一元一次方程(知识点完整版)

第三章:
本章板块知识梳理
【知识点一：方程的定义】
方程：含有未知数的等式就叫做方程。

注意未知数的理解，x, m, n等，都可以作为未知数。

题型：判断给出的代数式、等式是否为方程
方法：定义法
例1、判定下列式子中，哪些是方程？
（1）x y =4（2）x 2（3）2 4=6（4）X2 = 9（5）-=-
x 2
【知识点二：一元一次方程的定义】一元一次方程：①只含有一个未知数（元）；
②并且未知数的次数都是1（次）；
③这样的整式方程叫做一元一次方程。

题型一：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程
方法：定义法
例2、判定下列哪些是一元一次方程？
2 2 1
2（x -x） x=O , x1=7，x=0 , x y = 1，x 3，x 3x，a=3
兀x
题型二：形如一元一次方程，求参数的值
方法：x2的系数为0 ；x的次数等于1 ；x的系数不能为0。

例3、如果m -1 x i m- 5=0是关于x的一元一次方程，求m的值
例4、若方程2a -1 x2-ax • 5 = 0是关于x的一元一次方程，求a的值
【知识点三：等式的基本性质】
等式的性质1:等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等。

即：若a=b,则a± c=b± c
等式的性质2:等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即:若a = b，则ac二be ；
若a = b，c ~ 0 且一=一
c c
例5、运用等式性质进行的变形，不正确的是（）
A、如果a=b，那么a-c=b-c
B、如果a=b，那么a+c=b+c
a b
C、如果a=b，那么 D 、如果a=b，那么ac=bc
c c
【知识点四：解方程】
方程的一般式是：ax • b = 0 a = 0
题型一：不含参数，求一元一次方程的解
练习 1、2 x — 5 x — 4 =3 2x — 1 — 5x 3
练习 2、
0.2x -0.1
_ °.5x
+°.1 =1
练习 3、3 2
0.6
0.4
2 ]
3 <
4 丿一
题型二：解方程的题中，有相同的含
x 的代数式
方法：利用整体思想解方程，将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简，并求值。

再将得到的 值与该代数式相等，求解原未知数。

例 &
2 2
x 1
5 2
x 1 .^0 2
3
6
思路点拨：因为含有x 的项均在“ 2x 1 ”中，所以我们可以将作为“ 2x 1 ”一个整体，先求出整体的值，进 而再求x 的值。

题型三：方程含参数，分析方程解的情况
K
方法：分情况讨论，①a 严0时，方程有唯一解 x =—；
a
② a =0, b = 0时，方程有无穷解； ③
a =0, b=0时，方程无解。

例9、探讨关于x 的方程ax b x - 3 = 0解的情况 【知识点五：方程的解】
方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解。

题型一：问x 的值是否是方程的解
方法：将x 的值代入方程的左、右两边，看等式是否成立。

2x —1
例10、检验x =5和x - -5是不是方程
x -2的解
3
题型二：给出的方程含参数，已知解，求参数
方法：将解代入原方程，从而得到关于参数的方程，解方程求参数
例7、解方程
2 —3x 5
例11、若X二―3是方程k x 4 _2k _x =5的解，求k的值
题型三：方程中含参数，但在解方程过程中将式子中某一项看错了，从而得到错误的解，求参数的值方法：将错误的解代入错误的方程中，等式仍然成立，从而得到关于参数的正确方程，解方程求参数
例12、小张在解关于x的方程3a-2x=15时，误将-2x看成2x得到的解为x = 3，请你求出原来方程的解。

题型四：给出的两个方程中，其中一个方程含参数，并且题目写出“方程有相同解”或者“这个方程的解同时也
满足另一个方程”。

要求参数的值或者含参数代数式的值
方法：求出其中一个不含参的方程的解，并将这个解代入到另一个方程中，从而得到关于参数的方程，解方程求参数即可
例13、若方程3（2x —1 ）=2—3x和关于x的方程6—2k=2x —1有相同的解，求k的值
题型五: 解方程的题中，方程含绝对值
方法: 根据绝对值的代数意义：分情况讨论。

“a(a:>0)
例14、2x +)K = 6|a|=」0 (a = 0)
-a (acO)
题型六: 方程中含绝对值，探讨方程解的个数
方法：根据绝对值的代数意义去绝对值，再根据一元一次方程的步骤解方程。

例15、求3x • x - 2 = 4的解的个数
【知识点六：实际应用与一元一次方程】
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系；
（2 ）设未知数，一般求什么就设什么为x，有时也可间接设未知数；
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程；
（4）解方程
（5）检验，看方程的解是否符合题意；
（6）作答。

题型一：和、差、倍、分问题
例15、小明暑期读了一本名著，这本名著一共有950页，已知他读了的是没读过的三倍，问小明还有多少页书
没读？
题型二：调配问题
例16、有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？
题型三：行程问题（四种）
1. 相遇问题
路程=速度x时间时间=路程*速度速度=路程*时间
快行距+慢行距=原距
例17、甲、乙两人从相距500米的A、B两地分别出发，4小时后两人相遇，已知甲的速度是乙的速度的两倍，求甲、乙两人的速度
2. 追及问题
2.1行程中追及问题：快行距—慢行距=原距
例18、甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，乙比甲先跑30分钟，问何时甲能追上乙？
2.2时钟追及问题：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6 度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度
、1 、
时针速度：每分钟走小格，每分钟走0.5度
12
例18、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
3. 环形跑道
例19、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出
发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
4. 航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度
逆水（风）速度=静水（风）速度—水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）十2
例20、一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求
两码头之间的距离。

题型四：打折利润问题
利润售价-成本dnno/
利润=售价-成本利润率100% 100%
成本成本
例21、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？
题型五：工程问题
工作总量=工作效率X工作时间
例22、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，
还需要几天完成？
题型六：数字问题
例23、若一个两位数十位上数字与个位上数字之和为8,把这个两位数减去36后，得到的结果恰好是这个两个
位数对调之后组成的数，求原来的两位数是多少？
题型七：年龄问题
例24、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的两倍，那么乙现在的年龄是多少岁？
本章总结：
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