3-5 状态方程的频域解
信号与系统-信号与系统的频域分析
§3.1 周期信号的分解与合成
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用收敛 的正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”一 书中。
§3.1 周期信号的分解与合成
一、周期信号分解为三角级数
周期信号 f t,周期为T1
F () 0 0
F () , j
F () 0 0
说明：
F() F(0) f (t)dt
0
时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直
0
2
bn
2 T
T
2 T
2
f
(t)sin n1tdt
4 T
T
2 0
Asin
n1tdt
图1
T
4A T
co sn1t n1
2 0
4 A (n 1, 3, 5,) nπ 0 (n 2, 4, 6,)
所以f( t )的傅里叶级数为
f
(t )
4A π
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
)
2
( n1 )
)
A Sa( n1 )
2
T
2
其中Sa( )形式如下。
抽样函数：
Sa(t) sin t t
Sa (0) 1
当 t k (k 1,2,3 时，) Sa( t ) = 0
图6
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ： Fn ：
图7
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号 可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系 统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中， 应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面 的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而， 常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
状态方程
例6 输出: uc , iC , uR
电路理论基础
解 若已知状态量 uC在
t=0
R
ic
uc(t1)=3V和us=10V，也 uR us uc 可以确定t>t1电路的响应 uc , iC , uR。 uc 3e 500 ( t t1 ) 10(1 e 500 ( t t1 ) ) 500 ( t t1 ) ic 3.5e mA uR 7e 500( t t1 ) V 可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t =t1 时uC ， iL 和t t1 后的输入 uS(t)为已知，就可以确 定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状 态变量及初始值。
上例中也可选uC和duC /dt为状态变量
duC uC d(C ) dt R u u (t ) L C S dt d 2 uC L duC LC uC uS ( t ) 2 R dt dt
iL L + uL + + uC uS(t)
电路理论基础
iL iC
C R 2 + uR
状态方程为
x (t ) A x (t ) Bv(t )
式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。 状态方程特点： (1)联立的一阶微分方程组 (2)左端为一个状态变量的一阶导数 (3)右端为状态变量和输入量的线性表示 (4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数
电路理论基础
整理为矩阵形式
duC 1 dt RC di 1 L dt L
状态变量
1 0 u C C i 1 uS ( t ) 0 L L
输入量
第11章 线性系统的状态变量分析法
duC 1 dt RC di 1 L dt L
1 uC 0 C i 1 uS ( t ) 0 L L
若uL,ic,uR,iR作为输出
uL iC u R iR 1 1/ R 1 1/ R 0 1 1 uC 0 0 i L 0 uS ( t ) 0 0
L + uS(t) + uL iL + uC iC iL R C R 2 + uR
选uC , iL 为状态变量
列微分方程
duC uC iC C iL dt R
di L uL L uS ( t ) uC dt
