高一数学上学期知识点归纳
上学期知识点及解题技巧归纳
一、常见不等式解法
1. 含绝对值不等式的解法
2
(1) 一元二次不等式 ax bx c 0(a 0) 的解为“大两边、小中间”，即“大于大根或小于 小根”，“大
于小根小于大根” .
(2) 若 a<0，是什么情况？一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数区别与联系？望自 行思考 . 3. 分式不等式：
1)
fx
fx
g x 0
；
(2)
fx
f x
g x 0
；
gx
gx
f x
fx g x 0
fx
fx g x 0 3) g
x
gx
； (4)
gx
gx
4. 指数不等式与对数不等式
f (x) 0
log a f (x)
log a g(x)
g(x) 0 f (x) g( x)
(1) 当 a 1 时 , a a
f(x) g(x)
；
f (x) g(x)
f (x) 0
log a f(x)
log a g(x) g(x) 0 f (x)
g( x)
(2) 当 0 a 1时, a a
f(x) g(x)
；
f (x) g(
5. 经典例题及易混易错题型 略.
二、与集合相关的知识
1. 集合间的基本关系
提示】
(1)A A (1) 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
子集AB
(或
B A)
A 中的任一元素都
属于B
(2) A
(3) 若 A B且 B
C，则AC
(4) 若 A B且B
A ，则AB
(2) 任何一个集合是它本身的子集， A A. 只有一个子集，就是它本身.
(3) 集合是子集和真子集具有传递性，若 A B且 B C，则 A C.
(4) 已知集合A有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子
集，它有2n 2 非空真子集.
2. 集合的基本运算
真子集
AB
(或B
A)
A
(1) (A 为
非空子集)
A B，且
B 中至少
有一元素不属于A
(2) 若A
C，则
AC
集合
相等AB
A 中的任一元素都
属于B，B 中的任
一元素都属于A
(1)A B
(2)B A
易错点拔】
(1) A B包含A=B和 A B两种情况. A B分A= ?和A≠ ?两种情况.
(2) 与∈的区别.
(3) ? 与{?} 的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集?∈{?} 、? {?} 均正确.
【解题思路点拔】
学好集合间基本关系须熟记四个结论：名称记号意义性质韦恩图
(1) A I A A
交集AI B{x|x A,且(2)
AI A A B B
x B}
(3)
AI B
A A B=
B A
AI B B
(1) AUA A
(2) A U A
并集AUB{x|
x
x
B}
A,
或
(3) A UB A
A B
AUB B A B=B
A
(CuA)(CuB)= Cu (A B)
德摩根公式
补集CuA{x|x U,且x A}(CuA)(CuB)= Cu(A B)
德摩根公式
A (CuA)=U A (CuA)= Φ
2例：设A x|x
2 8x
常用公式及结论】的子集有多少个？答
案：
15 0
，B
11
0, ,
35
x|ax 1 0 ，若AI B
，求实数 a 组成的集
合
a= ，故其子集共
有
23
8个.
(1) 容斥原理：card ( A U B) cardA cardB card (AI B) card(AUBUC) cardA cardB cardC card ( A I B)
A x| x2 例:
已知集合数 a 的取值范
围是
4x B x|x2 2 a1 2
xa 0，若 B A，则实
card ( A I B) card (BI C) card (C I A) card (AI BI C) 易错点分析：读不懂集合，导致
求。答案：a 1 或a 1 x2+1 =x-1 的根。
(2) AI B A AUB B A B C U B C U A AI C U B C U AUB R
A ={y|y =x2+1} ，B={y|y =x-1} 则A∩
B =[1 ，+∞).
三、函数及其表
示
例： A ={(x ，y)| y =x+1} ,B={y|y =x2+1} , 则A∩B =
1. 映射与函数的区别与联
系
解题思路及注意点：读懂集合中元素的意义是解决集合问题的
关键
例：AI B
x, y |x2 y2 4 ，B ,求r 的
取值范围.
