，请写出78.5～89.5之间的人数最多有多少人？19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A 出发开往海岛B ，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B ，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C 港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B 岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求海岛B 到航线AC 的距离；（2）甲船在航行至P 处，发现乙船在其正东方向的Q 处，问此时两船相距多少？20．阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：______，_______． （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）()0,0O ，()3,0A ，()0,4B ，请你画出以格点为顶点，OA ，OB 为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB ． （3）如图2，将ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到DBE ，连接AD ，DC ，30DCB ∠=︒，写出线段DC ，AC ，BC 的数量关系为_______，并证明．21．如图所示，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE OB ⊥，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF PC ⊥于点F ，连接CB ．（1）求证：AC 平分FAB ∠． （2）求证：2BC CE CP =⋅．（3）当AB =34CF CP =时，求劣弧BC 长度（结果保留π） 22．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC （不与B ，C 重合）上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于M 点，连接CM ，将△PCM 沿CM 对折，如果点P 的对应点N 恰好落在y 轴上，求此时点P 的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E ，满足AE ＝OA ，过E 作EF ⊥x 轴于点F ，设F 坐标为（t ，0），0＜t ＜3，△AEF 的内心为I ，连接CI ，直接写出CI 的最小值．参考答案1．D 【分析】根据一元二次方程的解法求解即可； 【详解】()20x x +=， 0x =或20x +=，解得0x =或2x =-； 故答案选D ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 2．C 【分析】根据的中位数和众数的概念进行分析即可． 【详解】这组数据1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，处在最中间的两个数的平均数为1，所以这组数据的中位数是1， 故选C ． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 3．D 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.000 007 7m=7.7×10-6m，故选：D．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．B【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【详解】根据题意得：x-2≥0，解得：x≥2．故选B．【点睛】（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．5．B【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝12BC，所以易求△DOE的周长．【详解】解：∵▱ABCD的周长为20cm，∴2（BC＋CD）＝20，则BC＋CD＝10．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，∴OD＝OB＝12BD＝3．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE＝12 CD，∴OE＝12 BC，∴△DOE 的周长＝OD ＋OE ＋DE ＝12BD ＋12（BC ＋CD ）＝5＋3＝8， 即△DOE 的周长为8． 故选B ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质． 6．A 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a ＜0、b ＞0、c ＜0，由此即可得出：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向下，对称轴x 2ba=-＞0，与y 轴的交点在y 轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＜0， ∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向下，对称轴x 2ba=-＞0，与y 轴的交点在y 轴负半轴． 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a ＜0、b ＞0、c ＜0是解题的关键． 7．D 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】A 、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．B 、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．C 、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，D 、无法判断两直线平行， 故选：D ． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．8．C【分析】连接AD，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA，再根据平行线的性质求出∠ODC，最后根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：连接AD，∵∠AOD=68°，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=56°，∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=68°，∴∠ADC=124°，∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，∴∠B=180°-∠ADC=56°，故选C．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．B【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以13-即可．【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为13，而A（4，3），∴A点的对应点C的坐标为（43-，﹣1）．故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．10．B【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△F AE≌△EHC（SAS）即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．④正确．设BE＝x，则AE＝a−x，AF x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当13BE a时，设DG＝x，则EG＝x＋13a，利用勾股定理构建方程可得x＝0.5a即可解决问题．【详解】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH BE，∵AF BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠F AE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△F AE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，∵∠ECH＋∠CEB＝90°，∴∠AEF＋∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG＋DH，DH＝BE，∴EG＝BE＋DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝AE＋AH＝AD＋DH＋AE＝AE＋EB＋AD＝AB＋AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a−x，AF x，∴S△AEF＝12•（a−x）∙x＝−12x2＋12ax＝−12（x2−ax＋14a2−14a2）＝−12（x−12a）2＋18a2，∵−12＜0， ∴x ＝12a 时，△AEF 的面积的最大值为18a 2．故④正确， 当BE ＝13a 时，设DG ＝x ，则EG ＝x ＋13a ， 在Rt △AEG 中，则有（x ＋13a ）2＝（a −x ）2＋（23a ）2， 解得：x ＝2a ， ∴AG ＝GD ，故⑤正确，∴①④⑤正确，正确结论的个数是3个，故选B ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．2(2)a a -；【详解】3244a a a -+=a(a 2-4a+4)=a(a-2)2.故答案是：a(a-2)2.12．16【详解】解：P (摸到红球)=331.693168==++ 故答案为：1.613．1350． 【分析】观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n 个数是22n-1n +1代入数值即可的答案. 【详解】观察数据可知，分子是从1开始连续的奇数，分母是从1开始连续自然数的平方多1，则第n 个数是22n-1n +1， 第7个数是227-113=7+150 ． 故答案为1350． 【点睛】解题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.14．5【分析】设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （3k a ，3a ），Q （2k a，2a ），R （k a ，a ），推出CP ＝3k a ，DQ ＝2k a，ER ＝k a ，推出OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF ＝23GA ，推出S 1＝23S 3＝2S 2，根据S 1＋S 3＝25，求出 S 2即可．【详解】解：∵CD ＝DE ＝OE ，∴假设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （3k a ，3a ），Q （2k a，2a ），R （k a ，a ）， ∴CP ＝3k a ，DQ ＝2k a，ER ＝k a ， ∴OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF ＝23GA ， ∴S 1＝23S 3＝2S 2， ∵S 1＋S 3＝25，∴S 3＝15，S 1＝10，S 2＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数表示点的坐标，属于中考常考题型．15【分析】连接OG ，可得∠FDC ＝30°，证明△DOG ∽△DFC ，得出DO OG DF FC=，设OG ＝OF ＝x ，则442x x -=，求出圆的半径为43，证明△OFQ 和△OGQ 为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案．【详解】解：连接OG ，∵将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，∴AD ＝DF ＝4，BF ＝CF ＝2，∵矩形ABCD 中，∠DCF ＝90°，∴sin ∠FDC =2142FC DF ==， ∴∠FDC ＝30°，∴∠DFC ＝60°，∵⊙O 与CD 相切于点G ，∴OG ⊥CD ，∵BC ⊥CD ，∴OG ∥BC ，∴△DOG ∽△DFC ， ∴DO OG DF FC=，设OG ＝OF ＝x ，则442x x -=， 解得：x 43=，即⊙O 的半径是43．连接OQ ，作OH ⊥FQ ，连结QG ，∵∠DFC ＝60°，OF ＝OQ ，∴△OFQ 为等边三角形；∵CD 为切线，∠DGO =90°，∠ODG =30°，∴∠DOG =180°-∠DGO -∠ODG =180°-90°-30°=60°，∴∠GOQ =180°-∠DOG -∠FOQ =180°-60°-60°=60°，OQ =OG ，∴△OGQ 为等边三角形；∴∠GOQ ＝∠FOQ ＝60°，OH ==，S 扇形OGQ ＝S 扇形OQF ， ∴S 阴影＝（S 矩形OGCH ﹣S 扇形OGQ ﹣S △OQH ）＋（S 扇形OQF ﹣S △OFQ ），＝S 矩形OGCH 32-S △OFQ 4332=-（1423⨯）=【点睛】 本题考查三角形折叠性质，矩形性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，扇形面积，三角形面积，掌握三角形折叠性质，矩形性质，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，扇形面积，三角形面积是解题关键． 16．3【分析】先算负整数指数幂和零指数幂，锐角三家函数以及二次根式，进而即可求解．【详解】解：原式=41--+=3．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂，锐角三家函数以及二次根式的性质，是解题的关键．17．11x -，1 【分析】先利用分式的通分和约分，进行化简，再代入求值，即可．【详解】解：原式=22(1)(1)1x x x x x ÷+-+ =221(1)(1)x x x x x+⋅+- =11x -， 当2x =时，原式=11x -=121-=1． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．18．（1）45；（2）见详解；（3）4000；（4）14【分析】（1）根据图中所列的表，参加测试的总人数为59.5分以上和59.5分以下的和；（2）根据直方图，再根据总人数，即可求出在76.5−84.5分这一小组内的人数；（3）根据成绩优秀的学生所占的百分比，再乘以9000即可得出成绩优秀的学生数；（4）根据中位数的定义得出78分以上的人数，再根据图表得出89.5分以上的人数，两者相减即可得出答案．【详解】解：（1）∵59.5分以上的有42人，59.5分以下的3人，∴这次参加测试的总人数为3＋42＝45（人），故答案是：45；（2）∵总人数是45人，∴在76.5−84.5这一小组内的人数为：45−3−7−10−8−5＝12人，补图如下：（3）根据题意得：2045×9000＝4000（人），答：成绩优秀的学生约有4000人；（4）∵共有45人，中位数是第23个人的成绩，中位数为78分，∴78分以上的人数是22人，∵89.5分以上的有8人，∴78.5～89.5分之间的人数最多有22−8＝14（人）．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．（1）海岛B到航线AC的距离为（2）两船相距12海里．【分析】（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，可得BD，在Rt△BDA中，根据勾股定理可得方程1402＝（60+x）2+x）2，解方程求得x的值，即可求得BD的长；（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，由题意可知PQ∥AC，由平行线分线段成比例定理可得PA CQAB CB=，代入数值求得t值，即可求得AP、PB的长；再由△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的性质可得PQ BPAC AB=，代入数据即可求得PQ的长．【详解】（1）过点B作BD⊥AE于D，由题意可知AC=60，AB=140，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD＝x，∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2x2+30x﹣4000＝0，∴x＝50或﹣80（舍弃），∴BD＝50．∴海岛B到航线AC的距离为海里；（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，若点Q在点P的正东方向，则PQ∥AC，∴＝，即：＝，得t＝8，∴AP＝112，PB=140-112=28.由∵△BPQ∽△BAC，∴＝，即：＝，得PQ＝12．∴两船相距12海里.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键.20．（1）矩形，正方形；（2）见详解；（3）DC2＋BC2＝AC2，理由见详解【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；（2）根据题意画出图形即可；（3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；故答案为：矩形，正方形；（2）如图，（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2＋BC2＝AC2．证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，又∵∠CBE＝60°，∴△CBE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝30°＋60°＝90°，∴DC2＋EC2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2．