非平衡态统计力学
统计力学导论
统计力学导论统计力学导论是物理学中的一门重要课程，它研究的是大量粒子系统的统计规律。
通过统计力学，我们能够更好地理解和描述宏观世界中的各种现象，如气体的行为、相变现象、热力学性质等。
本文将围绕统计力学导论展开探讨，介绍其基本概念、原理及应用。
一、统计力学的基本概念统计力学是基于统计的方法研究大量粒子系统的物理学分支。
它将微观粒子的运动状态和宏观物理量之间建立了联系，通过统计的手段分析和描述系统的行为。
统计力学的基本概念有：微观状态、宏观状态、概率分布、平衡态等。
微观状态是指系统中每个粒子的位置和动量所组成的集合，它是描述系统的最基本的状态。
而宏观状态则是指系统的宏观物理量，如温度、压强等。
统计力学通过概率分布函数描述系统处于各种不同微观状态的概率，从而推导系统宏观物理量的统计规律。
在平衡态下，系统的宏观物理量不随时间变化，此时统计力学可以给出系统的热力学性质。
二、统计力学的基本原理统计力学的基本原理主要有热力学极限和统计平均两个方面。
热力学极限是指粒子数极大、体积极大的系统，即宏观系统。
在这种情况下，统计力学可以给出系统的热力学性质，如压强、温度等。
统计平均是指对系统的微观状态进行统计，通过对微观状态的平均值进行计算，得到系统的宏观物理量。
这里需要注意的是，统计平均是基于统计的概率分布函数进行计算的。
三、统计力学的应用统计力学在物理学的各个领域都有广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用领域。
1.热力学性质的研究：统计力学可以给出系统的热力学性质，如压强、温度、熵等。
通过统计力学的方法，我们可以更好地理解和描述热力学性质的变化规律。
2.相变现象的研究：相变是物质由一种相态转变为另一种相态的过程。
统计力学可以描述相变的发生条件和相变的类型，如固液相变、液气相变等。
通过对相变的研究，我们可以深入理解物质的性质和行为。
3.非平衡态统计物理：非平衡态统计物理研究的是系统远离平衡态时的行为。
例如，涉及到非平衡态的物理过程有扩散、传导、输运等。
大学热力学与物理统计课件-第六章非平衡态统计初步课件
T
由温度决定， 与压强无关。
单位时间内的分子平均碰撞次数
πd 2 vr 2v
v T
0
1 T
2nπd 2 v
两次连续碰撞的平均时间间隔
1 2nπd 2 v
0
初级输运理论结果 1 nmvl
3
l v 0 平均自由程
nm0 vx2
1 2
mvx2
1 3
1 2
f
f 0 0vx
f 0 vy
dv0 dx
px0y
mvxvy
f
0dvxdvydvz
0
pxy
px1y
dv0 dx
0
mvx2vy
f 0 vy
d
pxy
dv0 dx
m 0
vx2vy
f 0 vy
f
f 0
0
§6.2 气体的粘滞现象
粘滞系数
y
负方气体通过单位面 积对正方气体的作用 力——粘滞力
pxy
dv0 dx
v0 x 沿 x 正向的动量（y 分量）流密度
两侧分子具有不同的平均动量，穿过
x 平面到达另一侧时，导致净的动量输
x0
运。
单位时间内，通过单位面积的速度为 v 的 1 分子位于一柱体内。
电导率
能量流密度 温度
q T
导热系数
质量流密度
扩散——物质输运 j = D
密度 扩散系数
粘滞——动量输运 动量流密度正比于宏观速度负梯度
统计力学中的热平衡状态与非平衡态
统计力学中的热平衡状态与非平衡态统计力学是物理学的重要分支，研究微观粒子的统计性质以及宏观物质的热力学性质。
在统计力学中，热平衡态与非平衡态是两个关键概念，对于理解物质的行为和性质具有重要意义。
一、热平衡态热平衡态是指一个系统内部的各个部分以及系统与外界之间达到了热力学平衡状态。
在热平衡态下，系统内部的各个粒子之间的能量分布是均匀的，不存在能量的净流动。
此外，热平衡态还满足热力学的宏观观察量的各种守恒定律，比如温度、压力和体积等参数都保持不变。
在统计力学中，我们可以通过热力学的统计性质来描述热平衡态。
熵是一个重要的热力学量，它可以反映系统的混乱程度。
对于一个处于热平衡态的系统，熵达到了最大值，即系统处于最大的混乱状态。
热平衡态的一个重要特征是细致平衡。
细致平衡是指系统内部的微观粒子之间达到了稳定状态，不存在能量的净流动。
这种平衡是基于统计的，即系统中各个微观粒子间的相互作用和碰撞导致能量达到均衡分布。
细致平衡是统计力学研究热平衡态的基础。
