平行四边形矩形练习题2
【名师专题】2018年 八年级数学下册 平行四边形 矩形 练习卷(含答案)
2018年八年级数学下册平行四边形矩形练习卷一、选择题:1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．对角线互相平分 C．一组对边相等 D．对角线互相垂直2.下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分3.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114° D．124°4.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．125.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．166.如图,平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若□ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则□ABCD的面积等于( )A．87.5 B．80 C．75 D．72.57.下列命题中，假命题是（）A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为（）A．14 B．16 C．17 D．189.如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF10.如图，在矩形ABCD中，AB=8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B´点处，若AB/=4，则折痕EF 的长度为（）A．8 B．C．D．1011.如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转300，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A．155°B．170°C．105°D．145°12.如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2二、填空题：13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若DF⊥AC,∠ADF:∠FDC=3:2，则∠BDF= ．14.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．15.如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为．16.矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为．17.如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．18.如图，△ABC中，AB=12，AC=8，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．三、解答题：19.如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF．20.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．21.如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．22.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1.B2.B.3.C4.B5.D6.B7.C．8.D9.B10.C11.A12.A13.答案为：18°14.答案为：3．15.解：分两种情况：（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，如图1所示，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∴BM=AB=1，∴AM=BM=，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，∴AC==2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，∴BP=BA=2；②当∠BPC=90°，点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，BP===2；（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：则CP=AM=，∴BP==；综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2或．16.答案为：2.5．17.答案为：（0，）．18.答案为：2；19.证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE∵▱ABCD∴OA=OC，OB=OD ∵OF=BF﹣OB，OE=DE﹣OD,BF=DE∴OE=OF∵OA=OC，OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF20.21.证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠CAD，在△ABE和△ACD中，∠EBA=∠ACB,AB=AC,∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD．（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∵△BEF、△ABC是等边三角形，∴BE=EF，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥CD，∴BE=EF=CD，∴EF=CD，且EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形．22.（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=0.5EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．。
人教版八年级数学下册--18_2_1 矩形(第2课时 矩形的判定)练习】
第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：，使四边形DF AE是矩形．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是（写出一种情况即可）．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝°时，四边形AEDF是矩形．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习答案一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故选：B．3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故①正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BC2+CD2＝AC2，∴BC2+AB2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故②正确；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故③正确；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故④错误；能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，故选：C．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；B．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C．∵AO＝OB＝OC＝OD，∵AC＝BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意；故选：D．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD【解答】解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：D．10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故选项B符合题意；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状，故选项C不符合题意；D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：∠A＝90°（答案不唯一），使四边形DF AE是矩形．【解答】解：添加条件：∠A＝90°；理由如下：∵E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，AE＝AB，AF＝AC，∴DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是AC＝BD或∠ABC＝90°（写出一种情况即可）．