八年级上学期数学压轴题[1]
人教版八年级上数学第一次月考题压轴题
人教版八年级上数学第一次月考题压轴题题目一：选择题1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. 0.5C. √2D. 1/22. 若a:b = 3:4，且b:c = 5:6，则a:c = ？A. 3:5B. 4:5C. 3:6D. 4:63. 若x = -2，求2x^2 - 3x + 1的值为：A. 9B. 11C. 13D. 154. 若正方形的边长为x cm，则它的周长为：A. 2x cmB. 4x cmC. x^2 cmD. x/2 cm5. 若a:b = 2:3，且b:c = 4:5，则a:b:c = ？A. 8:12:15B. 4:6:8C. 2:3:4D. 6:9:12题目二：填空题1. 两个互为倒数的数的乘积为______。
2. 若a:b = 3:4，且b:c = 5:6，则a:c = ______。
3. 若x = -3，求2x^2 - 5x + 3的值为______。
4. 若正方形的边长为x cm，则它的面积为______。
5. 若a:b = 2:3，且b:c = 4:5，则a:b:c = ______。
题目三：解答题1. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了4小时后，汽车行驶的距离是多少公里？2. 一个长方形的长是5 cm，宽是3 cm，求它的周长和面积。
3. 解方程2x + 5 = 13，求x的值。
4. 一个正方形的面积是36 cm^2，求它的边长。
5. 解方程3x - 2 = 7，求x的值。
题目四：应用题小明和小红一起去超市买东西，小明买了3个苹果和2个橙子，共花费12元；小红买了2个苹果和3个橙子，共花费10元。
苹果的单价是x元，橙子的单价是y元。
请你列方程组，并求出x和y的值。
解答：题目一：选择题1. C2. A3. A4. B5. D题目二：填空题1. 12. 8:103. 294. x^25. 8:12:15题目三：解答题1. 汽车行驶的距离 = 60 km/h × 4 h = 240 km2. 周长 = 2 × (5 cm + 3 cm) = 16 cm，面积 = 5 cm × 3 cm = 15 cm^23. 2x + 5 = 13，解得x = 44. 边长= √(36 cm^2) = 6 cm5. 3x - 2 = 7，解得x = 3题目四：应用题设苹果的单价为x元，橙子的单价为y元。
八年级数学上册期末压轴20题(解析版)
八年级上册数学压轴题专题练习（解析版）一、压轴题1．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P在线段 AB上以1cm/s的速度由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段 BD上由点 B向点 D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2．在Rt ABC中，∠ACB=90︒，∠A=30︒，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）如图2，点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM为一边，在BM下方作∠BMG=60︒，MG交DE延长线于点G.求证：AD=DG+MD；（3）如图3，点N是线段AD上的点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60︒，NG交DE延长线于点G.直接写出ND，DG与AD数量之间的关系.3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线l1，l2，l3上，∠BAC=90︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B、C向l1作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.（2）小林说：“我们可以改变ABC的形状.如图2，AB=AC，∠BAC=120︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线l1，l2，l3上，且l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离为2，求AB的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.4．在ABC中，AB=AC，D是直线AB上一点，E在直线BC上，且DE=DC．（1）如图1，当D在AB上，E在CB延长线上时，求证：∠EDB=∠ACD；（2）如图2，当ABC为等边三角形时，D是BA的延长线上一点，E在BC上时，作EF//AC，求证：BE=AD；（3）在（2）的条件下，∠ABC的平分线BF交CD于点F，连AF，过A点作AH⊥CD于点H，当∠EDC=30︒，CF=6时，求DH的长度．5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．6．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．7．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B 1M或B1M的延长线上，那么EMF的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线上，那么EMF的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B1M或B1M的延长线上左侧，且EMF80，求C1MB1的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线右侧，且EMF60，求C1MA1的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB，FB为折痕，设ABC，EBF，A1BC1，求，，之间的数量关系．8．已知ABC和ADE都是等腰三角形，AB AC，AD AE，DAE BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB__________EC．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE绕点A旋转，当点D在ABC外部，点E 在ABC内部时，求证：DB EC．（深入研究）（3）如图③，ABC和ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为__________；线段CE，BD之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点C、D、E在同一直线上，AM为ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为__________；线段AM，BD，CD之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当AB=5，AD=2时，在旋转过程中，△ABE与ADC的面积和的最大值为__________．9．直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值．10．已知：ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90︒，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC 于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DB的值．BC11．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．12．已知ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P在ABC内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P在ABC外时，直接写出 s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．13．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2=；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．14．探索发现：11111111 =1-;=-;=-……1⨯222⨯3233⨯434根据你发现的规律，回答下列问题：（1）11＝，＝；n⨯(n+1)4⨯5111⋅+++1⨯22⨯33⨯4+1n⨯(n+1)（2）利用你发现的规律计算：（3）利用规律解方程：111112x-1 ++++=x(x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+4)(x+5)x(x+5) 15．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF⊥NF于F，点A、C分别在NF和MF上，作线段AB和CD（如图1），使∠FAB-∠MCD=90︒．求证：AB//CD”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A作AG//FM，交CD于G．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E在直线CD下方，且知∠BED=30︒，直接写出∠ABE和∠CDE之间的数量关系．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在∆ABC中，∠C=90︒,若点D为AB的中点，则CD=请结合上述结论解决如下问题：1AB．2已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．18．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．19．（1）如图1，ABC和DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在BCD中，若∠BCD<120︒，分别以BC，CD和BD为边在BCD外部作等边ABC，等边△CDE，等边BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD=BE=CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．20．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD=BE，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以∠ACB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）∠D=∠OEF（________）在OCD与△OFE中⎧∠COD=∠FOE(________)⎪⎨OD=OE⎪∠D=∠OEF⎩所以△OCD≌△OFE，（________）所以CD=FE（________）因为AB=AC（已知）所以∠ACB=∠B（________）所以∠EFB=∠B（等量代换）所以BE=FE（________）所以CD=BE【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题⎧t=2⎧t=1⎪1．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，⎨或⎨3x=1x=⎩⎪2⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC和线段 PQ的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ{∠A=∠BAC=BP∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，⎧3=4-t ⎨t =xt⎩解得⎨⎧t =1;x =1⎩②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，⎧3=xt ⎨t =4-t⎩⎧t =2⎪解得：⎨3x =⎪⎩2⎧t =2⎧t =1⎪综上所述,存在⎨或⎨3使得△ACP 与△BPQ 全等.x =1x =⎩⎪⎩2【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD =DG -ND ，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出∠ABC =60︒，再根据角平分线的性质可得CD =ED ，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC =BE ，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF =MD ，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出∆MDF 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠F =∠MDB ,MF =MD ,∠FMG =∠DMB ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证∆HDN 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠H =∠NDG ,NH =ND ,∠HNB =∠DNG ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）∠ACB =90︒,∠A =30︒∴∠ABC =90︒-∠A =60︒BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB∴CD =ED⎧CD=ED在∆BCD和∆BED中，⎨BD=BD⎩∴∆BCD≅∆BED(HL)∴BC=BE∴∆EBC是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF=MD，连接MF∠ACB=90︒,∠A=30︒，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB∴∠ADE=∠BDE=60︒,AD=BD∴∠MDF=∠ADE=60︒,∠MDB=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒∴∆MDF是等边三角形∴MF=DM,∠F=∠DMF=60︒∠BMG=60︒∴∠DMF+∠DMG=∠BMG+∠DMG，即∠FMG=∠DMB⎧∠F=∠MDB=60︒⎪在∆FMG和∆DMB中，⎨MF=MD⎪∠FMG=∠DMB⎩∴∆FMG≅∆DMB(ASA)∴GF=BD，即DF+DG=BD∴AD=DF+DG=MD+DG即AD=DG+MD；（3）结论：AD=DG-ND，证明过程如下：如图，延长BD使得DH=ND，连接NH由（2）可知，∠ADE=60︒,∠HDN=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒,AD=BD ∴∆HDN是等边三角形∴NH=ND,∠H=∠HND=60︒∠BNG=60︒∴∠HND+∠BND=∠BNG+∠BND，即∠HNB=∠DNG⎧∠H=∠NDG=60︒⎪在∆HNB和∆DNG中，⎨NH=ND⎪∠HNB=∠DNG⎩∴∆HNB≅∆DNG(ASA)∴HB =DG ，即DH +BD =DG∴ND +AD =DG即AD =DG -ND ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．