第1章 线性规划基本模型
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第一章 线性规划
(1-8)
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
线性规划模型
线性规划模型● 知道线性规划模型的一般形式● 知道什么是可行解、可行域、最优解、最优值 ● 会用图解法求解二个变量的线性规划问题● 会利用软件WINQSB 求线性规划问题的最优解、最优值 ● 会建立简单的线性规划问题● 知道什么是缩减成本、影子价格，会利用软件WINQSB 进行灵敏度分析一、基本概念1. 线性规划模型的一般形式可以表示为：目标函数 max (或min )=c l x 1+c 2x 2+ … + c n x n 。
约束条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ),(),(),(22112222212111212111或或或 非负条件： x 1≥0, x 2≥0, …, x n ≥0可简写为 max(或min)=∑=n j j j x c 1 约束条件： ∑=n j j ij x a1≤(或=，≥) b i ，i=1，2，…，m非负条件： x j ≥0，j=1，2，…，n目标函数中的系数c i , i=1,2, …，n , 常称为价值系数，它反映某种价值（如利润、收益或效益）；约束条件中的右端项bj ，j=1,2, …，m ，右端系数，它反映某种资源的限制（如劳动力、原材料等）；约束条件中的a ij 常称为技术系数。
一般，它们都是已知的常数。
2.一个线性规划问题有解，是指能找出一组x j（j=1，2，…，n），使其满足所有的约束条件和非负条件。
称任何一组这样的x j（j=1，2，…，n）是线性规划问题的一个可行解。
通常，线性规划问题含有多个可行解。
称全部可行解的集合为该线性规划问题的可行域。
使目标函数值达到最优的可行解称为该线性规划问题的最优解，最优目标函数值称为该线性规划问题的最优值。
对不存在可行解的线性规划问题，称该线性规划问题无解。
二、两个变量的线性规划问题的图解法图解法的步骤为：第1步：在平面上建立直角坐标系；第2步：图示约束条件和非负条件，找出可行域；第3步：图示目标函数，并寻找最优解。
第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
线性规划基本模型
n
max z c j x j j 1
n
aij x j bi
s.t.
j 1
xj
e
j
x
j
d
j
i 1, 2,L , m
j 1, 2,L , n j 1, 2,L , n
13
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2、产品配套模型
例1.2某厂生产一种部件，由3个A零件和5个B零件配套 组装成品。该厂有甲、乙、丙三种机床可加工A，B两种 零件，每种机床的台数，以及每台机床每个工作日全部 用于加工某一种零件的最大产量（即生产率：件/日）见 表1-2。则应如何安排生产？试建立其数学模型。
单耗/（工时/件）
甲
乙
1
0
0
2
C
2
3
利润/（1×100元/件） 3
2
设 x1, x2 分别为甲、乙产品的周产量（决策变量）
最大生产能力 /(工时/周)
6 8 18
z为这两种产品每周的总利润，则 z 3x1 2x2 0
式（0）称为目标函数，z为目标值
由于，z取值受限于x1, x2 ，而x1, x2 受限于A，B，C三个车
间的生产能力，则
1x1 0x2 6 0x1 2x2 8 2x1 3x2 18
①
②
约束条件
③
6
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1、资源分配模型
又因产量x1, x2 取值不能为负，则
x1 0, x2 0 ④ 非负性约束
上述函数约束和非负性约束，统称为约束条件或约束方程， 简称约束。
某企业拟将现有的 m 种资源（用 i =1,2，···，m 表示）投 入 n 项生产或商务活动（用 j=1，2，···，n表示）。其中第 i 种资源的数量为 bi，项目 j 每经营1个单位所创造的利润 （或价值）为 cj，所消耗的第 i 种资源的数量为aij。为履行 合同，项目 j 的经营数量至少为 ej；而市场调查，其最高需 求量为dj。试建立其数学模型。
第一章线性规划
所以运输问题的模型可记为 Min Z = 21x11 + 25x12 + 7x13 + 15x14 + 51x21 + 51x22 + 37x23 + 15x24 s.t.
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0（i = 1,2；j = 1,2,3,4）.
