高一第一学期数学-集合与命题
上海高一数学第一章集合与命题复习
word第一章集合与命题一．集合：1． 概念及符号的使用.：集合、元素，属于，自然数集，整数集，有理数集，实数集，有限集、无限集；空集，列举法、描述法、子集，包含（包含于），图示法，文氏图，真子集，真包含（真包含于），、交集，并集，全集，补集。
2． ∈⊆，的比较：元素与集合间关系用,∈∉；集合与集合间关系用⊆⊇，类； 3． 交集，并集，补集的比较4． 关于子集的等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C 5． 集合的运算性质： ① A B =B A ，A B =B A② ()AB C =()A B C ， ()A B C =()A B C ③ ()U C A B =U U C A C B , ()U U U C A B C A C B =④AA A =A A A =A ∅=∅A A ∅=6．有限集的元素个数有限集A 的元素的个数记为card( A)，规定 card(φ) =0. 基本公式：（1）设有限集合A, card(A)=n,则(ⅰ)A 的子集个数为n2；(ⅱ)A 的真子集个数为12-n；(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n.（2）设有限集合A 、B 、C ，card(B)=m, card(A)=n ，m<n,则(ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为mn -2；word(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m n ；⑶容斥原理：card(A ∪B)= card(A)+card(B)- card(A ∩B)．二．四种命题形式及关系1． 概念：2.命题，真（假）命题 逆命题，否命题，逆否命题 等价命题2.一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：３．常用词语的否定：三．充要条件1．若α⇒β，则称α是β的充分条件，也即β是α的必要条件； 若α⇔β，则称α是β的充要条件；原命题 若p 则q 否命题若p 则q逆命题 若q 则p逆否命题若q 则p互逆 为 ? ? 互 否 逆 ? 互 逆 为 互 否互 逆 否互 否在讨论p 是q 的什么条件时，就是指以下四种之一： ①若p ⇒q ,但q ≠> p ，则p 是q 的充分但不必要条件； ②若q ⇒p ，但p ≠> q ，则p 是q 的必要但不充分条件； ③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ≠> q ，且q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条； ★要点：看清题目问的是:谁是谁的什么条件2．子集与推出关系 ： 设A,B 是非空集合，A={}|x x α具有性质,B={}|y y β具有性质,则A ⊆B 与α⇒β等价。
高一集合与命题知识点
高一集合与命题知识点在高中数学学科中，集合与命题是非常重要的知识点。
通过深入学习与理解这些知识，可以帮助我们更好地解决数学问题，并提高数学的应用能力。
本文将从集合和命题两个方面展开，介绍高一阶段的相关知识点。
一、集合集合是数学中最基础的概念之一，它是由若干个元素组成的整体。
在集合中，我们最常用的操作有并、交、差、补和集合的关系等。
下面将一一介绍这些操作：1. 并集：设有集合A和集合B，A和B的并集表示为A∪B，它包含了A和B的所有元素。
2. 交集：集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含了同时属于A和B的所有元素。
3. 差集：集合A和集合B的差集表示为A-B，它包含了属于A 但不属于B的所有元素。
4. 补集：集合A的补集表示为A'，它包含了不属于A的所有元素。
5. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
在集合的基础上，我们还可以通过集合的运算来构建更复杂的集合，例如幂集和笛卡尔积：1. 幂集：设集合A的元素个数为n，那么A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
幂集的元素个数为2^n。
2. 笛卡尔积：设有集合A和集合B，A和B的所有有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记作A×B。
除了基本的集合操作外，我们还需要了解集合的性质和定理，例如：1. 并、交、差的运算规律：结合律、交换律、分配律等。
2. De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，有(A∪B)'=A'∩B'和(A∩B)'=A'∪B'。
通过深入学习集合的相关知识，我们可以更好地理解和应用相关的数学概念和方法。
二、命题命题是指能够判断真假的陈述句。
在数学中，我们经常要处理各种各样的命题，因此了解命题的基本性质是非常重要的。
1. 命题的逻辑联结词：命题可以通过逻辑联结词进行组合，常见的逻辑联结词有与、或、非、蕴含和等值等。
2. 命题的真值表：我们可以通过真值表来判断命题的真假，真值表是由逻辑联结词和命题变元构成的表格。
高一数学上册集合和命题.集合及其表示法课件沪教版
回顾与总结
1、集合的意义
2、集合的特性：元素的确定性，互
异性，无序性
3、元素与集合的关系符号
4、一些常用的特殊集合的记号
5、集合的表示方法
列举法:突出元素,注意元素的
表示方法
互异性 描述法:突出元素的属性
图示法:直观,一目了然
30
下节知识储备与思考： 元素与集合有什么关系？ 那么集合和集合又有怎样的关系呢？