二、非平衡态与热平衡态相对应的是非平衡态。
非平衡态是指系统内部的各个部分以及系统与外界之间没有达到热力学平衡的状态。
在非平衡态下，系统内部存在能量的净流动，系统各个部分之间的能量分布不均匀。
非平衡态的出现往往与外界对系统施加的不平衡力有关。
比如，在一个封闭的容器中，如果在一个侧壁上加热，则系统将会出现非平衡态，因为能量从侧壁传递到其他部分，导致系统内部的能量分布不均匀。
统计力学在非平衡态研究中发挥着重要的作用。
通过建立统计模型，我们可以描述非平衡态下各个参数的变化规律。
比如，通过输运理论，可以研究非平衡态下的电导率、热导率等物理量。
这些研究对于理解物质的输运性质以及材料的导热性能具有重要意义。
三、热平衡态与非平衡态的联系热平衡态和非平衡态虽然在热力学性质上有所差异，但它们之间并非是绝对的对立关系。
实际上，在一个复杂的实际系统中，热平衡态和非平衡态常常是相互转化的。
组合数学和统计力学中的前沿课题
组合数学和统计力学中的前沿课题组合数学和统计力学是两个相对独立的学科，但是它们在许多地方都有交叉点。
组合数学，是研究离散问题的数学分支，而统计力学，则是研究微观粒子的运动规律，以及由此所导致的宏观状态的数学方法。
本文将从两个学科的角度出发，介绍组合数学和统计力学的前沿课题，并阐述它们之间的关系。
一、组合数学前沿课题1.图论图论是组合数学的一个重要领域，它研究的是图和网络结构的特征和性质。
现在，图论已经成为了许多应用领域中的核心工具，如计算机科学和统计学。
最近的研究重点主要集中在图的极端性质上，这包括和二元分析相关的问题，如计数、封锁和间隙等。
2.排列组合设计排列组合设计是子集设计和优化的研究领域，它主要研究如何构造最佳的样本来检验和优化物理实验和计算机模拟。
在实际应用中，排列组合设计还可以被用于测试嵌入式系统和软件系统的正确性和可靠性。
3.密码学密码学是一门研究安全通信的学科，它通常与数论、代数学和信息论等领域相结合。
最近的密码学研究主要关注于量子密码的创新和发展，以及相应的量子信息理论研究。
二、统计力学前沿课题1.反常扩散反常扩散是一种现象，它涉及到复杂介质的普遍行为。
反常扩散现象在生物学、物理学和化学等领域中广泛存在，并且其研究对解决实际问题具有非常重要的意义。
近年来，反常扩散的理论分析和数值模拟方面的研究，得到了很多学者的关注。
2.非平衡态统计力学非平衡态统计力学是一种新兴的统计力学研究领域，它主要研究非平衡态系统中的动力学和相变等问题。
由于非平衡态系统的动力学行为和宏观守恒方程的解析解之间存在很大的差距，这使得非平衡态统计力学成为了目前热门的研究领域之一。
3.复杂网络模型在统计力学中，复杂网络模型是一种非常有盼头的研究领域，它主要研究由节点和边组成的复杂网络结构，以及网络结构和功能之间的关系。
复杂网络模型的研究涉及统计物理、计算机科学、社会学和生物学等多个领域，其中最重要的是网络科学。
三、组合数学和统计力学的关系组合数学和统计力学是两个独立的学科，但是它们有很多相同之处。
非平衡统计物理
非平衡统计物理
非平衡统计物理是研究非平衡态统计规律的一门学科，它的研究对象包括固体、液体和气体等各种物质。
在非平衡态下，热力学量不再具有平衡态的性质，例如温度、压力、能量等，而是会出现随时间变化的复杂行为。
因此，非平衡统计物理在现代物理学中占据了重要地位。
研究非平衡态下的固体材料，需要考虑如何描述固体的应变和应力之间的关系。
非平衡态下，固体的应变和应力之间存在远离平衡态的非线性关系。
这些非线性关系可以用应变速率和应力张量表示，表明非平衡态下固体材料的物理行为是非常复杂的。
液体和气体的非平衡统计物理研究主要是关于非平衡态下的输运问题。
液体和气体中的分子在非平衡态下具有不同的速度分布，这些速度分布可以通过输运方程描述。
液体和气体中的分子之间存在相互作用，这些相互作用会导致分子的速度分布出现非平衡现象。
在非平衡态下，物质的输运性质也会发生变化。
例如，固体的热导率、液体的粘度和气体的导热性等都会受到非平衡态的影响而发生变化。
因此，非平衡统计物理的研究可以为材料科学、天体物理学和生物物理学等领域提供了很多有价值的理论工具。
总之，非平衡统计物理研究对于我们理解物质在非平衡态下的行为和性质具有重要意义。
目前，随着计算机技术的不断发展，非平衡统计物理研究也得到了快速发展，并在很多领域得到了广泛应用。
热力学中的非平衡态系统