其中c =（c1,c2,…,cn）为行向量，称为价值向量，
a11 a A = 21 a m1 a12 a22 am 2
C
单500
75
解：(1) 确定决策变量：设x1，x2为下一个 生产周期产品甲和乙的产量；
(2) 所满足的约束条件:
对资源A的限制：3x1 + 2x2 ≤ 65 对资源B的限制：2x1 + x2 ≤ 40
对资源C的限制： 3x2 ≤ 75
基本要求：x1，x2 ≥ 0 ； (3) 明确目标函数: 获利最大，即求Z= 1500x1 + 2500x2的最大值，用 max表示最大值，s.t.（subject to的简写）表示约束条件，则该模型 可记为： max Z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x1 + x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 75
标准形式
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn (1.2a)
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0（i = 1,2；j = 1,2,3,4）.
其中c =（c1,c2,…,cn）为行向量，称为价值向量，
a11 a A = 21 a m1 a12 a22 am 2
C
单500
75
解：(1) 确定决策变量：设x1，x2为下一个 生产周期产品甲和乙的产量；
(2) 所满足的约束条件:
对资源A的限制：3x1 + 2x2 ≤ 65 对资源B的限制：2x1 + x2 ≤ 40
对资源C的限制： 3x2 ≤ 75
基本要求：x1，x2 ≥ 0 ； (3) 明确目标函数: 获利最大，即求Z= 1500x1 + 2500x2的最大值，用 max表示最大值，s.t.（subject to的简写）表示约束条件，则该模型 可记为： max Z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x1 + x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 75
标准形式
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn (1.2a)
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
第1章 线性规划-标准型和图解法
Y
x－y≥1
－ x+2y≤0
O A1 X
39
例
max z=x+2y s.t. － x+2y≥1 x+y≤ － 2 x、y ≥0
x+y≤ － 2
Y
－ x+2y≥1
O
X
40
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 无穷多最优解，无界界，无可行解； 无穷多最优解，无界界，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸 若线性规划问题可行域存在， 集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解 若线性规划问题最优解存在， 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标 解题思路是，先找凸集的任一顶点， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐 点转移，直到找到最优解。 点转移，直到找到最优解。
C(1,3) 2x+2y=8 B(3,1) 4x+12y=24
x=7
2 4 6 7 (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0)
43
22
例
max = − x − y x + y ≥ 2 s.t.x ≤ 3 x , y无约束
23
解：令
x,当x ≥ 0 x′ = 0,当x < 0
y,当y ≥ 0 y′ = 0, 当y < 0
0, 当x ≥ 0 x ′′ = − x, 当x < 0
0,当y ≥ 0 y′′ = − y, 当y < 0
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
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原料总费用 5x11 x21 x31 6x12 x22 x32 2x13 x23 x33
目标函数：总利润=总收益-原料总费用
8 x11 x12 x13 6 x21 x22 x23 3 x31 x32 x33 5 x11 x21 x31 -6 x12 x22 x32 -2 x13 x23 x33 =3x11 2 x12 6 x13 x21 4 x 23 2 x31 3x32 x33
20
2
1 0 2
0.2
3
0 2 1
0.3
4
0 1 2
1.0
5
0 0 4
0.6
2015年9月10日星期四
1 1 0
0.6
150 200 300
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截法j
一根原材所截各种用材的数量（根） 1 2 1 0 3 0 2 4 0 1 5 0 0
需求量/根
3、下料模型
总根数 则LP模型如下：
25
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4、配料模型
约束条件—原理供应约束
x11 x21 x31 100 x12 x22 x32 60 原料A 原料B
总收益
10 2x11 x12 x13 8 2x21 x22 x23 6 3x31 x32 x33