故答案为：DC2＋BC2＝AC2．【点睛】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．21．（1）见详解；（2）见详解；（3）3【分析】（1）先证明AF∥OC，结合OA＝OC，可得∠F AC＝∠CAB，进而即可得到结论；（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得CB CECP CB=，进而即可解决问题；（3）作BM⊥PF于M，则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值，从而得到∠BCM＝30°，进而即可解决问题．【详解】（1）证明：∵PF是切线，∴OC⊥PF，∵AF⊥PF，∴AF∥OC．∴∠F AC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∴∠F AC＝∠CAB，即AC平分∠F AB；（2）证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠CEB＝90°，∴∠PCB＋∠OCB＝90°，∠BCE＋∠OBC＝90°，∴∠BCE＝∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD＝∠CBP＝90°，∴△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=， ∴BC 2＝CE •CP ；（3）解：作BM ⊥PF 于M ．则CE ＝CM ＝CF ，设CE ＝CM ＝CF ＝3a ，PC ＝4a ，PM ＝a ，∵∠MCB ＋∠P ＝90°，∠P ＋∠PBM ＝90°，∴∠MCB ＝∠PBM ，∵PF 是⊙O 的切线，CD 是直径，BM ⊥PC ，∴∠CMB ＝∠BMP ＝90°，∴△BMC ∽△PMB ， ∴BM CM PM BM=， ∴BM 2＝CM •PM ＝3a 2，∴BM ，∴tan ∠BCM ＝BM CM ， ∴∠BCM ＝30°，∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠BOC ＝60°，∵AB =∴BC =． 【点睛】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．22．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（3）；（3）CI．【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；（2）先求出直线BC解析式，设M点坐标为（m，m2−2m−3），P（m，m−3），由题意：△PCM 沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，可得到关于m的一元二次方程，求出m即可得到答案；（3）连接AI，OI，EI，作△OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊥y 轴于H，根据三角形内心可证明△AIO≌△AIE，再结合三角形外接圆及等腰直角三角形性质求得CM，MI，依据两点之间线段最短可得答案．【详解】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，设直线BC解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴303k bb+=⎧⎨=-⎩，解得13 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∵PM⊥x轴，∴P（m，m﹣3），∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴CB OB，∴CP m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，m ＝﹣m 2+3m ，整理得：m 2+﹣3）m ＝0，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝3，∴当m ＝3时，m ﹣3，∴P （3）．（3）如图2，连接AI ，OI ，EI ，作△OAI 的外接圆⊙M ，连接OM ，AM ，MI ，CM ，过M 作MH ⊥y 轴于H ，∵EF ⊥x 轴，∴∠AFE ＝90°，∴∠F AE +∠FEA ＝90°，∵△AEF 的内心为I ，∴AI ，EI 分别平分∠F AE ，∠FEA ，∴∠IAE ＝12∠F AE ，∠IEA ＝12∠FEA ， ∴∠IAE +∠IEA ＝12（∠F AE +∠FEA ）＝45°， ∴∠AIE ＝135°，在△AIO 和△AIE 中，OA EA OAI EAI AI AI =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AIO ≌△AIE （SAS ），∴∠AIO ＝∠AIE ＝135°，∵⊙M 是△OAI 的外接圆，∴∠OMA ＝2×（180°﹣∠AIO ）＝90°，∴OM ＝AM ＝2OA ＝2，∴MI ＝OM ＝2， ∴∠MOA ＝∠MOH ＝45°，∵MH ⊥y 轴，∴∠HOM ＝∠HMO ＝45°，∴OH ＝HM ＝32， ∴CH ＝OH +OC ＝32+3＝92，∴CM ＝2， ∵CI ≥CM ﹣MI ，当且仅当C 、M 、I 三点共线时，CI 取得最小值，∴CI ﹣2． 【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法，三角形内心、外接圆，几何变换−对折，两点之间线段最短，全等三角形判定和性质等知识点，充分利用三角形内心，合理作辅助线是解题关键．。
2021年广东省深圳市中考一模数学试卷( 含答案)
2021年广东省深圳市中考一模数学试题一、选择题（共10小题）.1．在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标．过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将820000000科学记数法表示为（ ） A ．98.210⨯B ．90.8210⨯C ．88.210⨯D ．78210⨯2．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．||||b a >C ．0b c +<D ．0ab >3．画如图所示物体的俯视图，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a bB ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2C ﹣ 2D ．222a a b -＋222b b a -＝2a b- 5．某校男篮队员的年龄分布如表所示：对于不同的a ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A ．平均数，中位数 B ．众数，中位数C ．众数，方差D ．平均数，方差6．商场将进价为100元的商品提高80%后标价，销售时按标价打折销售，结果仍获利44%，则这件商品销售时打几折（ ） A ．7折B ．7.5折C ．8折D ．8.5折7．以下说法正确的是（）A．三角形的外心到三角形三边的距离相等B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C．分式方程11222xx x-=---的解为x＝2D．将抛物线y＝2x2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2－38．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（）A．（8，﹣12）B．（﹣8，12）C．（8，﹣12）或（﹣8，12）D．（5，﹣12）9．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A．abc＞0B．4ac﹣b2＜0C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的正实数根x1取值范围为：1＜x1＜210．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（）（1）EF OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；（3）BE ＋BF OA ；（4）在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34； （5）OG •BD ＝AE 2＋CF 2． A ．（1）（2）（3）（5） B ．（1）（3）（4）（5） C ．（2）（3）（4）（5） D ．（1）（2）（3）（4）二、填空题11．因式分解：9a 3b ﹣ab ＝_____．12．定义运算：*2a b ab =，若a ，b 是方程230x x +-=的两个根，则()1*2a b a ++的值为______．13．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__． 14．在平面直角坐标系xOy 中，A （0，2），B （0，6），动点C 在直线y ＝﹣x 上，若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为_____．15．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC ，点A 的坐标为（3，0），点B ，C 均在第一象限，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点C ，且与边AB 交于点D ，若D 是AB 的中点，则k 的值为_____．三、解答题16．计算：2020(1)2cos 45|2|--︒+-． 17．先化简再求值：（22a -+1）÷24a a -，其中a 是方程a 2+a ＝0的一个根． 18．面对突如其来的疫情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜APP 的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查(每户必选且只能选最常用的一个APP)，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： (A ：天虹到家，B ：叮咚买菜，C ：每日优鲜，D ：盒马鲜生)(1)本次随机调查了 户居民； (2)补全条形统计图的空缺部分；(3)若该小区共有1200户居民，请估计该小区居民选择“C ：每日优鲜”的大约有 户； (4)某日下午，张阿姨想购买苹果和生菜，各APP 的供货情况如下：天虹到家仅有苹果在售，叮咚买菜仅有生菜在售，每日优鲜仅有生菜在售，盒马鲜生的苹果、生菜均已全部售完，则张阿姨随机选择两个不同的APP 能买到苹果和生菜的概率是 ． 19．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P 处，离地面的铅锤高度PQ 为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A 处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60°（A 、B 、P 、Q 四点在同一平面）．（1）求路段BQ 的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:i =AB 的长（结果保留根号）． 20．纸箱厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的有底无盖纸盒（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪）．（1）若有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片恰好全部用完，可供制作竖式与横式纸盒各多少个？（2）现有正方形纸板172张，长方形纸板330张． 若要生产两种纸盒共100个．已知每个竖式纸盒可获利2元，每个横式纸盒可获利3元．应如何安排生产，可使销售利润最大？最大利润是多少？（3）若有正方形纸板112张，长方形纸板a 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．若已知200＜a ＜210，则a 的值是 ．（直接写答案）21．在平面直角坐标系xOy 中，把与x 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线2113:222L y x x =--的顶点为D ，交x 轴于点A 、B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线”，其顶点为P ．（1）若抛物线2L 经过点(2,12)-，求2L 对应的函数表达式； （2）当BP CP -的值最大时，求点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线1L 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若DPQ 与ABC 相似，求其“共根抛物线”2L 的顶点P 的坐标．22．如图1所示，以点M(−1，0)为圆心的圆与y 轴，x 轴分别交于点A ，B ，C ，D ，与(1)求⊙M的半径r；(2)如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC=34，求PHPD的值；(3)如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+12PE的最小值．参考答案1．C 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数． 解：88200000008.210=⨯． 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．D 【分析】根据,,a b c 对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可． 解：由题意得：431023,a b c ---＜＜＜＜＜＜＜＜,,0,0,a b c a b b c ab ∴+＜＜＞＞＞∴A 错误，B 错误，C 错误，D 正确．故选D ． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 3．B 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．解：从上面看矩形分成两个矩形，分线是实线，故B 正确． 故选：B ． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，能看到的线用实线画．4．A 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算法则分别计算得出答案．解：A 、（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a b，故此选项正确；B 、（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故此选项错误；C ﹣，故此选项错误；D 、222222a b a b b a +--＝222a a b -﹣222ba b -＝2a b+，故此选项错误；故选：A ． 【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．B 【分析】根据频数分布表可得前两组的频数和为4，然后求得总人数，最后结合频数分布表即可确定中位数和众数．解：由表可知，年龄13-14岁的频数和为a +4﹣a ＝4， 则总人数为：4+6＝10， 故该组数据的众数为15岁；将数据按大小排列后，第5个和第6个数据处于中间位置，则中位数为：15152+＝15岁. 即对于不同的a ，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数. 故选：B ． 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，根据表中数据得出数据特点确定总人数是解答本题的关键． 6．C 【分析】设这件商品销售时打x 折，根据利润=售价-进价，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设这件商品销售时打x 折， 依题意，得100×（1+80%）×10010044%10x-=⨯， 解得：x=8． 故选：C ． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．B 【分析】利用三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程以及抛物线的平移规律分别判断后即可确定正确的选项．解：A 、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A 说法错误，不符合题意； B 、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，故选项B 说法正确，符合题意； C 、11222x x x -=--- 去分母得，112(2)x x =--- 解这个整式方程得，x ＝2 经检验，x ＝2是原方程的增根，∴原方程无解，故选项C 说法错误，不符合题意；D 、将抛物线y =2x 2-2向右平移1个单位后得到的抛物线是y =2（x -1）2-2，故选项D 说法错误，不符合题意；； 故选：B ． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，三角形的外心的性质、中点四边形、解分式方程及抛物线的平移等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．D【分析】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，利用位似图形的性质可求出B′D 的长，可得B′的纵坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式，把B′纵坐标代入即可得B′的横坐标，即可得答案.