蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)教材
蒙特卡罗方法教材
p P A l sin
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0
l sin
0
1 d
2l dAd d
7
例1. 蒲丰投针问题
数学建模专题之 Monte Carlo方法
利用关系式：
2l p d
求出π值
2l 2l 1 2l N ( ) dp d p d n
其中Ｎ 为投计次数，n 为针与平行线相交 次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
分析：这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的概 率和期望值.但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而显 示不出作战行动的动态过程. 为了能显示我方20次射击的过程，现采用模拟的方式。
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问题分析
需要模拟出以下rlo方法
[1] 观察所对目标的指示正确与否
20
Matlab中的取整函数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
数学建模专题之 Monte Carlo方法
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数 : 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
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小实例一：投掷硬币
数学建模专题之 Monte Carlo方法
模拟结果
试验 序号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 投硬币 结 果 正 正 反 正 正 反 正 正 反 反 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ３ ６ ∨ ∨ 指示 正确 ∨ ∨ ∨ １ ２ 指 示 不正确 掷骰子 结 果 ４ ４ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ０ １ ∨ ∨
数学建模专题之 Monte Carlo方法
John Von Neumann (1903-1957)
第19章 马尔科夫链蒙特卡洛法
马尔可夫链的性质
马尔可夫链的性质
• 遍历定理的直观解释：
• 满足相应条件的马尔可夫链，当时间趋于无穷时，马尔可夫链的 状态分布趋近于平稳分布，随机变量的函数的样本均值以概率1 收敛于该函数的数学期望。
• 样本均值可以认为是时间均值，而数学期望是空间均值。遍历定 理实际表述了遍历性的含义：当时间趋于无穷时，时间均值等于 空间均值。
例
• 使用蒙特卡罗积分法，如图所示，在(0,1)区间按照均匀分布抽
取10个随机样本
。计算样本的函数均值
• 也就是积分的近似
• 随机样本数越大，计算就越精确
例
• 用蒙特卡罗积分法求
•令
• p(x) 是标准正态分布的密度函数
• 使用蒙特卡罗积分法，按照标准正态分布在区间
抽样
, 取其平均值，就得到要求的积分值。当样本
例
• 假设每个单词只依赖于其前面出现的单词，也就是说单词序列具有马 尔可夫性， 那么可以定义一阶马尔可夫链，即语言模型，如下计算语 句的概率
• 这里第三个等式基于马尔可夫链假设。这个马尔可夫链中，状态空间 为词表，一个位置上单词的产生只依赖于前一个位置的单词，而不依 赖于更前面的单词。
• 以上是一阶 马尔可夫链，一般可以扩展到 n 阶马尔可夫链。
• 假设天气的变化具有马尔可夫性，即明天的天气只依赖于今天的 天气，而与昨天及以前的天气无关。
例
• 转移矩阵为
• 如果第一天是晴天的话，其天气概率分布（初始状态分布）如 下：
例
• 根据这个马尔可夫链模型，可以计算第二天、第三天及之后的天 气概率分布（状态 分布）
平稳分布
• 直观上，如果马尔可夫链的平稳分布存在，那么以该平稳分布作为初始分布，面 向未来进行随机状态转移，之后任何一个时刻的状态分布都是该平稳分布
MonteCarlo模拟教程
rand('seed',0.1);
rand(1) ％每次运ra行nd程('s序tat产e',s生um的(1值00*是clo相ck同)*r的and);
1901 3408
3.1415929
蒙特卡罗投点法是蒲丰投针实验的推广：
在一个边长为a的正方形内随机投点，
该点落在此正方形的内切圆中的概率 y
(a/2,a/2)
应为该内切圆与正方形的面积比值，
即 πa/22 : a2 π/4
n=10000; a=2; m=0; for i=1:n
ox
x=rand(1)*a; y=rand(1)*a;
举例
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮） 为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地 进行了伪装并经常变换射击地点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准 确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁 伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮．
Monte Carlo 模拟
内容提纲
➢1.引言 ➢2.Monte Carlo模拟基本思想 ➢3.随机数生成函数 ➢4.应用实例举例 ➢5.排队论模拟 ➢6.Monte Carlo模拟求解规划问题
Monte Carlo方法：
引言(Introduction)
蒙特卡罗方法，又称随机模拟方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四 十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。亦称统计模拟方法， statistical simulation method 利用随机数进行数值模拟的方法
Monte Carlo(蒙特卡洛方法)
P(n 1) U P(n)
则令 X取值
xn.