3．（1）5；（2）【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，221221；（3）33⎧∠AMB =∠CNA ⎪⎨∠MAB =∠NCA ，⎪AB =AC ⎩∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22+12=5；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，⎧∠AMB=∠CNA⎪⎨∠ABM=∠NAC，⎪AB=AC⎩∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=11 BM，NQ=NC，22∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴a2+12=4a2，b2+22=4b2，解得：a=323，b=，332⎛23⎫43=∴CN=AM=22+ ，⎪3⎪3⎝⎭∴AB=AP2+BP2=(AM+PM)2+BP2=221；3（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，⎧∠BNC=∠CMA⎪⎨∠NBC=∠MAC，⎪BC=AC⎩∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，BP2+NP2=BN2，即22+NP2=4NP2，解得：NP=23，3∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，AQ2+QM2=AM2，即32+QM2=4QM2，解得：QM=3，∴AM=23=CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=在△BPC中，BP2+CP2=BC2，43，3⎛43⎫221即BC=BP2+CP2=22+ ，=⎪3⎪3⎝⎭2∴AB=BC=221.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.4．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF与△CAD中，1CF=3．2⎧∠EDF=∠DCA⎪⎨∠DFE=∠CAD，⎪DE=CD⎩∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，⎧AB=BC⎪⎨∠ABF=∠CBF，⎪BF=BF⎩△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=11AF=CF=3，22∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=∵BD=CE，∴CF=OF=1 CE，21BD，2∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．6．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．7．90︒，45︒；20︒，30︒；a +γ=2β，a -γ=2β.【解析】【分析】（1）①如图①知∠EMC 1=11∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC 得22∠EMF =1(∠BMC 1+∠C 1MC )可求出解.2111∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC 得∠EBF =(∠ABC 1+∠C 1BC )可222②由图②知∠EBA 1=求出解.（2）①由图③折叠知∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，可推出(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，即可求出解.②由图④中折叠知∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，可推出290︒-60︒+∠A 1MC 1=90︒，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a -β=β-γ、a -β=β+γ，即可求得()a +γ=2β、a -γ=2β.【详解】解：（1）①如图①中，11∠EMC 1=∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC ，22∴∠EMF =∠EMC 1+∠C 1MF =故答案为90︒.②如图②中，11(∠BMC 1+∠C 1MC )=⨯180︒=90︒，2211∠EBA 1=∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC ，22∴∠EBF =∠EBC 1+∠C 1BF =故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11(∠ABC 1+∠C 1BC )=⨯90︒=45︒，22∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，∠C 1MF +∠EMB 1-∠EMF =∠C 1MB 1，∴∠CMF +∠BME -∠EMF =∠C 1MB 1，∴(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，∴180︒-80︒=∠C 1MB 1=20︒；②如图④中根据折叠可知，∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，︒2∠CMF +2∠ABE +∠AMC =90，11︒∴2(∠CMF +∠ABE )+∠AMC 11=90，(∴2(90∴290︒-∠EMF +∠A 1MC 1=90︒，︒)-60︒+∠A 1MC 1=90︒，)︒∴∠AMC =30；11（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a -β=β-γ，∴a +γ=2β；如图⑤-2中，由折叠可知，a -β=β+γ，∴a -γ=2β.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.8．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC =，结合AB=AC ，得到DB=EC ；AB AC（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB EC=，AB AC∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中⎧AD ＝AE⎪⎨∠DAB ＝∠EAC，⎪AB ＝AC⎩∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒1×AC×AD=5+2=7，2【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，⎧∠ADC =∠CEB⎪⎨∠DAC =∠ECB，⎪CA =CB⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1）见详解，（2）BD =2CF ，证明见详解，（3）【解析】【分析】（1）欲证明BF =AD ，只要证明∆BCF ≅∆ACD 即可；（2）结论：BD =2CF ．如图2中，作EH ⊥AC 于H ．只要证明∆ACD ≅∆EHA ，推出CD =AH ，EH =AC =BC ，由∆EHF ≅∆BCF ，推出CH 2．3=CF 即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90︒，∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，BC=AC，∴∆BCF≅∆ACD(AAS)，∴BF=AD．（2）结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHF=∠BCF=90︒，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴∆EHF≅∆BCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．（3）如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHM=∠BCM=90︒，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴∆EHM≅∆BCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB2a2==．BC3a3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE 与AC 的交点为G ，∵∠PGD ＝∠EGC ，∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．14．（1）【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和1111n -,-；（2）；（3）见解析．45n n +1n +114⨯51n ⨯(n +1)（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】111111=-=-，解：（1）；n (n +1)n n +14⨯545故答案为1111-,-45n n +111111+-+-+22334+111n -=1-= ;n n +1n +1n +1（2）原式＝1-1111-+-+（3）已知等式整理得：x x +1x +1x +2112x -1-=所以，原方程即：，x x +5x (x +5)方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，∴原方程的解为：x ＝3．【点睛】+112x -1-=x +4x +5x (x +5)本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.15．（1）见解析；（2）∠ABE -∠CDE =30︒【解析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，再证明∠MCD=∠BAG，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A作AG//FM，交CD于G，∴∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，FN⊥FM，∴∠F=90︒，∴∠GAF=90︒，∠FAB-∠MCD=90︒，∴∠FAB-∠GAF=∠MCD=∠BAG，∴AB//CD；（2）解：∠ABE-∠CDE=30︒，理由如下：如图3，AB//CD，∴∠BPD=∠ABE，∠BPD=∠CDE+∠BED，∠BED=30︒，∴∠BPD-∠CDE=30︒，∴∠ABE-∠CDE=30︒．。
八年级上册压轴题数学考试试卷含答案
八年级上册压轴题数学考试试卷含答案一、压轴题1．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度； （2）当2t =时，请说明//PQ BC ；（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式．解析：（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）见解析；（3）S=16-2t ． 【解析】 【分析】（1）直接根据距离=速度⨯时间即可； （2）通过证明PCQ BQC ≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；（3）过点C 作CM⊥A B ，垂足为M ，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】解：（1）CP=3t ，BQ=8-t ； （2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6 ∴CP=BQ ∵CD ∥AB ∴∠PCQ=∠BQC 又∵CQ=QC ∴PCQ BQC ≅∴∠PQC=∠BCQ ∴PQ∥BC（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M∵AC=BC，CM⊥AB ∴AM=118422AB =⨯=（cm ） ∵AC=BC，∠ACB=90︒ ∴∠A=∠B=45︒ ∵CM⊥AB ∴∠AMC=90︒ ∴∠ACM=45︒ ∴∠A=∠ACM ∴CM=AM=4（cm ） ∴118t 416222BCQSBQ CM t ==⨯-⨯=- 因此，S 与t 之间的关系式为S=16-2t ． 【点睛】此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．2．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ． （1）若点E 的位置如图1所示．①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °； ②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是 ．（3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为 ．解析：（1）①70；②∠F =12∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED =360°；（3）3045α︒≤<︒【解析】 【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ），求得∠ABF+∠CDF=70︒，即可求解； ②分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE ，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF ），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF ，即可求解；（2）根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED 与∠BFD 之间的数量关系；（3）通过对1452E F ∠≥∠+︒的计算求得30α≥︒，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得45α<︒，即可求得3045α︒≤<︒． 【详解】（1）①过F 作FG//AB ，如图：∵AB ∥CD ，FG ∥AB ， ∴CD ∥FG ，∴∠ABF=∠BFG ，∠CDF=∠DFG ， ∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ， ∵BF 平分∠ABE ， ∴∠ABE=2∠ABF ， ∵DF 平分∠CDE ， ∴∠CDE=2∠CDF ，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ）=60︒+80︒=140︒， ∴∠ABF+∠CDF=70︒， ∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70︒， 故答案为：70； ②∠F=12∠BED ， 理由是：分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，∵EN//AB ，∴∠BEN=∠ABE ，∠DEN=∠CDE ， ∴∠BED=∠ABE+∠CDE ，∵DF 、BF 分别是∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线， ∴∠ABE=2∠ABF ，∠CDE=2∠CDF ， 即∠BED=2（∠ABF+∠CDF ）；同理，由FM//AB ，可得∠F=∠ABF+∠CDF ， ∴∠F=12∠BED ； （3）2∠F+∠BED=360°． 