形式语言与自动机理论二
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5.2 正规语言的封闭性
(1) 正规语言在并、乘积、闭包运算下是封 闭的；
(2) 正规语言类在补运算下是封闭的；
(3) 正规语言类在交运算下是封闭的；
第五章 正规语言的性质
5.2 正规语言的封闭性
(4) 代换
定义：设，是两个字母表，映射 f: p(*) 称为到的代换。 如果对a,f(a)是上的RL，则称f是 正则代换或正规代换。
定理：假设是有限字母表，L *,以下三个命题等价： （1）L是正规语言； （2）L是*上具有有穷指数的右不变等价关系的某些等价
类的并； （3）如果 RL={<x,y>|x,y*,对z*,xzL当且仅当
yzL}，则RL的指数有穷。
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化
RE
-NFA
NFA
DFA
RG
第五章 正规语言的性质
5.1 Pumping 引理
(1) Pumping 引理的提出
定理：假设 为有限字母表，L*。若 L 是 正规语言，那么存在正整数 n 使得对任意的 w1,w2,w3*,当w1w2w3L 并且|w2|n,可以写成 w2= ,这里，，||n.则
w1kw3L (k=0,1,2,….)。
形式语言与自动机理论
山东大学计算机科学与技术学院 2007.3
第四章 正规表达式
4.1 正规表达式的形式定义
❖ 定义：设是一个字母表，字母表上正规式 （Regular Expression,RE）和正规集定义如下： （1）是上的正规式，对应的正规集为； （2） 是上的正规式，对应的正规集为{}； （3）对a，a是上的正规式，对应的正规
第四章 正规表达式
4.2 正规表达式与FA的等价
假设 r 是上的正规式，M 是一个 FA。若 L(r)= L(M)，则称正规式 r 与 FA M 等价。
第四章 正规表达式
4.2 正规表达式与FA的等价 定理：每个正规表达式 r 都存在一个-NFA M
使得L(M) = L(r)。
(1)运算符个数为0
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化
0
q0
q1
0
1
1
q2
q3
10
0
1
q4
1
q5
0
0,1
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化 二、 Myhill-Nerode定理
推论 1：对任意正规语言 L，如果DFA M满足 L(M)=L，则|*/RL||Q|
推论 2：在同构（即状态重新命名）的意义下， 接受一个语言 L 的最小DFA是唯一的。
集为{a}；
第四章 正规表达式
4.1 正规表达式的形式定义
（4）如果r和s分别是上的正规式，对应的正 规集为R和S。那么 (r+s)为正规式，对应的正规集为RS； (rs)为正规式，对应的正规集为RS； (r*)为正规式，对应的正规集为R*
（5）只有满足上述形式定义的表达式才是上的 正规式，它所表达的语言是正规集。
正规语言类在代换下是封闭的。
第五章 正规语言的性质
5.2 正规语言的封闭性
(5) 同态
定义：设，是两个字母表，映射 f: *
如果对x,y*,有f(xy)=f(x)f(y)， 则称f是从到*的同态映射。
正规语言在同态和逆同态下是封闭的。
第五章 正规语言的性质
5.2 正规语言的封闭性
定义：假设L1,L2 *,则L1和L2的商定义 为： L1/L2={x|yL2，使得xyL1}
第四章 正规表达式
4.1 正规表达式的形式定义
❖正规表达式的运算性质 假设r,s,t都是上正规式，则有以下性质：
（1）结合律；（2）分配律；（3）交换律； （4）幂等律；（5）加运算单位元； （6）乘运算单位元；（7）乘运算零元；
（8）(r*)*=r*；（9）r*=r++；（10）*= （11）*=
q0
qf
q0 q0 a qf
第四章 正规表达式
定理：每个正规表达式 r 都存在一个-NFA M 使得L(M) = L(r)。
(2)运算符个数不为0
r=r1+r2
q1 M1 f1
qLeabharlann Baidu