2
x,y | x 3 2
r
，其中r
0,若
区别：主要区别体现在对集合的要求上，映射定义中两个集合为“非空集合”，个集合为
“非空数集” . 即映射可以是非空图集到非空图集的映射，也可是非空图集到非空数集的
映射. 函数仅为非空数集到非空数集.
函数定义中
两
【解题思路点拔】
学好集合问题须做到“五看”：
一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合；
二看约束条件；
三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单；
四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图.联系：均为一对一或一对多，不可多对一. 函数是数集上的一种映射，即函数是特殊的映射，映射是函数概念的推广.
提示】
(1) 函数图像是特点是什么？判断两个非空数集能否构成函数，须看是否满足任意性、存在性、唯一性，缺一不可. 须会从图形和代数式两种判断方法.
(2) 原象、象与函数定义域、值域区别与联系？函数定义域、值域与
集合函数定义域=集合A, 函数值域集合 B.
A和集合 B 的关
系？
五看端点值能不能取等号；同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用
3. 经典例题及易混易错题型忽视空集是任何非空集合的子集，导致思维不全面.
A B, 勿忘空集和集合本身. 树立分类讨论思想，分Φ和非空集合两种情况进行讨论(3) 从集合A a1,a2 ,a3, ,a n 到集合
B b1,b2,b3, ,b m 的映射有
m 个.
(4) 第一个集合中的元素必须有象.
2. 函数的三要素: 定义域、值域和对应法则．讲解如何从图像尤其是分段函数图像判断定义域和值域.
树立函数定义域优先原则，在求解函数单调区间、值域、奇偶性时，均要先求函数定义域3. 两个函数相同的定义及判断方法
只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数) . 与表示自变量和函数值的字母无关.
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致( 两点必须同时具备). 实际解题时，定义域、对应法则哪一要素容易判断不相等，先判断谁，只要有一个不相等，即不为同一函数.
4. 常见函数概念
(1) 分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．( 1)分段函数是一
个函数，不要把它误认为是几个函数；( 2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是
各段值域的并集．
(2) 复合函数
将原函数y f[g(x)]分解为两个基本函数：内函数u g(x)与外函数，称y f[g(x)]为f、g 的复合函数.
(3) 反函数
就是把y与x互换一下，用含有y的代数式表示x.为了书写习惯，再调换x、y位置即可.
1 y
a. 单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的(如x )．因此，所有偶函数不存在反函数．
b. 如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数．
c. 互为反函数的两个函数增减性相同．
d. 函数 f (x)与它的反函数f-1 ( x)图象关于直线y=x 对称
11
e. 一般地， f (x 3) f(x 3)的反函数． f (x 3)是先f(x)的反函数，在左移三个单位．f(x 3)是先左移三个单位，在f(x)的反函数．
(4) 抽象函数
无具体函数解析式的函数均为抽象函数.
5. 函数定义域的求法(1)具体函数定义域求法
一般遵循以下原则：
a. f (x)是整式时，定义域是全体实数．
b. f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
c. f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
d. 对数函数的真数大于零，当指数、对数、指数函数或对数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
e. 零(负)指数幂的底数不能为零．
f. 若 f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
h. 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
i. 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
(2)抽象函数或复合函数定义域求法
a. 若f(x) 的定义域为[ a，b], 则复合函数f[g(x)] 的定义域由不等式 a ≤g(x) ≤ b 解出.
b. 若f[g(x)] 的定义域为[a,b], 求f(x) 的定义域，相当于x∈[a,b] 时，求g(x) 的值域.
6. 函数值域或最值求法：
(1) 分析或观察法: 对于比较简单的函数，通过观察直接得到值域或最值．
(2) 利用常见函数值域法：熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及幂函数的值域，是求解复杂函数值域的基础.