热力学中的非平衡态系统热力学是物理学中的一个重要分支，主要研究能量转换和工作性能。
通常我们所熟悉的热力学系统是处于平衡态的，即系统物理量不随时间改变，并且系统内部各部分之间的温度、压力、浓度等物理量相等。
然而，实际生活中，非平衡态系统也是非常常见的，它在自然界和人类活动中起着重要的作用。
什么是非平衡态系统呢？简单来说，非平衡态系统是指系统中各部分存在着梯度，即物理量在空间或时间上分布不均匀的情况。
这种分布不均匀可能是由外部条件或内部不稳定性造成的。
非平衡态系统与平衡态系统相比，具有更多的不确定性和复杂性。
非平衡态系统的例子在我们的生活中随处可见。
比如，当你在一杯热咖啡中加入冰块时，咖啡的温度会随着时间的推移而变化。
最初，热咖啡和冰块之间存在温度差，随着时间的推移，系统逐渐趋于热平衡，最终温度会趋于均匀。
又如，生物体内的新陈代谢过程也是一个非平衡态系统。
人体通过摄取食物来获得能量，并通过各种化学反应进行能量转换，从而保持身体机能的正常运作。
非平衡态系统的研究对于理解自然界和改善技术应用具有重要意义。
然而，由于非平衡态系统的复杂性，其研究也面临着许多挑战。
其中一个重要的挑战是如何描述非平衡态系统的演化和动力学过程。
在热力学中，我们通常使用平衡态统计物理学来描述热力学系统的性质。
然而，对于非平衡态系统来说，平衡态统计物理学的假设不再成立。
因此，我们需要发展新的理论和方法来描述非平衡态系统。
一种常用的方法是非平衡态统计物理学。
非平衡态统计物理学是研究非平衡态系统的统计性质和动力学过程的理论框架。
它基于平衡态统计物理学，但在处理非平衡态系统时引入了新的概念和方法。
例如，非平衡态系统的演化可以通过描述系统接近热平衡态的过程来近似。
这种描述可以通过统计物理学中的概率分布函数来实现。
在非平衡态统计物理学中，我们通常使用玻尔兹曼方程来描述非平衡态系统的演化。
玻尔兹曼方程是一个描述粒子分布随时间变化的偏微分方程。
它将时间演化和空间分布联系起来，可以描述系统中的粒子运动和相互作用。
弛豫动力学和非平衡态物理学的理论和实验
弛豫动力学和非平衡态物理学的理论和实验弛豫动力学和非平衡态物理学是物理学中两个重要的研究领域。
弛豫动力学主要关注系统在受到扰动后的恢复过程，而非平衡态物理学研究系统在远离热平衡状态下的行为。
本文将探讨这两个领域的理论和实验研究。
一、弛豫动力学的理论弛豫动力学研究的是系统在受到外界扰动后的恢复过程。
该理论的核心是弛豫时间，即系统从初始非平衡态恢复到平衡态所需的时间。
弛豫时间与系统的复杂性以及外界扰动的程度有关。
在弛豫动力学的研究中，常用的理论模型包括指数衰减模型、洛伦兹模型和高斯模型等。
这些模型可以描述不同类型的弛豫过程，如指数衰减过程、振荡过程以及受到尖峰扰动的过程等。
在实际应用中，弛豫动力学的理论在化学、材料科学和生物学等领域起着重要作用。
例如，在化学反应动力学中，弛豫时间可以用来描述反应的速率以及反应机理。
在材料科学中，弛豫时间可以用来评估材料的稳定性。
在生物学中，弛豫时间可以用来研究生物分子的构象动力学。
二、弛豫动力学的实验研究为了实验研究弛豫动力学，科学家们提出了多种实验技术和方法。
其中，常用的方法包括时间分辨光谱学、磁共振技术、超快激光技术和扫描电子显微镜等。
时间分辨光谱学是一种常用的实验手段，它通过记录系统受到扰动后的吸收或发射光谱的变化来研究弛豫过程。
该技术可以提供关于弛豫时间和弛豫过程的详细信息。
磁共振技术则可以用来研究自旋系统在受到扰动后的弛豫过程。
超快激光技术是近年来发展起来的一种高时间分辨率实验技术。
它可以通过控制激光脉冲时间结构，将实验时间缩短到飞秒或皮秒的量级。
这样，科学家们可以更加精确地观察物质在受到扰动后的弛豫过程。
扫描电子显微镜是一种可以提供高分辨率图像的实验技术。
通过在扫描电子显微镜中加入适当的扰动，可以观察到材料的表面弛豫过程。
这种方法对于研究纳米材料的弛豫动力学具有重要意义。
三、非平衡态物理学的理论非平衡态物理学研究的是系统在远离热平衡状态下的行为。
在平衡态下，物质系统可以通过热传导、粒子扩散等方式实现自己的平衡。
统计物理学的基本理论和研究方法
统计物理学的基本理论和研究方法统计物理学是物理学中的一个分支，它研究大量微观粒子的集体行为。
统计物理学的基本理论是基于概率统计理论的，它使用统计方法来研究物质的宏观性质，例如温度，热容，磁矩等。