如图，过点E 作EG ∥AB ， 则∠BEG+∠ABE=180°，∵AB ∥CD ，EG ∥AB ， ∴CD ∥EG ，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE ）， 即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE ）， ∵BF 平分∠ABE ， ∴∠ABE=2∠ABF ， ∵DF 平分∠CDE ， ∴∠CDE=2∠CDF ，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF ）， 由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF ， ∴∠BED=360°-2∠BFD ， 即2∠F+∠BED=360°；（3）∵1452E F ∠≥∠+︒，∠F =α，∴2452αα≥+︒，解得：30α≥︒， 如图，∵∠CDE 为锐角，DF 是∠CDE 的角平分线， ∴∠CDH=∠DHB 190452<⨯︒=︒， ∴∠F <∠DHB 45<︒，即45α<︒， ∴3045α︒≤<︒， 故答案为：3045α︒≤<︒． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．3．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．解析：（1）AE//BF;QE=QF ；(2)QE=QF ，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据AAS 得到AEQ BFQ ∆≅∆，得到AEQ BFQ ∠=∠、QE=QF ，根据内错角相等两直线平行，得到AE//BF ；（2）延长EQ 交BF 于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长EQ 交FB 的延长于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明． 【详解】（1）AE//BF ；QE=QF （2）QE=QF证明：延长EQ 交BF 于D ，,AE CP BF CP ⊥⊥//AE BF ∴AEQ BDQ ∴∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, AEQ BDQ ∴∆≅∆EQ DQ ∴=90BFE ︒∠=QE QF ∴=（3）当点P 在线段BA 延长线上时，此时（2）中结论成立 证明：延长EQ 交FB 的延长于D 因为AE//BF所以AEQ BDQ ∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEQ BDQ ∴∆≅∆EQ=QF90BFE ︒∠=QE QF ∴=【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS ，平行线的性质，根据P 点位置不同，画出正确的图形，找到AAS 的条件是解决本题的关键．4．已知：如图1，直线//AB CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，BEF ∠，DFE ∠的平分线相交于点K ． （1）求K ∠的度数；（2）如图2，BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，问1K ∠与K ∠的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；（3）在图2中作1BEK ∠，1DFK ∠的平分线相交于点2K ，作2BEK ∠，2DFK ∠的平分线相交于点3K ，依此类推，作n BEK ∠，n DFK ∠的平分线相交于点1n K +，请用含的n 式子表示1n K ∠+的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）解析：（1）90︒；（2）12K K ∠∠=，证明见解析；（3）111902n n K ∠++=⨯︒ 【解析】 【分析】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，证出//AB CD ∥KG ，得到BEK EKG ∠∠=，GKF KFD ∠∠=，根据角平分线的性质及平行线的性质得到()2180BEK DFK ∠∠+=，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质得到1112BEK KEK KEB ∠∠∠==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==，根据90BEK KFD ∠∠+=求出1145KEK KFK ∠∠+=，根据()()111180K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠=-+-+求出答案；（3）根据（2）得到规律解答即可. 【详解】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，∵//AB CD ， ∴//AB CD ∥KG ，BEK EKG ∠∠∴=，GKF KFD ∠∠=，EK ，FK 分别为BEF ∠与EFD ∠的平分线，BEK FEK ∠∠∴=，EFK DFK ∠∠=，∵//AB CD ，180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠∴+++=，()2180BEK DFK ∠∠∴+=，90BEK DFK ∠∠∴+=，则 90EKF EKG GKF ∠∠∠=+=；（2） 12K K ∠∠=， 理由为：BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ， 1112BEK KEK KEB ∠∠∠∴==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==， 180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠+++=，即 ()2180BEK KFD ∠∠+=，90BEK KFD ∠∠∴+=，1145KEK KFK ∠∠∴+=，()()11118045K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠∴=-+-+=， 12K K ∠∠∴=；（3）由（2）知90K ∠=；1119022K K ∠∠==⨯同理可得2112K K ∠∠==14K ∠1904=⨯， ∴111902n n K ∠++=⨯. 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答. 5．Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2，∠DPE =∠α．（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；（2）若点P 在线段AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ； （3）若点P 运动到边AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P 运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．解析：(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析 【解析】 【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可； (2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论； (4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论． 【详解】解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°， ∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2) ∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE与AC的交点为G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．6．已知ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）．连接PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P 在ABC 内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P 在ABC 外时，直接写出 s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．解析：（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．7．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．解析：（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．【解析】【分析】（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．【详解】（1）补全图形，如图1所示（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点∵等边△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短故B,D之间直线最短，点P即为所求．②证明：连接DE，DF．如图3所示∵△ABC，△ADC是等边三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝12∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED∴△FAD≌△FED（SAS）∴∠AFD＝∠EFD∴点D到AF，EF的距离相等．【点睛】本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．8．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF解析：（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．9．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P 在线段 AB 上以1/cm s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他cm s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若条件不变．设点 Q 的运动速度为x/存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP 和△BPQ 全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA B AC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩; ②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，34xt t t =⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.10．阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE =解析：见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.11．在△ABC 中，已知∠A ＝α．（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．①当α＝70°时，∠BDC 度数＝ 度（直接写出结果）；②∠BDC 的度数为 （用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F ，求∠BFC 的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．解析：（1）（1）①125°；②1902α︒+，（2）1BFC 2α∠=；（3）1BMC 904α︒∠=+ 【解析】【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC ；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，采用①的推导方法即可求解； （2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC ∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解； （3）由折叠的对称性得BGC BFC ∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵12DBC ∠=∠ABC ，∠DCB ＝12∠ACB ， ∴∠BDC ＝180°﹣∠DBC ﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC +∠ACB ） ＝180°﹣12（180°﹣70°） ＝125° ②∵12DBC ∠=∠ABC ，∠DCB ＝12∠ACB ， ∴∠BDC ＝180°﹣∠DBC ﹣∠DCB＝180°﹣12（∠ABC +∠ACB ） ＝180°﹣12（180°﹣∠A ） ＝90°+12∠A ＝90°+12α． 故答案分别为125°，90°+12α． （2）∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2∠=∠， ∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠即1BFC 2α∠=． （3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=， 由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+∠， ∴1BMC 904α∠=︒+． 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．12．在等腰ABC ∆中，AB AC =,AE 为BC 边上的高，点D 在ABC ∆的外部且60CAD ∠=，AD AC =,连接BD 交直线AE 于点F ，连接FC ．(1)如图①，当120BAC ∠<时，求证：BF CF =；(2)如图②，当40BAC ∠=时，求AFD ∠的度数；(3)如图③，当120BAC ∠>时,求证：CF AF DF =+．