(3)配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
(4) 判别式法：若函数 y f (x)可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 2 a(y)x b(y)x c(y) 0 ，则在 a(y) 0时，由于 x, y 为实数，故必须有 2
b (y) 4a(y) c(y) 0
，从而确定函数的值域或最值． (5) 函数单调性法 (6) 换元法
(7) 利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等)
( 8)分离常数法
(9)反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
(10)数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． x (11)利用函数有界性( a 等) . (12)不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． 与值域求法相关的变型题(已知函数值域，求解参数范围) 已知函数 22
x lg m 2 3m 2 x 2
2 m 1 x 5 （ 1）如果函数 的定义域为 R
求实数 m 的取值范围。( 2)如果函数 x
的值域为 R 求实数 m 的取值范围。 【易错点分析】此题学生易忽视对 m 2 3m 2 是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。 另一方面对两个问题中定义域为 R 和值域为 R 的含义理解不透彻导致错解。 解析： 1)据题意知若函数的定义域为 2 3m 2 x 2 2 m 1 x 5
3m
2 x 2
2 m 1 x 5
，当
m 2
3m 2
=0 时，即 m 1
当 2
m 3m 2 0
时， 据二次函数知识若对任意 x 值函数值大
2 0
9
m
解之得 m 1或
4 综上所知 m 的取值范围为 m 1
R 即对任意
的
2
x 值 m 2 0 恒成立，令 g x m 2
或 2 。经验证当 m 1 时适合， m
2 3m 于零恒成立，只需 0 (2)如果函数 f 2
xm x
的值域为 R 即对数的真数
3m 2
2 x 2 m 1 x
5
能取到任意 的正数，令 g x 22
m 2 3m 2 x 2
2 m 1 x
5
当 m 2 3m 2=0 时，
即 m 1或 2 。
2
经验证当 m 2时适合，当 m 2 3m 2 0 时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值
2
m 2 3m 2 0 9 9 0 2 m 2 m 只需 0 解之得 4 综上可知满足题意的 m 的取值范围是
4 。
【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是 否为
零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通 过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化 而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为 R 是两个不同的概念，前者是对任 意的自变量 x 的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。
7. 函数解析式求法
函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间 的对
应法则，二是要求出函数的定义域 .
1. 待定系数法：若已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 .
2. 换元法或配凑法 : 已知复合函数 f[g(x)] 的表达式时，可用换元法，这时要注意新元的取值 范围 . 当已知表达式较简单时，也可用凑配法 .
3.消元/ 参法或构造方程组法 : 若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f(x).
4. 图形法：已知函数尤其是分段函数图像求解析式
四、函数单调性判断方法
(一)增减函数图像特点 : 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到 右是
下降的 . 另外一种夹角说法 .
(二)判断方法
1. 定义法：一般要将式子 f(x 1) f (x 2) 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号
.
2. 多个函数四则运算单调性:
若函数f(x) 与g(x) 在区间I 上有相同的单调性，则在区间I 上有以下性质：
f(x) 与f(x)+C 有相同单调性；
f(x) 与af(x) 有相同单调性(a>0); f(x) 与af(x) 有相反单调性(a<0);
f(x) 与g(x) 都是增函数或减函数，f(x)+ 或-g(x) 是增函数或减函数；
f(x) 与g(x) 都是增函数或减函数时，若两者都大于0，则f(x)* g(x) 也是增函数或减函数；
若两者都小于0，则f(x)* g(x) 也是减函数或增函数.
3. 复合函数单调性:
(1) 首先将原函数y f［g(x)］分解为基本函数：内函数u g(x)与外函数y f(u)
(2) 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
(3) 根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4. 图像法：略.
