2020江苏高考数学模拟数学答案二
江苏省苏州市2020届高三二模模拟数学试卷含答案解析
10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 .'2, 求 sin (2B + A )的值.高三数学第2页共4页11. 等差数列｛a n ｝的公差为d,关于x 的不等式》x 2+( a i -2) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲.12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 2 …2sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲.2 213. 已知圆O: x +y =4与曲线 C: y=3| x — t |,曲线C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到点B 的距离之比为定值 k(k>1),则m s - n p = ▲2x(x -1) (s <t),14.函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)=f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数r 的取值范围是 ▲.二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内 作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟. 15. (本小题满分14分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB.(I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB10.如图，在由5个边长为m, —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲(I )求角A的值；(n )若a=3, b=2 .'2, 求sin (2B+ A)的值.高三数学第2页共4页(第15 题)16. (本小题满分14分)在厶ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b,c.满足壮sin Csin A + sin B10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列 { a n } 的公差为 d, 关于 x 的不等式 d 2x 2＋( a 1－2d)x ＋c>0的解集为[0,22],则使数列{a n }的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲.12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O: x +y =4 与曲线 C: y=3 | x －t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点B 的距离之比为定值 k(k>1),则m s — n p = ▲.2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 :本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列 { a n } 的公差为 d, 关于 x 的不等式 d 2x 2＋( a 1－2d)x ＋c>0的解集为[0,22],则使数列{a n }的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲.12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O: x +y =4 与曲线 C: y=3 | x －t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点B 的距离之比为定值 k(k>1),则m s — n p = ▲.2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 :本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B ＋3sin C =2sin A sin Bsin C ＋sin A , 则 tan A= ▲.2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t)，实数r 的取值范围是 ▲.二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B ＋3sin C =2sin A sin Bsin C ＋sin A , 则 tan A= ▲.2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t)，实数r 的取值范围是 ▲.二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式？x 2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O: x +y =4 与曲线 C: y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 :本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J-J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，AB? CD= ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是bsinCa,b,c.满足=.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式？x 2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B ＋3sin C =2sin A sin Bsin C ＋sin A , 则 tan A= ▲.2213. 已知圆 O: x +y =4 与曲线 C: y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 :本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式Q X 2+( a 1 — ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x — t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s — n p =▲ .2x(x — t) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)— 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S —ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15 题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中，A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页-J -J11. 等差数列｛ a n ｝的公差为d,关于x 的不等式2乂2+( a 1 - ?) x + c >0的解集为[0,22],则使数列｛a n ｝的前n 项和S ，最大的正整数 n 的值是 ▲. 12. 在厶ABC 中,已知边a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若2 2 22sin B + 3sin C = 2sin A sin Bsin C + sin A ,贝V tan A= ▲2213. 已知圆 O ： x +y =4 与曲线 C ： y=3 | x - t |, 曲线 C 上两点A(m,n),B(s,p) ( m 、n 、s 、p 均为正整数),使得圆O 上任意一点到点 A 的距离与到 点 B 的距离之比为定值 k(k>1), 则 m s - n p =▲ .2x(x -1) (s <t),14. 函数f(x) = x 其中t>0,若函数g(x)= f[f(x)- 1]有6个不同的零点，则4t (s > t),实数 r 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共 6小题,共计 90分,请在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步驟 . 15. (本小题满分 14 分)如图，四棱锥 S -ABCD 中，SD 丄底面 ABCD, AB//DC, AD 丄DC, AB=AD=1, DC = SD=2, M , N 分别为SA, SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE=2EB. (I )证明：MN 〃平面 ABCD; S(n )证明：DE 丄平面SBC.NMEDAB(第 15题)16. (本小题满分 14 分)DA(第 11题图)10.如图，在由5个边长为m , —个顶角为60°勺菱形组成的图形中， A B ? C D = ▲C(I )求角A 的值；(n )若 a=3, b=2 2,求 sin (2B + A )的值.高三数学 第2页共 4页在厶ABC 的内角A,B,C 的对边分别是 b sinCa,b,c.满足 =.a ＋c sin A ＋sinB .。
2020年江苏省苏北七市高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年江苏省苏北七市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={−1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=_____2.已知i为虚数单位，计算：3+i2−i=______．3.已知一组数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，那么x的值为．4.如下图所示的流程图，输出n的值是．5.甲盒中有200个螺杆，其中160个A型的；乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，能配成A型螺栓的概率为_______．6.△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，BC=2√3，则AB=______ ．7.已知{a n}为等差数列，a4+a9=22，a6=8，则a7=______ ．8.已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则V1V2=______．9.已知A是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为______．10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，圆C：(x−4)2+y2=4，动点P在直线x+√3y−2=0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为______．11. 若x >y >0，则2x 4+1y(x−y)的最小值是______．12. 平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =e ax 在点(0,1)处的切线为y =2x +m ，则a +m 的值是______ ．13. 如图，在△ABC 中，若AB =1，AC =3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32，则BC = ______14. 已知函数f(x)={|log 4x|,0<x <4sin(π4x −π2),4≤x ≤12，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，当x 1<x 2<x 3<x 4时，满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2的取值范围是______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinx,cosx)，n ⃗ =(cosx,cosx)，p ⃗ =(2√3,1)．(1)若m ⃗⃗⃗ //p ⃗ ，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值；(2)若x ∈(0,π3]，求函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值域．16. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点．(1)求证：MN//平面AA 1C 1C ；(2)若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．