别为300元和200元。甲、乙产品的部件分别在A、B两个 车间生产，每件甲、乙产品的部件分别消耗A、B车间1、 2工时。两种产品的部件最后都要在C车间装配，装配每 件甲、乙产品分别消耗2工时和3工时。已知A，B，C三 个车间每周可用于这两种产品的最大生产能力分别为6工 时、8工时、18工时，则每周各生产甲、乙产品多少件？ 试建立该问题的数学模型。
A x11 x21 x31
B x12 x22 x32
C x13 x23 x33
24
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4、配料模型
约束条件—规格约束
x11 x12 0.5; 0.3; x11 x12 x13 x11 x12 x13 x21 x22 0.6; 0.2; x21 x22 x23 x21 x22 x23 x31 x33 0.4; 0.6; x31 x32 x33 x31 x32 x33
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2、产品配套模型
非线性约束等价转换
z 60 x11 75 x21 108 x31 / 3 z 80 x12 105 x21 120 x32 / 5 即 z 20 x11 25 x21 36 x31 0 z 16 x12 21x21 24 x32 0
投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大
劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要
运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
4
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1、资源分配模型
例1.1 某装配厂拟生产甲、乙两种新产品，每件利润分
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1、资源分配模型—小结
建立线性规划模型的一般步骤：
1.正确设立决策变量
设xj（j=1,2,· · · ,n）为项目j的经营数量。
2.恰当建立目标函数
n项经营活动的总利润（或总产值，总收入）为
z cj xj
j 1
（1）工时约束
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2、产品配套模型
（2）配套约束(表1.3)
表1-3 每台机床的生产率
机床种类
每种机床生产率/(件/日) A零件 B零件
甲
乙 丙
60
75 108
80
105 120
z min 60x11 75x21 108x31 3, 80x12 105x22 120x32 5
1. 决策变量：
设xij 表示机床i每个工作日加工零件j的时间（单位：工作日） i 1, 2,3; j 1, 2 ； z为A,B两种零件按3: 5的比例配套的数量（套 日）
2. 约束条件：
x11 x12 1 x21 x22 1 x31 x32 1
2015年9月10日星期四
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2015年9月10日星期四
1、资源分配模型—小结
小结：对于例题1.1的资源分配问题（经营规划问题），
一般可表述为：
某企业拟将现有的m种资源（用i=1,2，· · · ，m表示）投入n
项生产或商务活动（用j=1，2，· · · ，n表示）。其中第i种资 源的数量为bi，项目j每经营1个单位所创造的利润（或价值） 为cj，所消耗的第i种资源的数量为aij。为履行合同，项目j 的经营数量至少为ej；而市场调查，其最高需求量为dj。试 建立其数学模型。
产品 车间
单耗/（工时/件） 甲 乙 0 2 1 0
最大生产能力 /(工时/周) 6 8
1、资源分配模型
A B
C
利润/（1×100元/件）
2
3
3
2
18
设 x1, x2 分别为甲、乙产品的周产量（决策变量） z为这两种产品每周的总利润，则 式（0）称为目标函数，z为目标值
z 3x1 2x2
0
x1 0, x2 0 ④
非负性约束
上述函数约束和非负性约束，统称为约束条件或约束方程，
简称约束。 综上所述，例题1.1的数学模型简记如下：
max z 3 x1 2 x2 6 1x1 2 x2 8 s.t. 2 x1 3 x2 18 x , x 0 1 2
0
① ② ③ ④
2015年9月10日星期四
8
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1、资源分配模型—小结
由目标函数和约束方程构成的一组数学表达式，称为数
学规划（模型）； 若全为线性表达式，则称为线性规划（模型）； 若组中有一个或更多表达式非线性，则称为非线性规划 （模型）。
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用材 A（2.6） B（1.8） 余料/m 1 1 150 200
设xj表示第j种截法下料的根数（ j=1,2,3,4,5 0 2 1 2 ）， 4 z为下料 300 C（1.1）
0.6 0.2 0.3 1.0 0.6
min z x1 x2 x3 x4 x5 150 x1 x2 x 2 x3 x4 200 1 s.t. 2 x2 x3 2 x4 4 x5 360 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
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4、配料模型
例1.4 某食品厂拟用A，B两种紧俏原料和一种普通原料C，
加工制作甲、乙、丙三种食品。食品的规格、加工费、 销价，以及原料的购价、供量见表1-6。应如何为三种食 品配料？试建立其数学模型。
表1-6 原料 食品 甲 乙 丙 原料
购价 供量
食物规格（配用的原料所占比率）/% A
不少于50 不少于60 不少于40 5 100
食品 加工费 2 2 3 元/kg Kg/元