(三) 经典例题及易混易错题型
例. 设函数f(x) 是定义在R上的偶函数，并在区间( －∞ ,0) 内单调递增，f(2a2+a+1) 1 2 2a+1). 求 a 的取值范围，并在该范围内求函数y=( 2) a 3a 1的单调递减区间. 解：设0 2 1 2 7 2 1 2 2 又2a2a 1 2(a )20,3a22a 1 3(a )20. 4 8 3 3 由f(2a2+a+1) 35 又a2－3a+1=(a －2)2－4. 1 ∴函数y=( 2) 2a2 3a 1 3 的单调减区间是［2，+∞ 3 2 结合0 例. 是否存在实数a使函数 在，说明理由。 2 x log a ax2 x在2,4 3 2 ， 3). 上是增函数？若存在求出 a 的值，若不存 【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题 过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩 大。 解析：函 数 2 x 是由x ax2 x 和y 判断方法( 1)当a>1 时，若使 2,4上是增函数且大于零。故有 2 2a 4 ax log a 16a 2 f x lo g a ax 2a 2 在2,4上是增函数，则 log a复合而成的，根据复合函数的单调性的 2,4 上是增函数，则 x ax x 在 4a 2 ax 0解得a>1。( 2)当a<1 时若使 x在2,4上是减函数且大于零。 4 0不等式组无解。综上所述存在实数 2,4上是增函数 a>1 使得函数 2 ax x x log a ax x在 【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围(大于 1 还是小于1)，特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想(对数型函数还要注意定义域的限制)。 例.Y=1/x 的单调区间，不能说函数在( -∞，0) U(0,+ ∞)上为减函数，不能说函数在( -∞，0)或(0,+ ∞ ) 上为减函数，只能说在( - ∞，0)和(0,+ ∞ ) 上为减函数. 五、函数奇偶性判断方法 (一)函数具备奇偶性的前提条件 1. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(定义域关于原点对称的函数，才 有可能具备奇偶性) . 2. 求解函数奇偶性，优先求函数定义域，务必树立定义域优先的思想 3. 什么叫做定义域关于原点对称？ (二) 奇偶性概念 1. 奇函数：对于函数 f ( x )的定义域内任意一个 x ，都有 f (－x )=－f (x )〔或 f (x )+ f (－ x ) =0〕，则称 f ( x )为奇函数 . 2. 偶函数：对于函数 f (x )的定义域内任意一个 x ，都有 f (－ x )=f (x ) =f(|x|) 〔或 f ( x ) －f (－ x )=0〕，则称 f ( x )为偶函数 . ( 三 ) 奇偶性判断方法 1. 定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称 . 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称， 则 再判断 f(x) f(x)或 f (x) f( x)是否定义域上的恒等式； 2. 图象法：略 . 3. 性质法： 设 f (x) ， g(x)的定义域分别是 D 1,D 2 ，那么在它们的公共定义域 D D 1I D 2上：奇 奇 奇，偶 偶 偶，奇 奇 偶，偶 偶 偶，奇 偶 奇；偶奇 不确定 . 3. 奇函数的反函数也为奇函数 4. 定义在(－∞， +∞)上的任意函数 f ( x )都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 5. 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 . 6. 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种模型，即 f(x)=0 ，x 属于 D,D 关于原点对称 . 7. f(x) 是偶函数与 f(x+3) 是偶函数的区别：函数 f(x+3) 为偶函数 ，则 f(x+3)=f(-x+3) ； f(x) 是偶函数，则 f(x+3)=f(-x-3). f(x) 是奇函数 : f(-x)=-f(x) ， f(2x+1) 是奇函数 : f(-2x+1)=-f(2x+1). 令 g(x)=f(2x+1) ，即 g(x) 是奇函数问题，即 g(-x)=-g(x) ，即 f(-2x+1)=-f(2x+1). 8. 函数分类：既不是奇函数又不是偶函数；奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶函数 . (五)经典例 题及易混易错题型 例. 判断下列函数的奇偶性： ① f x 4 5 x x 4 既是奇函数又是偶函数 1x f x x 1 ② 1 x 非奇非偶函数 判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。 4 复合函数法：构成复合函数，只要有偶函数就是偶函数，全是奇函数为奇函数 5 反函数法：若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数 f(x) lg 1 x 2 例. 判断函数 x 2 2 的奇偶性 . 6. 多项式函数 P(x) n a n x n1 a n 1x L a 0 的奇偶性 易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解： lg 1 x 2 多项式函数 P(x) 是 奇函数 多项式函数 P(x) 是偶函数 (四) 奇、偶函数的性质 P (x )的偶次项 (即奇数项 ) 的系数全为零 P (x )的奇次项 (即偶数项 ) 的系数全为零 f ( x) x2 x 从而得出函数 1 x 2 解析：由函数的解析式知 1.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称. 反之成立 . x 满足 lg 1 x 2 x 2.若奇函数的定义域包含数 0，则 f (0)=0. 点对称，在定义域下 x 为非奇非偶函数的错误结论。 2 即函数的定义域为 1,0 U 0,1 定义域关于原 易证 x 即函数为奇函数。 ①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号 (一)图像画法 1. 描点法 2. 图象变换法 平移变换：ⅰ ) y f(x) y f (x a) ， (a 0) ———左“ +”右“－” 二次函数 y ax bx c 的图象的对称轴方程是 (3) 可以根据二次函数性质比较两个函数值的大小 . 若开 口向上，到对称抽距离大的自变量对应 的函数值大；若开口向小，到对称抽距离大的自变量对应的函数值小 . 2. 反比例、指数、对数、幂函数图像走向 ⅱ ) y f (x) y f (x) k,(k 0) 向 x 、 y 轴正负方向无限延伸 . 3. 指数函数、对数函数、幂函数增长差异 总存在一个 x0 ，当 x>x0 时，有 logax 4. 如何在一个图像画分段函数图像，即将指数、对数、幂函数、一次函数、二次函数画在一 个 坐标系中？ 