【详解】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，∴BC、B′D分别是△ABO和△AB′O′的高，∵A（9，0）、B（6，﹣9），O′（-3，0），∴AO=9，AO′=12，BC=9，∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，∴AOAO'＝BCB D'，即912＝9DB'，解得：B′D＝12，∴点B′的纵坐标为-12，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴9069 k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得：k3b27=⎧⎨=-⎩，∴直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，解得：x＝5，故B′点坐标为：（5，﹣12），故选D．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.9．D【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可以对A 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点情况可对B 进行判断；根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n +1无交点，可对C 进行判断；根据抛物线的对称性，可对D 进行判断．解：A ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣2b a＝﹣1， ∴b ＝2a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故A 正确；B ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即4ac ﹣b 2＜0，故B 正确；C ．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n ），∴函数有最大值n ，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝n +1无交点，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n +1无实数根，故C 正确；D ．∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根x 1取值范围为：0＜x 1＜1，故D 错误；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数的性质，准确识图，从图中获取准确信息，熟练运用数形结合思想． 10．A【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，直角∠MPN ，易证得△BOE ≌△COF （ASA ），则可证得结论；（2）由（1）易证得S 四边形OEBF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，则可证得结论； （3）由BE ＝CF ，可得BE +BF ＝BC ，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE +BFOA ； （4）首先设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1﹣x ，BF ＝x ，继而表示出△BEF 与△COF 的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；（5）易证得△OEG ∽△OBE ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG •OB ＝OE 2，再利用OB 与BD 的关系，OE 与EF 的关系，即可证得结论．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF +∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF +∠COE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，在△BOE 和△COF 中，BOE COF OB OCOBE OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EFOE ；故（1）符合题意；（2）∵S 四边形OEBF ＝S △BOE +S △BOE ＝S △BOE +S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ， ∴S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD ＝1：4；故（2）符合题意；（3）∵△BOE ≌△COF∵∴BE +BF ＝BF +CF ＝BC OA ；故（3）符合题意；（4）过点O 作OH ⊥BC ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12， 设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1﹣x ，BF ＝x ，∴S △BEF +S △COF ＝12BE •BF +12CF •OH ＝12x （1﹣x ）+12（1﹣x ）×12＝﹣12（x ﹣14）2+932， ∵a ＝﹣12＜0， ∴当x ＝14时，S △BEF +S △COF 最大； 即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14； 故（4）不符合题意；（5）∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ：OB ＝OG ：OE ，∴OG •OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE EF ， ∴OG •BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2+BF 2，∴EF 2＝AE 2+CF 2，∴OG •BD ＝AE 2+CF 2．故（5）符合题意．故选：A ．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．11．ab(3a ＋1)(3a ﹣1)【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．解：原式＝ab(9a 2﹣1)＝ab(3a ＋1)(3a ﹣1)．故答案为：ab(3a ＋1)(3a ﹣1).【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解决此类题的关键.12．8-【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含ab 和a+b 的代数式，再由a 、b 是方程230x x +-= 的两个根可得ab 和a+b 的值，最后把ab 和a+b 的值整体代入即可得解．【详解】∵a ，b 为230x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，3ab =-，∴()()1*2222628a b a ab b a ++=++=-+-=-．故答案为-8．【点评】本题考查实数运算和一元二次方程根与系数关系的综合应用，由根与系数关系得到ab 和a+b 的值后代入由实数新运算法则得到的算式求解是解题关键．13．5【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．解：由题意得，10m 3610m 45+=+++ 解得m ＝5，经检验m ＝5是原分式方程的根，故答案为5．【点评】本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．14．3【分析】分别以A 、B 、C 为三角形顶角顶点，根据平面直角坐标中两点距离公式，列出方程求解即可．解：如图所示：∵动点C 在直线y ＝﹣x 上，设点C 坐标为（x ，﹣x ），分三种情况讨论：∵A （0，2），B （0，6），∴AB =6-2=4，当AC ＝AB 时，根据勾股定理，得（x -0）2+(-x -2)2=AC 2=AB 2=42，整理得，（﹣x ﹣2）2+x 2＝42，解得，x 1＝﹣，x 2＝﹣1，所以点C 的坐标分别为：（﹣，1）、（﹣1，当BC ＝AC 时，点C 在AB 中垂线上，点C 纵坐标为（6+2）÷2=4，点C （﹣4，4）； 当BC ＝AB 时，（﹣x ﹣6）2+x 2＝42整理，得x 2+6x +10＝0，实数范围内此方程无解，这种情况不存在，所以点C 的个数为3个．故答案为3．【点评】本题考查了直线上与已知两点组成等腰三角形的点，已知两点坐标用勾股定理求两点距离，用公式法解一元二次方程，根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，分类讨论是解决本题的关键．15．【分析】 可以先设点(,)k C m m ，则点(32m D +，)32k m +，求出点C 的横坐标m ，即可以根据菱形的特征得到3OC OA ==，根据勾股定理求得CE ，即可求得C 的纵坐标，代入解析式进行求解即可．解：依题意，过点C 作CE x ⊥轴交于点E ，设点的坐标为(,)k C m m， 点D 为AB 的中点，∴则点(32m D +，)32k m +，∴232k kmm=⨯+，解得，2m=，2OE∴=，四边形ABCD为菱形，3OA=，3OC∴=，CE∴===，C∴，2k∴==故答案为【点评】此题考查的是反比函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键．16．3【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1﹣+2＝1+2＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17．a+2，a的值为﹣1，原式＝1【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式＝a+2，接着利用因式分解法解方程得到满足条件的a的值，然后代入计算即可．解：（22a-+1）÷24aa-＝22(2)(2) 2a a aa a+-+--＝a+2，方程a2+a＝0可化为a（a+1）＝0，解得a1＝0，a2＝﹣1，∵a≠0，∴a的值为﹣1，当a＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．【点评】本题考查分式的化简求值及解一元二次方程，掌握分式的混合运算，因式分解法解一元二次方程的计算法则及分式成立的条件，正确计算是解题关键．18．(1)200；(2)见解析；(3)240；(4)1 3【分析】（1）根据“调查居民户数=D组户数÷D组所占百分比”，即可求解；（2）先求出A组居民户数，再补全条形统计图，即可；（3）由“C组户数=小区总居民户数×C组所占百分比”，即可求解；（4）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．【详解】（1）∵D组由30户，占总调查户数的15％，∴本次随机调查的居民有：30÷15％=200（户）．故答案是：200；（2）由题意得，A组居民有：200-80-40-30=50（户），补全条形统计图如下：（3）1200×（40÷200×100％）=240（户），答：该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有240户．故答案三是：240；（4）画树状图如下：由树状图可知：共有12种等可能的结果，可以买到苹果和生菜的结果有4种，∴P(买到苹果和生菜)= 4 12= 13． 故答案是： 13．【点评】本题主要考查条形统计图和随机事件的概率，掌握条形统计图的特征，学会画树状图，是解题的关键．19．（1）BQ =2）AB =【分析】（1）由题意可得∠PBQ=60°，然后在Rt △PQB 中利用60°的三角函数求解即可； （2）作AH PQ ⊥于点H ，AM BQ ⊥于点M ，如图，则四边形AMQH 是矩形，设AM a =，根据矩形的性质和坡度的定义可用含a 的代数式表示出PH 和AH ，易得∠PAH=30°，然后利用30°角的三角函数即可求出a ，再根据勾股定理即可求出结果．解：（1）作PD ∥QB ，如图，由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，则在Rt △PQB 中，9sin sin 60PQ BQ PBQ ===∠︒，即BQ =米；（2）作AH PQ ⊥于点H ，AM BQ ⊥于点M ，如图，则四边形AMQH 是矩形，设AM a =，∴HQ=AM=a ，AH=MQ ，∴PH=9－a ，∵:1:i AM BM ==∴BM =，∴AH=QM=QB BM +=+，由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，在Rt △PAH 中，∵tan PH PAH AH∠=，∴tan 30︒==，解得：2a =，∴AM=2，BM=∴AB ==米．∴电子眼区间测速路段AB 的长为【点评】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的相关知识是解题的关键．20．（1）竖式纸盒30个，横式纸盒60个；（2）生产28个竖式纸盒、72个横式纸盒，销售利润最大，最大利润为272元；（3）203或208【分析】（1）设可供制作竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设生产竖式纸盒m 个，则生产横式纸盒（100﹣m ）个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，进而即可得出各生产方案；设销售利润为w 元，根据总利润＝单个利润×生产数量，即可得出w 关于m 的一次函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题；（3）设可供制作竖式纸盒b 个，横式纸盒c 个，根据正方形、长方形纸片的数量，即可得出关a 、b 、c 的三元一次方程组，解之可得出a ＝448﹣5c ，再结合a 的取值范围即可确定a 的值．解：（1）设可供制作竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，根据题意得：433002150x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：3060x y =⎧⎨=⎩． 答：可供制作竖式纸盒30个，横式纸盒60个．（2）设生产竖式纸盒m 个，则生产横式纸盒（100﹣m ）个，根据题意得：2(100)17243(100)330m m m m +-≤⎧⎨+-≤⎩， 解得：28≤m ≤30，设销售利润为w 元，根据题意得：w ＝2m +3（100﹣m ）＝﹣m +300．∵﹣1＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m ＝28时，w 取最大值，最大值为272．∴最佳生产方案是：生产28个竖式纸盒、72个横式纸盒，销售利润最大，最大利润为272元．（3）设可供制作竖式纸盒b 个，横式纸盒c 个，根据题意得：211243b c b c a +=⎧⎨+=⎩， 解得：a ＝448﹣5c ，∵200＜a ＜210，且c 为整数，∴a ＝203或208．故答案为：203或208．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m 的一元一次不等式，利用总利润＝单个利润×生产数量，找出w 关于m 的一次函数关系式；（3）通过解方程组找出a ＝448﹣5c ．21．（1）2268y x x =--；（2）点3,52P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1339,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或2321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或435,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线2L 经过抛物线1L 与x 轴交点，故根据抛物线1L 可求AB 两点坐标进而由交点式设2L 为(1)(4)y a x x =+-，将点(2,12)-代入，即可求出解； （2）由抛物线对称性可知PA=PB ，∴BP CP AP CP -=-，根据三角形两边之差小于第三边可知当当A 、C 、P 三点共线时，BP CP -的值最大，而P 点在对称轴为32x =上，由此求出点P 坐标；（3）根据点ABC 坐标可证明△ABC 为直角三角形，DPQ 与ABC 相似，分两种情况讨论：当90DPQ ︒∠=、90DQP ︒∠=时，分别利用对应边成比例求解即可．解：（1）当0y =时，2132022x x --=，解得11x =-，24x =． ∴(1,0)A -、(4,0)B 、(0,2)C -．由题意得，设2L 对应的函数表达式为(1)(4)y a x x =+-，又∵2L 经过点(2,12)-，∴12(21)(24)a -=+-，∴2a =．∴2L 对应的函数表达式为22(1)(4)268y x x x x =+-=--．（2）∵1L 、2L 与x 轴交点均为(1,0)A -、(4,0)B ，∴1L 、2L 的对称轴都是直线32x =． ∴点P 在直线32x =上． ∴BP AP =．如图1，当A 、C 、P 三点共线时，BP CP -的值最大，此时点P 为直线AC 与直线32x =的交点． 由(1,0)A -、(0,2)C -可求得，直线AC 对应的函数表达式为22y x =--．∴点3,52P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）由题意可得，5AB =，CB =，CA =，因为在ABC 中，222AB BC AC =+，故90,2ACB CB CA ︒∠==． 由22131325222228y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，得顶点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 因为2L 的顶点P 在直线32x =上，点Q 在1L 上， ∴PDQ ∠不可能是直角． 第一种情况：当90DPQ ︒∠=时，①如图2，当QDP ABC ∽时，则得12QP AC DP BC ==． 