(4) A={(1,-3)}
B={(-3,1)}
27
练习4
已知集合 A { x |a x 2 2 x 1 0 ,a R ,x R }
（1）若A中只有一个元素，求a的值， 并求出这个集合；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围；
28
思维拓展
当集合S中的元素都为自然数，且满足 命题“如果x∈S，则8-x∈S”时， 回答下列问题： （1）试写出只有一个元素的集合S； （2）试写出元素个数为2的S的全部。 （3）满足上述条件的集合S总共有多少个？
1
观察
（1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的全体教师； （3）所有的四边形； （4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
2
一、集合的概念
我们把： 能够确切指定的一些对象组成的整体叫做 集合，简称集（set）
集合常用大写字母A、B、C、D…..表示
集合中的各个对象叫做这个集合的元素 集合中的元素常用小写字母a、b、c、d…..表示
3
元素与集合的关系
（1）如果a是集合A的元素，
记作： a A
读作“a属于A” （2）如果a不是集合A的元素，
记作： a A
读作“a不属于A” 举例：-1∈整数
高一数学上册《集合与命题、不等式》单元测试题沪教版
每= .x x为 .是 .的条是集))是 .合A_____________.集合有个： .x的集xz14. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 （（ ））A ．c b c a b a -+-£-B ．a a a a 1122+³+C ．a a a a -+<+-+213D ．21³-+-ba b a三、解答题：（8+10++10+12=40分）１5. 若集合{}{}2230,,0,A x x mx x R B x x x n x R =+-=Î=-+=Î， 且{}3,0,1A B =- ，求实数,m n 的值。
16.已知集合},03{},,032{22R x x ax x B R x x x x A Î>+-=Î<--=1）当a =2时，求B A Ç2）若A B A =Ç，求实数a 的取值范围 .17.求满足2x y k x y +£+对任意,x y R +Î恒成立的实数k 的最小值，并说明理由18.已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =£<<³ 具有性质P ；对任意的(),1i j i j n £££，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++ ；（Ⅲ）当5n =时若 a 2=2,求集合A.一 、1.{2} 2.1.{2} 2.【【2,32,3））3. 若实数b a ,满足,7³+b a 则2¹a 或 3¹b ” 4.既不充分也不必要 5.x>4或 x<-3 6.)31,21(-- 7.)1,1()1,(-È--¥ 8.2± 9.{3,4,5,6,7,8} 9.{3,4,5,6,7,8} 10.7 10.7 {},,3,2,1n S Í若S a Î，则必有S a n Î-+1，则这样的S 有*212),12(12),2(12N k k n k n n n Î-=-=-+二 、11.D 12.D 13.C 14.D 三 、 15.}1,3{23}0,1{000},1,0,3{0-=Þ=ÞÎ-Þ=Þ=ÞÎÞÏ-=ÈÎA m A B n B A B A16.（1）A=(-1,3),a=2时B=R, B A Ç=A=(-1,3) (2) B A A B A ÍÛ=Ç①B=R 1210121>Þ<-=D Þa a ②{}B A x x B a a ÍÞ¹=Þ=Þ=-Þ=D 612101210③61009321<<Þïîïíì³>a a a④ÆÞïîïíì³-<09121a a ⑤a=0B={x|x<3} 综上可知：a ≥017. （Ⅰ）由于34´与43均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236´´´´都属于数集{}1,2,3,6，∴该数集具有性质∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵（Ⅱ）∵{}12,,n A a a a = 具有性质P ，∴n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a £<<< ，∴n n n a a a >，故n n a a A Ï. 从而1n na A a =Î，∴11a =.∵121n a a a =<<< ， ∴k n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n Ï= .由由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a Î= .∴12111na a a a a a ---+++=+++ . 时，有55,a a ==可知4a Î，得34a a =Î3a <=，∴34a a ==∴5342a a a a a a a a ====5是首项为。
高一数学目录