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致(在整个定义域内未必单调)，推 广：函数在其对 称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴 两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。 易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。 2x 2 f x lo g 22x 1 x 例. 函数 其定义域上是增函数。 12或x 1 2 的反函数为 x ，证明 是奇函数且在 22 (1)二次函数一般式： f (x) ax 2 bx c ；顶点式： f (x) a(x h)2 k ， (h,k) 为顶 点；零点式： f (x) a(x x 1)(x x 2) (a ≠0). 2)二次函数问题解决需考虑的因 素： 若将曲线 f(x, y) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线 f(x a,y b) 0 的图象 注意：左“ +”右 “－ ”仅针对 x 而言，不可针对 -x 或 Kx. 对称变换： ⅰ)y f (x) (0,0) y f ( x)；ⅱ ) y f (x) y 0 y f (x) ； ⅲ ) y f (x) x y f ( x)； ⅳ ) y f (x) y x x f (y) ； 若将函数 y f(x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 y f(x a) b 的图象； ax b a 0,b 0 x 是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中 ⅰ) y 象去掉) f(x) ； y f (| x |) —— —(去左翻右) y 轴右不动，右向左翻( f (x) 在 y 左侧图 ⅱ) y f(x) y | f(x) | —— —(留上翻下) x 轴上不动，下向上翻( | f (x) | 在 x 下面无 图象) . 翻折变换： , b b , 0, b 不能说 f x 在 a U a 上为增函数，在 a U 数, 在叙 述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或” 上为减函 七、特殊模型和抽象函 (二)画图技巧及识图技巧 1. 关于二次函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx (k ≠ 0) f(x+y)=f(x)+f(y) 六、函数图像问题 b 2a ，顶点坐标是 b ，4a c b 2 2a 4a ———上“ +”下“－ f(x) f (y) 1. 解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定的区间上 2. 零点的存在性定理： 3. 图像法：画出相应函数图像，通过观察图像与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或转为 两个函数图像在给定区间有无交点判断 . f(x y) f(y) f (x) f (x) f[(x y) y] f (x y) f ( y) f (x y) f(x) f (y) f(x y) f(x)f (y) f (x) f[(x y) y] f(x y) f (y) f(x y) f (x) f (y) f( x y ) ② y f (x) f (y) f (x y) f(x) f(y) f(x y) f (x) f(y) f(x) f (x y) y f(x ) y f(x) f(y) f (x) f(x y ) y f(x ) f (y) x f ( ) f (x) f(y) y y f (x y) f (y) f(x y) f (x) f(y) 八、判断函数零点（方程的根）所在区 间 高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.360docs.net/doc/1410351888.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝. 高一数学知识点梳理最新五篇 高一数学知识点总结1 如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系? 平行或异面。 若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 无数条;平行。 如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面β与平面α相 交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么? 平行;因为a∥α，所以a与α没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面β内，所以a与b平行。 综上分析，在直线a与平面α平行的条件下我们可以得到什么 结论? 如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 高一数学知识点总结2 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的 元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当 于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如： A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。 1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法 叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的 元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 3.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭 的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一个集合。集合 自然语言常用数集的符号： (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记 作N;不包括0的自然数集合，记作N_ (2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数 集内也排除0的集，称负整数集，记作Z- (3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z (4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-) (5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-) (6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律 A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根 律集合 Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研 究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A 的元素个数记为card(A)。 