统计物理学的基本理论主要包括分布函数、平衡态和非平衡态统计物理学、统计力学和热力学等。
接下来，我们将分别介绍这些理论的具体内容。
分布函数是统计物理学中最基本的概念之一。
它描述了物质中粒子在不同能级上的分布情况。
在统计物理学中，我们通常使用玻尔兹曼分布或费米-狄拉克分布来描述粒子在热力学平衡态下的分布情况。
在非平衡态下，我们则使用Boltzmann-Langevin方程来描述动力学演化过程。
平衡态和非平衡态统计物理学是统计物理学中的重要分支。
平衡态统计物理学研究的是热力学平衡态下的统计物理问题，例如气体的状态方程、热传导等。
而非平衡态统计物理学则研究的是非平衡态下的统计物理问题，例如介观尺度的热力学、流体力学和统计力学的非平衡动力学等。
非平衡态统计物理学是一个相对年轻的领域，它对于我们理解自然界现象的非平衡性质具有非常重要的作用。
统计力学是统计物理学的重要工具之一。
它利用微观粒子的统计信息来推导出宏观物理量的表达式。
在统计力学中，我们使用的最基本的方法是配分函数方法。
我们通过对分子在各能级上的分布函数进行统计，可以得到这些分子所具有的内能、熵、自由能等重要性质。
热力学是统计物理学的重要分支之一，它研究的是物质之间的能量转化问题。
热力学是一个从经验中发展而来的学科，它通过对实验事实的总结和归纳，建立了一套相对完备的理论体系。
在热力学中，我们通常使用热力学第一定律和第二定律来描述物质的能量转化规律。
在统计物理学的框架下，我们可以以分布函数的形式表达出热力学第一定律和第二定律，从而更好地理解物质的能量转化问题。
综上所述，统计物理学是物理学中非常重要的一门学科，它研究的是物质的宏观性质与微观粒子的行为之间的关系。
统计物理学的基本理论包括分布函数、平衡态和非平衡态统计物理学、统计力学和热力学等。
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42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质华东理工大学化学系 胡 英42.1 引 言当浓度、温度、或流体的运动速度在空间分布不均匀时，系统处于非平衡态，将产生物质、热量或动量的传递。
其他如电磁辐射的吸收、光的弹性散射、准弹性散射和非弹性散射、中子散射、介电弛豫和分子光谱等，都涉及非平衡态。
实际过程的产生均起源于非平衡态。
随时间流逝由非平衡态趋向平衡态是所有实际过程的共同特征。
在分子水平上研究非平衡态的特点，将微观的分子性质与宏观的非平衡态的性质联系起来，是非平衡态统计力学的任务。
非平衡态统计力学与平衡态统计力学的区别在于，前者引入了时间。
迄今已发展了两种基本的方法，一是含时分布函数的方法，二是时间相关函数的方法。
在本章中将主要介绍前者，并应用于稀薄流体的传递现象。
下一章将讨论布朗运动，一方面由于它本身的重要性，也为进一步研究稠密流体打下基础。
接着在44章中介绍时间相关函数，并联系稠密流体的传递过程。
最后在51章介绍动态光散射的理论，它是时间相关函数的又一重要应用。
非平衡态统计力学在数学处理上比平衡态的要复杂得多。
作为入门，我们将推导大都略去，而将重点放在物理概念的阐述上。
本章将从定义含时分布函数开始，然后将通量与分布函数联系起来。
接着是最核心的内容，即建立Boltzmann 方程，并介绍Chapman-Enskog 理论，由于引入分子混沌近似，因而可以根据分子的位能函数求得分布函数，进而得到传递性质。
最后简要介绍一些进一步的处理方法。
42.2含时分布函数在《物理化学》13.7.2中曾为平衡态定义了N 重标明分布函数),...,,(21)(N N P r r r ，它是确定了所有N 个标明了序号的分子的位置N r r ,...,1时的概率密度。
如果只确定了N 个分子中的h 个(例如h =2)的位置，其它N −h 个分子的位置随意，其概率密度称为h 重标明分布函数42-2 42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质),...,,(21)(h h P r r r 。
如果粒子不可区分，相应有N 重分布函数和h 重分布函数),...,,(21)(N N r r r ρ和),...,,(21)(h h r r r ρ，它们与相应标明分布函数的关系为： ),...,,()!(!),...,,(21)(21)(h h h h P h N N r r r r r r −=ρ (42-1) 如果h =N ，可得),...,,(21)(N N r r r ρ=N !),...,,(21)(N N P r r r 。
