一元一次方程(知识点完整版)

第三章:

本章板块知识梳理

【知识点一：方程的定义】

方程：含有未知数的等式就叫做方程。

注意未知数的理解，x, m, n等，都可以作为未知数。题型：判断给出的代数式、等式是否为方程

方法：定义法

例1、判定下列式子中，哪些是方程？

（1）x y =4（2）x 2（3）2 4=6（4）X2 = 9（5）-=-

x 2

【知识点二：一元一次方程的定义】一元一次方程：①只含有一个未知数（元）；

②并且未知数的次数都是1（次）；

③这样的整式方程叫做一元一次方程。

题型一：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程

方法：定义法

例2、判定下列哪些是一元一次方程？

2 2 1

2（x -x） x=O , x1=7，x=0 , x y = 1，x 3，x 3x，a=3

兀x

题型二：形如一元一次方程，求参数的值

方法：x2的系数为0 ；x的次数等于1 ；x的系数不能为0。

例3、如果m -1 x i m- 5=0是关于x的一元一次方程，求m的值

例4、若方程2a -1 x2-ax • 5 = 0是关于x的一元一次方程，求a的值

【知识点三：等式的基本性质】

等式的性质1:等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等。即：若a=b,则a± c=b± c

等式的性质2:等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即:若a = b，则ac二be ；

若a = b，c ~ 0 且一=一

c c

例5、运用等式性质进行的变形，不正确的是（）

A、如果a=b，那么a-c=b-c

B、如果a=b，那么a+c=b+c

a b

C、如果a=b，那么 D 、如果a=b，那么ac=bc

c c

【知识点四：解方程】

方程的一般式是：ax • b = 0 a = 0

题型一：不含参数，求一元一次方程的解

练习 1、2 x — 5 x — 4 =3 2x — 1 — 5x 3

练习 2、

0.2x -0.1

_ °.5x

+°.1 =1

练习 3、3 2

0.6

0.4

2 ]

3 <

4 丿一

题型二：解方程的题中，有相同的含

x 的代数式

方法：利用整体思想解方程，将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简，并求值。再将得到的 值与该代数式相等，求解原未知数。 例 &

2 2

x 1

5 2

x 1 .^0 2

3

6

思路点拨：因为含有x 的项均在“ 2x 1 ”中，所以我们可以将作为“ 2x 1 ”一个整体，先求出整体的值，进 而再求x 的值。 题型三：方程含参数，分析方程解的情况

K

方法：分情况讨论，①a 严0时，方程有唯一解 x =—；

a

② a =0, b = 0时，方程有无穷解； ③

a =0, b=0时，方程无解。

例9、探讨关于x 的方程ax b x - 3 = 0解的情况 【知识点五：方程的解】

方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解。 题型一：问x 的值是否是方程的解

方法：将x 的值代入方程的左、右两边，看等式是否成立。

2x —1

例10、检验x =5和x - -5是不是方程

x -2的解

3

题型二：给出的方程含参数，已知解，求参数

方法：将解代入原方程，从而得到关于参数的方程，解方程求参数

例7、解方程

2 —3x 5

例11、若X二―3是方程k x 4 _2k _x =5的解，求k的值

题型三：方程中含参数，但在解方程过程中将式子中某一项看错了，从而得到错误的解，求参数的值方法：将错误的解代入错误的方程中，等式仍然成立，从而得到关于参数的正确方程，解方程求参数

例12、小张在解关于x的方程3a-2x=15时，误将-2x看成2x得到的解为x = 3，请你求出原来方程的解。题型四：给出的两个方程中，其中一个方程含参数，并且题目写出“方程有相同解”或者“这个方程的解同时也

满足另一个方程”。要求参数的值或者含参数代数式的值

方法：求出其中一个不含参的方程的解，并将这个解代入到另一个方程中，从而得到关于参数的方程，解方程求参数即可

例13、若方程3（2x —1 ）=2—3x和关于x的方程6—2k=2x —1有相同的解，求k的值

题型五: 解方程的题中，方程含绝对值

方法: 根据绝对值的代数意义：分情况讨论。“a(a:>0)

例14、2x +)K = 6|a|=」0 (a = 0)

-a (acO)

题型六: 方程中含绝对值，探讨方程解的个数

方法：根据绝对值的代数意义去绝对值，再根据一元一次方程的步骤解方程。

例15、求3x • x - 2 = 4的解的个数

【知识点六：实际应用与一元一次方程】

列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系；

（2 ）设未知数，一般求什么就设什么为x，有时也可间接设未知数；

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程；

（4）解方程

（5）检验，看方程的解是否符合题意；

（6）作答。

题型一：和、差、倍、分问题

例15、小明暑期读了一本名著，这本名著一共有950页，已知他读了的是没读过的三倍，问小明还有多少页书

没读？

题型二：调配问题

例16、有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？

题型三：行程问题（四种）

1. 相遇问题

路程=速度x时间时间=路程*速度速度=路程*时间

快行距+慢行距=原距

例17、甲、乙两人从相距500米的A、B两地分别出发，4小时后两人相遇，已知甲的速度是乙的速度的两倍，求甲、乙两人的速度

2. 追及问题

2.1行程中追及问题：快行距—慢行距=原距

例18、甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，乙比甲先跑30分钟，问何时甲能追上乙？

2.2时钟追及问题：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6 度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度

、1 、

时针速度：每分钟走小格，每分钟走0.5度

12

例18、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？

3. 环形跑道

例19、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出

发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？