设213,222Q x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2313,2222P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴22132513932,2282282DP x x x x QP x ⎛⎫⎛⎫=----=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由12QP DP =得213923228x x x -=-+，解得12113,22x x ==． ∵32x =时，点Q 与点P 重合，不符合题意， ∴舍去，此时339,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ②如图3，当DQP ABC ∽时，则得12DP AC QP BC ==． 设213,222Q x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2313,2222P x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ∴22132513932,2282282DP x x x x QP x ⎛⎫⎛⎫=----=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由12DP QP =得239324x x x -=-+，解得1253,22x x ==（舍），此时321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 第二种情况：当90DQP ︒∠=时，①如图4，当PDQ ABC ∽时，则得12PQ AC DQ BC ==．过Q 作QM PD ⊥交对称轴于点M ，∴QDM PDQ ∽． ∴12QM PQ DM DQ ==．由图2可知3391139,,,2828M Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴8,4MD MQ ==．∴QD =，又QD PD DM DQ=，代入得10PD =． ∵点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ②如图5，当DPQ ABC ∽时，则12DQ AC PQ BC ==．过Q 作QM PD ⊥交对称轴于点M ，∴QDM PDQ ∽，则2QM PQ DM DQ==． 由图3可知321,28M ⎛⎫-⎪⎝⎭，521,28Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴12MD =，1MQ =，∴QD =又QD PD DM DQ =，代入得52PD =． ∵点325,28D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点35,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述，1339,28P ⎛⎫⎪⎝⎭或2321,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3355,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或435,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点评】 本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．22．（1）r=2；（2）PH PD =23；（3． 【分析】（1）连接MH ，根据点E （5-，0）和点F （0，），求出EF 的值，再通过证明△EMH ∽△EFO ，得到HM EM OF EF＝，即可解出r 的值； （2）连接DQ 、CQ ，由cos ∠QDC =cos ∠QHC =34，可得34DQ CD =，由（1）可知，r=2，故CD=4，由DQ=3，CH 是RT △EHM 斜边上的中线，得到CH=12EM=2．再通过证明△CHP ∽△QDP ，即可得到23HP CH PD DQ ==； （3）取CM 的中点N ，连接PM 、PN ，由OM=1，OE=5，可得ME=4，进而得到12MN MP PM ME ==， 通过证明△PMN ∽△EMP ，可得12PN PE =，即12PN PE =，所以当F 、P 、N 三点共线时，PF+12PE 的最小值为FN 的长，根据勾股定理可求的PF+12PE 的最小值. 【详解】（1）如图，连接MH ，∵点E（5-，0）和点F（0，），∴OE=5，，∴EF===∵M（-1，0），∴OM=1，∴EM=OE-OM=4，∵∠E=∠E，∠AOE=∠EHM，∴△EMH∽△EFO，∴HM EM OF EF＝，∴r=2；(2) 如图，连接DQ、CQ.∵CD为直径，∴∠CQD=90°，∵∠QHC=∠QDC，∴cos∠QDC =cos∠QHC =34，∴34 DQCD=，由（1）可知，r=2，故CD=4，∴DQ=3，∵CH是RT△EHM斜边上的中线，∴CH=12EM=2．∵∠CHP=∠QDP，∠CPH=∠QPD，∴△CHP∽△QDP，∴23 HP CHPD DQ==；（3）如图，取CM的中点N，连接PM、PN，∵OM=1，OE=5，∴ME=4，∴12 MN MPPM ME==，又∵∠PMN=∠EMP，∴△PMN∽△EMP，∴12 PNPE=，∴12PN PE=，当F、P、N三点共线时，PF+12PE的最小值为FN的长，∴点N为CM的中点，∴ON=2，∴NF ===，∴PF+12PE . 【点评】本题综合考察圆的性质，相似三角形的判定和性质，难度较大.解题的关键是根据题意正确作出辅助线，构造相似三角形.。
2021年广东省深圳市中考数学一模试卷(附详解)
2021年广东省深圳市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2的绝对值是()A. −2B. 2C. −12D. 122.下列立体图形中，俯视图是正方形的是()A. B. C. D.3.未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为()A. 0.845×104亿元B. 8.45×103亿元C. 8.45×104亿元D. 84.5×102亿元4.下列图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.某市6月份某周气温(单位：℃)为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是()A. 25、25B. 28、28C. 25、28D. 28、316.下列命题是假命题的是()A. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等B. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C. 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦D. 同弧所对的圆周角相等7.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费()A. 17元B. 19元C. 21元D. 23元8.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD.若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是()A. 70°B. 44°C. 34°D. 24°9.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是()A. 12B. 1C. √3D. 210.如图，在Rt△ABC中，CA=CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EM，则下列结论中：①BF=CE；②∠AEM=∠DEM；③CF⋅DM=BM⋅DE；④DE2+DF2=2DM2，其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.分解因式：x2y−y3=______．12.有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为______．13.对于实数p、q，我们用符号min{p,q}表示p、q两数中较小的数，如min{1,2}=1，若min{(x−1)2,x2}=1，则x=______．14.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为______ ．15.如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD，OD=3，OC=5，则k的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）16.计算：√18−4sin45°+(√2021−π)0−(12)−1．17.先化简，再求值：(2xx−2+xx+2)÷xx2−4，其中x=−1．18.某校为了解本校九年级学生2020年适应性考试数学成绩，现从九年级学生中随机抽取部分学生的适应性考试数学成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘成如图所示不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题：(说明：A等级：80～100分，B等级：70～80分，C等级：60～70分，D等级：0～60分，每组中包含最小值不包含最大值，但是80～100分既包含最小值又包含最大值)(1)此次抽查的人数为______ ．(2)补全条形统计图，补充完整．(3)扇形统计图中D等级所对的圆心角的度数是______ ．(4)从该校九年级的学生中随机抽查1人，数学成绩是A等级的概率是______ ．19.如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分别将△ABD、△ACD沿AB、AC对折，得到△ABE、△ACF，延长EB、FC相交于G点．(1)求证：四边形AEGF是正方形；(2)若BD=2，DC=3，求AD的长．20.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm．(1)若花园的面积为192m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．21.问题：如图1，⊙O中，AB是直径，AC=BC，点D是劣弧BC上任一点.(不与点B、C重合)求证：AD−BD为定值．CD思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△ACE≌△BCD.按思路完成下列证明过程．证明：在AD上截取点E.使AE=BD.连接CE．运用：如图2，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A(3,0)，与轴相交于B、C两点，且BC=8，连接AB，O1B.(1)OB的长为______ ．(2)如图3，过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O2的大小变化时，问BM−BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM−BN的值．22.如图1，已知抛物线y=−√3(x+3)(x−4√3)与x轴交于A、B两点，与y轴交于9点C．(1)写出A、B、C三点的坐标．(2)若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值．(3)如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D(4,0)，直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．根据绝对值的定义，可直接得出−2的绝对值．【解答】解：|−2|=2．故选：B．2.【答案】B【解析】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；D、圆锥的俯视图是圆，故此选项错误；故选：B．俯视图是从物体上面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】B【解析】解：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．5.【答案】B【解析】解：将这组数据从小到大的顺序排列23，25，25，28，28，28，31，在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28，处于中间位置的那个数是28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28；故选B．根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．本题为统计题，考查中位数与众数，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，本选项说法是假命题；B、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，本选项说法是真命题；C、平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，本选项说法是真命题；D、同弧所对的圆周角相等，本选项说法是真命题；故选：A．根据圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理、圆周角定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7.【答案】B【解析】解：根据题意得：13+(8−5)×2=13+6=19(元)．则需要付费19元．故选：B．根据题意列出算式计算，即可得到结果．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的内角和的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=∠BAD=70°，∵∠C=36°，∴∠BAC=104°，∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=34°．故选C．9.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及锐角三角函数定义，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=QB′，进而求出答案．PB′【解答】解：如图所示：平移AB到PB′位置，使A点与P点重合，B至B′位置，连接B′Q，可得∠QMB=∠P，∵PB′=2√2，PQ=2√10，B′Q=4√2，∴PB′2+QB′2=PQ2，∴△QPB′是直角三角形，∴tan∠QMB=tan∠P=QB′PB′=4√22√2=2．故选D．10.【答案】D【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°，∵∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴BF=CE，故①正确；由全等可得：AE=CF，BF=CE，∴AE−CE=CF−CE=EF，如图，连接FM，CM，∵点M是AB中点，∴CM=12AB=BM=AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，∴∠DBF=∠DCM，又BM=CM，BF=CE，∴△BFM≌△CEM(SAS)，∴FM=EM，∠BMF=∠CME，∵∠BMC=90°，∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴∠MEF=∠MFE=45°，∵∠AEC=90°，∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，∵∠CDM=∠ADE，∠CMD=∠AED=90°，∴△CDM∽△ADE，∴CDAD =CMAE=DMDE，∵BM=CM，AE=CF，∴BMCF =DMDE，∴CF⋅DM=BM⋅DE，故③正确；如图，设AE与CM交于点N，连接DN，∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，∴△DFM≌△NEM(ASA)，∴DF=EN，DM=MN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴DN=√2DM，而∠DEA=90°，∴DE2+DF2=DN2=2DM2，故④正确；故正确结论为：①②③④.共4个．故选：D．证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF 为等腰直角三角形，得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；证明△CDM∽ADE，得到对应边成比例，结合BM=CM，AE=CF，可判断③；证明△DFM≌△NEM，得到△DMN 为等腰直角三角形，得到DN=DM，可判断④．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．11.【答案】y(x+y)(x−y)【解析】解：x2y−y3=y(x2−y2)=y(x+y)(x−y)．故答案为：y(x+y)(x−y)．先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．12.【答案】23【解析】解：设其中一双鞋分别为a，a′；画树状图得：∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：812=23．故答案为：23．设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】2或−1【解析】解：∵min{(x−1)2,x2}=1，当x=0.5时，x2=(x−1)2，不可能得出最小值为1，∴当x>0.5时，(x−1)2<x2，则(x−1)2=1，x−1=±1，x−1=1，x−1=−1，解得：x1=2，x2=0(不合题意，舍去)，当x<0.5时，(x−1)2>x2，则x2=1，解得：x1=1(不合题意，舍去)，x2=−1，综上所述：x的值为：2或−1．故答案为：2或−1．首先理解题意，进而可得min{(x−1)2,x2}=1时分情况讨论，当x=0.5时，x>0.5时和x<0.5时，进而可得答案．此题主要考查了解一元二次方程−直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．14.【答案】13或1【解析】解：作PH⊥AD于H，如图，设BP=x，则CP=2−x．