(详细版)三元线性方程组常考题型分类总结(超全面)
文都教育——常考题型线性代数题型总结
线性代数局部题型一：行列式的性质1．设α, β,γ1,γ2 ,γ3 为四维列向量，A = (α,γ1,γ2 ,γ3 ) ，B = (β,γ1,3γ2 ,γ3 ) ，| A |= 3 ，| B |= 21，求| A +B | 。
解答：A +B = (α+β,2γ1,4γ2 ,2γ3 ) ，| A +B |=| α+β,2γ1,4γ2 ,2γ3 |=| α,2γ1,4γ2 ,2γ3 | + | β,2γ1,4γ2 ,2γ3 |= 16 | α,γ,γ,γ| +161 2 3 3| β,γ1,3γ2 ,γ3 |=16 ⨯3 +⨯ 21 = 160 。
32．设A, B 都是三阶矩阵，A 相似于B ，且| E -A |=| E - 2 A |=| E - 3A |= 0 ，求| B -1+ 2E |。
解答：由| E -A |=| E - 2 A |=| E - 3A |= 0 ，得 A 的特征值为λ1=1, λ2=1, λ2 3=1，3因为 A ~ B ，所以 B 的特征值为 λ1=1, λ2=1, λ2 3=1，B -1的特征值为1,2,3 ，于是3B -1 + 2E 的特征值为3,4,5 ，故| B -1 + 2E |= 60 。
2 - 53．设D =- 3 75 - 9 4 - 6解答：1 2-1 42 7，〔1〕计算D ；〔2〕求M 31 +M 33 +M 34 。
1 22 - 5〔1〕 D =- 3 75 - 94 - 6 1 2 2 -5 1-1 4=-1 2 02 7 1 1 01 2 2 -1 026= 1⨯A =M3 13 13-1 2 = 1 12 -1 6 -13 =00 02 63 93 12= 9 。
〔2〕M 31 +M 33 +M 34 = 1⨯A31 + 0 ⨯A32 +1⨯A33 + (-1) ⨯A3416313 2 - 5 1= - 3 7 -1 2 2- 54 = - 3 7 -1 42 1= 1⨯ A = M - 5 -14 -5 -1 4 - 5 -1 4- 3 9= 7 2 1 = 3 72 1 =3 - 3 0 9 = -3⨯ A 12 = 3 3 - 2= -63 。
2020考研数学：线性代数常考题型归纳
2020考研数学：线性代数常考题型归纳摘要：线性代数是考研数学必考的内容，它和高数与概率统计相比，有其自身的特点，而我们同学们在学习这门课时应该要注重对知识点的总结归纳。
下面老师为大家分享2020考研数学线性代数常考题型，希望对同学有所帮助。
线性代数还是以计算题为主，证明题为辅，因此，这要求我们必须注重计算能力的培养及提高。
现在的考研趋势是越来越注重基础，淡化技巧，下面老师就具体落实到一个章节一个章节的来谈。
1、关于行列式它在整个考研数学试卷中所占分量不是很大，一般主要是以填空选择题为主，这一块是考研数学中必考内容，它不单单考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也是很多的，比如在逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组解的判断、特征值的求解、正定二次型与正定矩阵的判断等问题中都会用到行列式的有关计算。
因此，对于行列式的计算方法我们一定要熟练掌握。
2、关于矩阵矩阵是线性代数的核心知识，它是后面其他各章节的基础，在向量组、线性方程组、特征值、二次型中均有体现。
矩阵的概念、运算及理论贯穿整个线性代数的知识部分。
这部分的考点涉及到伴随矩、逆矩阵、初等矩阵、矩阵的秩以及矩阵方程，这些内容是有关矩阵知识中的一类常见的试题。
3、关于向量它既是重点又是难点，主要是因为其比较抽象，因此很多考生对这一块比较陌生，进而就会导致我们同学们在学习理解以及做题上的困难。
这一部分主要是要掌握两类题型：一是关于一个向量能否由一组向量线性表出的问题，二是关于一组向量的线性相关性的问题。
而这两类题型我们一般是与非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求解的。
4、关于线性方程组线性方程组在近些年出现的频率较高，几乎每年都有考题，它也是线性代数部分考查的重点内容。
所以对于线性方程组这一部分的内容，同学们一定要掌握。
其常见的题型如下：(1)线性方程组的求解(2)方程组解向量的判别及解的性质(3)齐次线性方程组的基础解系(4)非齐次线性方程组的通解结构(5)两个方程组的公共解、同解问题5、关于特征值、特征向量它也是线性代数的重点内容，在我们考研数学中一般都是题多分值大。