【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝45°时，【解答】解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形．故答案为45．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是有一个角是直角的平行四边形为矩形．【解答】解：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵ED＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，∴∠BFE+∠GFC＝90°．∴∠EFG＝90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．【解答】解：（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，AE＝DE∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形；（2）当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，证明：∵AB＝AC，D为BC中点，即AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∵四边形AFBD为平行四边形，∴四边形AFBD为矩形．。
平行四边形矩形菱形经典例题(8套)
经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
平行四边形、矩形、菱形,正方形练习题
平行四边形、矩形、菱形、正方形1．：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2．求证：AF＝CE．4．：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：〔1〕AE＝AB；〔2〕如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．5．如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，且BE＝AB，DF＝CD．求证：四边形AECF是平行四边形．6．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．〔1〕求证：四边形DEBF是平行四边形；〔2〕假设AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，〔1〕求证：AE＝CE；〔2〕求证：四边形ABDF是平行四边形；〔3〕假设AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，那么四边形ABCF的面积为．8．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF为平行四边形．9．：如图，点E、F在线段BD上，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：〔1〕AE＝CF；〔2〕AF∥CE．10．如下列图，▱ABCD中，E，F分别是AB、CD上的点，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点．〔1〕求证：四边形ENFM是平行四边形．〔2〕假设∠ABC＝2∠A，求∠A的度数．11．在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，连接EF，BD．〔1〕求证：四边形EBFD是平行四边形；〔2〕假设∠C+∠ABE＝90°，求证：BD＝EF．12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．〔1〕求证：△ABE≌△CDF．〔2〕求证：四边形AECF是平行四边形．13．如图，在△NMB中，BM＝6，点A，C，D分别在边MB、BN、MN上，DA∥NB，DC∥MB，∠NDC＝∠MDA．求四边形ABCD的周长．14．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．〔1〕AE＝，EF＝〔2〕假设G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．〔3〕在〔2〕条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．15．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．〔1〕求证：四边形BFDE是矩形；〔2〕∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，假设AD＝3，求DC的长度．16．如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．〔1〕求证：▱ABCD是矩形．〔2〕假设AD＝3，∠COD＝60°，求▱ABCD的面积．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD〔1〕求证：四边形AEBD是矩形；〔2〕连接CE交AB于点F，假设BE＝2，AE＝2，求EF的长．18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E 是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．〔1〕求证：四边形ACED为矩形．〔2〕连结OE，求OE的长．19．如图，▱ABCD中，点E在BC延长线上，EC＝BC，连接DE，AC，AC⊥AD于点A．〔1〕求证：四边形ACED是矩形；〔2〕连接BD，交AC于点F．假设AC＝2AD，猜想∠E与∠BDE的数量关系，并证明你的猜想．20．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．〔1〕求证：四边形BEDF是菱形；〔2〕假设∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD ＝，求DE的长．21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．〔1〕求证：四边形BEDF是菱形；〔2〕假设∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．〔1〕求证：四边形ADCF是菱形；〔2〕假设AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；〔2〕假设AB＝2，BD＝4，求OE的长．24．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；〔2〕假设AB＝2，AC＝2，求四边形ABCD的面积．25．同学丰用一长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF〔如图〕．〔1〕证明：四边形AECF是菱形；〔2〕求菱形AECF的面积．26．如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．〔1〕求证：四边形BFDE是菱形；〔2〕假设ED＝5，BD＝8，求菱形BFDE的面积．27．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．〔1〕求证：四边形ABCD是菱形；〔2〕假设∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．28．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．〔1〕求证：四边形ABEF是菱形；〔2〕假设AB＝4，∠ABC＝60°，求OC的长．29．：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，假设∠CAD＝∠DBC．〔1〕求证：四边形ABCD是正方形．〔2〕E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．30．：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连结BD．〔1〕求证：四边形EFCD是正方形；〔2〕假设BE＝1，ED＝2，求BD的长．31．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．32．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，假设正方形ABCD的周长是40cm．〔1〕求证：四边形BFEG是矩形；〔2〕求四边形EFBG的周长；〔3〕当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形.33．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是正方形．34．E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形.证明你的结论．35．