解析：（1）见解析；（2）60AFD ∠=；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE 垂直平分BC ，F 为垂直平分线AE 上点，即可得出结论；（2）根据（1）的结论可得AE 平分∠BAC ，∠BAF=20°，由AB=AC=AD ，推出40ABD ADB ∠=∠=，根据外角性质可得AFD BAF ABF ∠=∠+∠计算即可；（3）在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，证明△ACM ≌△ADF （SAS ），进而证得△AFM 为等边三角形即可．【详解】（1）证明：∵AE 为等腰△ABC 底边BC 上的高线，AB=AC ，AE BC ∴⊥，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE ，∴AE 垂直平分BE ，F 在AE 上，BF CF ∴=；(2) ,AB AC AD AC ==，AB AD ∴=，100BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，40ABD ADB ∴∠=∠=，由（1）知，AE 平分∠BAC ，20BAF CAF ∴∠=∠=，60AFD BAF ABF ∴∠=∠+∠=，故答案为：60°；(3) 在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，由（1）可知，∠ABC=∠ACB ，∠FBC =∠FCB ，ABF ACF ∴∠=∠，AB AC AD ==，ABF D ∴∠=∠，ACF D ∴∠=∠，在△ACM 和△ADF 中，AC AD ACM ADF CM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACM ≌△ADF （SAS ），,AF AM FAD MAC ∴=∠=∠，60FAM DAC ∴∠=∠=，∴△AFM 为等边三角形，FM AF ∴=，CF FM MC AF DF ∴=+=+．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．13．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）解析：（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒； （2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-=∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.14．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3． 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中，EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF ，如图3所示：∵DE=DC ，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ，在△ABF 和△CBF 中，AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH ⊥CD ，∴AH=12AF=12CF=3， ∵∠DEC=∠ABC+∠BDE ，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．15．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩()BCD BED HL ∴∆≅∆BC BE ∴=EBC ∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF ∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒60BMG ∠=︒DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠在FMG ∆和DMB ∆中，60F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA ∴∆≅∆GF BD ∴=，即DF DG BD +=AD DF DG MD DG ∴=+=+即AD DG MD =+；（3）结论：AD DG ND =-，证明过程如下：如图，延长BD 使得DH ND =，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD ∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN ∴∆是等边三角形,60NH ND H HND ∴=∠=∠=︒60BNG ∠=︒HND BND BND BNG ∠+∠=+∠∴∠，即N HNB D G ∠=∠在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA ∴∆≅∆HB DG ∴=，即DH BD DG +=ND AD DG ∴+=即AD DG ND =-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．二、选择题16．下列判断正确的是（ ）A ．3a 2bc 与bca 2不是同类项B ．225m n 的系数是2 C ．单项式﹣x 3yz 的次数是5D ．3x 2﹣y +5xy 5是二次三项式解析：C【解析】【分析】根据同类项的定义，单项式和多项式的定义解答．【详解】A ．3d 2bc 与bca 2所含有的字母以及相同字母的指数相同，是同类项，故本选项错误．B ．225m n 的系数是25，故本选项错误． C ．单项式﹣x 3yz 的次数是5，故本选项正确．D ．3x 2﹣y +5xy 5是六次三项式，故本选项错误．故选C ．【点睛】本题考查了同类项，多项式以及单项式的概念及性质．需要学生对概念的记忆，属于基础题．17．如图，已知线段AB 的长度为a ，CD 的长度为b ，则图中所有线段的长度和为( )A ．3a+bB ．3a-bC ．a+3bD ．2a+2b解析：A【解析】【分析】依据线段AB 长度为a ，可得AB=AC+CD+DB=a ，依据CD 长度为b ，可得AD+CB=a+b ，进而得出所有线段的长度和．【详解】∵线段AB 长度为a ，∴AB=AC+CD+DB=a ，又∵CD 长度为b ，∴AD+CB=a+b ，∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b ，故选A ．【点睛】本题考查了比较线段的长度和有关计算，主要考查学生能否求出线段的长度和知道如何数图形中的线段． 18．已知max {}2,,x x x 表示取三个数中最大的那个数，例如：当x ＝9时，max {}{}22,,max 9,9,9x x x =＝81．当max {}21,,2x x x =时，则x 的值为（ ） A ．14- B ．116 C ．14 D ．12解析：C【解析】【分析】利用max {}2,,x x x 的定义分情况讨论即可求解． 【详解】解：当max{}21,,2x x x =时，x ≥0 x 12，解得：x ＝14x x ＞x 2，符合题意； ②x 2＝12，解得：x ＝22x x ＞x 2，不合题意； ③x ＝12x x ＞x 2，不合题意；故只有x ＝14时，max }21,2x x =． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．19．当x 取2时，代数式(1)2x x -的值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：B【解析】【分析】把x 等于2代入代数式即可得出答案.【详解】解：根据题意可得：把2x =代入(1)2x x -中得： (1)21==122x x -⨯， 故答案为：B.【点睛】本题考查的是代入求值问题，解题关键就是把x 的值代入进去即可.20．地球与月球的平均距离为384 000km ，将384 000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．3.84×103B ．3.84×104C ．3.84×105D ．3.84×106 解析：C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】试题分析：384 000=3.84×105．故选C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．21．﹣3的相反数是（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．3解析：D【解析】【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3.故选D.【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.22．已知a+b=7，ab=10，则代数式(5ab+4a+7b)+(3a–4ab)的值为（）A．49 B．59C．77 D．139解析：B【解析】【分析】首先去括号，合并同类项将原代数式化简，再将所求代数式化成用（a+b）与ab表示的形式，然后把已知代入即可求解．【详解】解：∵（5ab+4a+7b）+（3a-4ab）=5ab+4a+7b+3a-4ab=ab+7a+7b=ab+7（a+b）∴当a+b=7，ab=10时原式=10+7×7=59．故选B．23．宁波港处于“一带一路”和长江经济带交汇点，地理位置得天独厚．全年货物吞吐量达9.2亿吨，晋升为全球首个“9亿吨”大港，并连续8年蝉联世界第一宝座.其中9.2亿用科学记数法表示正确的是（）A．B．C．D．解析：A【解析】因为科学记数法的表达形式为:,所以9.2亿用科学记数法表示为:,故选A.点睛:本题主要考查科学记数法的表达形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的表达形式.24．下列判断正确的是（）A．有理数的绝对值一定是正数．B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．C．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身．D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数．解析：C【解析】试题解析：A∵0的绝对值是0，故本选项错误．B∵互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确．C如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身．D∵0的绝对值是0，故本选项错误．故选C．25．一个角是这个角的余角的2倍，则这个角的度数是（）A．30B．45︒C．60︒D．75︒解析：C【解析】【分析】设这个角为α，先表示出这个角的余角为（90°-α），再列方程求解．【详解】解：根据题意列方程的：2（90°-α）=α，解得：α=60°．故选：C．【点睛】本题考查余角的概念，关键是先表示出这个角的余角为（90°-α）．26．某地冬季某天的天气预报显示气温为﹣1℃至8℃，则该日的最高与最低气温的温差为（）A．﹣9℃B．7℃C．﹣7℃D．9℃解析：D【解析】【分析】这天的温差就是最高气温与最低气温的差，列式计算．【详解】解：该日的最高与最低气温的温差为8﹣（﹣1）＝8+1＝9（℃），故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，这是需要熟记的内容.27．下列调查中，适宜采用全面调查的是()A．对现代大学生零用钱使用情况的调查B．对某班学生制作校服前身高的调查C．对温州市市民去年阅读量的调查D．对某品牌灯管寿命的调查解析：B【解析】【分析】。
(新)八年级上册数学各种类型典型压轴题练习试题全汇编
（新）八年级上册数学典型压轴题练习试题汇编一、压轴(1) 选填题 (一)多结论证明1.如图,AD 是△ABC 的中线,E ,F 分别是AD 和AD 延长线上的点,且DE ＝DF ,连接BF ,CE ,下列说法:①CE ＝BF ;②△ABD 和△ACD 面积相等;③BF ∥CE ;④△BDF ≌△CDE ,其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个FBAC2.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠BAC ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,AE ⊥BD 于E ,CF ∥AE 交BD 的延长线于F ;给出四个结论:①∠ACF ＝12∠ABC ;②CF ＝12BD ;③BE ＝2AE ＋DF ;④CF ＝AE ＋DE ,其屮正确的结论有( )A .1个B .2个C .1个D .2个AC3.如图,在Rt △ABC 中,AB ＝CB ,BO ⊥AC ，把△ABC 折叠,使AB 落在AC 上,点B 与AC 上的点E 重合,展开后,折痕AD 交BO 于点F ,连接DE ,EF ,下列四个结论:①AB ＝2BD ；②图中有4对全等三角形;③若将△DEF 沿EF 折叠,则点D 一定不会落在AC 上；④BD ＝BF ,其中正确的是( )A .①②③④B .②③④C .①③④D .②④DBC4.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AD 是高,BE 是中线,CF 是角平分线,CF 交AD 于点G ,交BE 于点H ,下列说法:①△ABE 的面积＝△BCE 的面积;②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ;④BH ＝CH ,其中正确的是( )A .①②③④B .①②③C .②④D .①③5.如图,Rt △ACB 中,∠ACB ＝90°,△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ,过P 作PF ⊥AD 交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ,则下列结论:①∠APB ＝135°;②BF ＝BA ；③PH ＝PD ；④连接CP ，CP 平分∠ACB ,其中正确的是( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④DC6.如图,△ABC 中，∠ABC ＝45°,AD ⊥BC 于D 点,BE ⊥AC 于E 点,AD 与BE 交于点F ,连接CF ,DE ,下列结论:①AC ＝BF ；②∠BED ＝45°;③BE ＝AE ＋2DC ;④若∠ABF ＝30°,则BF CFAB＝1, 其中正确结论的序号是()A .①②③B .①②③④C .①③④D .①③④DABC（二）几何计算7.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝∠BCA ＝44°,M 为△ABC 内一点,且∠MCA ＝30°,∠MAC ＝16°，则∠BMC 的度数为( )A .120°;B .126°C .144°D .150°BCA8.如图，设△ABC 和△CDE 都是等边三角形，若∠AEB ＝70°，则∠EBD 的度数是( )A .115°B .20°C .125°D .130°DC9.如图，△ABC 中,点D 是BC 上一点，已知∠DAC ＝30°,∠DAB ＝75°,CE 平分∠ACB 交AB 于点E 、连DE ,则∠DEC ＝( )A .10°B .15°C .20°D .25°BACD10.在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F .