考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．AX=0和BX=0都是n元方程组，下列断言正确的是( )．A．AX=0和BX=0同解r(A)=r(B)．B．AX=0的解都是BX=0的解r(A)≤r(B)．C．AX=0的解都是BX=0的解r(A)≥r(B)．D．r(A)≥r(B)AX=0的解都是BX=0的解．正确答案：C解析：AX=0和BX=0同解(A)=r(B)，但r(A)=r(B)推不出AX=0和BX=0同解，排除(A).AX=0的解都是BX=0的解，则AX=0的解集合BX=0的解集合，于是n一r(A)≤n一r(B)，即r(A)≥r(B)．(C)对，(B)不对．n一r(A)≤n —r(B)推不出AX=0的解集合BX=0的解集合，(D)不对．知识模块：线性代数2．设A是m×n矩阵，r(A)=r．则方程组AX=βA．在r=m时有解．B．在m=n时有唯一解．C．在r＜n时有无穷多解．D．在r=n时有唯一解．正确答案：A解析：此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质。
在判别法则中虽然没有出现方程个数m，但是m是r(A)和r(A|β)的上限．因此，当r(A)=m 时，必有r(A|β)=r(A)，从而方程组有解，(A)正确．(C)和(D)的条件下不能确定方程组有解．(B)的条件下对解的情况不能作任何判断．知识模块：线性代数3．的一个基础解系为A．(0，一1，0，2)T．B．(0，一1，0，2)T，(0，1／2，0，1)T．C．(1，0，一1，0)T，(一2，0，2，0)T．D．(0，一1，0，2)T，(1，0，一1，0)T．正确答案：D解析：用基础解系的条件来衡量4个选项．先看包含解的个数．因为n=4，系数矩阵为其秩为2，所以基础解系应该包含2个解．排除(A)．再看无关性(C)中的2个向量相关，不是基础解系，也排除．(B)和(D)都是两个无关的向量，就看它们是不是解了．(0，一1，0，2)T在这两个选项里都出现，一定是解．只要看(0，1／2，0，1)T或(1，0，一1，0)T(其中一个就可以)．如检查(1，0，一1，0)T是解，说明(D)正确．或者检查出(0，1／2，0，1)T不是解，排除(B)．知识模块：线性代数4．当A=( )时，(0，1，一1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX=0的基础解系．A．B．C．D．正确答案：A解析：由解是3维向量知n=3，由基础解系含有两个解得到3一r(A)=2，从而r(A)=1．由此着眼，只有(A)中的矩阵符合此要求．知识模块：线性代数5．A=r(A)=2，则( )是A*X=0的基础解系．A．(1，一1，0)T，(0，0，1)T．B．(1，一1，0)T．C．(1，一1，0)T，(2，一2，a)T．D．(2，一2，a)T，(3，一3，b)T．正确答案：A解析：由A是3阶矩阵，因此未知数个数n为3．r(A)=2，则r(A*)=1．A*X=0的基础解系应该包含n一1=2个解，(A)满足．(1，一1，0)T，(0，0，1)T显然线性无关，只要再说明它们都是A*X=0的解．A*A=|A|E=0，于是A的3个列向量(1，一1，0)T，(2，一2,a)T，(3，一3，b)T都是A*X=0的解．由于r(A)=2，a和b不会都是0，不妨设a≠0，则(0，0，a)T=(2，一2，a)T一2(1，一1，0)T也是A*X=0的解．于是(0，0，1)T=(0，0，a)T／a也是解．知识模块：线性代数6．设A=(α1，α2，α3，α4)．是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1，0，1，0)T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( ) A．α1，α3B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：AX=0的一个基础解系由一个向量构成，说明4一r(A)=1，r(A)=3，从而r(A*)=1．则A*X=0的基础解系应该包含3个解．排除(A)和(B)．由于(1，0，1，0)T是AX=0的解，有α1+α3=0，从而α1，α2，α3线性相关，排除(C)．知识模块：线性代数7．线性方程组的通解可以表示为A．(1，一1，0，0)T+c(0，1，一1，0)T，c任意．B．(0，1，1，1)T+c1(0，一2，2，0)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．C．(1，一2，1，0)T+c1(一1，2，1，1)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．D．(1，一1，0，0)T+c1(1，一2，1，0)T+c2(0，1，一1，0)T，c1，c2任意．正确答案：C解析：非齐次方程组AX=β的通解是它的一个特解加上导出组AX=0的一个基础解系的线性组合．因此表达式中带参数的是导出组的基础解系，无参数的是特解．于是可从这两个方面来检查．先看导出组的基础解系．