高一上学期数学知识概念法题型易误点技巧总结 一、集合与命题 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?I 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任集合的子集，是任非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =U ，则实数a ＝______.（答： 10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??U ； ⑵A B B B A =??I ；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???I 痧； ⑸u A B U A B =??U e； ⑹()U C A B I U U C A C B =U ；⑺()U U U C A B C A C B =U I .如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A I ，}4{)(=B A C U I ，}5,1{)()(=B C A C U U I ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：(){}|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集， 如设集合{|M x y ==，集合N ＝{} 2|,y y x x M =∈，则M N =I _ _ （答：[4,)+∞）； 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关 于x 的不等式 250ax x a -<-的解集为M ，若3M ∈且5M ?数a 的取值围。 （答：(]519253a ??∈????U ，，） 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1） “在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 （答：在ABC ?中，若90C ∠≠o ，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11 x x f x a a x -=+>+，证明程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成 高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结 一、集合与命题 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?I 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =U ，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??U ； ⑵A B B B A =??I ；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???I 痧； ⑸u A B U A B =??U e； ⑹()U C A B I U U C A C B =U ；⑺()U U U C A B C A C B =U I .如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A I ，}4{)(=B A C U I ，}5,1{)()(=B C A C U U I ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：(){}|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集， 如设集合{|M x y ==，集合N ＝{} 2|,y y x x M =∈，则M N =I _ _ （答：[4,)+∞）； 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关 于x 的不等式 250ax x a -<-的解集为M ，若3M ∈且5M ?求实数a 的取值范围。 （答：(]519253a ??∈????U ，，） 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5） 哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题 为 （答：在ABC ?中，若90C ∠≠o ，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11 x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若 2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴 的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 集合 1.集合的含义与表示 （1 的元素，则记作x∈A。 （2）集合中的元素有三个特征： a.确定性（集合中的元素必须是确定的） b.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a 不能等于1） c.无序性（集合中的元素没有先后之分。） （3）常见的集合符号表示： N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…} N*或N+：正整数集合{1,2,3,…} Z：整数集合{…,-1,0,1,…} Q：有理数集合 Q+：正有理数集合 Q-：负有理数集合 R：实数集合(包括有理数和无理数） R+：正实数集合 R-：负实数集合 C：复数集合 ?：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集） （4）表示集合的方法： a.列举法：{红，绿，蓝}，A={a,b,c,d}··· b.描述法：B={x|x2=2}，{代表元素|满足的性质}··· c.Venn 图：用一条封闭的曲线内部表示一个集合的方法。 （1）子集：对于两个集合A，B. 若任意a∈A，都有a∈B，则称集合A 被集合B 所 包含(或集合B 包含集合A)，记做A?B，此时称集合A 是集合B的子 集。 （2）真子集：若A?B，且存在a∈B但a?A 则称集合A是集合B的真子集，记做 A?B. （3）由子集的定义可知子集有这样三条主要的性质： a.规定: 空集(不含任何元素的集合叫做空集,记为f)是任何集合的子集 b. 任何一个集合是它本身的子集. c. 子集具有传递性. 如果A?B, B?C ,那么A?C. *假设非空集合A中含有n个元素，则有： 1.A的子集个数为2n。 2.A的真子集的个数为2n-1。 3.A的非空子集的个数为2n-1。 4.A的非空真子集的个数为2n-2。 高一数学集合知识点总结归纳 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或，且 ) 3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b} 4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b} 5)补集：cua={x| x a但x∈u} 注意：①? a，若a≠?