若AC ＝BD ,AB ＝ED ,BC ＝BE ,则∠ACB 等于( )A .∠EDBB .∠BEDC .12∠AFB C .2∠ABFBADC11.如图,已知△ABC 的面积为8cm 2,BP 为∠ABC 的角平分线,AP 垂直BP 于点P ,则△PBC 的面积为( )A .3.5B .3.9C .4D .4.2DACB12.已知:四边形ABCD 中,对角线BD 平分∠ABC ,∠ACB ＝72°,∠ABC ＝50°,并且∠BAD ＋∠CAD ＝180°,那么∠BDC 的度数为________.DAB(三)多解与画图13.在△ABC 中,AC ＝BC ,∠ACB ＝90°,CE 是过C 点的一条直线,AD ⊥CE 于D ,BE ⊥CE 于E ,DE ＝4cm ,AD ＝2cm ,则BE ＝( )A . 2cmB . 2cmC .6cm 或2cmD .6cm14.△ABC 中,AD 是高,∠BAD ＝60°,∠CAD ＝20°,AE 平分∠BAC ,则∠EAD 的度数为____________. 15.如图,在平面直角坐标系中,点A (12，6),∠ABO ＝90°,一动点从点 B 出发以2厘米/秒的速度沿射线BO 运动,点D 在y 轴上,D 点随着C 点运动而运动,且始终保持OA ＝C D .当点C 经过_____秒时，△OAB 与△OCD 全等.16.已知△ABC 中,AB ＝AC ,BD ⊥AC 于D ,AC ＝2BD ,则∠BAC ＝______.17.如图,在△ABC 中,AB ＝BC ,∠ABC ＝100°,边BA 绕点B 顺时针旋转m °(0＜m ＜180)得到线段BD ，连接AD ,D C .若△ADC 为等腰三角形,则m 所有可能的取值是________.DAC18.如图,等腰Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°将线段AB 绕点A 逆时针旋转，旋转后B 点的对应点为D ,连接C D .若AB ∥CD ,则∠CAD 的度数是_______.CA B19.D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点(不与B 、C 童合),DE ⊥BC 于点D ,交直线BA 于点E ,作∠EDF ＝45°,DF 交AC 于F ,连接EF ,BD ＝nDC ，当n ＝________时，△DEF 为等腰直角三角形.20.在平面直角坐标系中,已知A (0,2),B (2,0),若在坐标轴上取点C ,使△ABC 为等腰三角形，满足条件的点C 的个数是( )A .6B .7C .8D .9（四）最值问题21.如图,在△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝BC ＝6,D 为AB 的中点,点E ,F 分别在AC ,BC 边上运动(点E不与点A 、C 重合)且保持∠EDF ＝90°，连接EF ，在此运动过程中,S △CEF 的最大值为______.FA CBE22.如图，在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,∠ABC ＝α,在AB 、BC 上分别一点E 、F ,使△DEF 的周长最小，此时,∠EDF ＝( )A .αB .90°－αC .2D .180°－2αDBF23.如图,P 为∠AOB 内一定点,M ,N 分别是射线OA ,OB 上一点,当△PMN 周长最小时,∠MPN ＝110°,则∠AOB ＝( )A .35°B .40°C .45°D .50°O24.如图,在等腰△ABC 中,AB ＝AC ＝5,∠ACB ＝75°,AD ⊥BC 于D ,点M ,N 分别是线段AB ,线段AD 上的动点，则MN ＋BN 的最小值是( )A .3BC .4.5D .6AD25.如图,OE 是等边△AOB 的中线,OB ＝4,C 是直线OE 上一动点,以AC 为边在直线AC 下方作等边△ACD ,连接ED ,下列说法正确的是( )A .ED 的最小值是2B .ED 的最小值是1C .ED 有最大值D .ED 没有最大值也没有最小值D26.如图,AD 为等边△ABC 的高,E ,F 分别为线段AD 、AC 上的动点,且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时,∠AFB ＝( )A .112.5°B .105°C .90°D .82.5°DABC27.如图,等腰△ABC 底边BC 的长为4cm ,面积是12cm 2,腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ,若D 为BC 边上的中点,M 为线段EF 上一动点,则△BDM 的周长最小值为_______.B28.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠A ＝30°.若点M ,N 分别是线段AB ,AC 上两个动点,BC ＝4,则MC ＋MN 的最小值为_____.BCAN二、压轴(2)几何合题29.在△ABC 中,AB ＝AC ，CD 为AB 边上的高 (1)如图1,求证;∠BAC ＝2∠BCD ；(2)如图2.∠ACD 的平分线CE 交AB 于E ,过E 作EF ⊥BC 于F ,EF 与CD 交点G .若ED ＝m ,BD ＝n ,含有m 、n 的代式表示△EGC 的面积.图2图1FBBCA CA30.射线AE 为△ABC 的外角平分线,点P 为射线AE 上不与A 点重合的一个动点. (1)如图1,若BP 平分∠ABC ,且∠ACB ＝30°,则∠APB ＝______;(直接写出结果) (2)如图1,求证:不论P 在何处,总有AB ＋AC ＜PB ＋PC ;(3)如图2,若点P 在AE 上,作PM ⊥BA 交BA 的延长线于M 点,且∠BPC ＝∠BAC ,求AC ABAM-的值.图1图2BBE31.如图,Rt △ACB 中,∠ACB ＝90°,AB ＝BC ,E 点为射线CB 上一动点,连接AE ,作AF ⊥AE 且AF ＝AE(1)如图1,过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点,求证:EC ＋CD ＝DF ;(2)如图2,连接BF 交AC 于G 点,若AGCG＝3求证:E 点为BC 的中点; (3)E 点在射线CB 上,连接BF 与直线AC 交于G 点，若43BC BE =，则AGCG＝________.图1图2BFBF32.如图，在等腰△ABC 中,AC ＝BC ,D ,E 分别为AB ,BC 上一点,∠CDE ＝∠A. (1)如图1,若BC ＝BD ,求证:CD ＝DE ;(2)如图2,过点C 作CH ⊥DE ,垂足为点H ,若CD ＝BD ,EH ＝1,求DE －BE 的值.图1图2AABCBC33.已知△ABC 中,AC ＝B C .(1)如图1,分别过A ,B 作AM ⊥BC ,BN ⊥AC ,垂足分别为M ,N ,AM 与BN 相交于点P ,求证:AP ＝BP . (2)如图2，分别在AC 的右侧、BC 的左侧作等边△ACE 和等边△BCD ,AE 与BD 相交于点F ,连接CF 并延长交AB 于点G 求证:点G 是AB 的中点;（3）在(2)的条件中,当∠ACE 的大小发生变化时,设直线CD 与直线AE 相交于点H .直接写出: 当∠ACB ＝_______度时，使得AH ＝C D .图2图1DEABC C34.如图1,已知等腰△ABC 中,AB ＝AC ,AD 为BC 边上的中线,以AB 为边向外作等边△ABE ,直线CE 与直线AD 交于点F .(1)若AF ＝10,DF ＝3,试求EF 的长；(2)若以AB 为边向内作等边△ABE ,其它条件均不改变,用尺规作图补全图2(保留作图痕迹)，并直接写出EF ,AF ,DF 三者的数量关系____________.图1图2EBC ACA35.已知:在△ABC 中,∠B ＝60°，D ,F 分别为AB ,BC 上的点,且AF ,CD 交于点F . (1)如图1,若AE ,CD 为△ABC 的角平分线； ①求证:∠AFC ＝120°;②若AD ＝6,CE ＝4,求AC 的长;(2)如图2,若∠FAC ＝∠FCA ＝30°,求证:AD ＝CE .图2图1AACBCB36.如图,等腰△ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝BC ,D 为AB 上一点. (1)如图1,若AD ＝AC ,且BE ⊥CD 于点E . ①求∠BCD 的度数;②求CDBE的值; (2)如图2,若F 为CD 上一点,且在线段BC 的垂直平分线上,∠BCD ＝15°,求证:AF ＝B C.图2图1BCCAA35．已知：在△ABC 中，∠B =60°，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且AE ，CD 交于点F ． （1）如图1，若AE ，CD 为ABC 的角平分线； ①求证：∠AFC =120°；②若AD =6，CE =4，求AC 的长； （2）如图2，若∠FAC =∠FCA =30°，求证：AD =CE ．FDECABFDB EC A36．如图，等腰△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点． （1）如图1，若AD =AC ，且BE ⊥CD 于点E ．①求∠BCD 的度数；②求BECD的值；（2）如图2，若F 为CD 上一点，且在线段BC 上垂直平分线上，∠BCD =15°，求证：AF =BC ．A C DE BBFD AC37．（1）如图1，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =BC ，直线m 经过点A ，BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别为D ，E ，求证：DE =BD +CE ；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且满足∠BDA =∠AEC =∠BAC ，求证：DE =BD +CE ；（3）如图3，D ，E 是D ，A ，E 三点所在直线m 上的两动点（D ，A ，E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD ，CE ．若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，求证：△DEF 为等边三角形．D AE mCBD A mE CBB FCmEA D38．等腰Rt △ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，点O 是AB 的中点． （1）如图1，求证：CO =BO ；（2）如图2，点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上，MN -AM =CN ，求∠MON 的度数； （3）如图3，AD ∥BC ，OD ∥AC ，AD 与OD 交于点D ，Q 是OB 的中点，连接CQ ，DQ ，试判断线段CQ 与DQ 的关系，并给出证明．B O A CNMCA O B39．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线． （1）如图1，∠C =2∠DBC ，∠A =60°，求证：△ABC 为等边三角形； （2）如图2，若∠A =2∠C ，BC =8，AB =4．8，求AD 的长度；（3）如图3，若∠ABC =2∠ACB ，∠ACB 的平分线OC 与BD 相交于点O ，且OC =AB ，求∠A 的度数．DCB ACDB AB CODA40．在△ABC 中，∠ACB =90°．（1）如图1，点B 与点D 关于直线AC 对称，连接AD ，点E ，F 分别是线段CD ，AB 上的点（点E 不与点D ，C 重合），且∠AEF =∠ABC ，∠ABC =2∠CAE ，求证：BF =DE ； （2）如图2，若AC =BC ，BD ⊥AD ，连接DC ，求证：∠ADC =45°；（3）如图3，若AC =BC ，点D 在AB 的延长线上，以DC 为斜边作等腰直角△DCE ，过直角顶点E 作EF ⊥AC 于点F ，求证：点F 是AC 的中点．DECBF AACDBDBECF A41．在等腰△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为AC 上一点，M 为BC 上一点． （1）若AM ⊥BP 于点E ．①如图1，BP 为△ABC 的角平分线，求证：PA =PM ； ②如图2，BP 为△ABC 的中线，求证：BP =AM +MP ；（2）如图3，若点N 在AB 上，AN =CP ，AM ⊥PN ，求AMPN的值．MEPCB A EPMABCNPMABC42．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ．F 为BC 延长线上一点，连接AF ，BD ⊥AF 于点D ，BD 与AC 交于点E 点． （1）求证：CE =CF ；（2）如图2，若M 为AB 的中点，N 为AE 的中点，P 为BF 的中点，连接MN ，PN ，求∠MNP 的度数；（3）如图3，以AB 为边作Rt △AHB ，∠AHB =90°，过点C 作CG ⊥BH 于G ，若AH =2，CG =5，请直接写出BH 的长为 ．ED FCBAPENMA BCFDABC三、压轴（3）代几综合题43．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），050101022=++-+b a b a ，点C 在y 轴正半轴上．（1）求证：OA =OB ；（2）已知：BD ⊥AC 于D ，DE 平分∠BDC ，交y 轴于点E ，求点E 的坐标；（3）如图2，当∠OAC =60°，且OC =35，点M 为x 轴负半轴上一动点，以CM 为边，在CM 的右侧作等边△CMN ，连接ON ，当ON 最短时，求ON 的长度．44．如图1，直线AB 分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，OC 平分∠AOB 交AB 于点C ，点D 为线段AB 上一点，过D 作DE ∥OC 交y 轴于点E ．已知AO =m ，BO =n ，且m ，n 满足0236122=-++-m n n n ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）若点D 为AB 的中点，求OE 的长；（3）如图2，若点P （x ，-2x +6）为直线AB 在x 轴下方的一点，点E 是y 轴正半轴上的一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△PEF ，使点F 在第一象限，且F 点的横，纵坐标始终相等，求点P 的坐标．45．如图，直线AB 交x 轴于点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a ，b 满足0)5(2=-++a b a ．（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图1，若点C 的坐标为（-3，-2），且BE ⊥AC 于点E ，OD ⊥OC 交BE 的延长线于点D ，试求出点D 的坐标；（3）如图2，M ，N 分别为OA ，OB 边上的点，OM =ON ，OP ⊥AN 交AB 于点P ，过点P 作PG ⊥BM 交AN 的延长线于点G ，请写出线段AG ，OP 与PG 之间的数量关系，并证明你的结论．46．如图，在平面直角坐标系中，A （8，0），点B 在第一象限，△OAB 为等边三角形，OC ⊥AB ，垂足为C ．（1）直接写出点C 的横坐标；（2）作点C 关于y 轴的对称点D ，连DA 交OB 于点E ，求OE 的长；（3）P 为y 轴上一动点，连接PA ，以PA 为边在PA 所在直线的下方作等边△PAH ，当OH 最短时，求点H 的横坐标．47．