分布函数原则上可由分子的性质（位能函数）通过求解积分方程得到，并进而由能量方程、压力方程和压缩性方程得到所有的热力学性质包括状态方程。
在研究非平衡态时，也有相应的标明分布函数和分布函数，后者的符号按惯例改用f 。
与平衡态时的区别在于，在变量中要引入时间。
为更完整地确定粒子所处的状态，通常除位置i r 外，还要指明动量i p 。
相应于式(42-1)，对非平衡态有： ),,()!(!),,()()(t P h N N t f h h h h h h p r p r −= (42-2) 式中h r 和h p 分别是h r r r ,...,,21和h p p p ,...,,21的简写。
为与平衡态的相区别，)(h P 和)(h f 可分别称为h 重含时标明分布函数和h 重含时分布函数，它们是在t 时刻确定了h 个标明序号或不可区分的分子的位置和动量时的概率密度，其它N −h 个分子的位置和动量则随意。
含时的标明分布函数和分布函数有如下重要性质：1d d ),,()(=∫∫N N N N N t P p r p r L (42-3)!d d ),,()(N t f N N N N N =∫∫p r p r L (42-4)1d d ),,()(=∫∫h h h h h t P p r p r L (42-5))!/(!d d ),,()(h N N t f h h h h h −=∫∫p r p r L (42-6)N-h N-h N N N h h h t P t P p r p r p r d d ),,(),,()()(∫∫=L (42-7) N-h N-h N N N h h h t f h N t f p r p r p r d d ),,()!(1),,()()(∫∫−=L (42-8)式中h r d 和h p d 分别是h r r d ...d 1和h p p d ...d 1的简写，N-h r d 和N-h p d 分别是N N-h r r d ...d 和N N-h p p d ...d 的简写。
式(42-3,4,5,6)是归一化要求，式(42-7,8)则是由高重函数计算低重函数。
最常用的是一重和二重分布函数，按归一化要求有：42.3 稀薄流体中通量与分布函数的关系 42–3N t f =∫∫p r p r d d ),,()1( (42-9) ∫∫∫∫−=)1(d d d d ),,,(21212121)2(N N f p p r r p p r r(42-10) 如果知道N 重分布函数，任意性质F 随时间变化的系综平均值可按下式求得： N N N p r p r d d ),,(!1)()(∫∫⋅⋅⋅=t f F N t F N N (42-11) 式中除以N !是归一化要求，见式(42-4)。
但是)(N f 通常是不知道的，而实际上，许多情况下，只要有)1(f 和)2(f 就足以求得可靠的系综平均值。
对于稀薄流体，由于分子间的相关性很小，只要考虑)1(f已足够准确，另一方面，速度u 比动量p 更为常用，此时，可用位置-速度相空间(r ，u )，相应有),,()1(t fu r 。
对于任一性质F ，式(42-11)变为 u r u r d d ),,(1)()1(∫=t f F Nt F (42-12) 如果仅取速度平均值，则有 )(d ),,(d ),,(d ),,(),()1()1()1(t t f F t f t f F t F r,u u r u u r u u r r ρ∫∫∫== (42-13) 式中)(t r,ρ＝u u r d ),,()1(∫t f ，为t 时刻在位置r 处的局部数密度。
42.3 稀薄流体中通量与分布函数的关系平均速度 按式(42-13)，在t 时刻位置r 处的平均速度为)(d ),,(),()1(t t f t r,u u r u r u ρ∫= (42-14) 如果是多组分系统，对某一组分j ，相应的j 类分子的平均速度为 )t (d ),,(),()1(r,u u r u r u j j j j j j t f t ρ∫= (42-15) )1(j f 和j ρ是j 类分子的一重分布函数和局部数密度。