duC 1 dt RC di 1 L dt L
输出方程
x1 x 2 y b0 ,b1 ,...., bm ,0,..., 0 x 3 ... xn
bm s m bm 1s m 1 b1s b0 x(t ) A x(t ) B e(t ) H (s) n n 1 s an 1s a1s a0
输出方程：
x1 y 10 4 0 x 2 x3
r(t)=10x1+4x2
y(t ) C x(t ) D e(t )
状态方程： x(t ) A x(t ) B e(t ) 输出方程：
y(t ) C x(t ) D e(t )
取相变量为状态变量
状态方程
1 0 x1 ' 0 x ' 0 1 2 0 x 3 ' 0 0 0 .. ... .. x n a 0 a1 a 2 0
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结以状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结为标题状态空间模型是一种描述动态系统行为的数学模型，通过将系统的状态、输入和输出量化为向量形式，以状态方程和输出方程的形式表示系统的动态行为。
在实际应用中，状态空间模型常用于控制系统的设计和分析。
在状态空间模型中，系统的状态由一组变量表示，这些变量描述了系统在不同时间点的状态。
状态方程描述了状态随时间的演化规律，是系统动态行为的核心部分。
状态方程通常采用微分方程的形式表示，其中包含系统的状态变量、输入和系统参数。
解状态方程可以得到系统状态随时间的变化情况，从而可以对系统的动态行为进行分析和预测。
在实验中，我们可以通过实际测量或仿真来获取系统的输入和输出数据，并根据这些数据来估计系统的状态方程和参数。
然后，利用已知的状态方程和输入数据，可以通过数值求解方法来解状态方程，得到系统的状态随时间的变化情况。
解状态方程的结果可以与实际测量或仿真数据进行比较，以验证状态方程的准确性和模型的有效性。
在进行状态空间模型实验时，需要注意以下几点：1. 系统建模：首先需要对系统进行建模，确定系统的状态变量、输入和输出，并推导出系统的状态方程和输出方程。
建模的过程中需要考虑系统的特性和约束条件，以及系统的稳定性和可控性等因素。
2. 实验设计：根据系统的特点和实验目的，设计合适的实验方案。
选择合适的输入信号，以及采样频率和采样时长等参数，以确保实验数据的准确性和可靠性。
3. 数据采集：在实验中需要采集系统的输入和输出数据。
输入信号可以通过外部激励或系统自身的反馈信号来产生，输出信号可以通过传感器或测量设备进行采集。
采集到的数据需要进行预处理和滤波，以去除噪声和干扰，提高数据的质量和可靠性。
4. 系统辨识：通过实验数据和已知的输入信号，利用数值辨识方法来估计系统的状态方程和参数。
常用的辨识方法包括最小二乘法、卡尔曼滤波器和系统辨识工具箱等。
电路原理 chapter17(状态变量)
2) 消去非状态量 R1, uR2 消去非状态量u ,
uR1 uR 2 + = i L 2 i L1 3 4
iL1 iL2 1.2 e(t) 0.6 0.4
用叠加法
uC uR2 -0.4
uR1 -0.6 -1.2
1.2 -1.2
uR1= -0.6 uC -1.2 iL1 +1.2 iL2 +0.6 e(t) uR2= -0.4 uC +1.2 iL1 -1.2 iL2 +0.4 e(t) . 2uC= iL1 -0.2 uC -0.4 iL1 +0.4 iL2 +0.2 e(t) 3iL1= -0.6 uC -1.2 iL1 +1.2 iL2 +0.6 e(t) . 4iL2= -0.4 uC +1.2 iL1 -1.2 iL2 +0.4 e(t) . = -0.2 uC +0.6 iL1 +0.4 iL2 +0.2 e(t)
0 1 1 uC 0 i + 0 e ( t ) 0 L 0 0 [y]=[C][x]+[D][u] 一般形式 特点 (1)代数方程 代数方程 (2)用状态变量和输入量表示输出量 用状态变量和输入量表示输出量
四. 归纳几点 (1) 状态变量和储能元件有联系,状态变量的个数等于 状态变量和储能元件有联系, 独立的储能元件个数. 独立的储能元件个数. (2)一般选择 C和 iL为状态变量,也常选Ψ 和 q为状 一般选择u 为状态变量, 一般选择 为状 态变量. 态变量. (3) 状态变量的选择不唯一. 状态变量的选择不唯一. L iL 选uC和duC /dt为状态变量 为状态变量
可见当 t = t1 时 uC , iL 和 t ≥ t1 后的输入 为已 后的输入e(t)为已 以后任何时刻系统的响应. 知,就可以确定t1及t1以后任何时刻系统的响应.问题是 就可以确定 t1时刻的状态量要求出来. 时刻的状态量要求出来.