例1:
离散型随机变量X有如下分布律: X 0 1 2 P(x) 0.3 0.3 0.4 设 U1 ,U 2 ,,U 是 (0,1)上均匀分布的随机数,令 N
0, 0 U i 0.3 xi 1, 0.3 U i 0.6 2, 0.6 U i
ˆ f n ( A) 。 在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ fn ( A) 作为 的估计。根据大数定律，当 n 时， p p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 af成器的周期 长度是 10，而后两个生成器的周期长度只有 它的一半。我们自然希望生成器的周期越长 越好，这样我们得到的分布就更接近于真实 的均匀分布。
在给定 m 的情况下，生成器的周期与 a 和 初值 x0 (种子)选择有关。
线性同余生成器(混合同余法) (Linear Congruential Generator )
证明： 由 F 1 (U ) 的定义和均匀分布的分布函数可得： P ( X x) P ( F 1 (U ) x) P (U F ( x )) F ( x )
由定理 1 ，要产生来自 F ( x) 的随机数，只要先 产生来自U (0,1) 随机数 u ，然后计算 F 1 (u ) 即 可。具体步骤如下：
一般形式： xi 1 (axi c) mod m ui 1 xi 1 / m
1. c是非负整数.通过适当选取参数c可以改善 随机数的统计性质(独立性,均匀性).
2. 线性同余器可以达到的最长周期为 m 1 ，我们 可以通过适当的选择 m 和 a ，使无论选取怎样的 初值 x0 都可以达到最大周期(一般选取 m 为质数)
《蒙特卡罗方法》ppt课件
I
1 dx 0 1 x2
解：选择分布函数
(x) 1(42x)
3
y(x)
xHale Waihona Puke (x')dx'
4x
x2
0
3
x(y) 2 43y
1.3.3 Metropolis 算法
对积分区间的重要抽样要求我们获得x(y)，而这只对极少数的分 布 (x)可以解析地做到。
Metropolis 算法： 一种很普遍的产生具有任不测形的给定概率分布随机变量的方法。
r (Rt) 来决议是“接受〞还是“回绝〞这 (一R实n ) 验步．假设r大于l，那么接受这一步
(取Rn+1=Rt)；而假设r小于1，那么以概率r 接受这步．这时我们把r和一个 在[0，1]区间上均匀分布的随机数比较，假设 <r就接受这一步．假设这 一实验步不被接受，就舍弃它．而取Rn+1=Rn；这样产生出Rn+1之后，可 以从Rn+1出发迈出一个实验步按照同样的过程产生Rn+2，‘恣意’点R0都 可以用作随机行走的起点．
narea of yellowpart
N area of the square 4
4n N
圆周率的值
π = 3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 41 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 .....