j u 代表j 类分子的宏观流动。
整个系统的质量速度按下式计算： ∑∑=j j j j j jj m m t ρρu r u ),(0(42-16)42-4 42 非平衡态统计力学，稀薄流体的传递性质它又称为流速(flow velocity)，j m 是j分子的质量。
特定速度(peculiar velocity)符号用R u ，定义为0def u u u −==R (42-17)式中0u 即),(0t r u 。
特定速度是相对于整体的质量速度的相对速度。
通量与分布函数 对于任意分子性质F ，例如分子的质量、动量或能量，它的通量即单位时间通过单位面积的数量。
设在空间某位置r 处有一微元面积d A ，见图42-1，其法线方向的基矢为n ，它以流速0u 在运动着。
当该处j 类分子的速度为j u ，特定速度为u Rj ，它与n 的夹角为θ，θcos Rj Rj u u n =⋅（矢量点积得标量），则在d t 时间内，在微元体积θcos d d A t Rj u 中，速度为j j j u u u d ~+的j 类分子，可以通过运动着的d A ，j 分子数为 )(d d d ),,(cos d d d ),,(d d ),,()1()1()1(Rj j j j Rj j j j j j j A t t f A t t f t f u n u u r u u u r r u u r ⋅==θ(42-18)将此式对所有可能的速度j u 进行积分，乘以j 分子的性质j F ，即为该性质的总通过量，除以A t d d 即为j F 的通量，j F 的通量=Rj j j j j j Rj j F t f F u n u u r u n ⋅=⋅∫ρd ),,()1( (42-19) 式中第二步用到式(42-13)，积分即Rj j F u 的系综平均值乘以局部数密度j ρ，注意F j 的通量和j ρ均为r 和t 的函数，前者还和d A 的取向有关。
通量矢量(flux vector) 性质F j 的通量矢量符号用F j ，定义为 Rj j j F u F j ρdef== (42-20) 它仅决定于r 和t ，与流动微元面积d A 的取向无关，F j 在任何表面的分量表达了性质F j 在该方向的通量。
例如点乘n ，见式(42-19)，即表示在法线方向为n 的平面上的通量。
正是F j ，将通量与分布函数)1(f联系起来，分布函数隐藏于系统平均值之中。
图42-1 通量与特定速度42.3 稀薄流体中通量与分布函数的关系 42–5物质通量 令j j m F =，为j 分子的质量，物质通量和物质通量矢量符号分别用j j 和j j ，可写出 Rj j j j m j u n ⋅=ρ ， Rj j j j m u j ρ= (42-21)动量通量 令R m F u =，为分子的动量，动量通量和动量通量矢量符号分别用P 和p ，这里略去了下标j ，表示只有一种分子。
可写出 R R m u u n P ⋅=ρ ， R R m u u p ρ= (42-22)由于R R u u 是矢量的直积，是张量，矢量与张量的点积得矢量①，因此动量通量P 是矢量，动量通量矢量p 则是一个张量。
按牛顿力学，单位面积上动量随时间的变化即压力（注意这是动能的贡献，如果是稠密流体，还要计及分子间力的贡献），因此p 又称为压力张量，它有九个元素或分量，⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=222Rz Ry Rz Rx Rz Rz Ry Ry Rx Ry Rz Rx Ry Rx Rx u m u u m u u m u u m u m u u m u u m u u m u m ρρρρρρρρρp =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p(42-23)其中各元素ij p 的意义即动量Rj mu 在i 方向的通量，例如： xx p ：动量Rx mu 在x 方向的通量yx p ：动量Rx mu 在y 方向的通量在这九个压力元素中，xx p 、yy p 、zz p 分别垂直作用于yz 、zx 和xy 平面上，称为法向压力(normal stress)；其他六个分别平行地作用于相应下标的平面上，称为切向压力(shear stress)，它们起源于物质的粘滞性，是相邻流体层有速度梯度时的剪切力。