方程组的未知数个数n=4，系数矩阵的秩为2，所以导出组的基础解系应该包含2个解．(A)中只一个，可排除．(B)中用(0，一2，2，0)T，(0，1，一1，0)T为导出组的基础解系，但是它们是相关的，也可排除．(C)和(D)都有(1，一2，1，0)T，但是(C)用它作为特解，而(D)用它为导出组的基础解系的成员，两者必有一个不对．只要检查(1，一2，1，0)T，确定是原方程组的解，不是导出组的解，排除(D)．知识模块：线性代数8．设ξ1，ξ2是非齐次方程组AX=β的两个不同的解，η1，η2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为( )A．k1η1+k2η2+(ξ1一ξ2)／2．B．k1η2+k2(η1一η2)+(ξ1+ξ2)／2．C．k1η1+k2(ξ1一ξ2)+(ξ1一ξ2)／2．D．k1η1+k2(ξ1一ξ2)+(ξ1+ξ2)／2．正确答案：B解析：先看特解．(ξ1一ξ2)／2是AX=0的解，不是AX=β的解，从而(A)，(C)都不对．(ξ1+ξ2)／2是AX=β的解．再看导出组的基础解系．在(B)中，η1，η1一η2是AX=0的两个解，并且由η1，η2线性无关容易得出它们也线性无关，从而可作出AX=0的基础解系，(B)正确．在(D)中，虽然η1，ξ1一ξ2都是AX=0的解，但不知道它们是否无关，因此(D)作为一般性结论是不对的．知识模块：线性代数9．设线性方程组AX=β有3个不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n一2，n 是未知数个数，则( )正确．A．对任何数c1，c2，c3，c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解；B．2γ1—3γ2+γ3是导出组AX=0的解；C．γ1，γ2，γ3线性相关；D．γ1—γ2，γ2一γ3是AX=0的基础解系．正确答案：B解析：Aγi=β，因此A(2γ1一3γ2+γ3)=2β一3β+β=0，即2γ1一3γ2+γ3是AX=0的解，(B)正确．c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解c1+c2+c3=1，(A)缺少此条件．当r(A)=n一2时，AX=0的基础解系包含两个解，此时AX=β存在3个线性无关的解，因此不能断定γ1，γ2，γ3线性相关．(C)不成立．γ1—γ2，γ2—γ3都是AX=0的解，但从条件得不出它们线性无关，因此(D)不成立．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
线性代数重点题型总结
第四章
4.1 ①求特征值与特征向量，例2、例3
②特征值与特征向量性质考察，例7，习题2
其他：例5
4.2 ①判断某阵能否对角化，并求幂。
例、习题1、2
②两阵相似，求阵中的未知数。
习题1、3、14
4.3 ①将向量正交化or单位化（方法见P185），习题16、17
②已知实对称矩阵，求正交阵使Q−1AQ为对角阵，例4、例5、习题22、23
注意出现多重特征值时要先正交化再单位化
证明类：习题7、3、19、P172 例5
第三章
3.1①线性方程解的情况：无解、唯一解、无穷解、线性方程的非零解时r（A）和r（A|b）的关系。
例1、例2、例3、例4
3.2①向量的4则运算，分配律、结合律。
②某向量能否被另一向量组线性表示，充要条件是
r（α1….αn）＝r（α1…αn,β）。
例5、习题7
③向量组是否等价（能相互表示即可）例6
3.3①判断已知向量组是否线性相关（即r（A）＜n），p130例4、习题10、14、15、
3.4①判断某向量组的一个极大无关组，并用它表示其他向量。
例2，习题16、17
3.5①求方程组的基础解系，分齐次和非齐次的。
例1、2、4
第二章
2.2①加减乘法，习题6、23。
注意6题体现规律，矩阵左乘变列，右乘变行。
②矩阵转置和矩阵行列式的性质，用于判断题。
2.4－2.7①分块矩阵、逆矩阵，矩阵的秩习题33、47、48、51
第一章
重点习题：1.3（例5、例7、例6），
1.4行列式按行列展开（例4）
习题21、22、24、32、35。
线性代数应用题总结分类及经典例题
线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。
以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
数学之美解三元三次方程组
数学之美解三元三次方程组在数学领域中，方程组是一个重要的概念，特别是高次方程组的解，更是数学中的经典难题之一。
本文将讨论解三元三次方程组的方法和技巧，展现数学之美。
一、三元三次方程组的基本概念三元三次方程组由三个同时含有三次幂的方程组成。