q2 M2 f2
f0
第四章 正规表达式
定理：每个正规表达式 r 都存在一个-NFA M 使得L(M) = L(r)。
第五章 正规语言的性质
5.1 Pumping 引理
(1) Pumping 引理的提出
Pumping引理： 假设 L是正规集，那么存在正整数 n 使
得当 wL 并且|w|n,就可以写出 w=，这 里，，||n，且对k0,则 kL。
第五章 正规语言的性质
5.1 Pumping 引理
(2) Pumping 引理的应用 例1：证明 L1={anbn|n1}不是RL。
例2：证明 L2={w|w*且={0,1},w = w-1} 不是 RL。这里w是回文。即w与w的逆 相同。
第五章 正规语言的性质
5.1 Pumping 引理
(2) Pumping 引理的应用
例3：证明 L3={an2|nN}不是RL。 例4：证明 L4={ap|p是素数}不是 RL。
第五章 正规语言的性质
例：假设 L=0*10*它被下 列自动机接受。能否简化？
q0: (00)nR(00)m q1: 0(00)nR(00)m0 q2: (00)n1R(00)m1 q3: (00)n01R(00)m01 q4: (0)n10(0)mR(0)p10(0)q q5: xRmy,x和y至少含有两个1 的串。(这里m,n,p,q 0)
正规语言在商运算下是封闭的。
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化
一、相关概念 1、等价关系 2、划分 3、划分加细 4、等价类 5、商集 6、等价关系的指数
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化
二、 Myhill-Nerode定理
(2)运算符个数不为0
r=r1r2
q1 M1 f1
q2 M2 f2
第四章 正规表达式
定理：每个正规表达式 r 都存在一个-NFA M 使得L(M) = L(r)。
(2)运算符个数不为0
r=r1*
q0
q1 M1 f1
f0
第四章 正规表达式
4.2 正规表达式与FA的等价
定理：设 L 是被 DFA M 接受的语言，则 L 可以被正规表达式表示。
(1) 正规语言在并、乘积、闭包运算下是封 闭的；
(2) 正规语言类在补运算下是封闭的；
(3) 正规语言类在交运算下是封闭的；
第五章 正规语言的性质
5.2 正规语言的封闭性
(4) 代换
定义：设，是两个字母表，映射 f: p(*) 称为到的代换。 如果对a,f(a)是上的RL，则称f是 正则代换或正规代换。
定理：假设是有限字母表，L *,以下三个命题等价： （1）L是正规语言； （2）L是*上具有有穷指数的右不变等价关系的某些等价
类的并； （3）如果 RL={<x,y>|x,y*,对z*,xzL当且仅当
yzL}，则RL的指数有穷。
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化
RE
-NFA
NFA
DFA
RG
第五章 正规语言的性质
5.1 Pumping 引理
(1) Pumping 引理的提出
定理：假设 为有限字母表，L*。若 L 是 正规语言，那么存在正整数 n 使得对任意的 w1,w2,w3*,当w1w2w3L 并且|w2|n,可以写成 w2= ,这里，，||n.则
w1kw3L (k=0,1,2,….)。
形式语言与自动机理论
山东大学计算机科学与技术学院 2007.3
第四章 正规表达式
4.1 正规表达式的形式定义
❖ 定义：设是一个字母表，字母表上正规式 （Regular Expression,RE）和正规集定义如下： （1）是上的正规式，对应的正规集为； （2） 是上的正规式，对应的正规集为{}； （3）对a，a是上的正规式，对应的正规
第四章 正规表达式
4.2 正规表达式与FA的等价
假设 r 是上的正规式，M 是一个 FA。若 L(r)= L(M)，则称正规式 r 与 FA M 等价。
第四章 正规表达式
4.2 正规表达式与FA的等价 定理：每个正规表达式 r 都存在一个-NFA M
使得L(M) = L(r)。
(1)运算符个数为0