，则? a ; ②若，，则 ; ③若且，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub; ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。 5.交、并集运算的性质 ①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a; ③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n ∈z} 对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都 高一数学第二学期重要知识点总结①对数部分： ()N M MN a a a log log log+ =N M N M a a a log log log- =M n M a n a log log= 1.换底公式： ｂ ｌｏｇ Ｎ ｌｏｇ Ｎ＝ ｌｏｇ ａ ａ ｂ （其中a＞0，a≠1，b＞0，N＞0） 变式： b N x a a log log = 对数函数的图像及其性质： 弧长-面积公式r l? =α2 2 1 r S? =α 扇r l S? = 2 1 扇 180 r n l ? = π 三角比 r y = α sin r x = α cos x y = α tan y x = α cot x r = α sec y r = α csc 同角三角比的 关系 1 csc sin= ?α α1 sec cos= ?α α1 cot tan= ?α α α α α cos sin tan= α α α sin cos cot= 1 cos sin2 2= +α αα α2 2sec tan 1= +α α2 2csc cot 1= + 诱导公式、两角和差正弦、余弦、正切公式： 辅助角公式：() 2 22222sin ,cos sin cos sin b a b b a a b a b a += +=++=+βββααα 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === ()c b a p ++=2 1 ③ 对称性 对称轴为 2 x k π π =+， 对称中心为(,0) kπ，k Z ∈ 对称轴为x kπ =， 对称中心(,0) 2 k π π+k Z ∈ 无对称轴， 对称中心为(,0) 2 kπk Z ∈ 无对称轴， 对称中心为(,0) 2 kπk Z ∈ ()() ()() ()() ()() 1 sin cos sin sin 2 1 cos sin sin sin 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2 αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ =++- ?? ?? =+-- ?? ?? =++- ?? ?? =-+-- ?? ?? sin sin2sin cos 22 αβαβ αβ +- += sin sin2cos sin 22 αβαβ αβ +- -= cos cos2sin sin 22 αβαβ αβ +- -=- 2020最全高一数学知识点总结归纳 高一新生刚接触到高中数学时都会很不适应，应为高中数学和以往初中和小学的数学都不一样，高中数学更加灵活多变，思维也更加广阔，而高一数学也是整个高中数学的基础，必须要学好，所以下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互 关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 上学期知识点及解题技巧归纳 一、常见不等式解法 1. 含绝对值不等式的解法 2 (1) 一元二次不等式 ax bx c 0(a 0) 的解为“大两边、小中间”，即“大于大根或小于 小根”，“大 于小根小于大根” . (2) 若 a<0，是什么情况？一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数区别与联系？望自 行思考 . 3. 分式不等式： 1) fx fx g x 0 ； (2) fx f x g x 0 ； gx gx f x fx g x 0 fx fx g x 0 3) g x gx ； (4) gx gx 4. 指数不等式与对数不等式 f (x) 0 log a f (x) log a g(x) g(x) 0 f (x) g( x) (1) 当 a 1 时 , a a f(x) g(x) ； f (x) g(x) f (x) 0 log a f(x) log a g(x) g(x) 0 f (x) g( x) (2) 当 0 a 1时, a a f(x) g(x) ； f (x) g( 5. 经典例题及易混易错题型 略. 二、与集合相关的知识 1. 集合间的基本关系 提示】 (1)A A (1) 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 子集AB (或 B A) A 中的任一元素都 属于B (2) A (3) 若 A B且 B C，则AC (4) 若 A B且B A ，则AB (2) 任何一个集合是它本身的子集， A A. 只有一个子集，就是它本身. (3) 集合是子集和真子集具有传递性，若 A B且 B C，则 A C. (4) 已知集合A有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子 集，它有2n 2 非空真子集. 2. 集合的基本运算 真子集 AB (或B A) A (1) (A 为 非空子集) A B，且 B 中至少 有一元素不属于A (2) 若A C，则 AC 集合 相等AB A 中的任一元素都 属于B，B 中的任 一元素都属于A (1)A B (2)B A 易错点拔】 (1) A B包含A=B和 A B两种情况. A B分A= ?和A≠ ?两种情况. (2) 与∈的区别. (3) ? 与{?} 的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集?∈{?} 、? {?} 均正确. 【解题思路点拔】 学好集合间基本关系须熟记四个结论：名称记号意义性质韦恩图 (1) A I A A 交集AI B{x|x A,且(2) AI A A B B x B} (3) AI B A A B= B A AI B B (1) AUA A (2) A U A 并集AUB{x| x x B} A, 或 (3) A UB A A B AUB B A B=B A (CuA)(CuB)= Cu (A B) 德摩根公式 补集CuA{x|x U,且x A}(CuA)(CuB)= Cu(A B) 德摩根公式 A (CuA)=U A (CuA)= Φ 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性： 元素的确定性如：世界上最高的山 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 列举法：{a,b,c……} 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} Venn图: 4、集合的分类： 有限集含有有限个元素的集合 无限集含有无限个元素的集合 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A(A ②真子集:如果A(B,且A( B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果A(B, B(C ,那么A(C ④如果A(B 同时B(A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 高一数学集合知识点归纳 高一数学的集合学习以及总结需要把集合相关知识点进行归纳，只有把知识点归纳好才可以学好高一数学集合，以下是我总结了高一数学的知识点，希望帮到大家更好地归纳好集合的知识点同时复习好集合。 