平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （0，b ），已知a ，b 满足++-+b a b a 882232=0． （1）求点A ，点B 的坐标；（2）如图1，点E 为线段OB 上一点，连接AE ，过A 作AF ⊥AE ，且AF =AE ，连接BF 交x 轴于于点D ，若点D （-1，0），求点E 的坐标；（3）在（2）条件下，如图2，过E 作EH ⊥OB 交AB 于点H ，点M 是射线EH 上一点（点M 不在线段EH 上），连接MO ，作∠MON =45°，ON 交线段BA 的延长线于点N ，连接MN ，探究线段MN 与OM 的关系．48．在平面直角坐标系中，点A （0，a ），B （b ，0）分别在y 轴与x 轴正半轴上，满足0)16(2=-+-ab b a（1）a = ，b = ，∠OAB 的度数是 ；（2）如图1，已知C （0，1），在第一象限内存在点D ，CD 交AB 于E ，AE 为△ACD 的中线，3=∆ACD S ，求点D 的坐标；（3）如图2，已知P （2，0），连接PA ，在AB 上有一点F ，满足∠APB =∠OPF ，连接OF ，请给出三条线段PA ，PF ，FO 之间的数量关系，并证明你的结论．三、压轴（3）代几综合题43.如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0）、B （b ，0），a 2＋b 2－10a ＋10b ＋50＝0，点C 在y 轴正半轴上.（1）求证：OA ＝OB ；（2）已知：BD ⊥AC 于D ，DE 平分∠BDC ，交y 轴于点E ，求点E 的坐标；（3）如图2，当∠OAC ＝60º，且OC ＝53，点M 为x 轴负半轴上一动点，以CM 为边，在CM 的右侧作等边△CMN ，连接ON ，当ON 最短时，求ON 长度.图1 图244.如图1，直线AB 分别交x 轴，y 轴于A ,B 两点，OC 平分∠AOB 交AB 于点C ，点D 为线段AB 上一点，过D 作DE ∥OC 交y 轴于点E ，已知AO ＝m ，BO ＝n ，且m ,n 满足0236122=-++-m n n n ;（1）求A ,B 两点的坐标；（2）若点D 为AB 的中点，求OE 的长？（3）如图2，若点P （x ,－2x ＋6）为直线AB 在x 轴下方的一点，点E 是y 轴正半轴上的一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△PEF ，使点F 在第一象限，且F 点的横，纵坐标始终相等，求点P 的坐标？图1 图245.如图，直线AB 交x 轴点A （a ，0），交y 轴于点B （0，b ），且a ，b 满足()052=-++a b a .（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图1，若点C 的坐标为（－3，－2），且BE ⊥AC 于点E ，OD ⊥OC 交BE 的延长线于点D ，试求点D 的坐标；（3）如图2，M ，N 分别为OA ，OB 边上的点，OM ＝ON ，OP ⊥AN 交AB 与点P ，过点P 作PG ⊥BM 交AN 的延长线于点G ，请写出线段AG ，OP 与PG 之间的数量关系，并证明你的结论.图1 图246. 如图，在平面直角坐标系中，A （8，0），点B 在第一象限，△OAB 为等边三角形，OC ⊥AB ，垂足为点C .（1）直接写出点C 的横坐标 ；（2）作点C 关于y 轴的对称点D ，连DA 交OB 于点E ，求OE 的长；（3）P 为y 轴上的一动点，连接PA ，以PA 为边在PA 所在直线的下方作等边△PAH .当OH 最短时，求点H 的坐标.47.平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （0，b ），已知a 、b 满足0328822=++-+b a b a ； （1）求点A 、点B 的坐标；（2）如图1，点E 为线段OB 上一点，连接AE ，过A 作AF ⊥AE ，且AF ＝AE ，连接BF 交x 轴于点D ，若点D （1-，0），求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，如图2，过E 作EH ⊥OB 交AB 于H ，点M 是射线EH 上一点（点M 不在线段EH 上），连接MO ，作∠MON ＝45°，ON 交线段BA 的延长线于点N ，连接MN ，探究线段MN 与OM 的关系.图1图248.在平面直角坐标系中，点A （0，a ），点B （b ，0）分别在y 轴和x 轴正半轴上，满足()0162=-+-ab b a .（1）a ＝ ，b ＝ ，∠OAB 的度数是 ；（2）如图1，已知C （0，1），在第一象限内存在点D ，CD 交AB 于E ，AE 为△ACD 的中线，S △ACD ＝3，求点D 的坐标；（3）如图2，已知P （2，0），连接PA ，在AB 上有一点F ，满足∠APB ＝∠OPF ，连接OF ，情给出三条线段PA ，PF ，FO 之间的数量关系，并证明你的结论.图1图249.如图，已知A （a ，0）、B （0，b ）,且a ，b 满足：0328822=++++b a b a .D 为第一象限内一点，连接BD ，连接AD 交y 轴于C 点，且AC ＝CD （1）求A 、B 点坐标；（2）如图1，若20=ABD S △，求D 点坐标；（3）如图2，过B 作BE ⊥y 轴，且BE ＝2OC ，连接AE ，问线段AE 和BD 有何数量和位置关系，请证明你的结论.图1图250.如图，已知A （－a ，0）、B （a ，0），点P 为第二象限内一动点，但始终保持PA ＝ a ，∠PAB 的平分线AE 与线段PB 的垂直平分线CD 交于点D ，作DF ⊥AB 于点F . （1）若P 点坐标为（－2，2），求点C 的坐标 （2）求点D 的横坐标（用a 表示）（3）当点P 运动到某一位置时，恰好点C 落在y 轴上，直接写出CDCE＝图1图251.已知，点A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），其中a ＝|x ＋2|＋|1－x |，且x 满足点（x ＋1，2x －1）关于x 轴对称的点在第一象限，b 、c 满足|3b ＋9|＋（c ＋4）2＝0.（1）如图1，在△AOC 内有一点D ，连AD 并延长交OC 于点P ，点E 在AC 上，且∠AED ＝∠AOD ，∠PDE ＝∠PDO ，若CE ＝2，求①△AOC 的周长；②OPCP 的值（2）如图2，点M 在线段AB 上（不与A ，B 重合）移动，过点A 作NA ⊥AB 于A ，且∠MON ＝45°，探究线段AN 、BM 、MN 之间的数量关系并证明你的结论。
八年级上册压轴题数学考试试卷含详细答案
八年级上册压轴题数学考试试卷含详细答案一、压轴题1．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．解析：（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G ，由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°∴由（1）得MF ＝NG ，OF ＝MG ，∵M （1，3）∴MF ＝1，OF ＝3∴MG ＝3，NG ＝1∴FG ＝MF+MG ＝1+3＝4，∴OF ﹣NG ＝3﹣1＝2，∴点N 的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q 作QS ⊥PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH ⊥x 轴于H ，对于直线y ＝﹣3x+3，由x ＝0得y ＝3∴P （0，3），∴OP ＝3由y ＝0得x ＝1，∴Q （1，0），OQ ＝1，∵∠QPR ＝45°∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS∴PQ ＝SQ∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝3+1＝4，SH ＝OQ ＝1∴S （4，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则341b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得1k 2b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线PR 为y ＝﹣12x+3 由y ＝0得，x ＝6∴R （6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.2．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式． 解析：（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）见解析；（3）S=16-2t ．【解析】【分析】（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；（2）通过证明PCQ BQC ≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证； （3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M ，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】解：（1）CP=3t ，BQ=8-t ；（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ∵CD ∥AB∴∠PCQ=∠BQC又∵CQ=QC∴PCQ BQC ≅∴∠PQC=∠BCQ∴PQ∥BC（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M∵AC=BC，CM⊥AB ∴AM=118422AB =⨯=（cm ） ∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒∵CM⊥AB∴∠AMC=90︒∴∠ACM=45︒∴∠A=∠ACM∴CM=AM=4（cm ）∴118t 416222BCQ S BQ CM t ==⨯-⨯=- 因此，S 与t 之间的关系式为S=16-2t ．【点睛】此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．3．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD 中，若120BCD ∠<︒，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ． ①求证：AD BE CF ==；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．解析：（1）详见解析；（2）①详见解析；②PB PC PD BE ++=，理由详见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD ，判断出BCE ACD ≌（SAS ），即可得出结论；（2）①同（1）的方法判断出≌ACD BCE （SAS ），ABD CBF ≌（SAS ），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE 上取一点M ，使PM=PC ，证明CPM △是等边三角形， 进而判断出PCD MCE ≌（SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵ABC和DCE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，≌（SAS），∴BCE ACD∴BE=AD；（2）①证明：∵ABC和DCE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，ACD BCE（SAS），∴≌∴AD=BE，≌（SAS），同理：ABD CBF∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：结论：PB+PC+PD=BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，ACD BCE，由①知，≌∴∠CAD=∠CBE，在ACQ中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在BPQ中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∴∠=︒∠CPD=120°，CPE60,在PE上取一点M，使PM=PC，△是等边三角形，∴CPM==，∠PCM=∠CMP=60°，∴CP CM PM∴∠CME=120°=∠CPD，△是等边三角形，∵CDE∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，≌（SAS），∴PCD MCE∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．4．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 解析：（1）2；（2）4【解析】【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形， 故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，∴FH=FK ， 又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ， ∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．5．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是ts ．（1）在运动过程中，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，求出t 的值；（2）在运动过程中，当BPD CQP ≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ ≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上；（2）1t ＝；（3）不存在，理由见解析．【解析】【分析】 （1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据线段垂直平分线的性质得到CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得3BP CQ t ＝＝，则83CP t -＝，当点C 位于线段PQ 的垂直平分线上时，CP CQ ＝，∴833t t -＝， 解得，43t =， 则当43t =时，点C 位于线段PQ 的垂直平分线上； （2）∵D 为AB 的中点，10AB AC ＝＝， ∴5BD ＝，∵BPD CQP ≌，∴BD CP ＝，∴835t -＝，解得，1t ＝， 则当BPD CQP ≌时，1t ＝； （3）不存在，∵BPD CPQ △≌△，∴BD CQ BP CP ＝，＝，则35383t t t -＝，＝解得，53t =，43t =， ∴不存在某一时刻t ，使BPD CPQ △≌△．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．6．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。
八年级上册数学第一章压轴题
八年级上册数学第一章压轴题题目：在△ABC中，∠A = 60°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BD与CE相交于点O。
