离散时间系统与差分方程(精)
离散时间系统的数学模型—差分方程
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x (n) 1
离散时间系统
y (n) 1
x 2 ( n ) 离散时间系统
c x (n ) + c x (n )
x1n+ x2n
x2 n
乘法器：
x1n x1n+ x2n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
乘法器
xn
延时器
axn
a
yn
1
yn 1
E
xn a axn
yn
yn 1
z 1
五．差分方程的特点
(1)输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。
11
22
离散时间系统
y2 (n )
c y (n ) + c y (n )
11
22
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
x(n)
y(n)
1 1 0 1 2 3 n
1
系统
1 o 1 2 3 4 n
x(n N )
y(n N )
1
1
系统
1 0 1 2 3
yt ynT yn
f t f nT f n
yn yn 1 ayn+ f n
T
yn 1 yn 1+ T f n
1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
第2章 离散时间信号与系统-1-2节
5 m , m 0 z (m) 将m替换成m-n 0, m 0
5 ( mn ) , m n 0 z[(m n)] 0, m n 0
x ( n ) * z ( n)
n
5n m , n m z ( n m) 0, n m
m
m
[ x(m) z(n m)] [3
m0
( 5n m )]
n n 3 m n 1 (3 / 5) n 1 ,n 0 5 ( ) , n 0 5 1 3 / 5 m0 5 0, n 0 0, n 0 3n 1 5n 1 ,n 0 2 2 0, n 0
n=1
n=2
n=3
n=4
【例2-5】（P15）已知 ，
x(n) {
n ,1n3 2 0,其他
h(n) {
求：
1,0n2 0,其他
y (n) x(n) h(n)
m
x ( m )h ( n m )
【例2-5】（P15）
0.5， 1 ， 1.5 1， 1， 1 ×—————————————————— 0.5， 1 ， 1.5 0.5， 1 ， 1.5 0.5， 1 ， 1.5 + ————————————————————— 0.5， 1.5， 3， 2.5 ， 1.5
1
2
3
4
y(n)
0 -2 -4 1
-3
-2
-1
0 (b)
1
2
3
4
z(n)
0
-1 -4
-3
-2
-1
0 (c)
1
2
3
时域离散系统的差分方程描述
2.2 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程
差分方程与系统结构
差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、非变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
差分方程与系统的线性非时变性
解： 1. (一1)令个x线(n性)=常(系n)数，差系分统方输程出描为述的系统并不一
(定系2)令代统x表。(n因这)=果些y(系都1n(-n统由1))=，，边an系也界u(统不条n)输一件出定（为表初示始线）性所时决不定变。 2. 一个线性常y系2(n数)=差an分-1u方(n程-1描) 述的系统如果是
… n=n时，y(n)=(- a0)ny(0) 即y(n)=y(0)(- a0)nu(n)
差分方程相同，输入信号也一样，但不 注 同的初始条件会得到不同的系统输出。 意
2.2 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程
差分方程与系统结构
差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
对于实际系统，用递推法求解，总是由初始条 件向n>0的方向递推，是一个因果解。但对于 差分方程，基本身也可以向n<0的方向递推， 得到的是非因果解。因此差分方程本身不能确 定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要 用初始条件进行限制。
例：设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n) ，n>0时，
2.2 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程
差分方程与系统结构
差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
求解差分方程——MATLAB 示例
求解差分方程y(n)=ay(n-1)+ x(n)，y(-1)=1。
第一章 离散时间信号与系统3,4,5
1 h(0) h(1) (1) 0 a 1 h(1) h(0) (0) a 1 a 1 h(2) h(1) (1) a 2 a ┇ 1 h(n) h(n 1) a n a 0, n 0 ∴ h(n) a n u (n 1) h( n) n a , n 0 从上一节例题知道，此系统是非因果系统，当 a 1 时，系 统稳定。 同样道理，一个常系数线性差分方程相当于一个线性移不 变系统，同样取决于所选的边界条件，边就是说边界条件合适 时，一个常系数线性差分方程相当于一个线性移不变系统。例 如上面例题，边界条件为：
边界条件 y (0) 1，讨论此系统是否是线性移不变系统。 解：（1）令 x1 (n) (n) , y1 (0) 1 ←讨论 n 0 的情况 y1 (1) ay1 (0) x1 (1) a 则 y1 (2) ay1 (1) x1 (2) a 2
┇ y1 (n) ay1 (n 1) x1 (n) a n
在以后的讨论中，我们都假设常系数线性差分方程就代表线 性移不变系统，而且在大多数情况下，代表可实现的因果系统。 差分方程表示法的优点：可以直接得到系统的结构（将输入 变换成输出的运算结构，并非实际结构）例如： y(n) b0 x(n) a1 y(n 1) 方框图表示法如下：
§1.4连续时间信号及傅里叶级数 1．单位阶跃信号
1
信号与系统 07离散时间信号离散时间系统
arg ?x?n??? ? 0n
§7.3 离散时间系统的数学 模型—差分方程
?用差分方程描述线性时不变离散系统 ?由实际问题直接得到差分方程 ?由微分方程导出差分方程 ?由系统框图写差分方程 ?差分方程的特点
第
一．用差分方程描述线性时不变离散系统2页7
线性： 均匀性、可加性均成立；
x1 (n )
数值。
离散正弦序列 x?n?? sin?? 0n?是周期序列应满足
x?n ? N ?? x?n?