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B
不少于30 不少于20 不限 6 60
C
不限 不限 不多于60 2 不限
销价 10 8 6
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4、配料模型
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线性规划的三个要素
决策变量
决策问题待定的量值 取值要求非负
约束条件
任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解 把各种限制条件表示为一组等式或不等式称约束条件 约束条件是决策方案可行的保障 约束条件是决策变量的线性函数
目标函数
衡量决策优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小
需求量/根 150 200 360
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3、下料模型
解：首先需要找出全部省料截法(见表1-5) 。 （所谓省料截法，这里指一个原材截后的余料长度小于最短的 用材C的长度的各种截法）
表1-5 截法j 用材 一根原材所截各种用材的数量（根） 需求量/根
1
A（2.6） B（1.8） C（1.1） 余料/m
nห้องสมุดไป่ตู้
3. 适度构建约束方程
（1）合同约束
x j ej
xj d j
j 1,2,, n
j 1,2,, n
bi
（2）需求约束
（3）资源约束
a x
j 1 ij
n
j
i 1, 2,, m
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1、资源分配模型—小结
综上所述可得LP模型如下：
n
max z c j x j
j 1
n aij x j bi j 1 s.t. x j e j x j d j
i 1, 2, , m j 1, 2, , n j 1, 2, , n
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2、产品配套模型
目标函数：总利润=总收益-原料总费用
8 x11 x12 x13 6 x21 x22 x23 3 x31 x32 x33 5 x11 x21 x31 -6 x12 x22 x32 -2 x13 x23 x33 =3x11 2 x12 6 x13 x21 4 x 23 2 x31 3x32 x33
20
2
1 0 2
0.2
3
0 2 1
0.3
4
0 1 2
1.0
5
0 0 4
0.6
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1 1 0
0.6
150 200 300
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截法j
一根原材所截各种用材的数量（根） 1 2 1 0 3 0 2 4 0 1 5 0 0
需求量/根
3、下料模型
总根数 则LP模型如下：
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4、配料模型
约束条件—原理供应约束
x11 x21 x31 100 x12 x22 x32 60 原料A 原料B
总收益
10 2x11 x12 x13 8 2x21 x22 x23 6 3x31 x32 x33
别为300元和200元。甲、乙产品的部件分别在A、B两个 车间生产，每件甲、乙产品的部件分别消耗A、B车间1、 2工时。两种产品的部件最后都要在C车间装配，装配每 件甲、乙产品分别消耗2工时和3工时。已知A，B，C三 个车间每周可用于这两种产品的最大生产能力分别为6工 时、8工时、18工时，则每周各生产甲、乙产品多少件？ 试建立该问题的数学模型。
A x11 x21 x31
B x12 x22 x32
C x13 x23 x33
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4、配料模型
约束条件—规格约束
x11 x12 0.5; 0.3; x11 x12 x13 x11 x12 x13 x21 x22 0.6; 0.2; x21 x22 x23 x21 x22 x23 x31 x33 0.4; 0.6; x31 x32 x33 x31 x32 x33
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2、产品配套模型
非线性约束等价转换
z 60 x11 75 x21 108 x31 / 3 z 80 x12 105 x21 120 x32 / 5 即 z 20 x11 25 x21 36 x31 0 z 16 x12 21x21 24 x32 0
投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大
劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要
运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
4
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1、资源分配模型
例1.1 某装配厂拟生产甲、乙两种新产品，每件利润分
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1、资源分配模型—小结
建立线性规划模型的一般步骤：
1.正确设立决策变量
设xj（j=1,2,· · · ,n）为项目j的经营数量。
2.恰当建立目标函数
n项经营活动的总利润（或总产值，总收入）为
z cj xj
j 1
（1）工时约束
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2、产品配套模型
