上海地区高一数学知识点归纳

上海高一数学知识点归纳

第一章 集合与命题

1.1集合与元素 （1）集合的概念

常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合. （2）集合中的元素

集合中的各个对象叫做这个集合的元素,集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （3）集合与元素间的关系

对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）常用数集及其记法

N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.

重要结论：已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n

个子集，它有21n -个真子集，它21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.

1.3集合的基本运算

1.4命题的形式及等价关系

（1）命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.

（2）逆命题

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. （3）否命题

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. （4）逆否命题

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”。 1.5充分条件与必要条件

充分条件、必要条件、充要条件

如果P Q ?,那么P 是Q 的充分条件，Q 是P 的必要条件。

如果P Q ?,那么P 是Q 的充要条件。也就是说，命题P 与命题Q 是等价命题。 1.6命题的运算 命题的非运算 命题的且运算 命题的或运算

1.7抽屉原则与平均数原则

第二章 不等式

2.1不等式的基本性质

1.如果.;,c a c b b a >>>那么

2.如果.,c b c a b a +>+>那么

3.如果.,0,:,0,bc ac c b a bc ac c b a <<>>>>那么如果那么

4.如果,,d c b a >>.d b c a +>+那么

5.如果.,0,0bd ac d c b a >>>>>那么

6.如果0>>b a ，那么.110b

a <<

7.如果0>>b a ，那么)(*

∈>N n b a n n .

8.如果0>>b a ,那么).1,(>∈>*n N n b a n n

2.2一元二次不等式的解法

这个知识点很重要，可根据?与0的关系来求解，注意解的区间的表示，不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式。

求一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 区间的概念及表示法

设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做

[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或

a x

b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足

,,,x a x a x b x b

≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <，

（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． 2.3其他不等式的解法

（1）分式不等式的解法

先移项通分标准化，则

()

0()()0()

()()0()

0()0

()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >??>?≥?≥??≠?（<≤“或”时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

两个基本不等式：1.对任意实数,b a 和有,22

2

ab b a ≥+当且仅当b a =时等号成立。2.对

任意正数,b a 和有ab b a ≥+2

2

2，当且仅当b a =时等号成立。我们把

ab b a 和222+分别叫做正数b a 、的算术平均数和几何平均数。

（3）无理不等式的解法

方法：将无理不等式转化为有理不等式求解，

2

()0

(0)()f x a a f x a

≥?>>??>?

2

()0

(0)()f x a a f x a

≥?>??

()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >?≥??

>?≥??

?或 2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥??

?>??

()0()0()()f x g x f x g x ≥??

?≥??>?

（4）高次不等式的解法 方法：穿根法 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

2.4基本不等式及其应用

1.()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.

2.

ab b

a ≥+2

()

a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

2.5不等式的证明

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如2

2131()();242

a a ++

>+ ②将分子或分母放大（缩小），如

211,(1)k k k <- 211

,(1)

k k k >+

=

=<

*,1)

k N k >∈> 第三章．函数的基本性质

3.1函数的概念

在某个变化过程中有两个变量y x ,，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数. 记作：()x f y =D x ∈ x 是自变量 D 是定义域 与x 对应的y 值叫做函数值 函数值的集合是值域 3.2函数关系的建立

函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．

3.3函数的运算

函数的和：()()()x g x f x h += 3.4函数的性质

（1）函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． （2）函数的单调性

一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

（3）函数的最值

①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；

（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作

max ()f x M =．

②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；

（2）（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =． （4）函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数

)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点．

3、函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，

并利用函数的

第四章 幂函数、指数函数和对数函数

4.1幂函数的性质 （1）幂函数的定义

一般地，函数y x α

=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：

当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．

4.2指数函数的图像与性质

4.3对数概念及其运算 （1）对数的定义

①若(0,1)x

a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式

log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么

①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N

-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N

a

N =

⑤log log (0,)b n

a a n M M

b n R b =

≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a

=>≠且 4.4反函数的概念

（1）反函数的概念

设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子

()x y ?=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确

定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数

()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．

（2）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1

()x f y -=；

③将1

()x f

y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．

反函数的性质:

①原函数()y f x =与反函数1

()y f

x -=的图象关于直线y x =对称．

②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1

()y f

x -=的值域、定义域．

③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'

(,)P b a 在反函数1

()y f x -=的图象上．

④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．

4.6简单的指数方程

指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程. 1.注意定义域

2.熟练使用指数对数运算公式

3.熟练运用函数性质，留意换元法

4.7简单的对数方程

对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.

