初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案

12 2 2
3 12
3,
S△BCD
BD CN 2
12 2 2
3 12
3，
∴ S四边形ABCD =S△ABD S△BCD 12 3 12 3 24 3
故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
9．如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平，再一次折叠 纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，若矩形纸片的宽 AB=4，则折痕 BM 的长为( )
∴在 Rt△ABM 中，AB=BM cos∠ABM，即 4=BM cos30°， 解得：BM= 8 3 ，
3
故选 A. 【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
5．如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD＝BA， 则 tan∠DAC 的值为（ ）
A．2＋ 3
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
B．2 3
C．3＋ 3
D．3 3
设 AC=x，在 Rt△ABC 中，∠ABC=30°，即可得 AB=2x，BC= 3 x，
【详解】
∵对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，AB=4，
∴BE= 1 AB=2，∠BEF=90°， 2
∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A’处，并使折痕经过点 B， ∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′， ∴∠EA′B=30°， ∴∠EBA′=60°， ∴∠ABM=30°，
所以 BD=BA=2x，即可得 CD= 3 x+2x=（ 3 +2）x，
在 Rt△ACD 中，tan∠DAC= CD ( 3 2)x 3 2 ，
AC
x
故选 A.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6．如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 为直径， AD CD ，过点 D 作 DE AB于点 E ，连接 AC 交 DE 于点 F .若 sin CAB 3 ， DF 5 ，则 AB 的长为( )
∵点 O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8，
∴AO=CO=4， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°，
∴ sin∠AOB AM AM 3 ， AO 4 2
sin∠COD CN CN 3 ， CO 4 2
∴AM= 2 3 ，CN= 2 3 ，
∴ S△ABD
BD AM 2
如图所示，
过 A 作 AE⊥CP 于 E，过 B 作 BF⊥DQ 于 F，则
Rt△ACE 中，AE= 1 AC= 1 ×54=27（cm）， 22
同理可得，BF=27cm， 又∵点 A 与 B 之间的距离为 10cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为 27+10+27=64（cm）， 故选 C． 【点睛】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数 进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
【答案】C 【解析】 【分析】 由作法得 AE 垂直平分 CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而 得到∠ABC=60°；利用 AB=2DE 得到 S△ABE=2S△ADE；作 EH⊥BC 于 H，如图，若 AB=4，则可计
算出 CH= 1 CE=1，EH= 3 CH= 3 ，利用勾股定理可计算出 BE=2 7 ；利用正弦的定义得 2
AF 5 EF 3 ，
AE 52 32 4 ， DE 5 3 8， ADE DBE ， AED BED ，
ADE∽DBE ， DE : BE AE : DE ，即 8: BE 4 :8 ， BE 16 ， AB 4 16 20． 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
＝0.73，
解得 AB＝0.73×32＝23.36m． 由线段的和差，得 AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m， 故选：C． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出 CE，BE 的长是解题关键，又利用了正 切函数，线段的和差．
8．如图，点 O 为△ABC 边 AC 的中点，连接 BO 并延长到点 D,连接 AD、CD，若 BD=12， AC=8，∠AOD＝120°，则四边形 ABCD 的面积为（ ）
A．2 3
B．2 2
C． 10
D． 24 3
【答案】D
【解析】
【分析】
分别过点 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 M、N，通过题意可求出 AM、CN 的长度，可计
算三角形 ABD 和三角形 CBD 的面积，相加即为四边形 ABCD 的面积.
