高三数学文科圆锥曲线大题训练(含答案)

高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）

1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;

（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆

221

2

x y +=

的位置关系. 1．解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为

22

1164

x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,

因此4,a c ==故椭圆C

的离心率c e a =

=

分 (II)由22

1,416

y kx x y =+??+=?得()22

148120k x kx ++-=, 由题意可知0?>. ..............5分

设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y ,

则1224214M x x k x k +==-+,122

1

214M y y y k

+==+......................7分 因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,

所以BM EF ⊥,

因此BM 的斜率1

BM k k

=-

. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以2

22

1

2

2381440414M BM M y k k k k x k k ++++===-

--

+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即218k =,

所以4

k =±,....................12分

故EF

的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分

又圆22

12x y +=

的圆心()0,0O 到直线EF

的距离为d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分

2．已知椭圆的中心在坐标原点O

，长轴长为

离心率e =

F 的直线l 交

椭圆于P ，Q 两点． （1）求椭圆的方程；

（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ?的面积；

（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.

2．解：（1）由已知，椭圆方程可设为()22

2210x y a b a b

+=>>． --------1分

∵长轴长为

离心率2

e =

，∴1,b c a === 所求椭圆方程为2

212

x y +=． ----------- 4分 （2）因为直线l 过椭圆右焦点()1,0F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．

设()()1122,,,P x y Q x y ，

由 2222,1,

x y y x ?+=?=-? 得 23210

y y +-=，解得 1211,3y y =-=． ∴ 1212112

223

POQ S OF y y y y ?=?-=-=． --------------9分

（3）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x =，此时POQ ∠小于90，,OP OQ 为

邻边的平行四边形不可能是矩形．

当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-．

由 ()22

22,1,

x y y k x ?+=??=-?? 可得()2222124220k x k x k +-+-=．

∴22121222

422

,1212k k x x x x k k

-+==++．11(1)y k x =-，22(1)y k x =-

2

122

12k y y k -∴=+因为以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形0OP OQ ??=u u u r u u u r .

由22

121222

2201212k k OP OQ x x y y k k

--?=+=+=++uu u r uuu r 得22k =，

k ∴=∴

所求直线的方程为1)y x =-． ----------------14分

3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个顶点为(2,0)A -，

离心率为

3

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程． 3. 解：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴上，

因为2a =，

c a =

，

所以 c =

222

43b a c =-=．

所以 椭圆的方程为22

3144

x y +=． …………4分 （2）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为0，设l 的斜率为k ，

则可设直线l 的方程为(2)y k x =+， 则原点O 到直线l 的距离为

d =

．

设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，

则 22

34

y kx x y =??+=? 消y 得22

(31)4k x +=． 可得

P ，(Q ．

因为 以PQ 为直径的圆与直线l 相切，

所以

1

||2

PQ d =，即||OP d =． 所以 222

+=， 解得 1k =±．

所以直线l 的方程为20x y -+=或20x y ++=． ………14分

4．的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P

在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且

APQ BPQ ∠=∠．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．

4．解：（1）由已知得e =12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>

由题意可知点(2,1)P 在椭圆上， 所以

22

4114b b +=．解得2

2b =． 故椭圆C 的标准方程为22

182

x y +=． ………4分 （2）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．

设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．

由2248

(12),

x y y kx k ?+=?=+-?得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0?>成立.

即()

2222

64(12)4(14)161640k k k k k ?=--+-->,

化简得2

16(21)0k +>，解得12

k ≠-

. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164

214A k k x k --?=+．

所以22

882

14A k k x k

--=+． 当方程（1）根的判别式0?=时，1

2

k =-

，此时直线PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．

同理，易得2222

8()8()2882

14()14B k k k k x k k ----+-==

+-+． 由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，

且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12

k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 11

2222

APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ??=+=

?-+?- 2222

1882882

21414B A k k k k PQ x x k k --+-=?-=-

++21614k k =+ 由于12k >

，故2

1616

1144k S k k k

==++. 当12k >

时，144k k +>，即11

0144k k

<

<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t

=+在1,2t ??

∈+∞

???

时的取值范围. 222141

()4t f t t t

-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.

则当1

2

t >

时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分

5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线

022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当A M A N

=时，

求m 的取值范围.

5．解: （1）依题意可设椭圆方程为22

21x y a

+=，………….2分

则右焦点F

的坐标为

)

，

3=，解得23a =，

故所求椭圆的标准方程为2

213

x y +=. ………………………….5分

6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线2

22:12

x C y -=的顶点，直线

0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异

于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ?=，0BQ BP ?=，且A ，B ，Q 三点不共线. （1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；

（3）求ABQ ?面积的最大值及此时点Q 的坐标.

