地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件(1)

的参数，在地下水动力学计算中具有重要的意义。
➢ 贮水率
表示含水层水头变化一个单
位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）以
及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储存）的弹性水量。
单位1/L。
➢ 贮水系数又称释水系数或储水系数，为含水层水头变化 一个单位时，从底面积为一个单位，高度等于含水层厚 度的柱体中所释放（或贮存）的水量；指面积为一个单 位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改 变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。既适用 于承压含水层，也适用于潜水含水层。
H x
)]
由于在一般情况下，水的密度变化很小，可视近似不变，故
x
K xx
H x
x
K
xx
H x
(vx
x
)
x
(K xx
H x
)
渗流连续性 方程化简
(
v
x
x
)
( v y
y
)
( v z
z
) xyz
(nz)
t
xy
（二）化简方程左端项
(nz) z ( n ) H
t
t
vx
K xx
H x
vy
➢ 应用： ●预测抽水条件下的水头变化； ●利用抽水试验资料求含水层参数。
第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
教学目标：
➢ 准确理解渗流连续性概念 ➢ 掌握达西定律和质量守恒原理的应用 ➢ 掌握建立地下水基本微分方程的思想方法 ➢ 几种典型的地下水流方程的推导
●潜水剖面二维流、平面二维流 ●承压水二维流 ● 三维流 ➢ 边界条件概化，初始条件确定方法与原则 ➢ 能够用数学模型描述实际问题
地下水弹性储存
弹性储存：当地下水水头（水压）降低(或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质
物理意义： ➢ 弹性储存与重力储存不同；
给水机制不同
➢ 弹性储存更宜理解为“变形储存”；
➢ 弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间 弱透水层也有弹性储存
因Vs=constant，故
只在垂直方向上有压缩，
➢ 与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和
上述二者之和所释放出的水量为
或
（1-14）
式中 s ——贮水率[释水率]（specific storativity），量纲
[L-1]，为弹性释水[贮水] ； 式中 M——含水层厚度(m)；
*——贮水系数（storativity）。
*=sM ➢ 贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力
渗流连续性方程推导
X方向流入流出差
(vx ) |(x,y,z,t) yzt (vx ) |(xx,y,z,t) yzt
y方向流入流出差
(v y ) |(x,y,z,t) xzt ( v y ) |(x,yy,z,t) xzt
z方向流入流出差 ( v z ) |( x, y,z,t) xyt ( v z ) |( x, y,zz,t) xyt
——多孔介质中孔隙压缩系数 （Compressibility of the pores of a porous medium），表 示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。n——多孔介质的孔隙度。
1-8
因
，故
。
1-9
水的压缩方程 多孔介质的压缩方程
dp 1 dV
V V p
V
1 dVb d Vb
dp 1 dV 1 dV
V
V dp
E 1
p 为水压； V 为水的体积；β为水的体积弹性压缩(或膨胀)系数
E为体积弹性模量 。V随p增大而减小，即dV/dp<0
积分
p dp 1
V
dV
p0
V V0
(
p0
p)
ln
V V0
e ( p0 p) V V0
压缩系数：单位压力变化时引起的液体单位体积的 变化量，单位为平方米每牛。其倒数为体积模量， 单位为帕斯卡。水体压缩系数与压力和温度有关。
➢ 必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。
承压含水层抽水时，水的释放是由于压力减少造成的，这 一过程是瞬时完成的。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水 头降低只引起含水层的弹性释水，可用贮水系数*表示这种释 水的能力。
导压系数
描述含水层水头变化的传导速度的参数，其数值等于含水层 的导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。
第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
基本理论：连续性假设+达西定律+水均衡原理
➢ 对各种水流问题建立基本微分方程及数学模型： ●按空间维数：一维、二维（平面二维、剖面二维）、三维 ● 按含水层类型：承压水流、潜水流、多层（越流联系）等
➢ 求解数学模型（利用解析法），得到一些典型解析解： ●裘布依稳定井流模型 ●无越流承压含水层中的完整井流（泰斯模型） ●无越流潜水含水层中的完整井流（博尔顿模型-考虑滞后给水、 纽曼模型-考虑流速垂直分量和弹性储量） ●越流系统中的承压完整井流模型
单元体内地下水 质量变化量
m V nxyz
m [( nz) |(x,y,z,tt) (nz) |(x,y,z,t) ]xy
X方向流入流出差
y方向流入流出差
z方向流入流出差 单元体内地下水 质量变化量 地下水连续性方程
( vx ) |(x, y,z,t) ( vx ) |(xx, y,z,t) xyzt
嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含 水层介质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水； ➢ p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗 粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性 比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。
Vb Vs Vv
Vv＝nVb；
由于骨架部分体积不变 dVb dVv
Vs＝(1-n)Vb
1 dVs 1 dVv 1 n dVs n dVv
Vb d Vb d
Vs d Vv d
Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb
式中
——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多
孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标，s<<p；
e ( p0 p) V V0
水的压缩方程
按Taylor级数展开
f (x) f (x) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn
1!
2!
n!
ex 1 x x2 x3 ... 2! 3!
e ( p0 p)
1
( p0
p)
2
2!
(
p0
p)2
3
3!