∵PE⊥PA，∴∠2+∠3=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴Rt△ABP∽Rt△PCE，∴ABPC =BPCE.即12−x=xCE．∴CE=x(2−x)．∵△PEC沿PE翻折到△PEF位置，使点F落到AD上，∴EF=CE=x(2−x)，PF=PC=2−x，∠PGE=∠C=90°，∴DE=DC−CE=1−x(2−x)．∴∠5+∠6=90°．∵∠4+∠6=90°，∴∠5=∠4．∴Rt△PHF∽Rt△FDE，∴PHFD =PFFE，即1FD=2−xx(2−x)．∴FD=x，在Rt△DFE中，∵DE2+DF2=FE2，∴[1−2(2−x)]2+x2=[x(2−x)]2，解得x1=13，x2=1，∴BP的长为13或1．故答案为：13或1．作PH⊥AD于H，如图，设BP=x，则CP=2−x，利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则根据相似三角形的判定得到Rt△ABP∽Rt△PCE，利用相似比、折叠的性质得表示相应的线段，然后证明Rt△PHF∽Rt△FDE，利用相似比得到FD，在Rt△DFE中，根据勾股定理即可求解．本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，证得Rt△ABP∽Rt△PCE、Rt△PHG∽Rt△GDE是解题的关键．15.【答案】152【解析】解：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP．∵△AOB的两条外角平分线交于点P，∴PM=PH，PN=PH，∴PM=PN，∴可以假设P(m,m)，∵P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，∴k=m2，∵∠POA=∠POB=∠CPD=45°，∴∠COP=∠POD=135°，∵∠POB=∠PCO+∠OPC=45°，∠APO+∠OPD=45°，∴∠PCO=∠OPD，∴△COP∽△POD，∴OP2=OC⋅OD=5×3=15，∴OP=√15，根据勾股定理，m2+m2=15，∴k=m2=15 2故答案为152．作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP.利用角平分线的性质得出PM= PN，可以假设P(m,m)，则k=m2，利用勾股定理得到m2+m2=OP2，通过证得△COP∽△POD，得到OP2=OC⋅OD=5×3=15，即可求得k的值．本题属于考查了反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．16.【答案】解：原式=3√2−4×√22+1−2=3√2−2√2+1−2=√2−1．【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：原式=2x(x+2)+x(x−2)(x+2)(x−2)×(x+2)(x−2)x=3x+2，当x=−1时，原式=−1．【解析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则即可求出答案．18.【答案】150 36°15【解析】解：(1)此次抽查的学生有：36÷24%=150(人)；故答案为：150；(2)A等级的学生数是：150×20%=30(人)，补全统计图如下：(3)扇形统计图中D等级所对的圆心角的度数是360°×15150=36°，故答案为：36°；(4)从该校九年级的学生中随机抽查1人，数学成绩是A等级的概率是30150=15，故答案为：15．(1)根据统计图可知，C等级有36人，占调查人数的24%，从而可以得到本次抽查的学生数；(2)根据(1)中求得的抽查人数可以求得A等级的学生数，从而可以将统计图补充完整；(3)用360°乘以D等级人数所占比例即可；(4)用样本中A等级人数除以被调查的总人数即可．本题考查概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，用翻折的性质可知，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，AE=AD=AF，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∵∠BAC=45°，∴∠EAF=90°，∴四边形AEGF是矩形，∵AE=AF，∴四边形AEGF是正方形．(2)解：根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，则BG=EG−BE=x−2，CG=FG−CF=x−3，在直角△BCG中，根据勾股定理可得：(x−2)2+(x−3)2=52，解得：x=6或−1(舍去)．∴AD=6．【解析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．(2)设正方形AEGF的边长是x.则BG=EC−BE=x−2，CG=FG−CF=x−3，在直角△BGC中利用勾股定理即可得到关于x的方程，即可求解．本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．20.【答案】解：(1)∵AB=x，则BC=(28−x)，∴x(28−x)=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值为12或16；(2)∵AB=xm，∴BC=28−x，∴S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∵28−15=13，∴6≤x≤13，∴当x=13时，S取到最大值为：S=−(13−14)2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方米．【解析】(1)根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；(2)由题意可得出：S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，再利用二次函数增减性求得最值．此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．21.【答案】1【解析】证明：如图1，在AD上截AE=BD，∵CD⏜=CD⏜，∴∠CAD=∠CBD，在△ACE和△BCD中，{AC=BC∠CAE=∠CBD AE=BD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠ACE=∠BCD，CE=CD，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ECD=90°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴CD=√22ED，∵ED=AD−BD，∴AD−BDCD =√2，即AD−BDCD为定值；(1)如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，∴CH=BH=4，O1H=3，O1A⊥x轴，∴O1B=√O1H2+HB2=5，∴O1A=O1B=5，∴HO=5，∴OB=HO−HB=5−4=1，故答案为：1；(2)BM−BN的值不变，如图2，由(1)得，O1A⊥OA，∵OB⊥AO，∴O1A//OB，∴∠O1BA=∠OBA，∵O1A=O1B，∴∠O1BA=∠O1AB，∴∠ABO1=∠ABO，如图3，在MB上取一点G，使MG=BN，连接AN，AG，∵∠ABO1=∠ABO，∠ABO1=∠AMN，∴∠ABO=∠AMN，∵∠ABO=∠ANM，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，∵AB⏜=AB⏜，∴∠AMG=∠ANB，在△AMG和△ANB中，{AM=AN∠AMG=∠ANB MG=BN，∴△AMG≌△ANB(SAS)，∴AG=AB，∵AO⊥BG，∴BG=2BO=2，∴BM−BN=BM−MG=BG=2，即BM−BN的值不变．证明：在AD上截取AE=BD，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠CBD，然后证明△ACE≌△BCD，然后根据角的等量代换得出∠ECD=90°，进而得出△ECD为等腰直角三角形，用ED表示CD，因为ED=AD−BD最后即可得出结论；(1)连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，根据垂径定理和勾股定理求出O1B的长度，根据切线的性质得出O1A⊥x轴，得到OH=5，进而即可得出结果；(2)在图2中先根据平行和O1A=O1B得出∠ABO1=∠ABO，然后在MB上取一点G，使MG=BN构造全等，证明△AMG≌△ANB，得到AG=AB，然后根据等腰三角形三线合一得出BG=2，再根据等量代换即可得到结论．本题考查圆的综合题，同弧所对的圆周角相等，两条半径所形成的三角形是等腰三角形，等腰三角形三线合一，垂径定理是解本题的必备知识，利用“截长补短”法证明全等是解本题的关键．22.【答案】解：(1)∵y=−√39(x+3)(x−4√3)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴A(−3,0)，B(4√3,0)，C(0,4)．(2)将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP′C′，连接PP′，CC′，∴BP=BP′，BC=BC，∠PBP′=60°，∠CBC′=60°，PC=P′C′，∴△BPP′和△BCC′为等边三角形，∴BC′=BC，PP′=BP，当O，P，P′，C′四点共线，OP+BP+CP的值最小，∴tan∠OBC=OCOB =44√3=√33，∴∠OBC=30°，∴BC=2OC=8，∴BC′=BC=8，∵∠OBC′=∠OBC+∠CBC′=30°+60°=90°，∴OC′=√OB2+BC2=√(4√3)2+82=4√7，∴OP+BP+CP=OP+PP′+C′P′=OC′=4√17．(3)需要分类讨论：①如图，当CE=CF时，过点F作FG⊥CE于点G，则△CFG∽△CAO，∵OA=3，OC=4，∴AC=5，∴FG：GC：FC=OA：OC：AC=3：4：5，设FG=3m，则OG=4m，FC=5m，∴CE=FC=5m，∴GE=m，OE=4−5m，∵△FGE∽△DOE，∴OGOD =EGOE，第21页，共23页∴3m4=m4−5m，∴m=815，∴CE=5m=83；②如图，当CE=EF时，过点A作AG//EF交y轴于点G，由EF=CE，可得，AG=CG，设OG=m，则AG=CG=4−m，∵OA2+OG2=AG2，∴32+m2=(4−m)2，解得，m=78．由A(−3,0)和G(0,78)，可得直线AG的解析式为：y=724x+78，设直线DF为：y=724x+b，将D(4,0)代入得：b=−76，∴E(0,−76)，∴CE=4+76=316．③如图，当CF=EF时，过点C作CG//DE交x轴于点G，则∠GCO=∠ACO，∴OG=OA=3，∴G(3,0)，由G(3,0)，C(0,4)可得直线CG的解析式为：y=−43x+4，第22页，共23页第23页，共23页 设直线DE 为：y =−43x +n ，将D(4,0)代入得：n =163， ∴E(0,163)， ∴CE =163−4=43．故CE 的长为：83或316或43．【解析】(1)令y =0，可求出点A ，点B 的坐标，令x =0，可得出点C 的坐标；(2)将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BP′C′，连接PP′，CC′，当O ，P ，P′，C′四点共线，OP +BP +CP 的值最小，再在直角三角形中，求出此时的最小值；(3)需要分类讨论，当CE =CF ，CE =EF ，CF =EF 时，分别求解．本题主要考查等腰三角形存在性问题，分类讨论，并结合背景图形进行求解是解题关键．。
2021年广东省深圳市中考数学一模测试卷
2021年广东省深圳市中考数学一模测试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）相反数等于它本身的数是()A．1B．0C．1-D．0或1±2．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A．B．C．D．3．（3分）2018年，临江市生产总值为1587.33亿元，请用科学记数法将1587.33亿表示为( )A．8⨯D．121.5873310⨯1.5873310⨯B．131587.33101.5873310⨯C．114．（3分）下列几何体的左视图和俯视图相同的是()A．B．C．D．5．（3分）数据3、4、6、7、x 的平均数是5，则这组数据的中位数是( )A ．4B ．4.5C ．5D ．66．（3分）下列运算：①236x x x =；②2222x x x +=；③236()x x =；④22(3)9x x -=中，正确的是( )A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③7．（3分）如图，将直尺与含30︒角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒8．（3分）如图，在已知的ABC ∆中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若AD AC =，80A ∠=︒，则ACB ∠的度数为( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒9．（3分）如图，O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OB 、OD ，若四边形ABOD 是平行四边形，则ABO ∠的度数是( )A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒10．（3分）一艘轮船在A 处测得灯塔S 在船的南偏东60︒方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B 处，这时测得灯塔S 在船的南偏西75︒方向，则灯塔S 离观测点A 、B 的距离分别是( )A ．(15315)-海里、15海里B ．(153152)-海里、5海里C ．(153152)-海里、152海里D ．(15315)-海里、152海里 11．（3分）如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象．下列结论：①0b >；②0a b c -+<；③21ax bx c ++=有两个实数根．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．312．（3分）如图，在长方形ABCD 中，6DC cm =，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把ADE ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若ABF ∆的面积为224cm ，那么折叠的ADE ∆的面积为( 2)cmA ．30B ．20C ．403D ．503二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）分解因式：22369xy x y y --= ．14．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为13，那么盒子内白色兵乓球的个数为 ．15．（3分）如图，已知点A 在y 轴上，反比例函数4(0)y x x =>的图象经过AOBC 的顶点B 和AC 的中点D ，45ACB ∠=︒，则点C 的坐标为 ．16．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，3tan 4B =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE BC ⊥，垂足为点E ，则DE = ．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：021|12|2sin 45(3.14)()2π---︒+--． 18．（6分）先化简，再求值2421(1)326x x x x -+-÷++，其中21x =+． 19．（7分）某校为了了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了 名学生，将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角的大小为 ︒；（3）若该校有1900名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．20．（8分）（1）如图，在ABC∆中，以AB为直径的O交BC于点D，连接AD，请你添加一个条件，使ABD ACD∆≅∆，并说明全等的理由，你添加的条件是：．（2）在（1）的基础上，过点D作O的切线与AC相交于E，此时，判断DE是否与AC垂直，并请你说明理由．21．（8分）某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元，已知一月份卖出20台冰箱，二月份卖出25台冰箱，二月份的销售额比一月份多1万元．（1）一、二月份冰箱每台售价各为多少元？（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台(12)y，请问有几种进货方案？（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，在这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a=．（直接写出结果）22．（9分）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B为线段AC 51 -（1）在图①中，若20AC cm=，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点()E AE DE>，连接BE，作CF BE⊥，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．23．（9分）如图1所示，已知直线y kx m =+与抛物线2y ax bx c =++分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点(6,0)B 和点(0,6)C ，且抛物线的对称轴为直线4x =；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PBC ∆是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且1023CQ =，点M 是y 轴上一个动点，求AQM ∆的最小周长．