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：四边形AECF是平行四边形．36．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AD、OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．求证：四边形AOBE为菱形．37．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF．〔1〕求证：四边形AECF是菱形；〔2〕连接OB，假设AB＝8，AF＝10，求OB的长．38．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．39．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．40．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD的长．41．如图，菱形ABCD两条对角线BD与AC的长之比为3：4，周长为40cm，求菱形的高及面积．42．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，〔1〕求证：∠DHO＝∠DCO．〔2〕假设OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．43．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，AC＝8cm，BD＝6cm，〔1〕求菱形ABCD的面积．〔2〕求OE的长度．44．在菱形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE，DE⊥AB，对角线AC、BD交于点H．〔1〕求∠ABC的度数；〔2〕如果菱形的对角线AC＝2，求菱形的面积．45．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕试判断四边形AECF的形状，并说明理由．46．如图，小方将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长方形〔记作A〕后，再将剩下的长方形纸片剪去一个宽为5cm的长方形〔记作B〕．〔1〕假设A与B的面积均为Scm2，求S的值．〔2〕假设A的周长是B的周长的倍，求这个正方形的边长．47．：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形48．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为AD，CD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ＝AP．49．如图，正方形CDEF的面积为169cm2，且AC⊥AF，AB＝3cm，BC＝4cm，AF＝12cm，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．50．如图，正方形ABCD中，AB＝AD，G为BC边上一点，BE⊥AG，于E，DF⊥AG于F，连接DE．〔1〕求证：△ABE≌△DAF；〔2〕假设AF＝1，EF＝4，求四边形ABED的面积．。
平行四边形、矩形、菱形、正方形习题
平行四边形 、矩形、菱形、正方形习题平行四边形的性质及判定1．平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ）A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于12．在ABCD 中，M 为CD 的中点，如DC =2AD ，则AM 、BM 夹角度数是（ ）A.90°B.95°C.85°D.100°3．如图1，四边形ABCD 是平行四边形，∠D =120°，∠CAD =32°.则∠ABC 、∠CAB 的度数分别为（ ）A.28°，120°B.120°，28°C.32°，120°D.120°，32° 4．在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶15．如图2，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3， OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.66．下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A.AB =CD ，AD ∥BCB.AB =CD ，AB ∥CDC.AB ∥CD ，AD ∥BCD.AB =CD ，AD =BC7．在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，如果只给出条件“AB ∥CD ”，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（ ）（1）如果再加上条件“AD ∥BC ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （2）如果再加上条件“AB =CD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （3）如果再加上条件“∠DAB =∠DCB ”那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （4）如果再加上“BC =AD ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （5）如果再加上条件“AO =CO ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形； （6）如果再加上条件“∠DBA =∠CAB ”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形. A.3个B.4个C.5个D.6个8. 如图6所示，在□ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，若想使四边形AFCE 为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）①AF=CF ；②AE=CF ；③∠BAE=∠FCD ；④∠BEA=∠FCE 。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形专项训练2(含答案)
人教版八年级数学下册第18章平行四边形专项训练2（含答案）专训1.矩形性质与判定的灵活运用名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC 上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．(第2题)利用矩形的性质与判定证明角相等3．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积．(第4题)专训2.菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定求菱形的高1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号)(第1题)利用菱形的性质与判定求菱形对角线长2．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF 于B，交AC于O.连接AD，BC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；(3)在(2)的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的对角线AC，BD的长．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)证明四边形ADCF是菱形；(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．(第4题)专训3.正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形﹨菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质解决线段和差倍分问题1．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第1题)利用正方形的性质证明线段位置关系2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第3题)专训4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边﹨角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定．矩形的综合性问题a．矩形性质的应用1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC 于点H，试求PG＋PH的值．(第1题)b．矩形判定的应用2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC.(第2题)c．矩形性质和判定的应用3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．