第五章 三角比

5.1任意角及其度量 （1）角的分类

1、 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{

}

36036090,k k k αα?<

第二象限角的集合为{}

36090

360180,k k k α?+

第三象限角的集合为{

}

360180360270,k k k αα?+<

第四象限角的集合为{}360270

360360,k k k αα?+<

如果角α的终边落在坐标轴上，则也可以称为轴线角.

终边在x 轴上的角的集合为{}

180,k k αα=?∈Z

终边在y 轴上的角的集合为{

}

18090,k k αα=?+∈Z

终边在坐标轴上的角的集合为{}

90,k k αα=?∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{

}

360,k k ββα=?+∈Z

（2）角的弧度制

1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

2、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r

α=

． 3、弧度制与角度制的换算公式：2360π=

，1180π

=

，180157.3π??=≈ ?

??

． 5.2任意角的三角比

1、三角比定义

设角α是一个任意角，将角α置于平面直角坐标系中，角α的顶点与原点O 重合，α的始边与x 轴的正半轴重合，

在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）,有点P 到原点的距离为：

222

2>+=+=

y x y x r

_______sin =α

_______cos =α

_______tan =α

_______cot =α

_______sec =α

_______csc =α

2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

3、单位圆：圆心在坐标原点，半径为1的圆（解决任意角，三角比问题的利器）.

4、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 说明：三角函数线是有向线段（向量），既有长度，又有方向,方向的正负与对应 的三角比值保持一致.

（1）正弦线：无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，有向线段MP 的符号与点P 的纵坐标y 的符号一致，长度等于｜y ｜．所以有

→MP =αsin =y ．我们把有向线段→

MP 叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何

形式．

（2）余弦线：有向线段→

OM 叫做α的余弦线.

（3）正切线：过A （1，0）点作单位圆的切线（x 轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T 点，那么有向线段→

AT 叫做角α的正切线.

5.2任意角的三角比

5.3同角三角比的关系和诱导公式 同角三角函数的基本关系式

()221sin cos 1

αα+=()

2

222sin

1cos ,cos 1sin αααα=-=-；

()

sin 2tan cos α

αα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ??

?．

.（3） 倒数关系：tan cot 1αα=

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．

()()3sin sin αα-=

-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π

αα??-=

???cos sin 2παα??

-= ???

()6sin cos 2π

αα??

+=

???

，cos sin 2παα??+=- ???．

5.4两角和与差的余弦，正弦与正切

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-

5.5二倍角的正弦、余弦和正切公式

⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

?升幂公式2

sin 2cos 1,2cos

2cos 12

2

α

αα

α=-=+

?降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2

α

α-=．

2

2tan tan 21tan ααα

=

- 5.6正弦定理，余弦定理和解斜三角形

1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有

αααααααα

ααα半角公式sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

t an 2cos 12sin ;2cos 12cos :

-=

+=+-±=-±

=+±=2

tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2

sin :

2

2

2α

ααααα万能公式+-=+=

2sin sin sin a b c

R C

===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 2

2

2

C S bc ab C ac ?AB =A ==B ．

4、余弦定理：在C ?AB 中，有222

2cos a b c bc =+-A ，推论：222

cos 2b c a bc

+-A =

第六章 三角函数

6.1及6.2正弦函数与余弦函数，正切，（余切）的图像与性质

π???

6.3函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质 ①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ω

π

=

=

T ；④相位：x ω?+

；⑤初相：?． 函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<． 6.4反三角函数

6.5最简单的三角方程