17.如图，B1，B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴端点，椭圆的右焦点为F，△B1B2F为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1．(1)求椭圆的方程;(2)求经过点O，F且与右准线l相切的圆的方程．18.某县一中计划把一块边长为20米的等边△ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD=x(x≥10),ED=y，使用x表示y的函数关系式；(2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值．19.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx．(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为−2，求a的取值范围．20.数列{a n}和{b n}中，已知a1a2a3…a n=2b n(n∈N∗)，且a1=2，b3−b2=3，若数列{a n}为等比数列．(Ⅰ)求a3及数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)令c n=2b nn2，是否存在正整数m，n(m≠n)，使c2，c m，c n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．21.已知矩阵A=[10−11]，B=[1203]，C=AB．(1)求矩阵C；(2)若直线l1：x+y=0在矩阵C对应的变换作用下得到另一直线l2，求l2的方程．22.已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；(Ⅱ)设曲线C与曲线ρsinθ=1交于A、B，求|AB|．23. 已知a ，b ，c 为正实数，且a +b +c =3，证明：c2a +a 2b +b 2c ≥3．24. 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25．(1)求甲队分别以4:2，4:3获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．25. (1)若kC n−k k =λC n−k−1k−1，用含n,k 的代数式表示λ；(2)求值：∑(−1)n C 2021−nn 2021−n 1010n=0．【答案与解析】1.答案：1解析：本题主要考查交集的运算，元素和集合的关系，属于基础题．根据题意可知3∈B，又a2+4≥4，则a+2=3，解得a=1．解：∵A={−1,1,3},B={a+2,a2+4}，且A∩B={3}，∴3∈B，∵a2+4≥4，∴a+2=3，解得a=1．经检验a=1时，A∩B={3}．故答案为1．2.答案：1+i解析：利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．解：3+i2−i =(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+5i5=1+i．故答案为：1+i．3.答案：8解析：根据平均数的公式进行求解即可．本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．解：∵数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，∴8+9+x+10+7+6=8×6=48，解得x=8，故答案为8．4.答案：4解析：本题主要考查了程序框图，属于基础题．按照流程图，进行循环，直到满足条件输出．解：n=1，S=1，不满足题意，n=2，S=4，不满足题意，n=3，S=9，不满足题意，n=4，S=16，满足题意，输出n=4．故答案为4．5.答案：35解析：本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率，难度一般．解：从甲盒中取到A型螺杆的概率为160200=45，从乙盒中取到型螺母的概率为180240=34，则能配成型螺栓的概率为45×34=35．故答案为35．6.答案：2√2解析：解；∵∠C=π−∠A−∠B=45°，∴ABsin∠C =BCsin∠A⇒AB=BC⋅sin∠Csin∠A=2√3×√22√32=2√2．故答案为：2√2．先根据三角形的内角和为π求出∠C，再结合正弦定理即可得到答案．本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用．考查计算能力．一般在解三角形时，正弦定理和余弦定理是常用的公式．7.答案：14解析：解：∵{a n }为等差数列，a 4+a 9=22，a 6=8，∴{a 1+3d +a 1+8d =22a 1+5d =8， 解得a 1=−22，d =6，∴a 7=−22+6×6=24．故答案为：14．利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第7项的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求法． 8.答案：32 解析：解：设球的半径为r ， 由题意可得：球的体积为V 2=43πr 3；圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1=πr 2⋅2r ，则V 1V 2=2πr 34πr 33=32．故答案为：32．设出球的半径，然后求解圆柱的体积，球的体积，推出结果即可．本题考查了棱柱、棱锥及棱台体积的求法，训练了等积法，是基础题．9.答案：2解析：解：A 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点，∴A(a,0)，F(−c,0)，∴c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a， ∴P(−c,b 2a )，∴|PF|=b 2a ，∵△APQ 是等腰直角三角形，PF//y 轴，∴|PF|=|AF|，∴b2a=a+c，∴b2=a2+ac，即c2−2a2−ac=0，∴e2−e−2=0，解得e=2，e=−1(舍去)故答案为2．求出各点坐标，根据∵△APQ是等腰直角三角形，PF//y轴得出a，c的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．10.答案：2√393解析：解：如图，圆O：x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆C：(x−4)2+y2=4的余弦为C(4,0)，半径为2．设P(x,y)，由PB≥2PA，得PB2≥4PA2，即PC2−4≥4(PO2−1)，∴(x−4)2+y2−4≥4(x2+y2−1)，整理得：3x2+3y2+8x−16≤0．又x+√3y−2=0，∴x2+x−3≤0，即|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√1+12=√13．∴|EF|=√31−x2|=√3√13=2√393．故答案为：2√393．由题意画出图形，设P(x,y)，由PB≥2PA及点P在直线x+√3y−2=0上，可得x2+x−3≤0，求出|x1−x2|的范围，在答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.答案：6解析：解：因为x >y >0，所以y(x −y)≤(y+x−y2)2=x 24，当且仅当y =x −y 即x =2y 时取等号，则2x 4+1y(x−y)≥2x 4+4x 2=2x 4+2x 2+2x 2≥3√x 4⋅2x 2⋅2x 23=6， 当且仅当2x 4=2x 2即x =1，y =12时取等号， 故答案为：6由已知结合基本不等式即可直接求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于中档试题．12.答案：3解析：本题考查导数的几何意义，属于基础题．将点(0,1)代入切线方程求得m ；根据导数的几何意义，y =e ax 在x =1处的切线斜率为y′(0)，由此求解a ，故得解． 解：由题意可得y ′=ae ax ，因为曲线C 在点(0,1)处的切线为：y =2x +m ， 所以1=2×0+m ，解得m =1，且y ′|x=0=2=a ， 即：m =1，a =2， ∴a +m =3． 故答案为：3．13.答案：√7解析：解：∵在△ABC 中，若AB =1，AC =3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32，∴1×3cos∠BAC =32，∴cos∠BAC =12，∴在△△ABC 中根据余弦定理得出BC 2=1+9−2×1×3×12=7， ∴BC =√7 故答案为：√7根据数量积得出1×3cos∠BAC =32，cos∠BAC =12，运用余弦定理得出BC 即可． 本题考查了平面向量的数量积在求夹角中的应用，余弦定理求解边长问题，属于中档题．14.答案：(−2,10)解析：解：作出f(x)的图象， f(x 1)=f(x 2)，即有 −log 4x 1=log 4x 2， 可得x 1⋅x 2=1，在[4,12]，f(x)的图象关于直线 x =8对称，可得x 3+x 4=16， 且4<x 3<6，x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2=x 3⋅x 4−50=x 3(16−x 3)−50=−(x 3−8)2+14，在4<x 3<6递增， 可得x 3=4时，x 3⋅x 4−50=−2；x 3=6时，x 3⋅x 4−50=10． 可得x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2的取值范围是(−2,10)． 故答案为：(−2,10)．作出f(x)的图象，可得x 1⋅x 2=1，x 3+x 4=16，且4<x 3<6，再由二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查对数函数的图象和性质，以及正弦函数的图象和性质，考查运算能力，数形结合思想方法，属于中档题． 15.答案：解：(1)由m ⃗⃗⃗ //p ⃗ 可得√3sinx =2√3cosx ， ∴tanx =2．∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sinxcosx +cos 2x =√3sinxcosx+cos 2xcos 2x+sin 2x=√3tanx+1tan 2x+1=2√3+15． (2)∵x ∈(0,π3]，函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sinxcosx +cos 2x =√32sin2x +1+cos2x 2=sin(2x+π6)+12，∴2x+π6∈(π6,5π6],sin(2x+π6)∈[12,1]，∴f(x)∈[1,32].即f(x)的值域为[1,32].解析：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，正弦函数的值域，属于中档题．(1)由m⃗⃗⃗ //p⃗求得tanx=2，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出m⃗⃗⃗ ⋅n⃗的值．(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=sin(2x+π6)+1，再由x 的范围，求出f(x)的值域．16.答案：解：(1)取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N=NB1，C1P=PA1，所以NP//A1B1，NP=12A1B1.在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1//AB，A1B1=AB．故NP//AB，且NP=12AB．因为M为AB的中点，所以AM=12AB．所以NP=AM，且NP//AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN//AP.因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN//平面AA1C1C.(2)因为CA =CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB. 因为CC 1=CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1，所以CN ⊥BC ．因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC =BC ，CN ⊂平面CC 1B 1B ， 所以CN ⊥平面ABC.因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB.因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN =C ， 所以AB ⊥平面CMN.解析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定．