（1）求∠BOC的度数；（2）求证：BC = BE + CD。
解析：（1）1. 在△ABC中，因为三角形内角和为180°，∠A = 60°，所以∠ABC+∠ACB = 180°∠A = 180°60°=120°。
2. 因为BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，所以∠OBC=(1)/(2)∠ABC，∠OCB=(1)/(2)∠ACB。
3. 那么∠OBC + ∠OCB=(1)/(2)(∠ABC + ∠ACB)=(1)/(2)×120° = 60°。
4. 在△BOC中，根据三角形内角和为180°，可得∠BOC=180°-(∠OBC + ∠OCB)=180° 60° = 120°。
（2）1. 在BC上截取BF = BE，连接OF。
2. 因为BD是∠ABC的平分线，所以∠EBO = ∠FBO。
3. 在△EBO和△FBO中，<=ft{begin{matrix}BE = BF ∠EBO=∠FBO BO =BOend{matrix}right.，根据SAS（边角边）全等判定定理，可得△EBO≌△FBO。
4. 所以∠BOE=∠BOF。
5. 由（1）知∠BOC = 120°，所以∠BOE=∠COD = 60°，那么∠BOF = 60°，所以∠FOC=∠BOC ∠BOF=120° 60° = 60°。
6. 所以∠FOC = ∠DOC。
7. 因为CE是∠ACB的平分线，所以∠FCO = ∠DCO。
8. 在△FOC和△DOC中，<=ft{begin{matrix}∠FOC = ∠DOC ∠FCO=∠DCO CO = COend{matrix}right.，根据ASA（角边角）全等判定定理，可得△FOC≌△DOC。
八年级上册压轴题数学考测试卷含答案
八年级上册压轴题数学考测试卷含答案一、压轴题1．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。
①当50A ︒∠=时，则BOC ∠=②当A α∠=时，求BOC ∠的度数（用含α的代数式表示）﹔（2）应用：如图2，直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OB 上运动（点B 不与点O 重合），延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于E F 、，在AEF ∆中，如果一个角是另一个角的3倍，请直接写出ABO ∠的度数.解析：（1）①25°；②12α ；（2）6045︒︒或．【解析】【分析】（1）①利用外角和性质∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∠OCD ＝∠BOC ＋∠OBC ，再利用角平分线的定义进行等量代换即可；②与①同理可得；（2）根据题意分情况进行讨论，用到（1）的结论计算即可【详解】（1）①∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∠OCD ＝∠BOC ＋∠OBC ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBC ，∴2∠OCD ＝2∠OBC ＋∠A ，∴∠A ＝2∠BOC ，∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝12∠A ＝25°， 故填：25°；②A ABC ACD ∠+∠=∠，且A α∠=ACD ABC A α∴∠-∠=∠=BO 平分,ABC CO ∠平分ACD ∠11,22OBC ABC OCD ACD ∴∠=∠∠=∠ BOC OBC OCD ∠+∠=∠()111222ACD ABC ACD ABC ∴∠-∠=∠-∠ 1122A α=∠=（2）,BAO OAG ∠∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于,E F ， EAF EAO FAO ∴∠=∠+∠()1902BAO GAO ︒=∠+∠= 符合题意的情况有两种： ①130,3E EAF ︒∠=∠= 根据（1）可知：260ABO E ︒∠=∠=②13E F ∠=∠ 22.5E ︒∴∠=根据（1）可知：245ABO E ︒∴∠=∠=【点睛】本题考查三角形外角和的性质、角平分线的定义，利用分类讨论的数学思想是关键．2．（阅读材料）：（1）在ABC ∆中，若90C ∠=︒，由“三角形内角和为180°”得1801809090A B C ∠︒+∠=-∠︒︒-=︒=．（2）在ABC ∆中，若90A B ∠+∠=︒，由“三角形内角和为180°”得180()1809090C A B ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（解决问题）：如图①，在平面直角坐标系中，点C 是x 轴负半轴上的一个动点．已知//AB x 轴，交y 轴于点E ，连接CE ，CF 是∠ECO 的角平分线，交AB 于点F ，交y 轴于点D ．过E 点作EM 平分∠CEB ，交CF 于点M ．（1）试判断EM 与CF 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，过E 点作PE ⊥CE ，交CF 于点P ．求证：∠EPC=∠EDP ；（3）在（2）的基础上，作EN 平分∠AEP ，交OC 于点N ，如图③．请问随着C 点的运动，∠NEM 的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．解析：（1）EM ⊥CF ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）不变，且∠NEM=45°，理由见解析．【解析】【分析】（1）EM ⊥CF ，分别利用角平分线的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理进行求证即可；（2）根据垂直定义和三角形的内角和定理证得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，再利用等角的余角相等和对顶角相等即可证得结论；（3）不变，且∠NEM=45°，先利用平行线的性质得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP ，进而有∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP ，再由角平分线的定义∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP ，再根据同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP ，然后等量代换证得∠NEM=45°，是定值．【详解】解：(1)EM ⊥CF ，理由如下：∵CF 平分∠ECO ，EM 平分∠FEC ，∴∠ECF=∠FCO=12ECO ∠，∠FEM=∠CEM=12CEF ∠ ∵AB ∥x 轴 1111()180902222ECF CEM ECO CEF ECO CEF ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ ∴∠ECO+∠CEF=180°∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF ）=180°-90°=90°∴EM ⊥CF（2）由题得，∠EOC=90°∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°∵PE ⊥CE∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°∵∠DCO=∠ECP∴∠CDO=∠EPC又∵∠CDO=∠EDP∴∠EPC=∠EDP(3)不变，且∠NEM=45°，理由如下：∵AB ∥x 轴∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP∵EN 平分∠AEP∴∠NEP=∠AEN=12AEP ∠=1(902)2ECP ︒+∠=45°+∠ECP ∵∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=90°又∵∠EMC=90°∴∠MEP+∠EPC=90°∴∠ECP=∠MEP∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP又∵∠NEP=45°+∠ECP∴∠NEM=45°．【点睛】本题是一道综合探究题，涉及有平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、同（等）角的余角相等、对顶角相等、垂线性质等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，寻找相关联信息，确定解题思路，进而探究、推理、论证．3．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．解析：（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可； （2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．【详解】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，故答案为1，2，3；（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．4．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 为ABC ∆内一点，且BD AD =．（1）求证：CD AB ⊥；（2）若15CAD ∠=︒，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =．①求BDC ∠的度数．②若点M 在DE 上，且DC DM =，请判断ME 、BD 的数量关系，并说明理由． ③若点N 为直线AE 上一点，且CEN ∆为等腰∆，直接写出CNE ∠的度数．解析：（1）证明见解析；（2）①120BDC ∠=︒；②ME BD =，理由见解析；③ 7.5°或15°或82.5°或150°【解析】【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；（2）①利用SSS 证得△ADC ≌△BDC ，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解题；②连接MC ，易证△MCD 为等边三角形，即可证明△BDC ≌△EMC 即可解题；③分EN=EC 、EN=CN 、CE=CN 三种情形讨论，画出图形，利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵CB=CA ，DB=DA ，∴CD 垂直平分线段AB ，∴CD ⊥AB ；（2）①在△ADC 和△BDC 中，BC AC CD CD BD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△BDC （SSS ），∴∠ACD=∠BCD=12∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°， ∴∠BDC=180︒-45°-15°=120°；②结论：ME=BD ，理由：连接MC ，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，由①得∠BDC=120°，∴∠CDE=60°，∵DC=DM ，∠CDE=60°，∴△MCD 为等边三角形，∴CM=CD ，∵EC=CA=CB ，∠DMC=60°，∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，在△BDC 和△EMC 中，15120CBD E BDC EMC CD CM ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BDC ≌△EMC （AAS ），∴ME=BD ；③当EN=EC 时，∠1152EN C ︒==7.5°或∠2EN C =180152︒-︒=82.5°； 当EN=CN 时，∠3EN C =180215︒-⨯︒=150°；当CE=CN 时，点N 与点A 重合，∠CNE=15°，所以∠CNE 的度数为7.5°或15°或82.5°或150°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．5．已知：如图1，直线//AB CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，BEF ∠，DFE ∠的平分线相交于点K ．（1）求K ∠的度数；（2）如图2，BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，问1K ∠与K ∠的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；（3）在图2中作1BEK ∠，1DFK ∠的平分线相交于点2K ，作2BEK ∠，2DFK ∠的平分线相交于点3K ，依此类推，作n BEK ∠，n DFK ∠的平分线相交于点1n K +，请用含的n 式子表示1n K ∠+的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）解析：（1）90︒；（2）12K K ∠∠=，证明见解析；（3）111902n n K ∠++=⨯︒ 【解析】【分析】 （1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，证出//AB CD ∥KG ，得到BEK EKG ∠∠=，GKF KFD ∠∠=，根据角平分线的性质及平行线的性质得到()2180BEK DFK ∠∠+=，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质得到1112BEK KEK KEB ∠∠∠==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==，根据90BEK KFD ∠∠+=求出1145KEK KFK ∠∠+=，根据()()111180K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠=-+-+求出答案；（3）根据（2）得到规律解答即可.【详解】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，∵//AB CD ，∴//AB CD ∥KG ，BEK EKG ∠∠∴=，GKF KFD ∠∠=， EK ，FK 分别为BEF ∠与EFD ∠的平分线，BEK FEK ∠∠∴=，EFK DFK ∠∠=，∵//AB CD ，180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠∴+++=，()2180BEK DFK ∠∠∴+=，90BEK DFK ∠∠∴+=，则 90EKF EKG GKF ∠∠∠=+=；（2） 12K K ∠∠=，理由为：BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，1112BEK KEK KEB ∠∠∠∴==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==， 180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠+++=，即 ()2180BEK KFD ∠∠+=， 90BEK KFD ∠∠∴+=，1145KEK KFK ∠∠∴+=，()()11118045K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠∴=-+-+=，12K K ∠∠∴=；（3）由（2）知90K ∠=；1119022K K ∠∠==⨯ 同理可得2112K K ∠∠==14K ∠1904=⨯， ∴111902n n K ∠++=⨯. 