高中一年级第一学期第1章集合和命题一、集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二、四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三、充分条件与必要条件1.5 充分条件, 必要条件四、逻辑初步（* 拓展内容）1.6 命题的运算五、抽屉原则与平均数原则（* 拓展内容）1.7 抽屉原则与平均数原则第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用课题一最大容积问题2.5 不等式的证明（拓展内容）第3章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立课题二邮件与邮费问题课题三上海出租车计价问题3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质函数的零点（拓展内容）第4章幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数4.1 幂函数的性质与图像二、指数函数4.2 指数函数的图像与性质三、对数4.3 对数概念及其运算换底公式（拓展内容）四、反函数4.4 反函数的概念五、对数函数4.5 对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.6 简单的指数方程4.7 简单的对数方程课题四声音传播问题高中一年级第二学期第5章三角比一、任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比课题一用单位圆中有向线段表示三角比二、三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6 三角比的积化和差与和差化积（拓展内容）三、解斜三角形5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形课题二测建筑物的高度第6章三角函数一、三角函数的性质与图像6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像6.2 正切函数的性质和图像课题三制作弯管6.3 函数的图像函数的性质（拓展内容）二、反三角函数与最简三角方程（拓展内容）6.4 反三角函数6.5 最简三角方程第7章数列7.1 数列7.2 等差数列与等比数列7.3 等差数列与等比数列的通项公式7.4 等差数列的前n项和7.5 等比数列的前n项和雪花曲线（* 拓展内容）课题五组合贷款购房中的数学问题第8章数学归纳法8.1 归纳——猜想——证明8.2 数归纳法的应用。
(完整版)高一第一学期数学知识点整理,推荐文档
高一第一学期数学知识点整理一、集合与命题1、集合及其表示法概念：集合元素的性质： ⑴ 确定性 ⑵ 互异性 ⑶ 无序性表示法：⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法注意：集合中的元素是确定的，各不相同的，注意最后的检验（有限集的互异性）。
2、集合之间的关系：⑴ 子集 ⑵ 相等的集合 ⑶ 真子集含有个元素的集合：有个子集，个真子集，个非空子集，个非空真子集。
n A n 212-n 12-n 22-n 注意：集合与元素的属于关系与集合之间的包含关系，两者不能混淆。
3、集合的运算：⑴ 交集 ⑵ 并集 ⑶ 补集两个重要转化：① ；② 。
⇔=A B A B A ⊆⇔=A B A A B ⊆注意：⑴ 认清集合，区分数集与点集的不同运算意义。
⑵ 集合运算注意分类讨论和数形结合思想，注意节点处的等号问题，不要忽视的存在φ如，别忘了可能是；，别忘了、可能是。
B A ⊆A φφ=B A A B φ4、命题的形式及等价关系四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题注意：⑴ 确定一个命题是真命题，就必须证明；确定一个命题是假命题，只要举反例。
⑵ 互为逆否命题的两个命题为等价命题，原命题与逆否命题同真（假），逆命题与否命题同真（假）5、充分条件，必要条件，充要条件如：推不出A,则A 是B 的充分非必要条件,A B B ⇒6、子集与推出关系：设是非空集合，=，=，B A ,A {}α具有性质a a B {}β具有性质b b 则与等价⊆A B βα⇒ 二、不等式1、不等式的基本性质（8条性质）2、一元二次不等式的解法⑴ 一元二次不等式的解集与字母系数的关系。
⑵ 利用二次函数图像，解决一元二次不等式特殊解集（）的问题。
R ,φ 注意：开口方向与判别式∆⑶ 准确分类讨论，解含有字母参数的一元二次不等式。
注意： 在不等式变形时，如遇两边同除以字母系数时，一定要对字母分三种情况进行讨论。
0,0,0<=>3、其他不等式的解法⑴ 分式不等式注意：⑴ 解分式不等式时，移项通分，一般不直接去分母，特殊情况分母符号确定可以去分母⑵ 分母不为零，尤其是出现不等号时，注意解集的开闭不同。
高一数学-集合
∴2q2－q－1＝0
12.
【解析】 （1）设 k∈Z，则任意奇数可表示为 2k－1 ∵2k－1＝k2－(k－1)2
已知集合 A＝{ x∣x＝m2－n2，m，n∈Z }，求证： （1）任意奇数都是 A 的元素。 （2）偶数 4k－2（k∈Z）不属于 A。 （2）假设存在 k∈Z，使得 4k－2∈A。即存在 m，n 使得 4k－2＝m2－n2 ∴2(2k－1)＝(m－n)(m＋n） ∵k，(k－1)∈Z ∴2k－1∈A 即任意奇数都是 A 的元素。 ∴(m－n)，(m＋n)为偶数
当 x＝4 时，y＝1；当 x＝5 时，y＝0； 7.
【解析】∵a，b∈Z 且 a≠b
若集合 M＝{0，2，3，7}，P＝{x∣x＝ab，a，b∈M，a≠b }，则 P＝
∴①当 a＝0 时，b＝2，3，7，此时 ab＝0；②当 a＝2 时，b＝0，3，7，此时 ab＝0，6，14；
③当 a＝3 时，b＝0，2，7，此时 ab＝0，6，21；④当 a＝7 时，b＝0，2，3，此时 ab＝0，14，21； 故 P＝{0，6，14，21} 8. 若集合 M＝{ x∣ax2＋2x＋1＝0}只含一个元素，则 a＝ ∴方程 ax ＋2x＋1＝0 只有一个解
21.
