力矩平衡

【例20】如图所示，在粗糙水平面上有质量为 m 的物体，被一劲度系数为 k 的轻 弹簧连接在左侧墙上，物体在 O 点静止时，弹簧恰为自然长度；物体只 有在 A 、 B 之间才能处于静止状态，则下列说法中正确的是 A．物体静止在 AB 之间时，离 O 越近，受到的摩擦力越小 B．物体静止在 AB 之间时，离 O 越近，受到的摩擦力越大 C．物体在 AO 之间运动时，受到的摩擦力方向一定向右 D．用水平拉力将物体从 A 位置块速拉到 B 位置，在此过程中，物体受到地面的摩擦力保持 不变
【解析】 此题似乎所给的条件不多，乍看起来无从下手．所求的角度应该是
用 L 和 R 表示的．对杆做受力分析：杆的中点处有重力， A 处指向圆心的压力， B 处垂直杆
方向的压力．这是一个三力平衡问题．细杆受力如图．
例平衡方程：
F1 cos 2 F2 sin 0
F1 sin 2 F2 cos G 0
尖端学生计划培养班·第 10 讲·教师版 5
A．接触面光滑 【答案】 BD
B．光滑斜面 C．物体冲上粗糙斜面 D．一起向右匀速
【例12】三个力大小分别为 6N 、10N 、14N ，则它们合力的最小值为
A． 0
B． 4N
C． 2N
【答案】 A
D． 8N
【例13】 物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系，则根据单位间的关系可 以判断物理关系式是否可能正确。某组同学在探究“声速 v 与空气压强 P 和空气密度 的关
不如第一个方法方便。当我们把人和长板看成一个整体的时候，就不用考虑这个整体内部的
作用力了。
【例8】 底边长为 a 、高度为 b 的长方形匀质物块置于斜面上。斜面和物 块之间的静摩擦因数为 ，斜面的倾角为 。当 足够小时，物 块静止于斜面上如图，如逐渐将倾角增大，当 取某个临界值0 时，物块或开始滑动，或翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的 0 ，并说明在什么条件下出现滑动？在什么条件下出现翻倒？
【答案】 BCDEFG
【例15】一汽车以 20m/s 的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大
小是 5m/s2 的加速度做匀减速直线运动，则刹车后 2s 内与刹车后 5s 内汽车通过的位移之比为
A．1∶1
B． 3∶4
C． 3∶1
D． 4∶3
【答案】 B
【例16】 一颗子弹沿水平方向射来，恰穿透固定在水平面上三块相同的木 板，设子弹穿过木板时的加速度恒定，则子弹穿过三块木板所用的 时间之比
体求出 A 处弹力 NA 和摩擦力 f 。
【解析】地面对杆的作用力（弹力和摩擦力的合力，即为全反力）必和 NB 、mg 交于一点，如图所示． 以 A 点为轴，有
NBa sin
mg
L 2
cos
，
NA NB cos mg ，
f NB sin ，
得
f
mgL 2a
sin2
cos
，
NA
mg
mgL 2a
度）；两个拉力力矩，一个在 B 点向上拉，一个在中点（即人手处）向上拉，力矩分别为T1 和
T1 。列出方程即为 mgl 3T1 ，可解出 T 。
2
2
【点评】 有的同学会选择长板作为受力分析对象。这样也是可行的，不过千万不能忽略人对长板的压
力．同学们会发现，计算人对长板的压力时，又要对人进行受力分析，这样就分析了两次，
mg
3R 8
sin
mg 8
x
cos
，
得 x 3R tan
而对物体有
mg 8
sin
mg 8
cos
，
得 tan ，
所以 x 3R 0.6R 。
尖端学生计划培养班·第 10 讲·教师版 3
【例6】 如图所示，一个质量为 m 、半径为 R 的球，用长为 R 的绳悬挂在 L 形 的直角支架上，支架的重力不计， AB 长为 2R ，BC 长为 2 3R ，为使 支架不会在水平桌面上绕 B 点翻倒，应在 A 端至少加多大的力?
