合肥工业大学数理统计试题

合肥工业大学07级硕士研究生数理统计课程考试试卷（闭卷）

姓名： 学号： 班级： 分数：

一、选择题：（以下的四个选择中仅有一个正确，每题3分，共15分）

1．设随机变量~()X f x （密度函数），且对任意,()()x f x f x -=,若{}P X u αα≥=，则对满足： {}P X a α<=的常数a =（ ）

A. u α

B. 1u α-

C. 1

(1)

2

u α- D. 1

12

u

α-

2．在假设检验中，记1H 是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ）

A. 1H 为真时，接受1H .

B. 1H 不真时，接受1H .

C. 1H 为真时，拒绝1H .

D. 1H 不真时，拒绝1H .

3. 设15,,X X 为总体X σ2

～N(0,)的样本，则统计量22

12323(2)(3)a X X b X X X θ=-+-+的分布及

常数应该为（ ）

A. a=-1, b=3, ~(2)t θ

B. a=5, b=11 2~(2)θχ

C. a=

2

15σ

, b=

2

111σ

2~(2)θχ D. a=

2

15σ

, b=

2

111σ

~(1,2)F θ

4. 设?θ是θ的无偏估计，且()0,D θ>则22?θθ是的（ ）

A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确.

5. 方差分析的基础是________

A ． 离差平方和分解公式. B. 自由度分解公式.

C. 假设检验.

D. A 和B 同时成立.

二、填空题：（在以下的空中填入正确的结果，每题3分，共15分）

1． 设总体X 的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是：

*

()n F x =???????

.

2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,θ)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估

计值为_______________.

3. 设*()()n F x F x 、分别是总体X 及样本12,,,n X X X 的分布函数与经验分布函数，则格列汶科定理指出：在样本容量n →∞时，有 ,

4. 若非线性回归函数b

x ae y -+=100(0>b ),则将其化为一元线性回归形式的变换为

________________________.

5. 设12,,,n X X X 是X 的样本，当方差2σ未知时，且样本容量很大(n>50)时，则对统计假设：

0010:,:H H μμμμ≥<，0H 的拒绝域是：

三、（本题8分） 设12,,,n X X X 为总体X σ

2

～N (0,)的样本，试确定统计量

2

1

1()n

i i T X n

==

∑ 的分布，求其密度函数。

四、（本题10分） 设总体X ～0-1分布，⑴ 试求参数p 的极大似然估计L θ；⑵ L θ关于p 的无偏估计性; ⑶ L θ是否为p 的优效（有效）估计，给出理由及过程。

五、（本题10分） 考察甲与乙两种橡胶制成轮胎的耐磨性，从甲、乙两种对应的轮胎中各任取8只，这8对轮胎分别安装到任取的八架飞机的左右两边作耐磨试验，经过一段时间的起降，测得轮胎的磨损量如下（单位：mg ）：

甲 490 510 519 550 602 634 865 499

乙 492 490 520 570 610 689 790 501

假设这两中轮胎的磨损量服从正态分布，在α＝0.05下，试检验甲的磨损量比乙是否明显低。

六．（本题10分） 设有一正五面体，各面分别编号为1、2、3、4、5，现任意地投掷直到1号面与地面接触为止，记录其投掷的次数，作为一盘试验。作200盘这样的试验，试验结果如下： 投掷次数： 1 2 3 4 ≥5

频 数： 48 36 22 18 76 在α＝0.05时，检验此五面体是否均匀。

七．（本题12分）设A 、B 、C 、D 四个工厂生产相同的电子产品，假定每个工厂的产品使用寿命均服从方

⑴ 在α

产品使用寿命最长，哪个寿命最短（给出理由）。

八.（本题12分）设对变量x 、y 作了7次观测见下表：

满足回归模型：i i i

y x αβε

=++ 其中：2

(0,

)i N εσ (1,2,,7

i = 相互独立，试求： ⑴ 经验回归直线； ⑵ 对方差2σ作估计；⑶ 对x 、y 的线性性作显著性检验(可以挑选一种检验方法)；⑷ 对0x =4.8时作y 的预测区间。（其中：在α＝0.05）

九．（本题8分） 对一元线性回归模型中,Y x αβε=+＋2~(0,)N εσ，(,)(1,2,,)i i x Y i n = 是一组观

测值，则,i i i Y x αβε=+＋而2

~(0,)i N εσ 1,2,,i n = 且相互独立，且参数β的最小二乘估计是?β，

试作： ⑴ 证明?β是β的无偏估计； ⑵ 推导出?β的分布（需要过程）

2009级硕士研究生《数理统计》试题 一、 填空（20分）.

1. 从总体中抽容量为6的样本，其观测值为-1；1.5；-

2.8；2.1；1.5；

3.4。则其经验分布函数___________________.()n

F x =

2. 如随机变量~(,)X

F n n ，则(1)P X >=—————。

3. 单因素方差分析的平方和分解式为——————————————；

其中，组内离差平方和

是

——————————；

组间离差平方和是

——————————。

4. 已知1

,,n X X 独立同服从N （0，1）分布，记2

2

1

1(),,n

i i Y Y X Z n

S

===

∑

其中，2

2

1

1

11(),1

n

n

i

i

i i S

X

X X X n n

===

-=

-∑∑，则Z 的分布为

____________.

5. 从一大批产品中抽取100件进行检查，发现有4件次品，则该批产品次品

率0.95的置信区间为

_____________.

二（20分）、总体X 的密度函数是

=),(θx f ??

?<≥--.

,0,

,)(θθθx x e x ， θ是未知参数，n

X X X

,...,21

为简单随机样本。 （1）分别求θ的矩估计^^

1

11(,,)

n X X θ

θ= ，极大似然估计^^

2

21(,,)n X X θ

θ=

（2）^

1θ，^2

θ

是否为θ的无偏估计？并说明理由。

附录：

1．自由度为n 的2χ分布的密度函数是 2. 自由度为n 的t 分布的密度函数是

1

1222

22

211,02()(,)1()2()

0,

02n n x n n n x e x t f x f t n t n n x +---+???Γ ?>?????

==+-∞<<+∞Γ? ?

???

??

?

≤???

3．附表： α＝0.05

正态分布 t 分布表 2χ分布表 F 分布表

1.64u α= /2(3) 3.182t α= 2

(4)9.488αχ= (3,16) 3.24

F α=

21.96u α= 2(5) 2.5706t α= 2(5)11.071αχ= (3,15) 3.01F α=

(5)

2.015t α=

(1,3)10.1

F α= (7)1.894

t α=