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于模拟和估计复杂系统或过程的行为和特性。
它通过生成大量随机数，并利用这些随机数对系统进行多次模拟，从而获得系统的统计特征或输出结果。
蒙特卡洛仿真法的基本思想是基于概率分布的采样。
首先，需要确定系统中各个变量或参数的概率分布函数。
然后，通过随机生成符合这些概率分布的样本值，来代表系统在不同情况下的可能状态。
接下来，对每个生成的样本进行计算或模拟，得到相应的输出结果。
通过重复这个过程多次（通常是数千或数万次），可以获得大量的样本结果。
根据这些样本结果，可以计算出系统的统计指标，如均值、标准差、概率分布等，从而对系统的行为进行估计和预测。
蒙特卡洛仿真法的优点包括：
1. 能够处理复杂的系统和不确定性问题；
2. 可以提供系统的统计特征和概率分布信息；
3. 适用于难以通过解析方法求解的问题。
蒙特卡洛仿真法在许多领域都有广泛的应用，如金融工程、风险管理、物理科学、工程设计等。
它可以帮助决策者在不确定性环境下进行风险评估、优化设计和决策制定。
需要注意的是，蒙特卡洛仿真法的准确性和可靠性取决于所选择的概率分布函数、抽样次数以及对结果的统计分析方法。
在实际应用中，需要合理选择和验证这些参数和方法，以确保模拟结果的有效性和可靠性。
monto carlo仿真方法
monto carlo仿真方法蒙特卡洛仿真方法简介蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，用于解决复杂问题和评估不确定性。
它通过大量的随机抽样和模拟运算来近似计算数学问题的解决方案。
原理蒙特卡洛仿真方法基于概率统计理论和计算机模拟技术。
其主要思想是通过对模型中的随机变量进行抽样和模拟，计算大量的样本数据，从而得到目标问题的近似解。
步骤1.建立模型：首先需要将目标问题抽象成一个数学模型，明确问题的目标、约束和变量。
2.设定随机变量：为模型中的不确定变量设定随机分布，并生成大量的随机数。
3.进行抽样：根据设定的随机分布，抽取一定数量的随机数，并代入模型进行计算。
4.模拟运算：根据模型的计算规则，对每个随机数进行运算，得到相应的结果。
5.统计与分析：对得到的结果进行统计分析，得出问题的近似解、概率分布、置信区间等。
6.反馈与优化：根据分析结果，对模型进行优化和调整，进一步提高计算的准确性和效率。
应用领域蒙特卡洛仿真方法在各个领域都有广泛应用，包括但不限于： - 金融领域：用于风险评估、衍生品估值、投资组合优化等。
- 工程领域：用于可靠性分析、结构优化、系统建模等。
- 生物医学领域：用于药物研发、流行病传播模拟、生物统计等。
- 物理学领域：用于高能物理实验模拟、粒子轨迹模拟等。
优点与限制蒙特卡洛仿真方法具有如下优点： - 适用范围广，可以解决各种类型的问题； - 能够处理复杂和高维的问题； - 可以提供概率分布和置信区间等统计信息。
然而，蒙特卡洛仿真方法也有一些限制： - 需要大量的计算资源和时间； - 对模型中的不确定性敏感，需要合理设定概率分布； - 结果的准确性受到样本数量的限制。
总结蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，可以解决复杂问题和评估不确定性。
它通过随机抽样和模拟运算来近似计算问题的解决方案。
该方法在多个领域都有广泛应用，同时也具有一定的优点和限制。
通过合理的模型建立和参数设定，蒙特卡洛仿真方法可以成为解决实际问题的有力工具。
蒙特卡洛模拟方法在风险管理中的应用教程
蒙特卡洛模拟方法在风险管理中的应用教程蒙特卡洛模拟方法(Monte Carlo Simulation)是一种基于概率分析的统计技术，广泛应用于风险管理领域。
通过模拟随机变量的分布特征，可以帮助风险管理人员定量评估风险，制定合理的决策方案。
本文将详细介绍蒙特卡洛模拟方法在风险管理中的应用步骤和注意事项。
1. 确定风险管理的问题和目标:在应用蒙特卡洛模拟方法前，首先需要明确风险管理的问题和目标。
例如，我们希望评估某个投资组合在未来一年内的收益率风险，以便确定合理的投资策略。
2. 建立模型和假设:根据问题和目标，建立相应的模型并确定相关的假设。
例如，我们可以使用股票收益率的历史数据来构建收益率模型，并假设收益率服从正态分布。
3. 收集数据:获取必要的数据以支持模型的构建和分析。
数据可以来自历史统计数据、市场调研数据、专家判断等渠道。
确保数据的准确性和代表性是保证模拟结果可信度的关键。
4. 设定变量和参数:根据模型的需求，确定需要模拟的变量和参数。
例如，在投资组合风险评估中，我们可以将各个投资标的的收益率作为变量，并设定相应的投资比例作为参数。
5. 设定随机数生成方法:蒙特卡洛模拟方法依赖于随机数的生成。
根据模型的需要，选择合适的随机数生成方法。
常用的方法包括伪随机数生成器和随机数表格，确保生成的随机数满足模型所假设的分布特征。
6. 运行蒙特卡洛模拟:根据设定的变量、参数和随机数生成方法，运行蒙特卡洛模拟。
一般情况下，需要运行多次模拟以获取稳定的结果。
7. 分析和解读结果:根据模拟结果，进行相应的分析和解释。
可以通过绘制直方图、散点图、累积分布函数等图表，来帮助理解结果的分布情况和风险程度。
8. 风险度量和决策制定:根据模拟结果，进行风险度量和决策制定。
可以使用各种风险度量指标如价值-at-风险(Value-at-Risk)、杠杆率(Leverage)等，来评估风险的大小和分布情况。
根据这些度量结果，可以制定相应的风险管理策略和决策方案。
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Monte Carlo模拟
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2.Monte Carlo方法简史
Stanislaw Ulam (1909-1984)
S. Ulam is credited as the inventor of Monte Carlo method in 1940s, which solves mathematical problems using statistical sampling.