悬绳与竖直方向的夹角 ；（2）直棒与水平方向的夹角 。
【解析】受力分析如图：tan α= 6 / 8 = 3 / 4，α= 37° 以 A 点为转动轴，由转动平衡可知: G L Cos F LSin 2 解得：β=arctan（2/3）。
【例3】 （03 年北京力学竞赛决赛）如图所示，一个半径为 R 的光滑半球面 固定在水平面上，ABC 代表一刚性均匀细杆，它和 A、B 点接触均 无摩擦，若图示杆所处的位置是平衡位置，已测出 AC=L，那么图 中的 ABC 和水平的角度 可以计算出来为______________。
B． T1 T3 T2 D． T1 T2 T3
【例18】如图所示，重力为100N 的物体在水平面上向右运动，物体与水平面的运动摩擦系数为 0.2 ，
与此同时物体受到一个水平向右的力 F 10N ，那么物体受到的合力是
A． 30N ，水平向左
B． 30N ，水平向右
C．10N ，水平向右
D．10N ，水平向左
【解析】分别求出开始出现滑动和出现翻倒倒计时的0 。 1．出现滑动
设重力 G mg 沿斜面与垂直于斜面的两个分力为 Gx 与 Gy ，斜面对物
体的支承力为 FN ，摩擦力 Ff ，如 0 时物体开始滑动如图，必有 Gx Ff FN ， Gy FN
用 Gx mg sin0 ， Gy mg cos0 代入，得 mg sin0 mg cos tan0
【答案】 D
【例19】 如图所示，一个大人单独提起一桶水和两个小孩共同提起一桶水，则 下列说法中正确的是 A．大人的拉力可以看作两个小孩拉力的合力 B．大人的拉力一定等于两个小孩拉力的大小之和 C．两个小孩两手臂夹角 越大，则小孩的拉力越小 D．两个小孩两手臂夹角 越大，则小孩的拉力越大
【答案】 AD
4 尖端学生计划培养班·第 10 讲·教师版
2．出现翻倒
如 0 时物体将要翻倒，则物体必是绕通过下角处的 A 轴翻 转如图.这时支承力 FN 与摩擦力 Ff 都通过 A 轴，不产生对 A 轴 的力矩.翻倒的临界条件是
可得 因此，得出结论：
ba 2 Gx 2 Gy
bmg sin0 amg cos0
【解析】
6 尖端学生计划培养班·第 10 讲·教师版
【答案】 ( 3 2) : ( 2 1) :1
【例17】在下图所示的三种情况中，砝码的质量均为 M ，不计一切摩擦和弹簧秤的重力，则三个弹簧 秤的示数 T1 、 T2 、 T3 的关系是
A． T1 T2 T3 C． T1 T2 T3
【答案】 A
第 10 讲 力矩平衡
10.1 力矩平衡 量
知识点睛
1．力矩 力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为
力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取 决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂( d )。
力与力臂的乘积称为力矩，记为 M ，则 M Fd ，如图 1， O 为垂直于纸面 的固定轴，力 F 在纸面内。
tan0
a b
如 a ，则当 增大至 arctan 时物块开始滑动。如 a ，则当 增大至 arctan a 时
b
b
b
物块开始翻倒. a 的情况，不要求讨论。 b
10.2 运动学、静力学复习
例题精讲
选择题（16 小题，每题 4 分，共 64 分）
【例9】 下列各组物理量中，全部是矢量的是 A．位移、力、加速度、速度 B．重力、速度、路程、时间 C．弹力、速率、摩擦力、位移 D．速度、质量、加速度、压力
sin
cos2
【例5】 （04 上海交大自主招生）半径为 R 的匀质半球体置于水平面上，其重心在球心 O 正下方 C 点
处．OC 3R ，半球质量为 m 。在半球的平面上放一质量为 m 的物体，它与半球平面间的动
8
8
摩擦系数为 0.2 ，如图所示，则物体刚要开始滑动时离球心的最大距离为
。
【解析】设临界情况下直径与水平面夹 角，如图所示。对整体有
系”时，推导出四个空气中声速的关系式，式中 k 为比例常数，无单位。则可能正确的关系式 是
A． v声 k
P
B． v声 k
P2
C． v声 kP
P
D． v声 k
P
【答案】 A
【例14】 物体做直线运动的速度图象如图所示，则 A．6s 内物体做匀变速直线运动 B．第二个 2 s 内物体做匀变速直线运动 C．3s 末物体的瞬时速度为 0，且改变运动方向 D．4s 末物体的瞬时速度大小为 4 m/s E．物体 6s 内的位移为 0 F．物体前 3s 内的位移为 6 m G．物体前 4s 内的位移为 4 m
力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该 轴转动没有作用。若力 F 不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分 量 F 和平行于轴的分量 F∥ ，F∥ 对转动不起作用，这时力 F 的力矩为 M Fd 。通常规定 绕逆时方向 转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。
用力拉绳子时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的 B 端离 开地面，运动员作用于绳的最小拉力是______。
【解析】 此题重点在于选对受力分析的对象。我们要求的是绳中的拉力，与绳相互作用的物体有人，
长板，和滑轮。滑轮作为改变拉力方向的装置，不是问题的关键。那么把人和长板一起作为
整体进行受力分析，绕 A 点的力矩共有四个：两个重力力矩，大小均为 mgl ，（设 l 为长板长 2
以
B
为轴：
F1
2R cos
sin
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