(1)取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ，由题可证MN//AP ，即可得出; (2)由题可得CM ⊥AB ，再证CN ⊥平面ABC ，得到CN ⊥AB ，即可得出．17.答案：解：(1)因为△B 1B 2F 为正三角形，OF =c ，OB 2=b ，B 2F =a ，所以e =c a =OFFB 2=cos30°=√32． 准线l 的方程：x =a 2c，所以{ca=√32a 2c−c =1解之得{a =2√3c =3，于是b =√3．故椭圆方程为x 212+y 23=1；(2)设所求圆的圆心为D ，由(1)知椭圆的右准线方程为x =4， 因为圆D 过点O ，F ，且与直线x =4相切，所以可设圆心D(32， m)，半径为52， 于是圆D 的方程为(x −32)2+(y −m)2=254，∵点O(0,0)在圆D 上， ∴94+m 2=254，解得m =2或m =−2，∴所求圆的方程为(x −32)2+(y −2)2=254或(x −32)2+(y +2)2=254．解析：本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆离心率的求解及直线与圆的位置关系，属中档题． (1)可得OF =c ，OB 2=b ，B 2F =a ，可得离心率和准线方程，解方程组可得ab 的值，可得方程； (2)可得右准线方程为x =4，由题意可设圆心D(32， m)，半径为52，可得圆的方程，代入点O(0,0)可的m 的方程，解之可得答案．18.答案：解：(1)∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上，则10≤x ≤20，S △ADE =12S △ABC ，∴12x ⋅AEsin60°=12⋅√34⋅(20)2，故AE =200x，在三角形ADE 中，由余弦定理得：y =√x 2+4×104x2−200，(10≤x ≤20)； (2)若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y =√x 2+4×104x 2−200≥√400−200=10√2，当且仅当x 2=4×104x 2即x =10√2时“=”成立．所以，DE 的位置应该在AD =10√2，AE =10√2米，且DE 的最小值10√2米．解析：本题主要考查函数模型应用，考查余弦定理及利用基本基本不等式求最值．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，为中档题．(1)先根据S △ADE =12S △ABC 求得x 和AE 的关系，进而根据余弦定理把x 和AE 的关系代入求得x 和y 的关系；(2)根据均值不等式求得y 的最小值，求得等号成立时的x 的值，进而得DE =10√2，即可得结果．19.答案：解：(1)a =1，f(x)=x 2−3x +lnx ，定义域为(0,+∞)，又f′(x)=1x +2x −3=(2x−1)(x−1)x．当x >1或0<x <12时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当12<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴函数f(x)的极大值为f(12)=−54−ln2， 函数f(x)的极小值为f(1)=−2．(2)函数f(x)=ax 2−(a +2)x +lnx 的定义域为(0,+∞)， 且f′(x)=(2x−1)(ax−1)x，令f′(x)=0，得x =12或x =1a ，当0<1a ≤1，即a ≥1时，f(x)在[1,e]上单调递增， ∴f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=−2，符合题意；当1<1a <e 时，f(x)在[1,e]上的最小值是f(1a )<f(1)=−2，不合题意； 当1a ≥e 时，f(x)在[1,e]上单调递减，∴f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=−2，不合题意． 故a 的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的单调性、函数的极值与最值，考查分类讨论以及计算能力，属于中档题．(1)a =1时，f(x)=x 2−3x +lnx ，通过求导得到函数的极值点，从而求出极值．(2)由题意当a >0时，求导，令f′(x)=0，根据函数的单调性与导数的关系，分类讨论，求得f(x)的最小值，求得a 的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)a 3=2b 32b 2=2b 3−b 2=8， 又由a 1=2得8=2q 2，∴q 2=4，解得q =2或q =−2，因为a 1a 2a 3…a n =2b n >0(n ∈N ∗)，故舍去q =−2，所以a n =2n ， 则a 1a 2a 3…a n =21+2+3+⋯+n =2n(n+1)2，所以b n =n(n+1)2．(Ⅱ)由(Ⅰ)知c n =n+1n=1+1n ，假设存在正整数m ，n(m ≠n)，使c 2，c m ，c n 成等差数列， 则2c m =c 2+c n ，即2(1+1m )=32+1+1n ， 所以2m =12+1n ，故n =2m4−m ， 由 n >0，得0<m <4，因为m ，n 为正整数，所以{m =2n =2(舍)或{m =3n =6， 所以存在正整数m =3，n =6，使c 2，c m ，c n 成等差数列．解析：(Ⅰ)a 3=2b 32b 2=2b 3−b 2=8，又由a 1=2得公比满足8=2q 2，解得q 再利用指数运算性质、等差数列的求和公式即可得出． (Ⅱ)由(Ⅰ)知c n =n+1n =1+1n ，假设存在正整数m ，n(m ≠n)，使c 2，c m ，c n 成等差数列，则2c m =c 2+c n ，即2(1+1m )=32+1+1n ，可得：n =2m4−m ，由 n >0，得0<m <4，即可得出． 本题考查了数列递推关系、指数运算性质、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)C =AB =[10−11][1203]=[12−11]． (2)设直线l 1：x +y =0上任意一点(x,y)在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x′,y′)，则[x′y′]=[12−11][x y]， 其坐标变换公式为{x′=x +2y,y′=−x +y.由此得{x =x′−2y′3,y =x′+y′3,代入x +y =0得2x′−y′3=0，即2x′−y′=0，所以直线l 2的方程为2x −y =0．解析：本题考查了逆变换与逆矩阵，属于基础题.根据矩阵变换的知识进行求解即可；22.答案：解：(Ⅰ)由ρ=2,0⩽θ<π2，得圆心为原点，半径为2的14圆，由ρ=√3sin (θ−π6),，得√32ρsinθ−12ρcosθ=√3，又ρcosθ=x,ρsinθ=y ， 所以得x −√3y +2√3=0， 又，所以x ≤0，y ≥0，曲线C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的14圆及一个两直角边分别为2与2√3的直角三角形，所以S =π+2√3．(Ⅱ)曲线C 与曲线ρsinθ=1交于A ，B ， 所以{ρ=2ρsinθ=1，得到A(2,π6)转换为直角坐标为A(√3,1).极坐标方程ρsinθ=1转换为直角坐标方程为y =1，极坐标方程ρ=√3sin(θ−π6)转换为直角坐标方程为x −√3y +2√3=0，所以B(−√3,1)， 所以|AB|=2√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用极径的应用和两点间的距离公式的应用求出结果．23.答案：证：因为a ，b ，c 为正实数，所以由基本不等式，得c 2a +a ≥2c ，a 2b +b ≥2a ，b 2c +c ≥2b ，当且仅当a =b =c =1时取等号三式相加，得：c 2a +a 2b +b 2c≥a +b +c ．又a +b +c =3，所以c 2a+a 2b+b 2c≥3．解析：由基本不等式，得c 2a +a ≥2c ，a 2b+b ≥2a ，b 2c+c ≥2b ，相加即可证明．本题考查了不等式的证明，关键是掌握基本不等式成立的条件，一正二定三相等，属于中档题24.答案：解：(1)设甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，∵甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25， ∴P(A)=(1−35)×35=625，P(B)=(1−35)2×25=8125， ∴甲队以4:2，4:3获胜的概率分别为625和8125． (2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，P(X =5)=35，P(X =6)=(1−35)×35=625，P(X =7)=(1−35)2×25+(1−35)2×(1−25)=425， ∴随机变量X 的分布列为：E(X)=5×35+6×625+7×425=13925．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．(1)甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25，由此能求出甲对以4:2，4:3获胜的概率．(2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．25.答案：(1)解：kC n−k k =k ⋅(n−k)!k!⋅(n−2k)!=(n −k)⋅(n−k−1)!(k−1)!(n−2k)!=(n −k)C n−k−1k−1 所以kC n−k k =(n −k)C n−k−1k−1，即λ=n −k ； (2)解：∑(−1)n C 2021−n n 2021−n 1010n=0 =12021C 20210−12020C 20201−12019C 20192−12018C 20183+⋯+11011C 10111010 =12021[C 20210−(1+12020)C 20201+(1+22019)C 20192−(1+32018)C 20183+⋯+(1+10101011)C 10111010] =12021[([C 20210−C 20201+C 20192−C 20183+⋯+C 10111010)−12020C 20201−22019C 20192+32018C 20183+⋯+10101011C 10111010] 由(1)知k n−k C n−k k =C n−k−1k−1，则令n =2021，k 依次取1,2,3,...，有： 12020C 20201=C 20190，22019C 20192=C 20181，...，10101011C 10111010=C 10101009 所以原式=12021[(C 20210−C 20201+C 20192−C 20183+⋯+C 10111010)−(C 20190−C 20181+C 20172+⋯+C 10101099)] 构造数列{a n }，a n =C n 0−C n−11+C n−22−C n−33+...，则a n+1=C n+10−C n 1+C n−12−C n−23+...所以a n+1−a n =(C n+10−C n 1+C n−12−C n−23+..)−(C n 0−C n−11+C n−22−C n−33+...)=(C n+10−C n 0)−(C n 1−C n−11)+(C n−12−C n−22)−(C n−23−C n−33)+⋯=−C n−10+C n−21−C n−32+... =−(C n−10−C n−21+C n−32−...)=−a n−1所以a n+1=a n −a n−1，即a n+2=a n+1−a n =(a n −a n−1)−a n =−a n−1，所以a n+6=−a n+3=a n ，所以{a n }是周期为6的数列．又因为a 1=C 10=1，a 2=C 20−C 11=0，a 3=C 30−C 21=−1，a 4=C 40−C 31+C 22=−1，a 5=C 50−C 41+C 32=0，原式=12021(a 2021−a 2019)=12021(a 5−a 3)=12021[0−(−1)]=12021.解析：(1)本题考查了组合与组合数公式.根据组合与组合数公式进行计算即可得出结果．(2)本题考查了组合与组合数，以及组合与组合数的求和的综合应用，二项式定理，计算难度比较大，属于难题.根据求和公式计算规则和组合与组合数的计算规则可得出结果．。
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。
2020届苏锡常镇二模数学试卷及答案