1
Monte Carlo模拟
第一章 引言 （Introduction)
1. 2. 3. 4. Monte Monte Monte Monte Carlo方法 Carlo方法简史 Carlo模拟的应用 Carlo算法的主要组成部分
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Monte Carlo模拟
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1.Monte Carlo方法
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Monte Carlo模拟
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2.Monte Carlo方法简史 Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估 计的值
L
d
p
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d
2L
Monte Carlo模拟
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2.Monte Carlo方法简史
Problem of Buffon’s needle: If a needle of length l is dropped at random on the middle of a horizontal surface ruled with parallel lines a distance d > l apart, what is the probability that the needle will cross one of the lines?
p
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0
l sin
0
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2l dAd d
Monte Carlo模拟 8
2.Monte Carlo方法简史 Enrico Fermi
• 1930年,利用Monte Carlo方法研究中子的扩散 • 并设计了一个Monte Carlo机械装置，Fermiac,用于计算核 反应堆的临界状态
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Monte Carrlo方法简史
Nicholas Metropolis (1915-1999)
The algorithm by Metropolis (and A Rosenbluth, M Rosenbluth, A Teller and E Teller, 1953) has been cited as among the top 10 algorithms having the "greatest influence on the development and practice of science and engineering in the 20th century."
Monte Carlo模拟
1. 引言(introduction) 2. 均匀随机数的产生(Random number generation) 3. 任意分布的随机变量的抽样 4. Monte Carlo积分法 5. 常用Monte Carlo模拟软件的使用
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Monte Carlo模拟
2019/4/15 Monte Carlo模拟 11
2.Monte Carlo方法简史
The Name of the Game
Metropolis coined the name “Monte Carlo”, from its gambling Casino.
Monte-Carlo, Monaco
• Monte Carlo方法：
亦称统计模拟方法（statistical simulation method）
一种采用统计抽样理论近似地求解物理或数学问 题的方法
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Monte Carlo模拟
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1.Monte Carlo方法
• 基本思想：
1. 建立与待解问题相似或相关联的概率模型或概率过程， 利用这种相似性把概率模型的某些特征量与待求解问题 的解联系起来： 概率模型： 随机事件的概率 随机变量的数学期望值
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Monte Carlo模拟
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2.Monte Carlo方法简史
Solution: • The positioning of the needle relative to nearby lines can be described with a random vector which has components:
待求解问题的解： 定积分的值
微分方程的解
2. 对概率模型进行随机模拟或统计抽样，用所得样本得到 这些特征量的估计值问题的近似解
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Monte Carlo模拟
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Monte Carlo模拟
第一章 引言 （Introduction)
1. 2. 3. 4. Monte Monte Monte Monte Carlo方法 Carlo方法简史 Carlo模拟的应用 Carlo算法的主要组成部分
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Monte Carlo模拟
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Monte Carlo模拟
第一章 引言 （Introduction)
1. 2. 3. 4. Monte Monte Monte Monte Carlo方法 Carlo方法简史 Carlo模拟的应用 Carlo算法的主要组成部分
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Monte Carlo模拟
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3.Monte Carlo模拟的应用
Monte Carlo模拟的应用： 自然现象的模拟： 宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程；
A [0, d )
[0, )
• The random vector is uniformly distributed on the region [0,d)×[0,). Accordingly, it has probability density function 1/d. • The probability that the needle will cross one of the lines is given by the integral