6．（1）解法1： ∵ 双曲线2

22:12

x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……1分

∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .

设椭圆1C 方程为122

22=+b

y a x ()0a b >>，

∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得

2a =.……2分

∴ 2

222b a =-

=. ………………………3分

∴ 椭圆1C 的方程为 22

142x y +=. ………………………4分

解法2: ∵ 双曲线2

22:12

x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………………1分

∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .

设椭圆1C 方程为122

22=+b

y a x ()0a b >>，

∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴

22

21

1a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 2

2

2a b =+, ② ………………………3分 由①②解得2

4a =, 2

2b =.

∴ 椭圆1C 的方程为 22

142

x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，

由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，

∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，

(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.

由 0AQ AP ?=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分

即 11((1)(1)x x y y =---. ①

同理, 由0BQ BP ?=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分 ①?②得 2

2

2

2

11(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分

由于点P 在椭圆1C 上, 则22

11142

x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2

222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.

当2110y -≠时，有2225x y +=，

当2110y -=

，则点(1)P -

或P ,此时点Q

对应的坐标分别为或

(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分

当点P 与点A 重合时，即点

P (1)，由②得

3y =-，

解方程组22

25,

3,

x y y ?+=??=-?? 得点Q

的坐标为

)

1-

或22??

- ? ???

. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q

的坐标为()

或22??

- ? ???

.

∴点Q 的轨迹方程为 22

25x y +=,

除去四个点

)1-

,22??

- ? ???

, ()

, 2??

? ???

. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，

由

A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得

B 1)-， ∵0AQ AP ?=，0BQ BP ?=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.

1=-

(1x ≠，① ……………………5分

1=-

(1x ≠. ② ……………………6分

①?② 得 1222211

1

122

y y x x --?=--. (*) ………………………7分

∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得22

1122

x y =-,

代入(*)式得221

2

211112122x y x x -

-?=--，即2211122

y x --?=-, 化简得 2225x y +=.

若点(1)P -

或P , 此时点Q

对应的坐标分别为或

(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分

当点P 与点A 重合时，即点

P (1)，由②得

3y =-，

解方程组22

25,

3,

x y y ?+=??=-?? 得点Q

的坐标为

)

1-

或2?

-????

.

同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q

的坐标为()

或2??

?

???

. ∴点Q 的轨迹方程为 22

25x y +=,

除去四个点

)1-

,22??

- ? ???

, ()

,

22??

- ? ???

. ………………………9分 (3) 解法1：点Q (),x y 到直线:

AB 0x =

.

△ABQ

的面积为S =………………………10分

x =

+=

………………………11分

而22

2(2)42y x x =??≤+

（当且仅当2x =

∴S =≤=

2=

. ……12分

当且仅当2x =

时, 等号成立.

由22225,x x y ?=???+=?

解得22,x y ?=

???=?

或22.x y ?=-???=-?

………………………13分

∴△ABQ

的面积最大值为

2, 此时,点Q

的坐标为2?????

或2??- ? ???

.…14分 解法2：由于

AB =

，

故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． ………………………10分

设与直线AB 平行的直线为0x m

+=， 由22

0,25,

x m x y ?++=??

+=?

?消去x ，得22

5250y c ++-=， 由()

22

3220250m m ?=-

-=，解得m =．

………………………11分 若2m =

，则

2y =-，2

x =-；若2m =-

2y =，2

x =． …12分

故当点Q 的坐标为22?? ?

???或22??-- ? ???

时，△ABQ 的面积最大，其值为

1

2

2

S AB =

=

． ………………………14分 7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是

AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点

Q ．证明：B P Q ,,三点共线．

7．【解析】： （1）解：F （1，0），|AF|=a+c ，|BF|=a ﹣c ．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项． ∴

，解得a=2，c=1，

∴b 2

=a 2

﹣c 2

=3． ∴椭圆C 的方程为

=1．

（2）证明：直线l 的方程为：x=﹣2，直线AP 的方程为：y=k （x+2）（k≠0），

联立，化为（3+4k 2

）x 2

+16k 2

x+16k 2

﹣12=0，

∴，

∴x P =，∴y P =k （x P +2）=

，

∵QF ⊥AP ，∴k PF =﹣． 直线QF 的方程为：y=﹣

，

把x=﹣2代入上述方程可得y Q =， ∴Q

．

∴k PQ =

=

，k BQ =

．

∴k PQ =k BQ ， ∴B ，P ，Q 三点共线．

8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2

，且经过点()0,1．圆

22221:C x y a b

+=+. （1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交

于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．

8．解析：（1）解：∵ 椭圆22

22:1x y C a b

+=过点()0,1，

∴ 2

1b =.