N称为序列的 周期，为任意 正整数 。
第
正弦序列周期性的判别
23 页
① 2π ? N，N是正整数
?0
sin?? 0 ?n ? N ?? ? sin
正弦序列是周期的
???
?
0
????n
?
2π
?0
????????
3.1
1.5 0.9
o T 2T 3T t
fq ?t ? 4
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
3
2
1
o T 2T 3T t
数字信号： 离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
离散时间系统的优点
第 5
页
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优 越性； ?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精 度取决于位数； ?可靠性好； ?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； ?易消除噪声干扰； ?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大 大改善了系统的灵活性和通用性； ?易处理速率很低的信号。
??
?
?? n? 0
??
第
2．单位阶跃序列
18 页
u(n )
?
离散时间系统与差分方程
三、 差分方程与系统函数 线性时不变离散系统也可用差分方程表示，
考虑N阶差分方程
N
M
bi y(n i) ai x(n i)
i0
i0
两两边取z变换：
N
M
bi z iY (z) ai z i X (z)
i0
i0
于是
M
H (z)
Y (z) X (z)
分母其向基量本最原短理是，，出当现单极位小圆值上，的频响ejω在点这在附极近点可d能i出附现近峰时， 值峰的，值频越且响尖极将锐点出，现di当∞越，靠di这近处相单在当位单于圆位在圆，该上极频时小率值，处越极出小小现，值无频为耗响零（出，Q现相=的应∞） 谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对 于现实系统，这是不希望的。
T{ax [n]}= a2x2[n] 除了a=0,1情况，T{ax [n]} aT{x [n]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。
2. 时不变系统
如果 T[x(n)]=y(n)， 则 T[x(n-n0)]=y(n-n0) （ n0为任意整数） 即系统的特性不随时间而变化。
线性时不变系统简称为：LTI
x (n) TT[[·.] ]
y(n)
离散时间系统
1. 线性系统（满足迭加原理的系统）
若系统的输入为x1（n）和x2（n）时，输出分 别为y1（n）和y2（n）， 即 y1（n）=T[x1（n）]， y2（n）=T[x2（n）]
如果系统输入为ax1（n）+bx2（n）时，输出 为ay1（n）+by2（n）， 其中a， b为任意常数，则该系统为线性系统。所 以，线性系统的条件为
☆差分方程的求解和离散系统频率响应的描述
实验二 差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、 实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。
2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。
3、 观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、 实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。
2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z z z z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。
三、 实验报告要求1、求出各部分的理论计算值， 并与实验结果相比较。
2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。
3、写出实验心得。
附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。
调用格式为： zplane （b,a ） 其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。
例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z zz H 零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。
调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。
离散时间系统的稳定性分析
离散时间系统的稳定性分析离散时间系统是一种在离散时间点上进行状态变化的系统，与连续时间系统相对应。
稳定性分析是对系统行为的一个重要特征进行评估和判断的过程。
对于离散时间系统的稳定性分析，我们可以通过不同方法进行研究和判断，如利用差分方程、状态空间法、Lyapunov稳定性理论等。
本文将从这些角度出发，深入探讨离散时间系统的稳定性分析方法。
一、差分方程法差分方程法是一种基于离散时间点上变量之间的差分关系进行稳定性分析的方法。
对于离散时间系统，我们可以通过建立差分方程来描述系统的动态行为。
一般而言，稳定的离散时间系统在各个时间点上的状态变量都保持在某个有界范围内。
因此，我们可以通过差分方程的解析解或数值解来判断系统的稳定性。
二、状态空间法状态空间法是一种通过描述系统在不同离散时间点上状态变化的方法。
在状态空间中，系统的状态由一组关于时间的差分方程表示。
通过对系统状态进行迭代，我们可以从初始状态推导出系统在未来时间点上的状态。
根据这些状态的变化，我们可以判断系统是否稳定。
三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是一种通过利用Lyapunov函数来判断离散时间系统稳定性的方法。
Lyapunov函数是一个用于衡量系统状态的能量函数，它在系统稳定时具有稳定性的性质。
通过构造和分析Lyapunov函数，我们可以判断离散时间系统是否稳定。
如果能够找到一个Lyapunov函数，使得对于系统的每一个状态，该函数都是非负的，并且沿着系统的状态变化轨迹递减，那么系统就是稳定的。
四、其他稳定性分析方法除了以上介绍的几种常见方法外，还存在其他一些稳定性分析方法，如频率域方法、随机系统稳定性分析等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和应用，从而更好地评估离散时间系统的稳定性。
综上所述，离散时间系统的稳定性分析是研究系统动态行为的一个重要问题。
通过差分方程法、状态空间法、Lyapunov稳定性理论以及其他稳定性分析方法，我们可以对离散时间系统的稳定性进行全面评估和判断。