2020届苏锡常镇二模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x )2，其中x ＝1n.球的体积V ＝43πr 3，其中r 表示球的半径．柱体的体积V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝11＋i，则|z|＝________．2. 已知集合A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝{x|a －1≤x ≤3}，若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为________．3. 已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝23x ，则a ＝________．5. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．6. 下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为________．7. “直线l 1：ax ＋y ＋1＝0与直线l 2：4x ＋ay ＋3＝0平行”是“a ＝2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________．9. 已知M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2－3x 上的一动点，当曲线在点M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________________．10. 已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝________． 11. 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ︵，EC ︵，将两圆弧EB ︵，EC ︵及BC 所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为________．(第11题) (第14题)12. 在△ABC 中，(AB →－λAC →)⊥BC →(λ＞1)，若A 的最大值为π6，则实数λ的值是________．13. 若函数f(x)＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n)，则实数a 的取值范围是________．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 相交于点O.若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A －3a sin B ＝0. (1) 求A 的大小；(2) 已知a ＝2 3，B ＝π3，求△ABC 的面积．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．求证：(1) AP∥平面EBD；(2) BE⊥PC.17. (本小题满分14分)某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度)，l1和l2所在直线的距离为0.5(百米)，对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于点M )，在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到点M的距离为1 (百米)，且点F恰在点B的正对岸(即BF⊥l3)．(1) 在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；(2) 游客(视为点P)在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在(1)的坐标系中，写出观测点P的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点(其中点D 在x 轴上方)． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若△AEF 与△BDF 的面积之比为1∶7，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝23x 3－mx 2＋m 2x(m ∈R )的导函数为．(1) 若函数g (x )＝f (x )－存在极值，求m 的取值范围；(2) 设函数h (x )＝(其中e 为自然对数的底数)，对任意m ∈R ，若关于x 的不等式h (x )≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中n ∈N *.(1) 若a n ＝n ，b n ＝2n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；(2) 若数列{a n }为等差数列，且对任意n ∈N *，c n ＋1>c n 恒成立． ①当数列{b n }为等差数列时，求证：数列{a n }，{b n }的公差相等；②数列{b n }能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n }；若不能，请说明理由.2020届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 321，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1，且二阶矩阵M 满足AM ＝B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋2 3cos 2α2 (α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标．(本小题满分10分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝t (t 为常数)，且x 24＋y 29＋z 2的最小值为，求实数t 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推)．抽奖的规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大(如1，2，5)，则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5，3，1)，则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．(1) 某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；(2) 赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．23. (本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4py(p为大于2的质数)的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1) 求点G的轨迹方程；(2) 当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．2020届苏锡常镇二模数学参考答案1.22 2. 2 3. 0.08 4. 3 5. 566. 67. 必要不充分8. －2n ＋119. x －y －3＝010. －19 11. 2π312. 3 13. (1，e 2e ) 14. 8 215. (1) 因为b cos A －3a sin B ＝0，所以由正弦定理可得sin B cos A －3sin A sin B ＝0.(2分) 因为0<B<π，所以sin B>0，所以cos A ＝3sin A. 因为0<A<π，所以cos A ＝3sin A>0，所以tan A ＝33.(6分) 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(8分)(2) 因为a ＝2 3，B ＝π3，A ＝π6，所以在△ABC 中，C ＝π2.(10分)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b ＝a sin Bsin A＝2 3×3212＝6，(12分)所以S △ABC ＝12ab ＝12×2 3×6＝6 3.(14分)16. (1) 连结AC 交BD 于点O.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 的中点． 连结EO ，在△PAC 中，因为E 是PC 的中点，所以EO ∥AP.(2分) 又因为AP ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ， 所以AP ∥平面EBD.(6分)(2) 因为△PDC 为正三角形，E 是PC 的中点， 所以DE ⊥PC.(8分)又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝DC ，且BD ⊥DC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以BD ⊥PC.(11分)又因为DE ⊥PC ，且BD ∩DE ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以PC ⊥平面BDE.因为BE ⊂平面BDE ，所以BE ⊥PC.(14分)17. (1) 以A 为原点，l 1所在的直线为x 轴，AM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则由题意可知A(0，0)，B ⎝⎛⎭⎫1，12.(2分) 设抛物线方程为x 2＝2py(p>0)， 则1＝2p ×12，解得p ＝1，(4分)所以栈道AB 的方程为x 2＝2y(0≤x ≤1)．(6分)(2) 过点P 作PH ⊥l 3于点H ，设P(x 0，y 0)(其中0≤x 0≤1，0≤y 0≤12)，则PH ＝2－y 0.设∠EPH ＝α，∠FPH ＝β，则∠EPF ＝α＋β， 所以tan α＝1＋x 02－y 0，tan β＝1－x 02－y 0，(7分)所以tan (α＋β)＝1＋x 02－y 0＋1－x 02－y 01－1＋x 02－y 0·1－x 02－y 0＝22－y 01－1－x 20（2－y 0）2＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋x 20＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋2y 0.(9分)令t ＝2－y 0∈⎣⎡⎦⎤32，2，则0<tan (α＋β)＝2t t 2－1＋2（2－t ）＝2t t 2－2t ＋3＝2t ＋3t－2≤22 t·3t－2＝3＋12， 当且仅当t ＝3t ，即t ＝3∈⎣⎡⎦⎤32，2时取等号．(12分) 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan (α＋β)＞0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以当tan (α＋β)最大时，α＋β最大，即∠EPF 最大，此时y 0＝2－3，x 0＝3－1，即P(3－1，2－3)．(13分)故点P 的坐标为P(3－1，2－3)时，观测EF 的视角(∠EPF)最大．(14分)18. (1) 设椭圆的焦距为2c(c>0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝12，可知b 2＝34a 2.(2分)又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋94b 2＝1，(4分) 解得a 2＝4，b 2＝3，即椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分) (2) 设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，直线l ：x ＝my －1.因为S △BDF ＝12(a ＋c)|y 1|＝32y 1，S △AEF ＝12(a －c)|y 2|＝－12y 2，所以由S △BDF ＝7S △AEF ，可得y 1＝－73y 2.(9分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4＝－43y 2，y 1y 2＝－93m 2＋4＝－7y223<0.(11分)因为y 1>0，所以y 2<0，所以m>0.(12分) 由上式可得y 2＝－9m 2（3m 2＋4）＝－67m ，即m 2＝169.(15分) 又因为m>0，所以m ＝43，所以直线l 的方程为y ＝34(x ＋1)．(16分)19. (1) f′(x)＝2x 2－2mx ＋m 2，(1分)所以g(x)＝⎝⎛⎭⎫23x 3－mx 2＋m 2x －(2x 2－2mx ＋m 2)＝23x 3－(m ＋2)x 2＋(m 2＋2m)x －m 2， 所以g′(x)＝2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m.