(第3题)菱形的综合性问题a．菱形性质的应用4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC.(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．(第4题)b．菱形判定的应用5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(t>0)．过点D作DF⊥BC 于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．(第5题)c．菱形性质和判定的应用6．(1)如图①，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．(第6题)正方形的综合性问题a．正方形性质的应用7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG 于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．(第7题)b．正方形判定的应用8．两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连接AE，CG，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．(第8题)答案专训11．解：由折叠的性质知∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形．∴HG∥EF，HG＝EF.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF.∴AD ＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.∵HF＝EH2＋EF2＝32＋42＝5(cm)，∴AD＝5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．(第2题)2．解：PE＋PF＝AB.理由：过点P作PG⊥AB于G，交BD于O，如图所示．∵PG ⊥AB ，PF ⊥AC ，∠A ＝90°，∴∠A ＝∠AGP ＝∠PFA ＝90°.∴四边形AGPF 是矩形．∴AG ＝PF ，PG ∥AC.∴∠C ＝∠GPB.又∵BD ＝DC ，∴∠C ＝∠DBP.∴∠GPB ＝∠DBP.∴OB ＝OP.∵PG ⊥AB ，PE ⊥BD ，∴∠BGO ＝∠PEO ＝90°. 在△BGO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠BGO ＝∠PEO ，∠GOB ＝∠EOP ，OB ＝OP ，∴△BGO ≌△PEO.∴BG ＝PE. ∵AB ＝BG ＋AG ＝PE ＋PF.3．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD. ∴BE ∥DF.又∵BE ＝DF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∵DE ⊥AB ， ∴∠DEB ＝90°.∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AD ＝BC. ∴∠DFA ＝∠FAB.由(1)易得△BCF 为直角三角形， 在Rt △BCF 中，由勾股定理，得 BC ＝CF2＋BF2＝32＋42＝5， ∴AD ＝BC ＝DF ＝5. ∴∠DAF ＝∠DFA. ∴∠DAF ＝∠FAB ， 即AF 平分∠DAB.4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC.∴∠ABE ＝∠ECF. 又∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎨⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.∴AB ＝CF.又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋EC，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．(2)解：∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，∴CF＝CD＝DF2＝2.∴AC＝42－22＝2 3.∴S四边形ABFC＝23×2＝4 3.专训21．(1)证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB ＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形．(2)解：如图，过点D作DF⊥CE，垂足为点F，则DF即为菱形ADCE的高，∵∠B＝60°，CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°.∵CE∥AB，∴∠BCE＝180°－∠B＝120°，∴∠DCE＝60°，又∵CD＝BC＝6，∴在Rt△CDF中，易求得DF＝33，即菱形ADCE的高为3 3.(第1题)2．(1)证明：∵BD垂直平分AC，∴OA＝OC，AD＝CD，AB＝BC.∵四边形AFCG是矩形，∴CG∥AF.∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO.∴△COD≌△AOB(AAS)．∴CD＝AB.∴AB＝BC＝CD＝DA.∴四边形ABCD是菱形．(2)解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB.∴AD＝DB.又∵AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴∠DBA ＝60°.∵CD ∥AB ，∴∠BDC ＝∠DBA ＝60°.(3)解：由菱形性质知，∠OAB ＝12∠BAD ＝30°.在Rt △OAB 中，AB ＝1，∴OB ＝12，∴OA ＝32.∴BD ＝1，AC ＝ 3.3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，∴AE ＝CE ，DE ＝FE.∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE ∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°.∴DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB ＝10.∵点D 是AB 边的中点，∴AD ＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝FC ＝AD ＝5.∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵E 是AD 中点，∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠FAE ＝∠BDE ，又∵∠AEF ＝∠DEB ，∴△AEF ≌△DEB(ASA )．(2)证明：由(1)知，△AEF ≌△DEB ，则AF ＝DB ，∵D 是BC 的中点，∴DB ＝DC ，∴AF ＝CD ，又∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝12BC ，∴四边形ADCF 是菱形．(3)解：设菱形ADCF 的DC 边上的高为h ，则Rt △ABC 斜边BC 上的高也为h ，∵BC ＝52＋42＝41，∴DC ＝12BC ＝412，h ＝4×541＝2041，∴菱形ADCF的面积为：DC·h ＝412×2041＝10.专训31．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下： 如图(1)，过点A 作AE ⊥AN ，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE ≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN. 又∵∠MAN ＝45°，∴∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM ≌△NAM.∴ME ＝MN.∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM ＋DN ＝MN .(2)DN －BM ＝MN.证明如下： 如图(2)，在DN 上截取DE ＝BM ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 又∵BM ＝DE ，∴△ABM ≌△ADE.∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°，∴∠MAE ＝90°. ∵∠MAN ＝45°，∴∠EAN ＝45°＝∠MAN.又∵AM ＝AE ，AN ＝AN ， ∴△AMN ≌△AEN.∴MN ＝EN. ∴DN ＝DE ＋EN ＝BM ＋MN. ∴DN －BM ＝MN.(1)(2)(第1题)2．证明：∵AC ，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC ⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE ＝CF ，∴OE ＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE ≌Rt △DOF.∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠FDO ＝90°.∴∠DFO ＋∠FAE ＝90°.∴∠AMF ＝90°，即AM ⊥DF.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵不管滚动多长时间，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴SA ＝PB ＝QC ＝RD.∴△ASP ≌△BPQ ≌△CQR ≌△DRS.∴PS ＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ.∴不管滚动多长时间，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS ＋∠ASP ＝90°，∴∠APS ＋∠BPQ ＝90°.∴∠QPS ＝180°－(∠APS ＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴不管滚动多长时间，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP. 由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2， 解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．专训41．解：(1)△AED ≌△CEB′.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝DA ，∠B ＝∠D. 由折叠的性质，知BC ＝B′C ，∠B ＝∠B′， ∴B′C ＝DA ，∠B′＝∠D. 在△AED 和△CEB′中，⎩⎨⎧∠DEA ＝∠B′EC ，∠D ＝∠B′，DA ＝B′C ，∴△AED ≌△CEB′.(第1题)(2)如图，延长HP 交AB 于点M ，则PM ⊥AB. ∵∠1＝∠2，PG ⊥AB′，∴PM ＝PG. ∵CD ∥AB ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，∴AD＝52－32＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.2．证明：(1)∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∵四边形OCED是矩形，∴OE＝CD，∴OE＝BC.(第3题)3．(1)证明：如图，过点B作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB ＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.∴PE＝PH，∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)解：不成立，此时PE＝BD＋PF.理由：过点B作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD ＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.(第4题)4．(1)证明：连接AC，如图．∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AE ＝EC.(2)解：点F 是线段BC 的中点． 理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CB. 又∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°. ∵AE ＝EC ， ∴∠EAC ＝∠ACE. ∵∠CEF ＝60°， ∴∠EAC ＝30°， ∴∠EAC ＝∠EAB.∴AF 是△ABC 的角平分线． ∴BF ＝CF.∴点F 是线段BC 的中点．5．(1)证明：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝2t ， ∴DF ＝t ，又∵AE ＝t ，∴AE ＝DF.(2)解：能．理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF. 又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．在Rt △ABC 中，设AB ＝x ，则由∠C ＝30°，得AC ＝2x ，由勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2，即x 2＋(53)2＝4x 2，解得x ＝5(负根舍去)， ∴AB ＝5. ∴AC ＝2AB ＝10. ∴AD ＝AC －DC ＝10－2t.由已知得点D 从点C 运动到点A 的时间为10÷2＝5(s )，点E 从点A 运动到点B 的时间为5÷1＝5(s )．若使▱AEFD 为菱形，则需AE ＝AD ，即t ＝10－2t ，解得t ＝103.符合题意． 故当t ＝103 s 时，四边形AEFD 为菱形．(3)解：①当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形． 在Rt △AED 中，∠ADE ＝∠C ＝30°，∴AD ＝2AE ，即10－2t ＝2t ，解得t ＝52.符合题意． ②当∠DEF ＝90°时，由(2)知EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A＝90°－∠C＝60°，∴∠AED＝30°.∴AE＝2AD，即t＝2(10－2t)，解得t＝4.符合题意．③当∠EFD＝90°时，△DEF不存在．综上所述，当t＝52s或4 s时，△DEF为直角三角形．6．(1)C(2)①证明：∵AF綊DF′，∴四边形AFF′D是平行四边形．∵S▱ABCD＝AD·AE＝15，AD＝5，∴AE＝3.∵AE＝3，EF＝4，∠E＝90°，∴AF＝AE2＋EF2＝32＋42＝5.∵AD＝5，∴AD＝AF，∴四边形AFF′D是菱形．②解：如图，连接AF′，DF，在Rt△AEF′中，AE＝3，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，∴由勾股定理可得AF′＝310.在Rt△DFE′中，FE′＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝AE＝3，∴由勾股定理得DF＝10，∴四边形AFF′D的两条对角线的长分别是310和10.(第6题)7．解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系是AF＝BF＋EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.∴∠DAE＋∠BAF＝90°.∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AFB＝∠DEF＝∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF. 在△ABF 和△DAE 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠ADE ，∠AFB ＝∠DEA ，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE. ∴BF ＝AE.∵AF ＝AE ＋EF ，∴AF ＝BF ＋EF. 8．证明：(1)∵CD ＝CE ＝DE ＝2 cm ， ∴∠CDE ＝60°.又∵四边形ABCD 和四边形EHGF 是矩形， ∴∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADE ＝∠GDC ＝150°.在△AED 和△GCD 中，⎩⎨⎧AD ＝GD ，∠ADE ＝∠GDC ，DE ＝DC ，∴△AED ≌△GCD. (2)∵α＝45°，∴∠NCE ＝∠NEC ＝45°， ∴∠CNE ＝90°，CN ＝NE ， ∴∠HND ＝90°.∴∠H ＝∠D ＝∠HND ＝90°， ∴四边形MHND 是矩形．又∵CD ＝HE ，CN ＝NE ，∴HN ＝ND. ∴四边形MHND 是正方形．。
平行四边形、矩形、菱形、正方形提高题