2021年广东省深圳市中考数学一模测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）相反数等于它本身的数是()A．1B．0C．1-D．0或1±【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：相反数等于它本身的数是0．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．2．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180︒后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3．（3分）2018年，临江市生产总值为1587.33亿元，请用科学记数法将1587.33亿表示为( )A．81.5873310⨯D．121.5873310⨯⨯C．111587.3310⨯B．131.5873310【分析】科学记数法的表示形式为10na<，n为整数．确定n的值a⨯的形式，其中1||10时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n是正数；当原数的绝对值1<时，n是负数．【解答】解：用科学记数法将1587.33亿表示为811⨯=⨯．1587.3310 1.5873310故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中a<，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．1||104．（3分）下列几何体的左视图和俯视图相同的是()A．B．C．D．【分析】分别画出各种几何体的左视图和俯视图，进而进行判断即可．【解答】解：选项A中的几何体的左视图和俯视图为：选项B中的几何体的左视图和俯视图为：选项C中的几何体的左视图和俯视图为：选项D中的几何体的左视图和俯视图为：因此左视图和俯视图相同的是选项D中的几何体．故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是得出正确结论的前提．5．（3分）数据3、4、6、7、x的平均数是5，则这组数据的中位数是() A．4B．4.5C．5D．6【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案．【解答】解：数据3、4、6、7、x的平均数是5，x∴++++÷=，(3467)55解得：5x=，把这些数从小到大排列为：3、4、5、6、7，最中间的数是5，∴这组数据的中位数是5；故选：C．【点评】此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据个数的奇偶性来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．6．（3分）下列运算：①236x x x =；②2222x x x +=；③236()x x =；④22(3)9x x -=中，正确的是( )A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及整式的加减的计算法则进行计算，进而得出答案．【解答】解：23235x x x x +==，因此①不正确；根据整式加减的计算方法，合并同类项可得2222x x x +=，因此②正确；23236()x x x ⨯==，因此③正确；④2222(3)(3)9x x x -=-=，因此④正确；因此正确的有：②③④，故选：A ．【点评】考查整式加减、整式乘除的计算方法，掌握计算法则是正确计算的前提．7．（3分）如图，将直尺与含30︒角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【分析】先根据三角形外角的性质求出BEF ∠的度数，再根据平行线的性质得到2∠的度数．【解答】解：如图，BEF ∠是AEF ∆的外角，120∠=︒，30F ∠=︒，150BEF F ∴∠=∠+∠=︒，//AB CD ，250BEF ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．8．（3分）如图，在已知的ABC ∆中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若AD AC =，80A ∠=︒，则ACB ∠的度数为( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒【分析】根据作图过程可得DM 是BC 的垂直平分线，所以DC DB =，所以B DCB ∠=∠，再根据AD AC =，80A ∠=︒，可得50ADC ∠=︒，进而求出ACB ∠的度数． 【解答】解：根据作图过程可知：DM 是BC 的垂直平分线，DC DB ∴=， B DCB ∴∠=∠，2ADC B DCB DCB ∴∠=∠+∠=∠， AD AC =，80A ∠=︒，1(180)502ADC ACD A ∴∠=∠=︒-∠=︒，1252DCB ADC ∴∠=∠=︒，255075ACB DCB ACD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒． ACB ∴∠的度数为75︒．故选：C ．【点评】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．9．（3分）如图，O是四边形ABCD的外接圆，连接OB、OD，若四边形ABOD是平行四边形，则ABO∠的度数是()A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒【分析】由四边形ABOD是平行四边形，推出A BOD∠=∠，由2∠=∠，BOD CA BOD∠=︒，120∠=∠=︒即可解决问题．CA C∠+∠=︒，推出60180【解答】解：四边形ABOD是平行四边形，A BOD∴∠=∠，∠+∠=︒，A C2∠=∠，180BOD C∴∠=︒，120∠=∠=︒，A BODC60AD OB，//ABO DAB∴∠+∠=︒，180ABO∴∠=︒，60故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（3分）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60︒方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75︒方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是()A．(15315)海里、15海里B．(153152)海里、5海里-海里、152 C．(153152)海里、152D．(15315)【分析】过S作SC AB=，根据线段垂直平分线的性质得到⊥于C，在AB上截取CD AC=，设CS x=，解∠=∠=︒，求得SD BDCDS CAS=，由等腰三角形的性质得到30AS DS直角三角形即可得到结论．【解答】解：过S 作SC AB ⊥于C ，在AB 上截取CD AC =， AS DS ∴=，30CDS CAS ∴∠=∠=︒， 15ABS ∠=︒， 15DSB ∴∠=︒， SD BD ∴=，设CS x =，在Rt ASC ∆中，30CAS ∠=︒， 3AC x ∴=，2AS DS BD x ===，30AB =海里，∴33230x x x ++=，解得：15(31)x -=， (15315)AS ∴=-（海里）；22152BS CS BC ∴=+=（海里），∴灯塔S 离观测点A 、B 的距离分别是(15315)-海里、152海里，故选：D ．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．11．（3分）如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象．下列结论：①0b >；②0a b c -+<；③21ax bx c ++=有两个实数根．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】①根据开口方向和对称轴，确定b 的符号； ②根据1x =-时，0y <，确定a b c -+的符号；③根据抛物线与直线1y =的交点情况，确定21ax bx c ++=有两个实数根． 【解答】解：①抛物线开口向下，0a <，对称轴在y 轴右侧， 0b ∴>，①正确；②1x =-时，0y <， 0a b c ∴-+<，②正确；③抛物线与直线1y =有两个交点， 21ax bx c ∴++=有两个实数根，③正确；故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据开口方向、对称轴、与y 轴的交点确定a 、b 、c 的符号，根据抛物线与x 轴的交点情况，确定24b ac -的符号方程的根． 12．（3分）如图，在长方形ABCD 中，6DC cm =，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把ADE ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若ABF ∆的面积为224cm ，那么折叠的ADE ∆的面积为( 2)cmA ．30B ．20C ．403D ．503【分析】由面积法可求BF 的长，由勾股定理可求AF 的长，即可求CF 的长，由勾股定理可求DE 的长，即可求解．【解答】解：四边形ABCD 是矩形，6AB CD cm ∴==，ABF ∆的面积为224cm ，∴1242AB BF ⨯⨯=， 8BF cm ∴=，10AF cm ∴==，沿直线AE 把ADE ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处， 10AD AF BC cm ∴===，DE EF =， 2CF cm ∴=，222EF CE CF =+，22(6)4DE DE ∴=-+， 103DE ∴=， ADE ∴∆的面积21105010233cm =⨯⨯=，故选：D ．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形的面积公式，求出CF 的长是本题的关键．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．（3分）分解因式：22369xy x y y --= 2(3)y x y -- ． 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式222(69)(3)y y xy x y x y =--+=--， 故答案为：2(3)y x y --【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为13，那么盒子内白色兵乓球的个数为 4 ．【分析】先求出盒子内乒乓球的总个数为，然后用总个数减去黄球个数得到据摸到白色乒乓球的个数．【解答】解：盒子内乒乓球的个数为1263÷=（个)，白色兵乓球的个数624-=（个) 故答案为4．【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．15．（3分）如图，已知点A 在y 轴上，反比例函数4(0)y x x=>的图象经过AOBC 的顶点B和AC 的中点D ，45ACB ∠=︒，则点C 的坐标为 (2,5) ．【分析】延长CB ，交x 轴于E ，根据题意求得(2,2)B ，设OA n =，则BC n =，所以(0,)A n ，(2,2)C n +，进而求得(1,1)D n +，代入4y x=求得n 的值，即可求得C 的坐标． 【解答】解：延长CB ，交x 轴于E ，AOBC 中，45ACB ∠=︒，//OA BC ∴，OA BC =，45AOB ∠=︒，点A 在y 轴上， CE x ∴⊥轴， 45BOE ∴∠=︒， BE OE ∴=，∴设(,)B m m ，反比例函数4(0)y x x=>的图象经过AOBC 的顶点B ，24m ∴=，2m ∴=±（负数舍去）， (2,2)B ∴，设OA n =，则BC n =， (0,)A n ∴，(2,2)C n +，点D 是AC 的中点，(1,1)D n ∴+，点D 在反比例函数4(0)y x x=>的图象上，1(1)4n ∴⨯+=， 3n ∴=，(2,5)C ∴，故答案为(2,5)．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得C 点的坐标，进而表示出D 的坐标是解题的关键．16．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，3tan 4B =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE BC ⊥，垂足为点E ，则DE =87．【分析】根据直角三角形的边角关系求出BC ，再根据角平分线的性质，作辅助线，得出DE DF =，进而用三角形的面积公式列方程求解即可．【解答】解：在Rt ABC ∆中，2AC =，3tan 4B =， 8tan 3AC BC B ∴==， 如图，过点D 作DF AC ⊥，垂足为F ， CD 平分ACB ∠，DE BC ⊥，DE DF ∴=，由三角形的面积公式得，111222AC DF BC DE AC BC +=，即：882233DE DE +=⨯，解得，87DE =，【点评】考查直角三角形的边角关系，角平分线的性质，利用三角形的面积公式求解则比较简单．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：021|122sin 45(3.14)()2π--︒+--．【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可． 【解答】解：原式221214=--+- 21214=--4=-．【点评】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．18．（6分）先化简，再求值2421(1)326x x x x -+-÷++，其中21x ． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：2421(1)326x x x x -+-÷++ 2342(3)3(1)x x x x +-+=+- 2121(1)x x -=-21x =-， 当21x 时，原式2211+-【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19．（7分）某校为了了解学生的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了200名学生，将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角的大小为︒；（3）若该校有1900名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．【分析】（1）根据意识“很强”的学生人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后根据条形统计图中的数据，可以计算出意识“较强”的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据（1）中补充完整条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角的度数；（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出和全校需要强化安全教育的学生人数．【解答】解：（1）这次调查的了：9045%200÷=名学生，具有“较强”意识的学生有：20020309060---=（人)，故答案为：200，补全的条形统计图如右图所示；（2）扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角的大小为60360108200︒⨯=︒，故答案为：108；（3）20301900475200+⨯=（人)答：全校需要强化安全教育的学生有475人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（8分）（1）如图，在ABC ∆中，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，连接AD ，请你添加一个条件，使ABD ACD ∆≅∆，并说明全等的理由，你添加的条件是： BD DC = ． （2）在（1）的基础上，过点D 作O 的切线与AC 相交于E ，此时，判断DE 是否与AC 垂直，并请你说明理由．【分析】（1）由已知条件可知ABD ∆和ACD ∆是直角三角形，添加BD CD =，利用垂直平分线的性质得出AB AC =，利用“HL ”证明全等；（2）DE AC ⊥，连接OD ，先证明OD 是ABC ∆的中位线，得到//OD AC ，利用两直线平行内错角相等，证明90CED ODE ∠=∠=︒，可得DE AC ⊥． 【解答】解：（1）BD DC =，AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在ABD ∆和ACD ∆中， AD ADBD DC=⎧⎨=⎩， ()ABD ACD HL ∴∆≅∆；（2）DE AC ⊥，连接OD ， DE 是O 的切线，DE OD ∴⊥，由（1）可知，BD DC =，OD ∴是ABC ∆的中位线，//OD AC ∴，90CED ODE ∴∠=∠=︒，即DE AC ⊥．【点评】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定．连接圆心和切点即可得到垂直关系，在以后遇到切线的问题，就考虑连接圆心和切点，构成垂直关系．21．（8分）某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元，已知一月份卖出20台冰箱，二月份卖出25台冰箱，二月份的销售额比一月份多1万元．（1）一、二月份冰箱每台售价各为多少元？（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y 台(12)y ，请问有几种进货方案？（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a 元，而洗衣机按每台4400元销售，在这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a = 100 ．（直接写出结果）【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得一、二月份冰箱每台售价各为多少元；（2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到y 的取值范围，进而得到相应的进货方案；（3）根据题意和（2）中的结果，可以得到利润与y 的函数关系，再根据（2）中各方案获得的利润相同，从而可以得到a 的值．