(3分)①当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m)≤0时，即m ≤－2或m ≥2时，g′(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在R 上单调递增，故函数g (x )无极值； ②当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m )>0时，即－2<m <2时，2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m ＝0有两个根x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，列表如下：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 1，＋∞)g ′(x ) ＋－0 ＋g (x )极大值极小值综上所述，m 的取值范围是(－2，2)．(6分)(2) 因为h (x )＝(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)，所以对任意m ∈R ，(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，(8分)即对任意m ∈R ，m 2－2(e x ＋ln x )m ＋(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≥0在(0，＋∞)上恒成立，(10分) 所以Δ＝4(e x ＋ln x )2－4(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即k 2≤(e x －ln x )2对任意x >0恒成立． 记φ(x )＝e x －ln x (x >0)，所以φ′(x )＝e x －1x.因为φ″(x )＝e x ＋1x 2>0，所以φ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上单调递增且连续不间断，而φ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，φ′(1)＝e －1>0，所以函数φ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，列表如下：x (0，x 0) x 0 (x 0，＋∞)φ′(x ) －0 ＋φ(x )极小值所以φ(x )min ＝φ(x 0)＝e x 0－ln x 0，其中e x 0－1x 0＝0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，(13分) 所以x 0＝－ln x 0，所以φ(x )min ＝e x 0－ln x 0＝x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52. 又因为k >0，所以由k 2≤(e x －ln x )2得k ≤e x －ln x 对任意x >0恒成立． 由题意知k ≤φ(x )min ＝x 0＋1x 0.因为x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52，且k ∈N *， 所以k ＝1，2，(15分)即正整数k 的取值集合为{1，2}．(16分)20. (1) T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝（1＋2n －1）n 2＋4（1－4n ）1－4＝n 2＋4n ＋1－43.(3分)(2) ①设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公差为d 2.因为数列{c n }是递增数列，所以∀k ∈N *，a 2k －1<b 2k <a 2k ＋1， 即∀k ∈N *，a 1＋(2k －2)d 1<b 1＋(2k －1)d 2<a 1＋2kd 1， 所以∀k ∈N *，⎩⎪⎨⎪⎧2（d 2－d 1）k ＋b 1－a 1＋2d 1－d 2>0， ①2（d 1－d 2）k ＋a 1－b 1＋d 2>0. ②由①得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2－2d 1<0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≤0，a 1－b 1－d 2＜0.(6分)由②得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2>0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≥0，a 1－b 1＋2d 1－d 2>0，(7分)所以d 1＝d 2>0，即数列{a n }，{b n }的公差相等．(8分) ②数列{b n }不能为等比数列．(9分)若存在，设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为数列{c n }是递增数列，所以a 1＝c 1<c 3＝a 3＝a 1＋2d ，所以d >0.(10分) 又a n ＝a 1＋(n －1)d ，则当n >1－a 1d 时，a n >0，所以必存在正奇数i ，有a i >0，所以b i ＋1＝c i ＋1>c i ＝a i >0，即b 1q i >0， 所以b 1q >0，即b 2>0.因为b 2＝c 2<c 4＝b 4＝b 2q 2，所以q 2>1.(12分)记q 2＝p ，则p >1.因为∀k ∈N *，b 2k ＋2<a 2k ＋3，所以对任意k ∈N *，有b 2p k <a 3＋2kd 成立． 设f (x )＝x 2e x ，x >0，则f ′(x )＝x （2－x ）e x .当0<x <2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以∀x >0，有f (x )≤f (2)＝⎝⎛⎭⎫2e 2<1，从而x >0时，e x >x 2.因为p >1，所以∀k ∈N *，k ln p >0，所以e k ln p >(k ln p )2，即p k >ln 2p ·k 2， 从而∀k ∈N *，b 2ln 2p ·k 2<b 2p k <a 3＋2kd .因为a 3＝c 3>c 2＝b 2>0，所以a 3≤a 3k ，所以b 2ln 2p ·k 2<a 3k ＋2kd ， 所以对任意k ∈N *，k <a 3＋2db 2ln 2p， 而上式不成立，所以数列{b n }不能为等比数列．(16分)．21. A. 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3c ＝－2，b ＋3d ＝3，2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11.(4分)令M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 0 1 λ－1＝(λ－1)2＝0，得λ＝1，所以M 的特征值为1.(7分)设属于特征值1的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则由M α＝α，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ，－x ＋y ＝y ，所以x ＝0，所以M 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(注：答案不唯一)(10分)B. (1) 因为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(4分)(2) 曲线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3（cos α＋2）(α为参数)，所以曲线l 的普通方程为y ＝3x (1≤x ≤3)．(6分)由⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋（y －2）2＝4，得4x 2＝4 3x ， 所以x ＝0(舍去)或x ＝3，故曲线l 和曲线C 的公共点的直角坐标为(3，3)， 其极坐标为⎝⎛⎭⎫2 3，π3.(10分) C. 由柯西不等式⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y32＋z 2(22＋32＋12)≥⎝⎛⎭⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋z )2＝t 2，(6分)当且仅当x 22＝y33＝z 1时取等号，此时x 4＝y 9＝z .又x ＋y ＋z ＝4，解得x ＝87，y ＝187，z ＝27，所以x 24＋y 29＋z 2的最小值为t 214.(8分)因为x 24＋y 29＋z 2的最小值为87，所以t 214＝87.又因为t ＝x ＋y ＋z >0，所以t ＝4.(10分)22. (1) X 的所有可能取值有10，20，40.按规则摸出3个小球的情况共有5×4×3＝60(种)．(1分)其中“一次比一次大”和“一次比一次小”的情况都恰有C 35＝10(种)， 所以P(X ＝40)＝1060＝16，P(X ＝20)＝1060＝16，P(X ＝10)＝1－P(X ＝40)－P(X ＝20)＝23，故获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝10×23＋20×16＋40×16＝503，故获奖金额X 的数学期望为503元．(6分) (2) 记“获得的奖金恰好为60元”为事件A.赵四购物恰好满600元，则他有3次抽奖机会，各次抽奖结果相互独立． 事件A 包含：三次都是二等奖；一次一等奖及两次三等奖， P(A)＝⎝⎛⎭⎫163＋C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫161＝49216，(9分)故赵四获得的奖金恰好为60元的概率为49216.(10分)23. (1) 由题意可得F(0，p)，AB ：y ＝kx ＋p(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4py ，y ＝kx ＋p ，得x 2－4pkx －4p 2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2k 2＋16p 2>0，x 1＋x 2＝4pk ，x 1x 2＝－4p 2.由y ＝x 24p ，得y′＝x 2p，所以抛物线C 在点A 处的切线方程为y ＝x 12p (x －x 1)＋x 214p ，即y ＝x 12p x －x 214p，①同理抛物线C 在点B 处的切线方程为y ＝x 22p x －x 224p.②联立①②得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24p ，即G(2pk ，－p)，所以点G 的轨迹方程为y ＝－p(x ≠0，且p 为大于2的质数)．(3分) (2) 设AB 的中点为M ，连结MG ，FG . 由F(0，p)，G(2pk ，－p)，得k FG ＝－1k，所以AB ⊥FG .因为AB ⊥EM ，所以EM ∥FG ，所以∠EMF ＝∠GFM ＝90°.因为x M ＝12(x 1＋x 2)＝2pk ＝x G ，所以MG 平行于y 轴，所以∠EFM ＝∠GMF.又因为FM ＝MF ，所以△EFM ≌△GMF ， 所以EM ＝FG ，所以S ＝S △AGB ＋S △AEB ＝12AB·FG ＋12AB·EM ＝AB·FG .又因为AB ＝AF ＋BF ＝y 1＋y 2＋2p ＝k(x 1＋x 2)＋4p ＝4p(1＋k 2)， 且FG ＝（2pk ）2＋（2p ）2＝2p 1＋k 2， 所以S ＝AB·FG ＝p 2(21＋k 2)3.(6分)由题意得2pk 为整数，设2pk ＝t(t ∈Z ，t ≠0)， 所以k ＝t2p.假设S ＝p 2(21＋k 2)3为整数，则21＋k 2＝n (n ∈N *)， 即4＋⎝⎛⎭⎫t p 2＝n ，所以⎝⎛⎭⎫t p 2＝n 2－4， 所以tp只能为整数．(8分)设t ＝dp (d ∈Z ，d ≠0)，则d 2＝n 2－4，所以(n －d )(n ＋d )＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝4，n ＋d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－4，n ＋d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝1，n ＋d ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－1，n ＋d ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝2，n ＋d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－2，n ＋d ＝－2. 因为d ∈Z ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0，但当⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0时，k ＝0，与k ≠0矛盾，不合题意．综上所述，S 不是整数．(10分)。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(二)附答案解析