平行四边形练习 一、选择题1、如图1，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面 积相等的平行四边形有（ ）A 0对B 1对C 2对D 3对 2、如图2，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．33C ．313-D ．314-CBD A图 （1） 图（2） 图（3）3、如图3，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有（ ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个4、如图4，在四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，点P 、Q 、 M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形MNPQ 是（ ） A 等腰梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形A DEFB C图（5）二、填空题5、如图5,正方形ABCD 中,∠DAF=25°,AF 交对角线BD 于E,交CD 于F, 则∠BEC= 度6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周 长为________．7、在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的 面积为_______c m 2．三、解答题C BB '__D C 'D 'DAAQ E PMN DCBA 图（4）_ E _ F_ B_ C8、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．10、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是AB 上一点， 且∠DCE ＝45°，BE ＝2，求DE 的长．6.如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCE P 图2ABDCEPM NFB CA G D FEB CA DE图1图2。
认识平面图形练习题
认识平面图形练习题平面图形是几何图形中的常见类型，通过练习题可以帮助我们更好地认识和理解这些图形。
在下面的练习题中，你将会看到各种平面图形，并进行相关问题的解答。
通过这些练习，你可以进一步巩固对平面图形的认识和理解。
练习题一：直角三角形1. 给定一个直角三角形ABC，已知∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，求AB的长度。
解答：根据勾股定理，我们可以得到AB的长度：AB = √(AC² +BC²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13cm。
练习题二：矩形2. 已知一个矩形的长为8cm，宽为4cm，求该矩形的周长和面积。
解答：矩形的周长可以通过公式计算：周长 = 2(长 + 宽) = 2(8 + 4)= 2(12) = 24cm。
矩形的面积可以通过公式计算：面积 = 长 ×宽 = 8 × 4 = 32cm²。
练习题三：正方形3. 如果一个正方形的周长为20cm，求该正方形的边长和面积。
解答：正方形的周长等于4边长度的总和，所以边长为20cm ÷ 4 =5cm。
正方形的面积可以通过公式计算：面积 = 边长 ×边长 = 5 × 5 =25cm²。
练习题四：圆4. 已知一个圆的半径为6cm，求该圆的周长和面积（取π=3.14）。
解答：圆的周长可以通过公式计算：周长= 2πr = 2 × 3.14 × 6 = 37.68cm。
圆的面积可以通过公式计算：面积= πr² = 3.14 × 6² = 113.04cm²。
练习题五：平行四边形5. 在平行四边形ABCD中，已知AB = 6cm，BC = 8cm，求这个平行四边形的周长和面积。
解答：平行四边形的周长可以通过公式计算：周长 = 2(AB + BC) = 2(6 + 8) = 2(14) = 28cm。
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1．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C D
，分别落在C D
''
，的位置上，EC'交AD于点G．已知58
EFG
∠=°，那么BEG
∠
=
°．
2．如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．
3．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______c m2．
4．如图所示，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______．
16.如图所示，平行四边形ABCD的周长是36cm，由钝角顶点D向AB、BC•引两条高DE、DF，且DE=43cm，DF=53cm，求这个平行四边形的面积．
17.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，且G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF与GH互相平分．
18．如图，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE•是怎样的四边形，并证明你的结论．
5．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8，M是BC上一点，BM=2，N是AC•上一动
点，则BN+MN的最小值为_________．
6．如图所示，在△MBN中，BM=6，点A、C、D分别在MB，NB，MN•上，•四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，那么平行四边形ABCD的周长是_______。
7.在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB•的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______．
8．平行四边形ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为_______.
19．已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上．
（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积．
（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．
9.如图所示，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A•落在点A1处，已知OA=3，
AB=1，则点A的坐标是_______
10.如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC•于E，PF⊥BD于F，
则PE+PF的值为________．
Q
P A B
C
D
11.如图所示，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，
•那么矩形内阴影部分的面积是________．（结果可用根号表示）
20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB=AE ．
（1）求证：△ABC ≌△EAD ；（2）若AE 平分∠
DAB ，∠EAC=25°，求∠AED 的度数．
21．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，•交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ．
（1）试说明：AE ⊥BF ；（
2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明．
22．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且AE=GF=GC ．
（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；
（2）当∠FGC=2
∠EFB 时，求证：四边形AEFG 是矩形．
23．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝24cm ，BC ＝12cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点
B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动时间(0≤t ≤12)，那么：
①当t 为何值时，ΔQAP 为等腰直角三角形；
②求出此时四边形QAPC 的面积，并提出一个与计算结果有关的结论
12.如图所示，矩形花园ABCD 中，AB=a,AD=b ，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK 。
若LM=RS=c ，则花园中可绿化部分的面积为_______
13.如图所示,一块矩形场地,长为120米,宽为70米,从中留出如图所示
的宽为1米的小道,其余部分种草,则草坪的面积为__________.
24.已知:矩形ABCD 中,AE 和CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线.
(1)求证:四边形AECF 是平行四边形.
(2)若矩形ABCD 的周长为24,AB ∶AC=3∶5,求平行四边形AECF 的面积.
14.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AE ∥DC,ΔABE 的周长是20cm,AD=7cm,则梯形ABCD 的周长为_____.
15.如图所示，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）
Q K N
M
Q P
C
B A。