集合{1，2，3}的子集的个数是（ A. 6
【解析】方法 1、∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3} ∴集合{1，2，3}的子集个数为 23＝8 个，故选 C。 22.
方法 2、对于有限集 A 有 n 个元素，则的子集个数为 2n 个，真子集个数为 2n－1 个。
D. M
T且M
T
【解析】由∵ x＋y＞0 且 x y＞0 得 x＞0， x＞0 17. 用适当的符号（∈，∉，＝， （1）3.14 Q； ， ）填空：
人教版高一数学必修一集合知识点和习题
高一数学必修 1第一章集合一、集合有关概念1.集合的含义:必然范围的、肯定的、可区别的事物，看成一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。
2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的肯定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方式：列举法与描述法。
注意：常常利用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方式。
{x∈R| x-3>2} ,{x|x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无穷集含有无穷个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的大体关系1.“包括”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部份，；（2）A与注意：BB是同一集合。
反之: 集合A不包括于集合B,或集合B不包括集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:若是A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③若是 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④若是A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即CSA=},|{AxSxx∉∈且韦恩图示A B图1A B图2性质A A=AA Φ=ΦA B=B AA B⊆AA B⊆BA A=AA Φ=AA B=B AA B⊇ＡA B⊇B(CuA) (CuB)= Cu(A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= Φ．SA例题1.下列四组对象，能组成集合的是( ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
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集合与命题
一、填空题：（每小题4分，共32分）
1．若{}{}4,3,2,1,2,1==B A ，则满足A ≠⊂M ≠⊂B 的集合M 的个数是________个．
2．已知集合{}t M ,3,1=，{}
12+-=t t P ，若M P M =⋃，则t =_ _ 3．设全集U=Z ，集合},43|{Z x x x x A ∈≥-<=或，则C U A=_ _
4、设集合{|12}A x x =≤≤，{|}B x x a =≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 2≥a 。
4．已知：2
()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a = b = ．
5．命题“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题 ，所写命题是__ __命题。
（填“真”或“假”） 6． 若b a >，则
b
a 11<成立的充要条件是____________________________________. 7．若集合M={x| x 2+x-6=0}，N={x| kx+1=0}，且N ⊆M ，则k 的可能值组成的集合为 8．集合{}{}12,<≤-=≤=x x B a x x A ，若B A ≠⊂φ，
则实数a 的取值范围是__________ 7、设关于的不等式032)14(2>-+-+m x m x 的解集为，且，则实数的取值范围是 5
4-≤m 。
9．集合A 、B ，定义{}B x A x x B A ∉∈=-且,|，()()A B B A B A --=* 叫做集合的对称差。
若集合(){}2y|y x-11,03A x ==+≤≤，{}
2|1,13B y y x x ==+≤≤，则B A *= _
二、选择题：（每小题5分，共20分）
9．若x ∈R ，则x>1的一个必要不充分条件是（ ）
A ．x>1 B.x>0 C ．x>2 D ．x≥2
10．给出以下四个命题：
①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是 ( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④ 11．设全集},91|{N x x x U ∈<≤=，则满足{
}8,7,5,3,1∩}7,5,3,1{=B C U 的所有集合B 的个数有（ ）
A ．1个
B ．4个
C ．5个
D ．8个
12．设{}2|560,A x x x x R =--=∈ {}2|60,B x mx x x R =-+=∈ 且B B A = x A A A ∉∈2,0m
则实数m 的取值范围（ ）
A ．7-=m
B ．0=m
C ．7-=m 或0
D ．以上都不对
三、解答题：（13题10分，14题10分，15题12分 16题16分共48分）
13．已知集合A={}37x x ≤≤，B={x|2<x<10}，全集为实数集R.
求：（1） A ∪B ； （2）(C R A)∩B ；
14．若集合S={}23,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S∩T={}1，P=S ∪T
（1）求a 的值；（2）求集合P 的所有子集。
15． 已知集合{1,1}A =-集合，2{|20,}B x x ax b x R =-+=∈，若x A ∈是x B ∈的必要非充分条件，求a b 、所满足的条件。
16．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则
11a A a +∈-。
（1）若3a =-，求出A 中其它所有元素；
（2）0是不是集合A 中的元素？为什么？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论，并证明。