∵2

222

c

a b c a =

=+， ∴24a =． ∴椭圆C 的方程为2

214

x y +=. ……………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ……………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，

∴方程组22

,

14

y kx m x y =+??

?+=?? （*） 有且只有一组解． 由（*）得()

222

148440k x kmx m +++-=． …………6分

从而()(

)()2

2

2

8414440km k

m

?=-+-=,化简得2214m k =+．①………7分

()

22

8414214M km km

x k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414km

m k k ??-

?++??

. ……………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，

∴OM k k ?=22

1141414m

k k k +?=-≠--

+. …………11分 ∴ OM 与AB 不垂直. ……12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ………13分 ∴AM BM +=0不成立. ………14分

解法2：由（1）知，圆1C 的方程为2

2

5x y +=，其圆心为原点O . ………5分 ∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，

∴方程组22

,14

y kx m x y =+??

?+=?? （*） 有且只有一组解． 由（*）得()

222

148440k x kmx m +++-=． ………6分

从而()(

)()2

2

2

8414440km k

m

?=-+-=,化简得2214m k =+．① ………7分

()

22

8414214M km km

x k k =-

=-++， ………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，

设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22

,5,

y kx m x y =+??

+=?消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.…………9分 ∴ 122

21N x x km

x k +=

=-+. …………10分 若N M x x =,得22

4114km km

k k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. …………13分 ∴ AM BM +=0不成立. ………14分

9．已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =． （1）求抛物线C 的方程；

（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ?的最小值． 9．【解析】（1）由题可知(

,0)2p F ，则该直线方程为：2

p

y x =-，………1分 代入2

2(0)y px p =>

得：2

2

304

p x px -+=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则有

123x x p +=…3分

∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得

p =2

∴抛物线的方程为：2

4y x =．………5分 （2）设l 方程为y x b =+，代入

24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，

因为l 为抛物线C 的切线，∴0?=，

解得1b =，∴:l 1y x =+ ………7分 由（1）可知：126x x +=，121x x =

设(,1)P m m +，则1122(,(1)),(,(1))PM x m y m PN x m y m =--+=--+

所以1212()()[(1)][(1)]PM PN x m x m y m y m ?=--+-+-+

2212121212()(1)()(1)x x m x x m y y m y y m =-+++-++++

126x x +=，121x x =，

21212()1616y y x x ==，124y y =-， 2212124()y y x x -=-，∴12

1212

4

4x x y y y y -+==-

221644(1)(1)PM PN m m m m ?=-+--+++ ………10分

222[43]2[(2)7]14m m m =--=--≥-

当且仅当2m =时，即点P 的坐标为(2,3)时，PM PN ?的最小值为14-．………12分 10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；

（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ?面积的最小值及此时点A 的坐标. 10．解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得

=， （2分）

化简得24x y =. （2分） （2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，

由24x y y kx b

ì?=?í?=+??消去y 得2440x kx b --=

设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x b

ì+=??í?=-??，且21616k b D =+ （2分）

以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ￠=，其切线方程为1111

()2

y y x x x -=- 即21111

24

y x x x =

- 同理过点Q 的切线的方程为22211

24

y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，

12x x 1Q ，解得121222

4A A x x x k x x y b ì+??==???í

??==-????

，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分） 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>

12||||PQ x x \=

-=

(2,)A k b -到直线PQ

的距离为d =

（2分）

3

3

22224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+

\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分） 解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ￠=，其切线方程为1111

()2

y y x x x -=- 即111

2

y x x y =

- 同理以点Q 为切点的方程为221

2y x x y =- （2分） 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010*******

12y x x y y x x y ì??=-??í??=-????

，

\点,P Q 的坐标均满足方程

0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：001

2

y x x y =- （2分）

代入抛物线方程24x y =消去y 可得：

2

00240x x x y -+=

00(,)A x y 到直线PQ

的距离为d = （2分）

3

3

222200011

(48)[(2)4]22

x x x =-+=-+

所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）

11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．

（1）求a 的值；

（2）

若S T =1l 的方程；

（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐

标；若不是，说明理由．

11．（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：

解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.