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化
0
q0
q1
0
1
1
q2
q3
10
0
1
q4
1
q5
0
0,1
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化 二、 Myhill-Nerode定理
推论 1：对任意正规语言 L，如果DFA M满足 L(M)=L，则|*/RL||Q|
推论 2：在同构（即状态重新命名）的意义下， 接受一个语言 L 的最小DFA是唯一的。
集为{a}；
第四章 正规表达式
4.1 正规表达式的形式定义
（4）如果r和s分别是上的正规式，对应的正 规集为R和S。那么 (r+s)为正规式，对应的正规集为RS； (rs)为正规式，对应的正规集为RS； (r*)为正规式，对应的正规集为R*
（5）只有满足上述形式定义的表达式才是上的 正规式，它所表达的语言是正规集。
正规语言类在代换下是封闭的。
第五章 正规语言的性质
5.2 正规语言的封闭性
(5) 同态
定义：设，是两个字母表，映射 f: *
如果对x,y*,有f(xy)=f(x)f(y)， 则称f是从到*的同态映射。
正规语言在同态和逆同态下是封闭的。
第五章 正规语言的性质
5.2 正规语言的封闭性
定义：假设L1,L2 *,则L1和L2的商定义 为： L1/L2={x|yL2，使得xyL1}
第四章 正规表达式
4.1 正规表达式的形式定义
❖正规表达式的运算性质 假设r,s,t都是上正规式，则有以下性质：
（1）结合律；（2）分配律；（3）交换律； （4）幂等律；（5）加运算单位元； （6）乘运算单位元；（7）乘运算零元；
（8）(r*)*=r*；（9）r*=r++；（10）*= （11）*=
q0
qf
q0 q0 a qf
第四章 正规表达式
定理：每个正规表达式 r 都存在一个-NFA M 使得L(M) = L(r)。
(2)运算符个数不为0
r=r1+r2
q1 M1 f1
qLeabharlann Baidu
q2 M2 f2
f0
第四章 正规表达式
定理：每个正规表达式 r 都存在一个-NFA M 使得L(M) = L(r)。
第五章 正规语言的性质
5.1 Pumping 引理
(1) Pumping 引理的提出
Pumping引理： 假设 L是正规集，那么存在正整数 n 使
得当 wL 并且|w|n,就可以写出 w=，这 里，，||n，且对k0,则 kL。
第五章 正规语言的性质
5.1 Pumping 引理
(2) Pumping 引理的应用 例1：证明 L1={anbn|n1}不是RL。
例2：证明 L2={w|w*且={0,1},w = w-1} 不是 RL。这里w是回文。即w与w的逆 相同。
第五章 正规语言的性质
5.1 Pumping 引理
(2) Pumping 引理的应用
例3：证明 L3={an2|nN}不是RL。 例4：证明 L4={ap|p是素数}不是 RL。
第五章 正规语言的性质
例：假设 L=0*10*它被下 列自动机接受。能否简化？
q0: (00)nR(00)m q1: 0(00)nR(00)m0 q2: (00)n1R(00)m1 q3: (00)n01R(00)m01 q4: (0)n10(0)mR(0)p10(0)q q5: xRmy,x和y至少含有两个1 的串。(这里m,n,p,q 0)
正规语言在商运算下是封闭的。
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化
一、相关概念 1、等价关系 2、划分 3、划分加细 4、等价类 5、商集 6、等价关系的指数
第五章 正规语言的性质
5.3 Myhill-Nerode定理和 DFA 极小化
二、 Myhill-Nerode定理
(2)运算符个数不为0
r=r1r2
q1 M1 f1
q2 M2 f2
第四章 正规表达式
定理：每个正规表达式 r 都存在一个-NFA M 使得L(M) = L(r)。
(2)运算符个数不为0
r=r1*
q0
q1 M1 f1
f0
第四章 正规表达式
4.2 正规表达式与FA的等价
定理：设 L 是被 DFA M 接受的语言，则 L 可以被正规表达式表示。