通常形式为：1) ax^3 + by^3 + cz^3 = d2) ex^3 + fy^3 + gz^3 = h3) ix^3 + jy^3 + kz^3 = l其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l为已知系数，x、y、z为未知数。
二、解三元三次方程组的方法解三元三次方程组的一般方法是代数法。
下面将介绍两种常用的解法。
1. 消元法消元法是一种基本的代数求解方法，可以通过逐步消除未知数的系数，最终得到方程的解。
首先，我们可以使用第一个方程表示出x^3，然后通过消去x^3的方式，将第二和第三方程变形为只含有y和z的方程。
这样，我们可以得到一个二元二次方程组，然后通过二次方程求解的方法，得到y、z的值。
接着，将求得的y、z的值代入到第一个方程中，可以得到x的值，从而得到方程组的解。
2. 系数矩阵法系数矩阵法是另一种解三元三次方程组的常用方法，它利用线性代数中的知识，将方程组转化为矩阵形式，并通过矩阵的运算求解。
首先，将方程组的系数矩阵表示为A，未知数矩阵表示为X，常数矩阵表示为B。
然后，利用矩阵运算的性质，可以得到AX=B的等式。
接着，通过求解该矩阵方程，可以得到未知数矩阵X的值，从而解出方程组。
三、实例分析为了更好地理解解三元三次方程组的方法和步骤，我们以一个具体的实例进行分析。
考虑以下三元三次方程组：1) x^3 + 2y^3 + 3z^3 = 62) 2x^3 + 3y^3 + 4z^3 = 113) 3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 18首先，我们可以使用第一个方程表示出x^3，得到x^3 = 6 - 2y^3 -3z^3。
然后，将x^3的表达式代入到第二个和第三个方程中，得到：2(6 - 2y^3 - 3z^3) + 3y^3 + 4z^3 = 113(6 - 2y^3 - 3z^3) + 4y^3 + 5z^3 = 18通过化简和整理，可以得到一个二元二次方程组：-4y^3 - 7z^3 = -1-11y^3 - 14z^3 = 0接下来，我们可以利用二次方程的求解方法，解出y、z的值。
三元齐次线性方程组
三元齐次线性方程组
三元齐次线性方程组是研究多元高斯消元法的基础，是 linear algebra（线
性代数）领域中解决线性方程组的有效数学工具。
三元齐次线性方程组可以用来求解多元一次方程组，被广泛应用于多种研究领域。
三元齐次线性方程组本质上是一组形如 ax + by + cz = d 的线性方程，其中a, b, c, d是常量，x, y, z分别代表不同的未知变量。
求解这类方程组的方法就是采用多元高斯消元法，即分别对x, y 和z的值进行求解，使得方程组可以成立。
多元高斯消元法是三元齐次线性方程组解决非常有效和简便的方法，在学术及
实际领域中得到了非常广泛的应用。
高斯消元法具有计算简单，准确可靠等众多优点，可以用来解决线性方程组或者矩阵计算中有关向量和线性方程组的运算。
特别是当三元齐次线性方程组涉及到多元线性微分方程组、无穷维泛函的最小二乘法等技术领域时，高斯消元法就显得极其有用。
综上所述，三元齐次线性方程组在许多学术与实际研究中，以及在解决线性方
程组、矩阵计算中有关向量和线性方程组的问题时，都有着重要的应用，并且具有计算简单、准确性高的特点，值得推荐给广大的学术研究者。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(详细版)三元线性方程组常考题型分类总
结(超全面)
一元一次方程组
一元一次方程组是最简单的线性方程组形式，由一个方程组成，该方程有三个未知数，例如：
x + y + z = 10
二元一次方程组
二元一次方程组由两个方程组成，每个方程含有两个未知数，
例如：
x + y + z = 10
2x + 3y + z = 15
三元一次方程组
三元一次方程组由三个方程组成，每个方程含有三个未知数，
例如：
x + y + z = 10
2x + 3y + z = 15
3x + 2y + 2z = 20
线性方程组可解性判断
对于三元线性方程组，可用以下方法判断其可解性：
1. 如果三个方程之间满足线性相关关系，例如一个方程是其他两个方程的线性组合，那么方程组无解。
2. 如果三个方程之间满足线性无关关系，且每个方程的系数行列式不为0，那么方程组有唯一解。
3. 如果三个方程之间满足线性无关关系，且其中一个方程的系数行列式为0，那么方程组有无穷多解。
可以使用高斯消元法或矩阵求逆等方法来解决线性方程组。
常见解法思路
常见的解法思路包括：
1. 直接代入法：将一个方程的某个变量表示为其他变量的表达式，然后代入另一个方程进行求解。
2. 消元法：通过线性操作使某个变量的系数为0，从而将方程
组化简为较简单的形式。
3. 矩阵求解法：将方程组表示为矩阵形式，通过求解矩阵的逆
矩阵或使用高斯消元法等进行求解。
以上是三元线性方程组常考题型的分类总结，希望对你有帮助！
参考资料：。