设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，

由21,4,y kx x y =+??=?消去y 得2440x kx --=，

解得1,22x k ==±.

∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分

直线AB 的斜率2

111111

124224

AB

x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12

124

x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-

+，∴点S 的坐标为18

2,12x ??-- ?+??

. ……………4分

同理可得点T 的坐标为28

2,12x ??-- ?+??. ……………5分

∴()()()

121212888222222x x ST x x x x -??

=-

--= ?++++?? ()()()121212

121288248x x x x

x x x x x x k

k

---=

=

=

+++. ……………6分

∵ST =

∴12x x -=. 由()2

2

1212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，

解得2k =, 或2k =-, …………… 7分

∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，

则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++??=-+-=-

?++++?? ()()()121244444

4222248k k x x x x k

k

++=-

=-

=

-+++. ……………10分

而2

ST =

()

()()2

2

21212

12

2

2

2

1614k x x x x x x k k k +-+-==

， ……………11分

∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2

222114x y ST k ??

+++= ???()22

41k k +=. 展开得()()2

22

2

2414414k x x y k k k

++++=-=. ……………12分 令0x =，得()2

14y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.

设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，

由()112,1,y k x y ?-=-?=-?解得122,1.

x k y ?

=-?

?

?=-?

∴点S 的坐标为12

2,1k ??-- ???. ………2分

由()1212,

4,y k x x y ?-=-?=?消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，2

2111114414

y x k k =

=-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，

则点T 的坐标为22

2,1k ??-- ???，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分

∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，

∴()()

()()

()()2

2222

2112

1212121

4414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---=

=

----121k k =+-.

∴121k k k +=+. ………5分

又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122

k

k k =

. ……………6分 ()121212

22222k k ST k k k k -????=---= ? ?????， …………7分

∵ST =，∴

(

)1212

2k k k k -=.∴()()22

12125k k k k -=.

由()()()2

2

2

1212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，

得()2

2

5124

k k k +=

+， 解得2k =±. ……8分

∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …… 9分

（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点， 则0SP TP ?=， ………10分

得()()122222110x x y y k k ????

-+-++++= ???????， …11分

整理得，()2

24410x x y k

+

-++=. …12分 令0x =，得()2

14y +=，解得1y =或3y =-. ……13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. …14分

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，

（1）求椭圆C 的方程；

（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ?

E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.

12．【解】(I)设椭圆C 的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

由题意可得：??

?

?

?

??===+=2222222b a c e c b a ，解得：1,2===c b a

因此：椭圆C 的方程为12

22

=+y x (II)（1）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，

由题意可得：)2,0()0,2( -∈m

将x m =代入椭圆方程1222

=+y x ，得2

2||2

m y -= 所以：4

622||2=

-=?m m S AOB ，解得：232=m 或212

=m ① 又)0,()0,2(2

1

)(21mt m t OB OA t OE t OP ==+==

因为P 为椭圆C 上一点，所以12

)(2

=mt ② 由①②得：42

=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或33

2=

t （2）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，

由??

???+==+h kx y y x 1222

得：0124)21(222=-+++h khx x k 设),(),,(2211y x B y x A ，由判别式0>?可得：2

221h k >+

此时：2

2

12122212212122)(,2122,214k h

h x x k y y k h x x k kh x x +=++=++-=+-=+， 所以2

2

22

212212

21211224)(1||k h k k

x x x x k

AB +-++=-++=

因为点O 到直线AB 的距离2

1||k

h d +=

所以：222221||212112221||21k

h k h k k d AB S AOB

+?+-+?+??==?

46

||212122

22=+-+=h k h k ③ 令221k n +=，代入③整理得：0161634

22=+-h n h n

解得：2

4h n =或234h n =，即：22421h k =+或223421h k =+④

又)21,212(),(21)(212

22121k ht

k kht y y x x t OB OA t OE t OP ++-

=++=+== 因为P 为椭圆C 上一点，所以1])21()212(21[22222=+++-k h k kh t ，即1212

2

2=+t k h ⑤ 将④代入⑤得：42

=t 或342=t ，又知0>t ，于是2=t 或332=

t ，经检验，符合题意 综上所述：2=t 或33

2=t

13．已知点()2,1P 在抛物线()2

1:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交

于A 、B 两点。

（1）求抛物线1C 的方程及弦AB 中点M 的轨迹2C 的方程；

（2）若直线1l 、2l 分别为1C 、2C 的切线，且12//l l ，求12l l 到的最近距离。