（2）配套约束(表1.3)
表1-3 每台机床的生产率
机床种类
每种机床生产率/(件/日) A零件 B零件
甲
乙 丙
60
75 108
80
105 120
z min 60x11 75x21 108x31 3, 80x12 105x22 120x32 5
1. 决策变量：
设xij 表示机床i每个工作日加工零件j的时间（单位：工作日） i 1, 2,3; j 1, 2 ； z为A,B两种零件按3: 5的比例配套的数量（套 日）
2. 约束条件：
x11 x12 1 x21 x22 1 x31 x32 1
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1、资源分配模型—小结
小结：对于例题1.1的资源分配问题（经营规划问题），
一般可表述为：
某企业拟将现有的m种资源（用i=1,2，· · · ，m表示）投入n
项生产或商务活动（用j=1，2，· · · ，n表示）。其中第i种资 源的数量为bi，项目j每经营1个单位所创造的利润（或价值） 为cj，所消耗的第i种资源的数量为aij。为履行合同，项目j 的经营数量至少为ej；而市场调查，其最高需求量为dj。试 建立其数学模型。
产品 车间
单耗/（工时/件） 甲 乙 0 2 1 0
最大生产能力 /(工时/周) 6 8
1、资源分配模型
A B
C
利润/（1×100元/件）
2
3
3
2
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设 x1, x2 分别为甲、乙产品的周产量（决策变量） z为这两种产品每周的总利润，则 式（0）称为目标函数，z为目标值
z 3x1 2x2
0
x1 0, x2 0 ④
非负性约束
上述函数约束和非负性约束，统称为约束条件或约束方程，
简称约束。 综上所述，例题1.1的数学模型简记如下：
max z 3 x1 2 x2 6 1x1 2 x2 8 s.t. 2 x1 3 x2 18 x , x 0 1 2
0
① ② ③ ④
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1、资源分配模型—小结
由目标函数和约束方程构成的一组数学表达式，称为数
学规划（模型）； 若全为线性表达式，则称为线性规划（模型）； 若组中有一个或更多表达式非线性，则称为非线性规划 （模型）。
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用材 A（2.6） B（1.8） 余料/m 1 1 150 200
设xj表示第j种截法下料的根数（ j=1,2,3,4,5 0 2 1 2 ）， 4 z为下料 300 C（1.1）
0.6 0.2 0.3 1.0 0.6
min z x1 x2 x3 x4 x5 150 x1 x2 x 2 x3 x4 200 1 s.t. 2 x2 x3 2 x4 4 x5 360 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
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4、配料模型
例1.4 某食品厂拟用A，B两种紧俏原料和一种普通原料C，
加工制作甲、乙、丙三种食品。食品的规格、加工费、 销价，以及原料的购价、供量见表1-6。应如何为三种食 品配料？试建立其数学模型。
表1-6 原料 食品 甲 乙 丙 原料
购价 供量
食物规格（配用的原料所占比率）/% A
不少于50 不少于60 不少于40 5 100
食品 加工费 2 2 3 元/kg Kg/元
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B
不少于30 不少于20 不限 6 60
C
不限 不限 不多于60 2 不限
销价 10 8 6
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4、配料模型
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线性规划的三个要素
决策变量
决策问题待定的量值 取值要求非负
约束条件
任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解 把各种限制条件表示为一组等式或不等式称约束条件 约束条件是决策方案可行的保障 约束条件是决策变量的线性函数
目标函数
衡量决策优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小
需求量/根 150 200 360
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3、下料模型
解：首先需要找出全部省料截法(见表1-5) 。 （所谓省料截法，这里指一个原材截后的余料长度小于最短的 用材C的长度的各种截法）
表1-5 截法j 用材 一根原材所截各种用材的数量（根） 需求量/根
1
A（2.6） B（1.8） C（1.1） 余料/m
nห้องสมุดไป่ตู้
3. 适度构建约束方程
（1）合同约束
x j ej
xj d j
j 1,2,, n
j 1,2,, n
bi
（2）需求约束
（3）资源约束
a x
j 1 ij
n
j
i 1, 2,, m
2015年9月10日星期四
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1、资源分配模型—小结
综上所述可得LP模型如下：
n
max z c j x j
j 1
n aij x j bi j 1 s.t. x j e j x j d j
i 1, 2, , m j 1, 2, , n j 1, 2, , n
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2、产品配套模型