2020 年江苏高考数学全真模拟试卷二数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题 ~第 20 题 ,共 20 题 ).本卷满分为160 分 , 考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米色水的署名笔填写在答题卡的规定地点.A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4.作答试题一定用0.5 毫米色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，在其余地点作答律无效 .5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题 :本大题共14 小题 ,每题 5 分 ,合计 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上1.已知会合 U={ x｜ x＞ 1}, A ={ x ｜ x ＞ 2}, 则 ?U A =▲．2.已知复数 z知足 (1+ i ) z= i 2020 (i 为虚数单位 ),则 z在复平面内对应的点位于第▲象限.3.已知一组数据 4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的方差为▲．i ← 14.已知向量 a=(1,2), b=(2, － 1) 则 a? (a－ b)的值为▲．S ← 25.履行如下图的伪代码 ,则输出的 S 的值为▲．While S＜ 20 S ← S＋ i6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都同样的红球和黄球共 5 个 , i ← i＋ 22 End While 从中随机拿出 1 个球 ,该球是红球的概率是5 . 现从中一次随机拿出 2 Print S个球 ,则这 2 个球的颜色同样的概率为▲．（第 3 题图）x＋ y≥2，7.已知 x, y 知足拘束条件y≥x -2，,则 z= y -3的最大值为▲．xy≤1，π8.将函数 f ( x) = sinωx(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 ,获得函数 y=g(x)的图像，若 y=g( x)是偶函数 ,则ω的最小值为▲．9. 已知一个圆柱的高为3cm, 体积为12π cm3 , 则该圆柱的外接球的表面积为▲cm 2．10.已知函数f( x) = 2x 1 ｜x - 2 ｜．若对随意 x1∈[1, + ∞ )，都存在 x2∈ [1, + ∞ )，2 , g(x) = ( ) + ax + 4 2使得 f(x 1 ) = g( x2 ), 则实数 a 的取值范围是▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C:x2 y2a 2－b 2 =1 ( a>0，b>0)的左焦点F作倾斜角为30°的直线 ,与圆 C′ : x2 +y 2 =b 2交于点 A,B.若∠ AOB=60 °,则双曲线 C 的离心率为▲．12.设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n ,若 1, a n , S n成等差数列 ,则 a 1 + a 2 + + a n的值为▲．13.如图 ,在等腰三角形ABC 中 ,AB =2, AC =BC = 5 .若 D是△ABC所→→→→→ C Dμ的最大值在平面内一点 ,且DB ? DC =0.设AD =λAB +μAC ,则λ+为▲．－x3＋ 3x2＋ t， x≤0，14.已知函数 f( x) = 若函数 y = f( f( x)) 恰3 x－ 1 ， x﹥ 0 ， A（第 13 B好有 4 个不一样的零点，则实数t 的取值范围是▲．题）二、解答题 :本大题共 6 小题 ,合计明、证明过程或演算步骤.90 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说15.(本小题满分14 分 )如图 ,在四棱锥P-ABCD 中,BA ⊥ AD ,CD ⊥ AD ,E 是棱 PD 上一点 ,AE ⊥ PD ,AE ⊥ AB .(1) 求证 : AB ∥平面 PCD ;P(2) 求证 : 平面 ADP⊥平面 PCD.EDCAB（第 15 题）在△ ABC 中 ,角 A ,B, C 的对边分别为 a,b,c 若 cos2 A +1=2 sin2A2.(1) 求角 A 的大小;π(2) 若 b =4, c=5, 求 sin(B+3 )的值.17.(本小题满分 14 分 )某企业准备设计一个精巧的心形巧克力盒子 ,它是由半圆 O 1、半圆 O 2 和正方形 ABCD 组成的 ,且 AB =8cm. 设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH , 标签的此中两个极点 E ,F 在 AM 上 ,此外两个极点 G ,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB ,CB 的中点 )设 EF 的中点 为 P , ∠ FO 1 P = θ,矩形 EFGH 的面积为 Scm 2.M BNF · ·(1) 写出 S 对于 θ的函数关系式 S(θ);GP··(2) 当 θ为什么值时 ,矩形 EFGH 的面积最大 ?O 1O 2E AHCD（第 17 题）18.(本小题满分 16 分 )如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,已知椭圆 E: x 2 y2 2,离心率为 2a 2 +b 2 =1 ( a> b>0) 的短轴长为2.(1) 求椭圆 E 的标准方程 ;(2) 若直线 l 与椭圆 E 相切于点 P (点 P 在第一象限内 ), 与圆 x 2 + y 2=12 订交于点 A ,B, → →y且 AP =2 PB ,求直线 l 的方程 .APOxB（第 17 题）已知各项均为正数的两个数列 { a nna n+ 1+1a nn2 n2 n +1+ 1},{ b } 知足 a n +2 =a n + 1 － 1 ,2a =logb + log b且 a 1 = b 1 =1 .(1) 求证 : 数列 { a n } 为等差数列 ;(2) 求数列 { b n } 的通项公式 ;(3) 设数列 { a },{ b } 的前 n 项和分别为S ,T , 求使得等式 2S m + a m -36=T i 建立的有序nnnn数对 ( m,i )( m,i ∈ N ※) .20.(本小题满分 16 分 )已知函数 f( x)=( x -1)e x,g ( x)= a +ln x ,此中 e 是自然对数的底数 .(1) 若曲线 y= f( x )在 x=1 处的切线与曲线 y= g (x )也相切 . ①务实数 a 的值 ;②求函数 φ( x)= f( x )+e | g( x) | 的单一区间 ;1(2) 设 h( x)= bf ( x) － g( x )+ a, 求证 : 当 0< b< e 时 ,h( x) 恰巧有2个零点.数学Ⅱ附带题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 21 题 ~第 23 题 ).本卷满分为考试结束后 ,请将本试卷和答题卡一并交回40 分,考试时间为30 分钟,2.答题前 ,请您务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在答题卡的规定地点A．必做题部分3.请仔细查对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合4.作答试题一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答,在其余地点作答一律无效5.如需作图 ,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.21【选做題】此题包含 A 、 B 、C 三小题 ,请选定此中两小题,并在相应的答题地区内作答，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做 ,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚A. [ 选修 4-2:矩阵与变换 ] (本小题满分10 分)x x′ a x, 试写出变换 T 对应的矩阵 A,并求出其逆矩阵A-1. 已知变换 T:→=2x +2yy y′B.[ 选修 4:坐标系与参数方程 ] (本小题满分 10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知直线 l 的参数方程x=1+ t(t 为参数 ), 曲线 C 的参数方程y=3t为x=2 m2(m 为参数 ). 若直线 l 与曲线 C 订交于点 A ,B , 求△ OAB 的面积 . y=2 mC.[ 选修 45:不等式选讲 ] (本小题满分10 分 )已知 a、 b、 c∈ R，且 a+ b+ c =3, a 2 + b2 +2 c 2 =6, 务实数 a 的取值范围 .【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分 ,合计 20 分 .请在答题卡指定地区内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图 ,在直三校柱ABC－ A1B1C1中 , △ABC 是等直角三角形 ,∠ ACB=90 °,AB=4 2 ,M是 AB 的中点 ,且 A1M⊥ B1C．(1)求 A1A的长;(2)已知点 N 在棱 CC1上,若平面 B1AN 与平面 BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为10 ，试确立点 N 的地点．1C110 AB1NA CM（第 22 B 题）23.(本小题满分 10 分 )已知正整数 n ≥ 2, 会合 P ={ x|1 ≤ x≤ n, x∈ N }, A ,B , C 是会合 P 的 3 个非空子集，记a n , 为全部知足 A B, AU BU C=P 的有序会合对 (A ,B,C) 的个数 .(1) 2求 a ；(2) 求 a n。
江苏省南京市、盐城市2020届高三二模数学试卷及答案
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学2020.03参考公式:圆锥的侧面积公式:S=πrl,其中r 为圆锥底面圆的半径,l 为圆锥的母线长.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分不需写出解答过程,请把答案写在答题卡的指定位置上)1.已知集合A={x|x=2k+1,k ∈Z ),B={x|x(x-5)≤0),则A∩B=__2.已知复数z=1＋2i,其中i 为虚数单位,则z 2的模为__3.如图是一个算法流程图,若输出的实数，y 的值为-1,则输入的实数x 的值为___4.某校初三年级共有500名女生,为了了解初三女生1分钟"仰卧起坐"项目训练情况,统计了所有女生1分钟"仰卧起坐"测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有____个。
5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____.6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且周期为2,当x ∈(0,1]时,()3a f x x =+,则f(a)的值为_____.7.若将函数()sin(2)3f x x π=+的图象沿x 轴向右平移φ(φ≥0)个单位后所得的图象与f(x)的图象关于x 轴对称,则φ的最小值为___8.在△ABC 中,AB =AC =∠BAC=90°,则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_____.9.已知数列(a n }为等差数列,数列{b,}为等比数列,满足{a 1，a 2，a 3}={b 1,b 2,b 3)={a,b,-2},其中a>0,b>0,则a+b 的值为___10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为(0,-1),则PF PA的最小值为______.11.已知x ，y 为正实数,且xy ＋2x+4y=41,则x+y 的最小值为_____12.在平面直角坐标系xOy 中,圆C:(x-m)2+y 2=r 2(m>0).已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2,其中l 1与圆C 相交于A 、B 两点，l 2与圆C 相切于点D.若AB=OD,则直线l 1的斜率为____.13.在△ABC 中,BC 为定长,|2|3||AB AC BC += ，若△ABC 的面积的最大值为2,则边BC 的长为___.14.函数f(α)=e x -x-b(e 为自然对数的底数,b ∈R ),若函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点,则实数b 的取值范围为______.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.15.(本小题满分14分)如图,三棱锥P-ABC 中,点D,E 分别为AB,BC 的中点,且平面PDE ⊥平面ABC.(1)求证:AC ∥平面PDE;(2)若,求证:平面PBC ⊥平面ABC.16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB.(1)求B 的值.(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D,已知177AD =，7cos 25A =-,求b 的值17.(本小题满分14分)如图,湖中有一个半径为1千米的圆形小岛,岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光,从点A 向小岛建三段栈道AB,BD,BE,湖面上的点B 在线段AC 上,且BD,BE 均与圆C 相切,切点分别为D,E,其中栈道AB,BD,BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧(圆C 上实线部分)上再修建栈道 .DE记∠CBD 为θ.(1)用θ表示栈道的总长度f(θ),并确定sinθ的取值范围；(2)求当θ为何值时,栈道总长度最短.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12且过点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形,①若点B 为椭圆C 的上顶点,原点O 为△BMN 的垂心,求线段MN 的长;②若原点O 为△BMN 的重心,求原点O 到直线MN 距离的最小值.19,(本小题满分16分)已知函数f(x)=x 3-x 2-(a-16)x,g(x)=a|nx,a ∈R .函数()()()f x h x g x x =-的导函数h'(x)在5[,4]2存在零点(1)求实数a 的取值范围;(2)若存在实数a,当x ∈[0,b]时,函数f(x)在x=0时取得最大值,求正实数b 的最大值;(3)若直线l 与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,且l 在y 轴上的截距为-12,求实数a 的值.20.(本小题满分16分)已知无穷数列{a n }的各项均为正整数,其前n 项和为S n ,记T n 为数列{a n }的前a n 项和,即12n a n T a a a =++⋯+.(1)若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,S 4=5S 2,求T 3的值;(2)若数列{a n }为等差数列,且存在唯一的正整数n(n≥2),使得2n n T a <求数列{a n }的通项公式;(3)若数列(T n )的通项为(1)2n n n T +=,求证:数列{a n }为等差数列南京市、盐城市2020届高三第二次模拟考试数学附加题2020.03本试卷共40分,考试时间30分钟.21.【选做题】在A,B,C 三小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—24矩阵与变换已知矩阵1210,2101MN ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M (1)求矩阵N;(2)求矩阵N 的特征值.B 选修4—41坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22,12x t y t ⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩,(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l极坐标方程为cos(4πρθ-=.若直线1交曲线C 于A,B 两点,求线段AB 的长.C 选终4—5:不等式选讲已知a>0.12a a+-【必做题】第22题,第23题,每题10分,共20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满400元的商品即可抽奖—次.抽奖规则如下x 抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若挪得点数大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2,m ∈N *)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,若商场希望X 的数学期望不超过150元,求m 的最小值.23.(本小题满分10分)已知集合A n ={1,2,…n},n ∈N *,n≥2,将A n 的所有子集任意排列,得到一个有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),其中m=2n .记集合M k 中元素的个数为a k ,k ∈N *,k≤m,规定空集中元素的个数为0.(1)当n=2时,求a 1+a 2+…+a m 的值;(2)利用数学归纳法证明:不论n(n≥2)为何值,总存在有序集合组(M 1,M 2,…,M m ),满足任意*,1, i i m ∈-N 都有11i i a a +-=.。
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{|02}B x x =<„，则A B =I ． 2．（5分）i 是虚数单位，则||1ii+的值为 ． 3．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为 4．（5分）阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．5．（5分）某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为 ．6．（5分）在某学校图书馆的书架上随意放着編号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为 ． 7．（5分）已知函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+„的一个对称中心是(3π，0)，则ϕ的值为 ． 8．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为 ．9．（5分）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足f （1）2>-，f （2）3mm=-，则m 的取值范围是 ． 10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60︒的菱形组成的图形中，AB CD =u u u r u u u rg ．11．（5分）等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式21()022d dx a x c +-+…的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．12．（5分）在ABC ∆中，已知边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = ．13．（5分）已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(B s ，)(p m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值(1)k k >，则s p m n -= ．14．（5分）函数2()()()()4x x t x t f x x x t ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„其中0t >，若函数()[()1]g x f f x =-有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．（14分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且2SE EB =．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）证明：DE ⊥平面SBC ．16．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若3a =，22b =，求sin(2)B A +的值．17．（14分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，16BC =，O 为AB 上一点，且8BO =，线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置(M ，N 分别在线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好． （1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>．（13，且点3在椭圆上， ①求椭圆的方程； ②设3(1,)P -，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．（2）设(,0)D b ，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，2DF ED =u u u r u u u r，求椭圆离心率的取值范围．19．（16分）已知函数()xe f x ax alnx x =-+，其中0a >．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数1()()()g x f x a lnx x=++有三个极值点1x ，2x ，3x ，求证：1231112x x x ++>．20．（16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n N ∈．设1n a ，2n a ，⋯，t n a （其中12t n n n <<⋯<，*)t N ∈成等差数列． （1）若3t =．①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值．。
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷（含答案解析）
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合1，2，，，则______．2. i 是虚数单位，则的值为______．3. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为______4. 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是______ ．5. 某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为______．6. 在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______． 7. 已知函数的一个对称中心是，则的值为______． 8. 如图，在直三棱柱中，，，，，点D 为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______ ．9 设周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足，，则m 的取值范围是________．10. 如图，在由5个边长为1，一个顶角为的菱形组成的图形中，______．11. 等差数列的公差为d，关于x的不等式 的解集为，则使数列的前n项和最大的正整数n的值是______ ．12. 在中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，则______． 13. 已知圆O：与曲线C：，曲线C上两点，、n 、s、p均为正整数，使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，则______．14. 函数其中，若函数有6个不同的零点，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 如图，四棱锥中，底面ABCD ，，，，，M，N分别为SA ，SC的中点，E为棱SB上的一点，且．证明：平面ABCD；证明：平面SBC．16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．的值；Ⅰ求角A的值；的值．Ⅱ若，，求的值．17. 某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中，，O 为AB上一点，且，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置N分别在线段OD、OC上，点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12，记，我们知道当面积最小时观赏效果最好．面积最小时观赏效果最好．当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？的中点？怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．的值．18. 已知椭圆C ：．若椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，求椭圆的方程；求椭圆的方程； 设，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．的方程．设，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，，求椭圆离心率的取值范围．，求椭圆离心率的取值范围．19. 已知函数，其中．若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围；的取值范围；若函数有三个极值点，，，求证：．20. 已知数列的通项公式，设，，，其中成等差数列．，成等差数列．若．当，，为连续正整数时，求的值；的值；为定值；当时，求证：为定值；的最大值．求t的最大值．答案和解析1.【答案】{解析}解：1，2，，；．故答案为：． 进行交集的运算即可．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】{解析}解：，故答案为：．直接利用商的模等于模的商求解．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】{解析}解：由渐近线方程为，即渐近线方程为，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，即有，又，即， 可得．故答案为：． 设双曲线的方程为，则渐近线方程为，由题意可得，由双曲线a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．基础题．4.【答案】5049{解析}解：根据流程图所示的顺序，解：根据流程图所示的顺序， 该程序的作用是累加并输出，，故答案为：5049．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出的值的值根据流程图或伪代码写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：分析流程图或伪代码，从流程图或伪代码中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．解模．5.【答案】16{解析}解：某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．名学生． 用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，名学生进行调查， 则应从A 专业抽取的学生人数为：专业抽取的学生人数为：．故答案为：16．利用分层抽样的性质直接求解．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查应从A 专业抽取的学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．算求解能力，是基础题．6.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．题．先求出基本事件总数，再利用列举法求出选出的2本书编号相连包含的基本事件有4种，由此能求出选出的2本书编号相连的概率．本书编号相连的概率． 【解答】【解答】解：在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，的五本书， 某同学从中任意选出2本书，本书， 基本事件总数，选出的2本书编号相连包含的基本事件有：本书编号相连包含的基本事件有：，，，，共4种，种， 选出的2本书编号相连的概率为．故答案为．7.【答案】{解析}解：的一个对称中心是，，，得，，，当时，，故答案为：根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．利用对称性建立方程是解决本题的关键．比较基比较基础．础．8.【答案】{解析}【分析】【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．想、化归与转化思想，是中档题． 将侧面和侧面展开成矩形，如图，连结，交于D ，此时最小，当最小时，，此时三棱锥的体积：，由此能求出结果．，由此能求出结果．【解答】【解答】 解：将侧面和侧面展开成矩形，如图，，如图，连结，交于D ，此时最小，最小，，，，，点D 为侧棱上的动点，上的动点，当最小时，，此时三棱锥的体积：的体积：．故答案为：．9.【答案】{解析}解：由题意，函数是奇函数，，函数是奇函数，故有，又周期函数是定义在R 上的奇函数，若的最小正周期为3，故， ， ，当时，解得，当时，解得，所以m 的取值范围是故答案为由题意，故求了的取值范围即可得出关于m 的不等式，由题设条件，先有奇函数的性质得出的范围，再由周期性得出的范围即可的范围即可本题考查函数的周期性，解题的关键是根据函数的奇函数的性质与周期性的性质求出从而得到m 的不等式，解出m 的取值范围，本题考查了转化的思想的取值范围，本题考查了转化的思想10.【答案】{解析}解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则，，，，，，．故答案为：．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．建立坐标系，得出两向量的坐标，从而计算出数量积．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可是计算简便，属于中档题．11.【答案】11{解析}解：关于x 的不等式的解集为，，且，即，则，，故使数列的前n 项和最大的正整数n 的值是11． 故答案为：11． 根据已知中等差数列的公差为d ，关于x 的不等式的解集为，我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案．案．本题考查的知识是数列的函数特性，本题考查的知识是数列的函数特性，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键．12.【答案】{解析}解：由正弦定理，得：，，，，当且仅当时，等号成立，时，等号成立，，，，．故答案为：．由正弦定理，得：，由余弦定理得，从而，当且仅当时，时，成立，成立，进而求出，由此能求出tan A ．本题考查三角形内角的正切值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13.【答案】0{解析}解：设，则，且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，，消去m ，n 得所以，，此时，此时， 故答案为：0 设，则，结合且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值，m 、n 、s 、p 均为正整数，求出m 、n 、s 、p 的值，可得答案．的值，可得答案．本题考查的知识点两点之间的距离公式，恒成立问题，方程思想，难度较大．14.【答案】{解析}解：函数其中，函数，当，或时，，函数为增函数，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，，函数为减函数， 故当时，函数取极大值，函数有两个零点0和t ，若函数恰有6个不同的零点，个不同的零点， 则方程和各有三个解，各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，各有三个零点，由，故，得：，故不等式的解集为：，故答案为：若函数恰有6个不同的零点，则方程和各有三个解，即函数的图象与和各有三个零点，进而得到答案．各有三个零点，进而得到答案． 本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．15.【答案】本小题满分12分证明：Ⅰ连AC ，，N 分别为SA ，SC 的中点，的中点，，又平面ABCD ，平面ABCD ，平面分 Ⅱ连结BD ，，，，，又底面ABCD ，底面ABCD ，，，平面SDB ，平面SDB ，，又，当时，，在与中，，，，又，∽，，即．，平面分{解析}Ⅰ连AC ，则，由此能证明平面ABCD ．Ⅱ连结BD ，推导出，，从而平面SDB ，，由题意得∽，由此能证明平面SBC ．本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．空间思维能力的培养．16.【答案】解：Ⅰ，由正弦定理得，．化简得，．由余弦定理得，． 又， ．Ⅱ由Ⅰ知，， 又，，．又，，． ， ，．档题．档题．Ⅰ由正弦定理化简已知可得，由余弦定理cos A 的值，结合范围，可求A 的值．的值．Ⅱ由正弦定理可求sin B ，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据二倍角公式可求sin2B ，cos2B 的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解． 17.【答案】解：以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则，，．：；，可得，设，，，为MN 的中点，的中点，，此时，；分建系2分 ，，，，当且仅当时取等号，时取等号， ，此时．答：当时，P 为队列MN 的中点；的中点；当点M 满足时，观赏效果最好．分答1分{解析}以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．求出OC ：，，设，，，然后求解即可．，然后求解即可．通过，推出，利用三角形的面积，以及基本不等式求解即可．解即可．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．本题考查解析法求解实际问题，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：椭圆C ：，椭圆的离心率为，且点在椭圆上，在椭圆上，，解得，，椭圆的方程为．，R 、S 分别为椭圆C ：的右顶点和上顶点，直线PR 和PS与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，，， 直线PR ：，即，，直线PS ：，即，，直线MN 的方程为：，即．设，，，．根据题意，解得，连SD ，延长交椭圆于点Q ． 直线SD 的方程为，代入椭圆方程解得Q 点的横坐标，所以，，即，解得，即，，．椭圆离心率e 的取值范围为{解析}由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的方程．，由此能求出椭圆的方程． 求出，，从而求出直线PR ，直线PS ，从而求出M ，N 坐标，由此能求出直线MN 的方程．的方程．设，，由，得，连SD ，延长交椭圆于由此能求出椭圆离心率e 的取值范围．的取值范围．本题考查椭圆方程、直线方程、椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．是中档题．19.【答案】解：由函数，其中，得，由函数在上单调递增，上单调递增，故，即恒成立，即恒成立．恒成立． 令，则，因此在区间上单调递增，上单调递增，所以．由，则．由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点，则，令，则，当时取极值，时单调递增，单调递增，，则时有两零点，，且，要证：，即证其中，即证：，即，由，，则，即证：；等价于，等价于，由在上单调递增，即证：，又，则证， 令，，--． 恒成立，恒成立，则为增函数，为增函数，当时，，，原结论成立．原结论成立．{解析}由题意求得，依题意，转化为恒成立，可得到a 的取值范围；的取值范围；由题意得，利用有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点是，再利用分析法去证明即可． 本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力识的理解掌握水平和分析推理能力20.【答案】解：依题意，，，成等差数列，即，从而，当为奇数时，解得，不存在这样的正整数；当为偶数时，解得，所以分依题意，，，成等差数列，即，从而， 当，均为奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当，均为偶数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为偶数，奇数时，，左边为偶数，故矛盾；，左边为偶数，故矛盾； 当为奇数，偶数时，，即分 设，，成等差数列，则，即，整理得，，若，则，因为，所以只能为2或4，所以s 只能为1或2；分若，则，，故矛盾，故矛盾，综上，只能，，成等差数列或，，成等差数列，其中r 为奇数，为奇数， 从而t 的最大值为分{解析}，依题意，，，成等差数列，根据等差数列等差中项及通项公式，分类讨论当为奇数或偶数时，分别求得的值；的值；，，成等差数列，根据等差中项可知：，分别当，为奇数或偶数时，即可求得，因此为定值；为定值；设，，成等差数列，根据数列等差中项定义，，分类讨论，求得s 的值，当，求得s 的值，最后求得，，成等差数列或，，成等差数列，其中r为奇数，即可求得t 的最大值．的最大值．本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，本题考查了等差数列的通项公式及等差中项的定义，考查分类讨论思想，考查分类讨论思想，考查推理能力与计算能力，属于中档题．与计算能力，属于中档题．。