一、知识点总结 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x|xA但x∈U} 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二、集合知识点整合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称 空间几何体表面积体积公式： 1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、a－边长,S＝6a2,V＝a3 4、长方体a－长,b－宽,c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc 5、棱柱S－h－高V＝Sh 6、棱锥S－h－高V＝Sh/3 7、S1和S2－上、下h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、S1－上底面积,S2－下底面积,S0－中h－高,V＝ h(S1+S2+4S0)/6 9、圆柱r－底半径,h－高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C＝2πrS底＝πr2,S侧＝Ch,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr2h 10、空心圆柱R－外圆半径,r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2) 11、r－底半径h－高V＝πr^2h/3 12、r－上底半径,R－下底半径,h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/313、球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6 14、球缺h－球缺高,r－球半径,a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3 15、球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋ r22)+h2]/6 16、圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4 17、桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋ d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋ 3d2/4)/15(母线是抛物线形) 练习题： 1．正四棱锥P—ABCD的侧棱长和底面边长都等于，有两个正四面体的棱长也都等于.当这两个正四面体各有一个面与正四棱锥的侧面PAD，侧面PBC完全重合时，得到一个新的多面体，该多面体是（）（A）五面体 （B）七面体 （C）九面体 （D）十一面体 2．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为() （A）9 （B）18 （C）36 （D）64 3．下列说法正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 高一数学知识点总结归纳5篇最新 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.360docs.net/doc/1410351888.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N_或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能 (1)A是B的一部分，; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实 例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即： ①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 高一数学上册知识点整理：集合 高一数学上册知识点整理：集合 集合概念 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论： 集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做 集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德 国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本 思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够 区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。 元素与集合的关系 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集， 空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的 子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合 A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符 号下加了一个≠符号(如右图)，不要混淆，考试时还是 要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合的几种运算法则 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A 与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A 且属于B的元差集表示 素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或 B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3， 5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以 A∩B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5 这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那高一数学必修一知识点整理归纳
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