【解答】解：（1）设一月份冰箱每台售价x 元，则二月份冰箱每台售价(500)x -元，25(500)2010000x x --=，解得，4500x =，5004000x ∴-=，答：一月份冰箱每台售价4500元，则二月份冰箱每台售价4000元；（2）由题意可得，35004000(20)76000y y +-，解得，8y ，12y 且为整数，8y ∴=，9，10，11，12，∴共有五种进货方案；（3）设总获利w 元，(40003500)(44004000)(20)(100)8000w a y y a y =--+--=-+，（2）中各方案获得的利润相同，1000a ∴-=，解得，100a =，故答案为：100．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．22．（9分）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB AB AC=，那么称点B为线段AC（1）在图①中，若20AC cm =，则AB 的长为 10) cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点()E AE DE >，连接BE ，作CF BE ⊥，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【分析】（1）由黄金分割点的概定义可得出答案；（2）延长EA ，CG 交于点M ，由折叠的性质可知，ECM BCG ∠=∠，得出EMC ECM ∠=∠，则EM EC =，根据勾股定理求出CE 的长，由锐角三角函数的定义可出51tan BCG -∠=，即51BG BC -=，则可得出答案； （3）证明()ABE BCF ASA ∆≅∆，由全等三角形的性质得出BF AE =，证明AEF BPF ∆∆∽，得出AE AF BP BF=，则可得出答案． 【解答】解：（1）点B 为线段AC 的黄金分割点，20AC cm =，5120(10510)AB cm -∴=⨯=-． 故答案为：(10510)-．（2）延长EA ，CG 交于点M ，四边形ABCD 为正方形，//DM BC ∴，EMC BCG ∴∠=∠，由折叠的性质可知，ECM BCG ∠=∠，EMC ECM ∴∠=∠，EM EC ∴=，10DE =，20DC =，22221020105EC DE DC ∴=+=+=EM ∴=10DM ∴=，tanDC DMC DM ∴∠===．tan BCG ∴∠=即BG BC ， AB BC =，∴BG AB =， G ∴是AB 的黄金分割点；（3）当BP BC =时，满足题意．理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90BAE CBF ∠=∠=︒，BE CF ⊥，90ABE CFB ∴∠+∠=︒，又90BCF BFC ∠+∠=︒，BCF ABE ∴∠=∠，()ABE BCF ASA ∴∆≅∆，BF AE ∴=，//AD CP ，AEF BPF ∴∆∆∽， ∴AE AF BP BF=， 当E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点时，AE DE >， ∴AF BF BF AB=， BF AE =，AB BC =， ∴AF BF AE BF AB BC==，∴AE AE BP BC=， BP BC ∴=．【点评】本题是相似形综合题，考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割点的定义，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．（9分）如图1所示，已知直线y kx m =+与抛物线2y ax bx c =++分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点(6,0)B 和点(0,6)C ，且抛物线的对称轴为直线4x =；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PBC ∆是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且1023CQ =，点M 是y 轴上一个动点，求AQM ∆的最小周长．【分析】（1）求得点A 的坐标，根据抛物线过点A 、B 、C 三点，从而可以求得抛物线的解析式；（2）)ABP ∆为直角三角形时，分别以三个顶点为直角顶点讨论：根据直角三角形的性质和勾股定理列方程解决问题；（3）求出点Q 的坐标为10(3，8)3，在x 轴上取点(2,0)G -，连接QG 交y 轴于点M ，则此时AQM ∆的周长最小，求出QG AQ +的值即可得出答案．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，对称轴为直线4x =， ∴点A 的坐标为(2,0)．抛物线2y ax bx c =++过点(2,0)A ，(6,0)B ，(0,6)C ，∴42036606a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得12a =，4b =-，6c =． ∴抛物线的解析式为：21462y x x =-+； （2）设(4,)P y ，(6,0)B ，(0,6)C ，2226672BC ∴=+=，2222PB y =+，2224(6)PC y =+-，当90PBC ∠=︒时，222BC PB PC +=，22227224(6)y y ∴++=+-，解得：2y =-，(4,2)P ∴-；当90PCB ∠=︒时，222PC BC PB +=，22224(6)722y y ∴+-+=+，解得：10y =，(4,10)P ∴；当90BPC ∠=︒时，222PC PB BC +=．22224(6)272y y ∴+-++=，解得：3y =±(4,3P ∴或(4,3P -．综合以上可得点P 的坐标为(4,2)-或(4,10)或(4,3+或(4,3P -．（3）过点Q 作QH y ⊥轴于点H ，(6,0)B ，(0,6)C ，6OB ∴=，6OC =，45OCB ∴∠=︒，45CQH HCQ ∴∠=∠=︒， 1023CQ =， 1022103CH QH ∴==⨯=， 108633OH ∴=-=， ∴点Q 的坐标为10(3，8)3， 在x 轴上取点(2,0)G -，连接QG 交y 轴于点M ，则此时AQM ∆的周长最小，2210845(2)()33AQ ∴=-+， 2210885(2)()33QG =++=， 458545AQ QG +∴+= AQM ∴∆的最小周长为45【点评】本题是二次函数综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，直角三角形的性质，两点间的距离公式，轴对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用学过的知识解决问题．。
广东省深圳市2021年中考模拟数学试卷(含参考答案)
广东深圳2021初中数学中考模拟试卷一．选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分）1．2的相反数的倒数是（）A．12B．−12C．2 D．﹣22．2019新型冠状病毒的直径是0.00013mm，将0.00013用科学记数法表示是（）A．130×10﹣6B．13×10﹣3C．1.3×10﹣4D．1.3×10﹣53．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．8a﹣a＝7 B．a2+a2＝2a4C．（2m）3＝8m3D．a6÷a2＝a35．为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116．这组数据的平均数和中位数分别为（ B ）A．95，99 B．94，99 C．94，90 D．95，1086．下列四个命题中，真命题有()①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点(1,2)A-到x轴的距离是2．A．1个 B．2个 C．3个D．4个7．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ B ）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：18．如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D；③连接AD．若AD＝7，sin∠DAC＝17，BC＝9，则AC的长为（）．A．9 B．77C．73+D．539．在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2√5 B．2√10C．6√2 D．3√510．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（）（1）EF＝OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE+BF＝OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；（5）OG•BD＝AE2+CF2．A．（1）（2）（3）（5）B．（1）（3）（4）（5）C．（2）（3）（4）（5）D．（1）（2）（3）（4）二．填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分）11．因式分解：16a3b﹣ab＝．12．经过东门中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是．13．定义运算：a*b＝2ab，若a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个根，则（a+1）*b+2a的值为．14.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC，点A的坐标为（3，0），点B，C均在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，且与边AB交于点D，若D是AB的中点，则k的值为．15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为．（15）（14）三、解答题（共7小题，共55分）16.（5分）0 20202021-(2245cos21）π+----︒17.（6分）先化简，再求值：x−3x2+6x+9÷(1−6x+3)，其中x=√3．18.（8分）学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查(每人选报一类)，绘制了如图所示的两幅统计图(不完整)．请根据图中信息，解答下列问题：(1)求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图；(2)在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学表现优秀，现决定从这五名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，恰好选中甲、乙两位同学的概率为_____． (3)已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人？19．（8分）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将BCE △沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG//CD 交BE 于点G ，连接CG ． （1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若6,10AB AD ==，求四边形CEFG 的面积．20．（8分）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？ （2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w 元，求w 关于m 的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？21．（10分）1定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD 是对余四边形，则∠A 与∠C 的度数之和为 ； 证明：（2）如图1，MN 是⊙O 的直径，点A ，B ，C 在⊙O 上，AM ，CN 相交于点D ．FE求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．22．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．参考答案一、选择题二、填空题11. ab （4a +1）（4a ﹣1）123413 -814 2√515 5−√13或２ 三、解答题16 020202021-(2245cos 21）π+----︒=-1-√2-（2-√2）+1 =-1-√2-2+√2+1=-217 先化简，再求值：x−3x 2+6x+9÷(1−6x+3)，其中x =√3． 解：原式=x−3(x+3)2÷x+3−6x+3()33332-+⋅+-=x x x x31+=x ，当x =√3时，原式=√3+3=3−√36．18.（8分）学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查(每人选报一类)，绘制了如图所示的两幅统计图(不完整)．请根据图中信息，解答下列问题：(1)求扇形统计图中m 的值，并补全条形统计图；(2)在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学表现优秀，现决定从这五名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，恰好选中甲、乙两位同学的概率为_____． (3)已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人？ 解答： (1)本次调查的总人数为15÷25%=60(人)，∴A 类别人数为：60−(24+15+9)=12， 则m%=1260×100%=20%，∴20=m 补全图形如下：(2)101(3) 估计“文学社团”共有1200×25%=300(人) 19．（8分）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将BCE △沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG//CD 交BE 于点G ，连接CG ． （1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若6,10AB AD ==，求四边形CEFG 的面积．解：（1）由题意可得，BCE BFE△≌△，∴,BEC BEF FE CE ∠=∠=， ∵FG CE ∥，∴FGE CEB ∠=∠，∴FGE FEG ∠=∠，∴FG FE =，∴FG EC =， ∴四边形CEFG 是平行四边形， 又∵,CE FE =∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，6,10,AB AD BC BF === ，∴90,10BAF AD BC BF ∠=︒===， ∴8AF =，∴2DF=，设EF x =，则,6CE x DE x ==-，∵90FDE ∠=︒，∴()22226x x +-=，解得103x =， FE∴103CE =，∴四边形CEFG 的面积是：1020233CE DF ⋅=⨯=20．（8分）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同． （1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w 元，求w 关于m 的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x 元，（x ﹣150）元， 根据题意，得1200x=300x−150，解得x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的解， ∴x ﹣150＝50，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元； （2）设购买水银体温计y 盒能和口罩刚好配套，根据题意，得 100m ＝2×10y ，则y ＝5m ，答：购买水银体温计5m 盒能和口罩刚好配套； （3）若200m +50×5m ≤1800， ∴450m ≤1800，∴m ≤4， 即m ≤4时，w ＝450m ；若m ＞4，则w ＝1800+（450m ﹣1800）×0.8＝360m +360， 综上所述：w ={450m(m ≤4)360m +360(m ＞4)．若该校九年级有900名学生， 需要购买口罩：900×2＝1800（支）， 水银体温计：900×1＝900（支），此时m ＝1800÷100＝18（盒），y ＝5×18＝90（盒）， 则w ＝360×18+360＝6840（元）．答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．21．（10分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BF A，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BF A+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BF A+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠F AD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．22．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝1，∵抛物线的顶点为C，∴点C的横坐标为1，设点A（n，0）∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．∴＝0，∴n＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点A在抛物线y＝ax2﹣2ax+上，∴a+2a+＝0，∴a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+＝（x﹣1）2+2，（2）由（1）有，抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，∵点x轴上的点B在抛物线上，∴B（3，0），∵直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．且A（﹣1，0），C（1，2），∴D（0，1），∵A（﹣1，0），C（1，2），∴直线AC解析式为y＝x+1，∵PQ⊥AC，∴设直线PQ解析式为y＝﹣x+b，∵设点P（t，﹣t2+t+），∴直线PQ解析式为y＝﹣x﹣t2+2t+，∵点Q在直线AC上，且点Q的横坐标为m，∴，∴m＝﹣t2+t+；（3）如图，连接DE，BD，BC，∵CE⊥AP，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∵PQ⊥AC，∴∠APQ+∠CAE＝90°，∴∠ACE＝∠APQ，∵∠CAE＝∠CAE∴△ACE∽△APQ，∴∠APQ＝∠ACE，∵∠AEC＝90°，∴DE＝AD＝CD，∴∠ACE＝∠DEC，∵∠CEP＝90°，∴EF＝QF＝PF，∴∠APQ＝∠PEF，∴∠PEF＝∠APQ＝∠ACE＝∠CED，∴∠CED+∠BEC＝∠PEF+∠BEC＝∠PEC＝90°，∵点A（﹣1，0），D（0，1），∴OA＝OD，∴∠BAC＝45°∵点A，B是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线的顶点，∴AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠ACB＝90°在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED，∴∠BDC＝∠BDE，∵DE＝DC，∴BD⊥CE，∵AP⊥CE，∴AP∥BD，∵B（3，0），D（0，1），∴直线BD解析式为y＝﹣x+1，∵A（﹣1，0），∴直线AP解析式为y＝﹣x﹣，联立抛物线和直线AP解析式得，，∴，（舍）∴P（，﹣）．。