( p0
p)3
渗流连续性方程推导
图2-1-1多孔介质单元水均衡要素图
X方向流入 X方向流出
假设：水是可压缩的，多孔介质骨 架在垂直方向可压缩，但在水平方 向不可变形。
均衡的含义：在t时段内从x,y,z三 个方向共6个单元界面上流入流出 水的净总质量等于单元体内储存量 的变化。
V Qt vt
m V vt
X方向流入流出差 (vx ) |( x, y,z,t) yzt ( vx ) |( xx, y,z,t) yzt
即：1-65式变为：
渗流连续性方 程化简
(v
x
xLeabharlann Baidu
)
(vy )
y
( v z
z
)
xyz
(nz)
t
xy
（二）化简方程左端项
当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有
vx
K xx
H x
vy
K yy
H y
vz
K zz
H z
(vx )
x
x
(K xx
H x
)
[
x
K xx
H x
x
(K xx
含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力由粒
间应力的垂向分量s和孔隙水应力p两者来平衡.
测压水头
s (1 ) p
hp
p
为单位水平面积中颗粒间接触面积的水
平投影.
由于 <<1，令（K.Terzaghi)
p s
图2-2-1 饱和含水介质中受力情况
s (1 ) p p
量纲为L2T-1。
2.2 渗流连续性方程
连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程 水均衡的基本思想：
对某一研究对象，流入－ 流出＝V 研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体
大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价 本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
...
由于很小，且p变化不大，故
e ( p0 p) 1 ( p0 p)
V V0
1 ( p0
p)
V V0[1 ( p0 p)]
V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0
( p0
p)
V V0
( p0
p)
水的压缩方程
dp 1 dV
V
由于V~V0变化不大，故
➢ 贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的 水文地质参数，既适用于承压水也适用于潜水。对于平 面二维非稳定流地下水运动，当研究整个含水层厚度上 的释水情况时，用贮水系数来体现。
上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现 象。
➢ 弹性释水与重力给水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的 限制，抽水时，水的给出存在着不同。
d
dp
dp dH
e (1 e)
p
说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水 层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。
2.2 水和多孔介质的压缩性
•地下水弹性储存概念
取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密， 忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。
第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
主要内容：
➢ 建立连续性方程 ➢ 分析含水层与岩石、流体压缩性关系 ➢ 建立不同含水层地下水流微分方程 ➢ 讨论边界条件及初始条件 ➢ 用数学模型描述实际问题
2.1 水和多孔介质的压缩性
水的压缩方程（地下水的状态方程)
假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
Terzaghi有效应力公式
s (1 ) p p
测压水头
hp
p
p
多孔介质总应力
' 有效应力
p 孔隙水应力
' p
图2-2-1 饱和含水介质中受力情况
有效应力公式分析
水压p减少，将引起以下作用:
➢ p减少地下水体积膨胀，从而释放出部分地下水； ➢ p减少地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，这部分力将转
由于
Vm
V p
V0
V p
V
d(m)
dV V
m
d( 1 ) d
水的压缩方程
dp 1 d
d
dp
(1 5)
多孔介质的压缩方程
假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
1 dVb d Vb
α为岩土的体积弹性压缩系数。
如果上部荷载不变，则 d dp
dp 1 dVb
Vb
故
（1-12）
1 dVb
（1-13）
d Vb
上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关
系。
➢ 水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚度为l m (即体积为l m3)的含水层，考察当水头下降1m时释放的水量。 此时，有效应力增加了H＝g×1=g。
➢ 介质压缩体积减少所释放出的水量（dVb）为
K yy
H y
vz
K zz
H z
(vx )
x
x
(K xx
H x
)
同理
( v y
y
)
y
(K
yy
H y
)
( v z
z
)
z
(v
x
x
)
(vy )
y
(vz
z
)
xyz
(nz)
t
xy
渗流连续性方程化简
（一）化简 (nxyz)
t
=
=
由含水层状态方程， ( n ) ( p) xyz
t
因为
所以有
则可得到：
d
dp
则:
， Z为定值，则
于是连续性方程（1-65）变为：
（1-70） （1-69）
令
则
1-65式变为：
则有：
x
(vx ) xyzt
x
x 0
(v y ) |(x, y,z,t) (v y ) |(x, yy,z,t) xyzt
y
(vy ) xyzt
y
y 0
(vz ) xyzt
z
z 0
(nz) |(x, y,z,tt) (nz) |(x, y,z,t) xyt
t
(nz) xyt
t
t 0
(
v
x
x
)
(vy )
y
( v z
z
)
xyz
(nz)
t
xy
2.3 渗流基本微分方程
渗流连续性方程
(vx
x
)
(vy
y
)
(vz
z
)
xyz
(nz)
t
xy
意义：反映了渗流场内任何一个“局部”所必须满足 的质量守恒定律。
水和多孔介质的 压缩方程
d
dp
总水头和孔隙水 压力关系
dp dH
本节：利用达西定律，并综合上述各式，将渗流连续 性方程转化为以水头H为因变量的渗流基本微分方程。
➢ 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏 干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气 带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。
➢ 当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降 部位引起重力排水，用给水度表示重力排水的能力；在下 部饱水部分则引起弹性释水，用贮水率* 表示这一部分的 释水能力。