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该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h（n卷积。 卷积过程： ① 对 h（ m）绕纵轴折叠，得h（-m）； ② 对 h（-m）移位得 h（n-m）； ③ 将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果 y（n）。
i 0 i 1
N
N
其中 ai、bi都是常数。 离散系统差分方程表示法有两个主要用途： ① 由差分方程得到系统结构； ② 求解系统的瞬态响应；
例：用途一，由一阶差分方程画网络结构
y(n)=ay(n-1)+x(n)
由此得到它的网络结构如图
x ( n)
y ( n)
T
a 网络结构
用途二 在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解 例，一阶差分方程系统：
2. 时不变系统
如果 T[x(n)]=y(n)， 则 T[x(n-n0)]=y(n-n0) （ n0为任意整数） 即系统的特性不随时间而变化。 线性时不变系统简称为：LTI
例：若系统输入输出关系为： y(n)=nx(n) 试判断系统是否为时不变系统？
3. 线性时不变系统
线性时不变系统 —— 既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不 变系统可以用单位脉冲响应来表示。 我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和
T[ . ]
T[· ]
y(n)
离散时间系统
1. 线性系统（满足迭加原理的系统） 若系统的输入为x1（n）和x2（n）时，输出分 别为y1（n）和y2（n）， 即 y1（n）=T[x1（n）]， y2（n）=T[x2（n）] 如果系统输入为 ax1（ n ）+bx2（ n ）时，输出 为ay1（n）+by2（n）， 其中a， b为任意常数，则该系统为线性系统。所 以，线性系统的条件为 T[ax1（n）+bx2（n）]=aT[x1（n）]+bT[x2（n）] =ay1（n）+by2（n） 线性系统对信号的处理可应用迭加定理。
例： 分析单位脉冲响应为h（n）=anu（n）的线性时 不变系统的因果性和稳定性。 既然，n<0时，h（n）=0，系统是因果的
s
k
| h( k ) |
m
k | a |
如果 |a|<1, 则
1 s 1 | a |
如 |a|≥1 , 则s → ∞，级数发散。 故系统仅在|a|<1时才是稳定的。
1.4 离散时间系统与差分方程
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列 x(n)映射成 输出序列 y(n) 的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输 出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个 运算。
y(n)= T[x(n)]
对T[· ]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系 统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。 x (n)
x ( n)
m
x(m) (n m)
如令h（n）为系统对单位脉冲序列的响应， h（n）=T[δ（n）] 则系统对任一输入序列x（n）的响应为
y(n) T [ x(n)] T x(m) (n m) m
y ( n)
由于系统是线性的，满足迭加定理
(实验演示！)
4、系统的稳定性与因果性 线性和时不变两个约束条件定义了一类 可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性 也是很重要的限制。 稳定系统：对于每一个有界输入产生一 个有界输出的系统为稳定系统。 当且仅当 (充要条件) s h( k )
k
时，该线性时不变系统是稳定的。
稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种 系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即
h ( n ) n 0 h( n) 0 n0 | h(n) | n
这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统 是最主要的系统。
m
x(m)T (n m)
又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。
注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示
因此 y(n)
T (n m) h(n m)
m
x(m)h(n m) x(n) * h(n)
例: 设一系统的输入输出关系为 y[n]=x2[n] 试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [n]产生的输出信号T{x [n]}为 T{x [n]}=x2[n] 输入信号ax [n]产生的输出信号T{ax [n]}为 T{ax [n]}= a2x2[n] 除了a=0,1情况，T{ax [n]} aT{x [n]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。
因果系统： 系统的输出 y(n) 只取决于当前 以及过去的输入,即x(n),x(n-1)，x(n-2)……。 非因果系统：如果系统的输出 y(n) 取决于 x(n+1)，x(n+2)，…，即系统的输出取决于未 来的输入，则是非因果系统，也即不现实的 系统，（不可实现） 因果系统的充要条件：h(n)≡0，n<0（可从 y(n)=x(n)*h(n)导出）
令m′=n-m，做变量代换，则卷积公式变为
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n m)h(m) h(n) * x(n)
m
因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调。（即输入为 x(n)、单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统与输 入为h(n)、单位脉冲响应为x(n)的线性时不变系统 具有同样的输出） 离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积” ，以区别其他种类的卷积。
5． 差分方程——描述系统输入输出之间的运算关系 一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来 表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型 变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间 的运算关系。 其N阶线性常系数差分方程的一般形式：
y(n) ai x(n i) bi y(n i)