2016年西安电子科技大学数模校赛B题

陀螺转子偏转角的测量

图1给出了测量陀螺转子偏转角的装置结构示意图。陀螺转子是一个球台，在其表面涂覆有黑、白相间的条纹图案，一个黑色条纹和与其相邻的白色条纹为一组条纹；在距转子表面一定距离上固定放置能够接收黑、白条纹反射光的光电传感器，共放置四个，位于与陀螺转子转轴垂直的同心圆上，每隔90°放置一个。

图1. 测量陀螺转子偏转角的装置结构示意图

当陀螺转子以一定的角速度绕其自转轴旋转时，光电传感器可以接收到黑、白条纹所反射的光，由于黑白条纹对信号光的反射率差异，可以定义光电传感器接收到白条纹反射光的时间与接收到该组黑白条纹反射光的时间之比为占空比k。若陀螺转子的自转速度恒定，则占空比可以转换为光电传感器所在的平面与陀螺转子表面相交的交线在白条纹部分的弧长与在该组(图2红浅黑为一组）黑白条纹部分的弧长之比。

以陀螺转子的球心为坐标原点，陀螺转子的自转旋转轴为X轴，建立右手坐标系。旋转方向定义为：右手握住旋转轴，竖起拇指指向旋转轴正方向，正向旋转方向就是其余手指卷曲的方向，即从旋转轴正方向看下去，逆时针方向就是正向旋转方向。

假设在陀螺转子表面涂覆的黑、白条纹的数目均为n，则赤道圆上每个黑条纹或白条纹所对应的角度为α=π/n；陀螺转子上下表面对应的球心角为ϕm。如图2

所示（为便于表示，以红色标识白条纹）。弧 DBI所在的大圆可以看作是过B点的经线圆（即弧 ABC所在的大圆）以OB为轴（即Y轴）逆时针旋转β角而得到的，弧 DEF所在的大圆可以看作是过B点的经线圆绕X轴顺时针旋转α角而得到的。由几何关系可知，若α和ϕm均为定值时，β也为一定值。

图2. 陀螺转子表面黑白条纹的定义

在实际过程中，当陀螺转子以一定的角速度绕其自转轴（即X轴）旋转时，自转轴会随着外界的环境以球心为定点发生偏转。若陀螺转子没有发生偏转，四个光电传感器所测得的占空比是相同的；若陀螺转子的自转轴发生偏转，则四个固定不动的光电传感器所测得的占空比也会发生变化，根据光电传感器测得的占空比值即可计算出陀螺转子的偏转角度。

请建立数学模型解决以下问题（问题1必选，问题2～4任选其一）：

1.定义陀螺转子的自转轴与原始X轴之间的夹角为Φ，建立Φ与光电传感器测得的占空比之间的关系。如能给出解析关系式，则给出解析关系式；若不能给

出解析关系式，则给出关系曲线或曲面均可。

2.建立黑白条纹的参数α、ϕm和β之间的关系式，并分析是否可以通过改变α、ϕm使得问题1中建立的关系式或关系曲面变成线性关系（即直线或平面）。

3.估算四个传感器角度分布误差（是否严格按照每隔90°分布）及四个传感器不完全在一个平面内时引起的测量误差。

4.将占空比由时间之比转化为弧长之比是在陀螺转子转速ω恒定的情况下进行的，如果其转速ω发生微小变化Δω，试估算转速微小变化Δω/ω=±1%引起的占空比k的变化Δk/k及偏转角Φ的变化ΔΦ/Φ。