【详解】
解：分别过点 A、C 作 BD 的垂线，垂足分别为 M、N，
A．5.6
B．6.9
C．11.4
D．13.9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得 CE，BE 的长，根据正切函数，可得 AE 的长，再根据线段的和差，可
得答案．
【详解】
解:如图,延长 DC、AB 交于点 E，
，
由斜坡轨道 BC 的坡度（或坡比）为 i＝1：2，得
BE：CE＝1：2． 设 BE＝xm，CE＝2xm． 在 Rt△BCE 中，由勾股定理，得 BE2+CE2＝BC2， 即 x2+（2x）2＝（12 ）2， 解得 x＝12， BE＝12m，CE＝24m， DE＝DC+CE＝8+24＝32m， 由 tan36°≈0.73，得
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．
∴正三角形的边长 3 2 ． sin 60
∴圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 2，
∴底面周长为 2 ∴侧面积为 1 2 2 2 ，∵底面积为 r2 ，
2 ∴全面积是 3 ．
故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
5
A．10
B．12
C．16
D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 BD ，如图，先利用圆周角定理证明 ADE DAC 得到 FD FA 5 ，再根据正
弦的定义计算出 EF 3，则 AE 4 ， DE 8 ，接着证明 ADE∽DBE ，利用相似比得
到 BE 16 ，所以 AB 20 ．
【详解】
A．78.6 米
B．78.7 米
C．78.8 米
D．78.9 米
【答案】C
【解析】
【分析】
如下图，先在 Rt△CBF 中求得 BF、CF 的长，再利用 Rt△ADG 求 AG 的长，进而得到 AB 的长
度
【详解】
如下图，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 延长线于点 F，延长 DE 交 AB 延长线于点 G
A． 8 3 3
【答案】A
B． 4 3 3
C．8
D． 8 3
【解析】
【分析】
根据折叠性质可得 BE= 1 AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠ 2
EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在 Rt△ABM
中，利用∠ABM 的余弦求出 BM 的长即可.
A．(54 3 +10) cm B．(54 2 +10) cm C．64 cm
D．54cm
【答案】C
【解析】
【分析】
过 A 作 AE⊥CP 于 E，过 B 作 BF⊥DQ 于 F，则可得 AE 和 BF 的长，依据端点 A 与 B 之间的
距离为 10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，
根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．
B． 2
C． 3
D． ( 3 1)
【答案】C 【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．可计算边长
为 2，据此即可得出表面积． 【详解】
所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的
弦是直径．也考查了解直角三角形．
7．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需 求，游客可以乘坐垂直升降电梯 AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道 BC 的坡度（或 坡比）为 i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8 米，∠D＝36°，（其中点 A、B、C、D 均在同一 平面内）则垂直升降电梯 AB 的高度约为（ ）米．（精确到 0.1 米，参考数据： tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
∴tan40°= DG 167 0.84 AG y 120
解得：y=78.8 故选：C 【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
3．图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机．如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝ 30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
∵BC 的坡度为 1:0.75 ∴设 CF 为 xm，则 BF 为 0.75xm ∵BC=140m
∴在 Rt△BCF 中， x2 0.75x2 1402 ，解得：x=112
∴CF=112m，BF=84m ∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG 是直角三角形 ∵DE=55m，CE=FG=36m ∴DG=167m，BG=120m 设 AB=ym ∵∠DAB=40°
60°，进而可得出答案．
【详解】
解：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，
在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 2 ，
∴BC＝AC＝12 2 ．
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝12 2 2 12 2
CM＝BM＝12， 在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝30°， ∴∠EDF＝60°，
初中数学锐角三角函数的真题汇编含答案
一、选择题
1．将一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝
30°，∠A＝45°，AC＝12 2 ，则 CD 的长为（ ）
A．4 3
B．12﹣4 3
C．12﹣6 3
D．6 3
【答案】B
【解析】
【分析】
过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，根据题意可求出 BC 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF＝
10．如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点 C 和点 D 为圆心，大于 1 CD 2
为半径作弧，两弧交于点 M，N；②作直线 MN，且 MN 恰好经过点 A，与 CD 交于点 E，
连接 BE，则下列说法错误的是（ ）
A． ABC 60 B． S ABE 2SADE C．若 AB=4，则 BE 4 7 D． sin CBE 21 14
解：连接 BD ，如图，
AB 为直径，
ADB ACB 90 ， AD CD，
DAC DCA，
而 DCA ABD ，
DAC ABD ， ∵DE⊥ AB ， ABD BDE 90 ，
而 ADE BDE 90 ， ABD ADE ，
ADE DAC ，
FD FA 5 ， 在 RtAEF 中， sin CAB EF 3 ，
∴MD＝BM÷tan60°＝ 4 3 ，
∴CD＝CM﹣MD＝12﹣ 4 3 ．
故选 B．
【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用 所学的三角函数的关系进行解答．
2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔 A 离河边的距离 AB ，采取了如下措施：如
图在江边 D 处，测得信号塔 A 的俯角为 40，若 DE 55米， DE CE ， CE 36米， CE 平行于 AB ， BC 的坡度为 i 1: 0.75，坡长 BC 140 米，则 AB 的长为( )（精确 到 0.1 米，参考数据： sin 40 0.64 ， cos 40 0.77 ， tan 40 0.84 ）