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2021年广东省深圳市中考数学模拟试卷（一）一、选择题（共10小题）.1．2的相反数是（）A．﹣B．C．2D．﹣22．据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（）A．37×105B．3.7×105C．3.7×106D．0.37×1073．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m124．下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC 的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2B．3C．4D．56．下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C．两个正六边形一定位似D．菱形的两条对角线互相垂直且相等7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．128．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．69．如图，等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向右移动，直到AB与EF重合时停止．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2，则下列各图中，能大致表示出y 与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若+|tan B﹣|＝0，那么△ABC的形状是．12．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是．14．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C 点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）16．计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．17．先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．18．深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了名学生．（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AE交BC于点D，且．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．20．在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？21．如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）求点F到直线CA的距离；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．22．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC 上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．2的相反数是（）A．﹣B．C．2D．﹣2解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．故选：D．2．据统计，深圳户籍人口约为3700000人，将3700000用科学记数法表示为（）A．37×105B．3.7×105C．3.7×106D．0.37×107解：3700000＝3.7×106，故选：C．3．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．4．下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是（）A．B．C．D．解：选项A中的几何体的左视图为三角形，因此不符合题意；选项B中的几何体其左视图为等腰三角形，因此选项B不符合题意；选项C中的几何体的左视图是长方形，因此选项C不符合题意；选项D中的几何体，其左视图为圆，因此选项D符合题意，故选：D．5．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2B．3C．4D．5解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴＝，即＝，解得，CE＝4，则OE＝CE﹣OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．6．下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积C．两个正六边形一定位似D．菱形的两条对角线互相垂直且相等解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，当AC＞BC时，AC＝﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣，本选项说法错误；B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；故选：B．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9B．10C．11D．12解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．8．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．9．如图，等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直线l向右移动，直到AB与EF重合时停止．设xs时，三角形与正方形重叠部分的面积为ycm2，则下列各图中，能大致表示出y 与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．解：如图1，当x≤2时，重叠部分为三角形，面积y＝•x•x＝x2，如图2，当2≤x≤4时，重叠部分为梯形，面积y＝×2×2﹣×（x﹣2）2＝﹣（x ﹣2）2+4，所以，图象为两段二次函数图象，纵观各选项，只有A选项符合．故选：A．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，得到△PGC，边CG交AD于点E，连接BE，∠BEC＝90°，BE交PC于点F，那么下列选项正确的有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，则△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④当AD＝25，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A．5个B．4个C．3个D．2个解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；故①正确；②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE＝＝＝20，BE＝＝＝15，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝＝＝，∴sin∠PCB＝＝，故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，共4个，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若+|tan B﹣|＝0，那么△ABC的形状是锐角三角形．解：由题意得：cos2A﹣＝0，tan B﹣＝0，则∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴△ABC的形状是锐角三角形．故答案为：锐角三角形．12．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝±4．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是3032π．解：旋转1次，A旋转到左上角，A经过的路径为：2π•4×＝2π，旋转2次，A旋转到右上角，A经过的路径为：2π+2π•5×＝π，旋转3次，A旋转到右下角，A经过的路径为：π+2π•3×＝6π，旋转4次，A旋转到左下角，A经过的路径为：6π+2π•0×＝6π，即旋转4次，A又回到左下角，故每旋转4次，A经过的路径为6π，而2021＝4×505+1，∴连续旋转2021次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×505+2π＝3032π，故答案为：3032π．14．如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C 点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，∴∠MDE+∠FDB＝90°，而EM⊥OB，∴∠MDE+∠MED＝90°，∴∠MED＝∠FDB，∴Rt△MED∽Rt△BDF；又∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，CF＝BC﹣BF＝3﹣，∴ED＝4﹣，DF＝3﹣，∴＝＝；∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝3，∴DB＝，在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，解得k＝，故答案为．15．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2．解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）16．计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．解：原式＝﹣1﹣3+1﹣2×＝﹣1﹣3+1﹣＝﹣3．17．先化简，再求值：÷（2+），其中a＝2．解：原式＝÷＝÷＝•＝，当a＝2时，原式＝＝1．18．深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了50名学生．（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学九年级共有700名学生，请你估计该中学九年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．解：（1）10÷20%＝50（名），即本次抽样调查共抽取了50名学生，故答案为：50；（2）测试结果为C等级的学生数为：50﹣10﹣20﹣4＝16（名），故答案为：16，补全条形图如下：（3）700×＝56（名），即估计该中学九年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；（4）画树状图如图：共有12个等可能的结果，所抽取的两人恰好都是男生的结果有2个，∴抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AE交BC于点D，且．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BO并延长交AC于点F，若AF＝4，CF＝5，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接BE，∵，∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴∠ABD＝∠AEB，又∠C＝∠AEB，∴∠ABD＝∠C，∴AB＝AC．（2）如图，连接OC，连接AO并延长交BC于点H，∵AF＝4，CF＝5，∴AB＝AC＝AF+CF＝4+5＝9．∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O在BC的垂直平分线上，∴AH⊥BC．又AB＝AC，∴AH平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH．∵OA＝OB，∴∠BAH＝∠ABF．∴∠CAH＝∠ABF．∵∠AFB＝∠OFA，∴△AFB∽△OFA．∴，即．∴．∴．∴．20．在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式y＝﹣10x+500；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式w＝﹣10x2+700x﹣10000．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，故答案为：y＝﹣10x+500；w＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）∵w＝2000，∴﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40，答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；（3）根据题意得，，∴x的取值范围为：37≤x≤40，∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为x＝35，∴当x＝37时，w最大值＝2210．答：销售单价定位37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．21．如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）求点F到直线CA的距离；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）并求出该图形的面积；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．解：（1）如图，过点F作FH⊥AC于H．在Rt△FCH中，∠FHC＝90°，CF＝CA＝2BC＝2，∴FH＝CF＝1．（2）①旋转运动所形成的平面图形，如图所示，S阴＝S扇形ACF﹣S△AE′C+S△EFC﹣S扇形ECE′＝﹣＝；②如图2中，过点E作EH⊥CF于H，设OE＝OB＝x．∵EF＝BC＝2，∠CEF＝90°，∠ECF＝30°，∴CF＝2EF＝2，∠F＝60°，∴FH＝EF•cos60°＝，EH＝EF•sin60°＝，∵∠B＝90°，OB＝x，BC＝1，∴OC＝，∵EH2＝OH2+OE2，∴（）2+（﹣）2＝x2，解得x2＝，∴OC＝＝，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．22．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC 上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，∴∠DCH＝∠ABC，∵∠DHC＝∠COB＝90°，∴△DCH∽△CBO，∴，设点D的横坐标为t，则，∵C（0，3），∴，∵点B是与x轴的交点，∴，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴B的坐标为（4，0），∴OB＝4，∴，解得t1＝0（舍去），t2＝2，∴点D的纵坐标为：，则点D坐标为；（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），分两种情况：①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM 是平行四边形，∵D（2，），F（0，），∴M（m+2，﹣m+4），代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4，解得：m＝，∴N（，3﹣）或（﹣，3+）；②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形，代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2，解得：m＝4，∴N（4+，﹣）或（4﹣，）；综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）．。