自动控制原理--第5章 频域分析法
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
第七章 状态变量分析
7.2
连续系统状态方程的建立
状态方程的建立主要有两大类：直接法和间接法。依据给 定系统结构直接编写出系统的状态方程。这种方法直观，有 很强的规律性，特别适用于电网络的分析计算。间接法常利 用系统的输入-输出方程、系统模拟图或信号流图编写状态方 程。这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计。本节 主要讨论连续系统状态方程的建立。
7.2.2
从输入-输出方程导出状态方程
输入-输出方程和状态方程是对同一系统的两种不同的描述 方法。两者之间必然存在着一定的联系。由于状态变量更有 利于计算机计算。 7.2.3 从模拟图建立状态方程
根据系统的输入-输出微分方程或系统函数可以作出系统 的模拟图或信号流图。然后依此选择每一个积分器的输出端 信号为状态变量，最后得到状态方程和输出方程。由于系统 函数可以写成不同的形式，所以模拟图或信号流图也可以有 不同的结构，于是状态变量也可以有不同的描述方式，因而 状态方程和输出方程也具有不同的参数。 设已知三阶系统的微分方程为
其模拟图如图7.2-9(a)和(b)所示。
1 sa
1 sa
a
整个系统的模拟图如图7.2-10(a)所示，相应的信号流图如图 7.2-10(b)所示。
1
x1 x2 x3
1 1
2
v (t )
3
y (t )
4
设状态变量如图。
得
x1 x1 v x2 3 x2 v x3 4 x3 v
x(t) x1 (t ) , x2 (t ) ,T
(7.1-1)
4. 状态空间(state space) 状态矢量所在的空间称为状态空间。 状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数，也 称系统的复杂度阶数(order of complexity)，简称系统的阶数。 5. 状态轨迹(state orbit) 在状态空间中，系统在任意时刻的 状态都可以用状态空间中的一点(端点)来表示。状态矢量的端 点随时间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
计算机控制系统_课后答案全解
第1章习题B 习题B1-1 举例说明2-3个你熟悉的计算机控制系统，并说明与常规连续模拟控制系统相比的优点。
B1-2 利用计算机及接口技术的知识，提出一个用同一台计算机控制多个被控参量的分时巡回控制方案。
B1-3 题图B1-3是一典型模拟式火炮位置控制系统的原理结构图。
由雷达测出目标的高低角、方位角和斜距，信号经滤波后，由模拟式计算机计算出伺服系统高低角和方位角的控制指令，分别加到炮身的高低角和方位角伺服系统，使炮身跟踪指令信号。
为了改善系统的动态和稳态特性，高低角和方位角伺服系统各自采用了有源串联校正网络和测速反馈校正，同时利用逻辑电路实现系统工作状态的控制(如偏差过大时可断开主反馈，实现最大速度控制，当偏差小于一定值后实现精确位置控制)。
试将其改造为计算机控制系统，画出系统原理结构图。
题图B1-3典型模拟式火炮位置控制系统的原理结构图B1-4水位高度控制系统如题图B.1-4所示。
水箱水位高度指令由W1 电位计指令电压u r确定，水位实际高度h由浮子测量，并转换为电位计W2 的输出电压u h。
用水量Q1 为系统干扰。
当指令高度给定后，系统保持给定水位，如打开放水管路后，水位下降，系统将控制电机，打开进水阀门，向水箱供水，最终保持水箱水位为指令水位。
试把该系统改造为计算机控制系统。
画出原理示意图及系统结构图。
题图B1-4 水箱水位控制系统原理示意图B1-5 题图B1-5为一机械手控制系统示意图。
将其控制器改造为计算机实现，试画出系统示意图及控制系统结构图。
题图B1-5机械手控制系统示意图B1-6题图B1-6为仓库大门自动控制系统示意图。
试将其改造为计算机控制系统，画出系统示意图。
题图B1-6 仓库大门自动控制系统示意图B1-7车床进给伺服系统示意图如题图B1-7所示。
电动机通过齿轮减速机构带动丝杠转动，进而使工作台面实现直线运动。
该系统为了改善系统性能，利用测速电机实现测速反馈。
试将该系统改造为计算机控制系统，画出系统示意图。
连续信号的频域分析
T 2
T
2T
t
图 3.3-3 周期矩形脉冲信号
连续信号的频域分析
为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
连续信号的频域分析
一、 周期信号的频谱分析
1 三角形式的傅里叶级数
三角函数集｛cosnwt, sinnwt|n=0,1,2,… ｝是一个正交函数
集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2π/w是各个函数cosnwt，
sinnwt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：
连续信号的频域分析
小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
2Fn Fn趋于无穷小量，但 Fn T 可望趋于有限值，且为一
个连续函数，通常记为F(jω)，即
连续信号的频域分析
Fn jnt 1 f (t ) lim e T 2 n
非周期信号的傅里叶变换可简记为
E n Fn Sa T 2
连续信号的频域分析
Sa(x) 1
－3 －2
－
o
2
3
x
图 2.3-4 Sa(x)函数的波形
连续信号的频域分析
Fn E T 2 o 3
4
图 2.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱
连续信号的频域分析
由图 2.3-5 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率