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答.6．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 解析：（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥， ∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．7．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．（1）求CAM ∠的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．解析：（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，CBE CAD ∴∠=∠，同理可得：30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒，∵30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 解析：（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -．【解析】【分析】（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．【详解】（1）AP PD ⊥90APB DPC ∴∠+∠=AB x ⊥轴90A APB ∴∠+∠=A DPC ∴∠=∠在ABP ∆和PCD ∆中A DPC AB PCABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABP PCD ASA ∴∆≅∆AP DP ∴=，3DC PB ==(2,3)D ∴（2）设(,0)P a ，(2,)Q b①AB PC =，BP CQ =223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q - 【点睛】 考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．9．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．解析：（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC AB AC=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE ∥BC ，∴DB EC AB AC=， ∵AB=AC ，∴DB=EC ，故答案为：=，（2）成立． 理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵∠BOD=∠AOC ，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7， 故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．10．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．解析：（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF ∆与EDC ∆中AFD ECD DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（2）结论：AD ＝DE .证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC BDF BCA ∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴BF ＝BD∴AF ＝DC∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝∵∠ADC 是ABD ∆的外角∴60ADC B FAD FAD ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD ＝∠CDE在AFD ∆与DCE ∆中AFD DCE AF CDFAD EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()AFD DCE ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（3）如下图，ADE ∆是等边三角形.证明：∵BC CD =∴AC CD =∵CE 平分ACD ∠∴CE 垂直平分AD∴AE =DE∵60ADE ∠=︒∴ADE ∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.11．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值． （提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）解析：（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒； （2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK ，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===， ∴79PF CP CF CP =-=，∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-= ∴779559CP PF AF CP == . 【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.12．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=12CF=3． 【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE=DC ，∴∠E=∠DCE ，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，即∠EDB=∠ACD ；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE=EF ，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD ，在△DEF 与△CAD 中，EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△CAD （AAS ），∴EF=AD ，∴AD=BE ；（3）连接AF ，如图3所示：∵DE=DC ，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ，在△ABF 和△CBF 中，AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH ⊥CD ，∴AH=12AF=12CF=3， ∵∠DEC=∠ABC+∠BDE ，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．13．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.解析：（152221；（3221【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，===AMB CNA MAB NCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22251=+；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC ，在△AMB 和△CNA 中，===AMB CNA ABM NAC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AMB ≌△CNA （AAS ），∴CN=AM ，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=12BM ，NQ=12NC ， ∵PB=1，CQ=2，设PM=a ，NQ=b ， ∴2221=4a a +，2222=4b b +，解得：3=3a ，23=3b ， ∴CN=AM=222323⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=433， ∴AB=22AP BP +=()22AM PM BP ++=2213；（3）如图，在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交于点P ，过A 作l 3的垂线，交于点Q ，∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC ，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM ，在△BCN 和△CAM 中，BNC CMA NBC MAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCN ≌△CAM （AAS ），∴CN=AM ，BN=CM ，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP ，在△BPN 中，222BP NP BN +=，即22224NP NP +=，解得：NP=233， ∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM ，在△AQM 中，222AQ QM AM +=，即22234QM QM +=，解得：QM=3，∴AM=23=CN ，∴PC=CN-NP=AM-NP=433， 在△BPC 中，BP 2+CP 2=BC 2，即BC=222243221233BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=2213.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.14．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥CD ED ∴=在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩()BCD BED HL ∴∆≅∆BC BE ∴=EBC ∴∆是等边三角形；（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒MDF ∴∆是等边三角形,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒60BMG ∠=︒DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠在FMG ∆和DMB ∆中，60F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()FMG DMB ASA ∴∆≅∆GF BD ∴=，即DF DG BD +=AD DF DG MD DG ∴=+=+即AD DG MD =+；（3）结论：AD DG ND =-，证明过程如下：如图，延长BD 使得DH ND =，连接NH由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD ∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN ∴∆是等边三角形,60NH ND H HND ∴=∠=∠=︒60BNG ∠=︒HND BND BND BNG ∠+∠=+∠∴∠，即N HNB D G ∠=∠在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()HNB DNG ASA ∴∆≅∆HB DG ∴=，即DH BD DG +=ND AD DG ∴+=即AD DG ND =-．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．15．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．解析：（1）∠BPC ＝122°；（2）∠BEC ＝2a ；（3）∠BQC ＝90°﹣12∠A ，证明见解析 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，再利用∠E 与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC 与∠ECB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122=︒+=︒，故答案为：122︒；（2）CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论：1902BQC A ∠=︒-∠．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．二、选择题16．下列方程中，以32x =-为解的是（ ） A ．33x x =+B ．33x x =+C ．23x =D ．3-3x x = 解析：A【解析】【分析】 把32x =-代入方程，只要是方程的左右两边相等就是方程的解，否则就不是． 【详解】 解：A 中、把32x =-代入方程得左边等于右边，故A 对； B 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故B 错； C 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故C 错； D 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故D 错. 故答案为：A.【点睛】本题考查方程的解的知识，解题关键在于把x 值分别代入方程进行验证即可.17．有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）A ．a ＞bB ．﹣ab ＜0C ．|a |＜|b |D ．a ＜﹣b解析：D【解析】【分析】根据各点在数轴上的位置得出a 、b 两点到原点距离的大小，进而可得出结论．【详解】解：∵由图可知a ＜0＜b ，∴ab ＜0，即-ab ＞0又∵|a |＞|b |，∴a ＜﹣b ．故选：D ．【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．18．晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（ ）。
八年级上册压轴题数学考试试卷含答案
八年级上册压轴题数学考试试卷含答案一、压轴题1．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．解析：（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.2．已知AB//CD，点E是平面内一点，∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F．（1）若点E的位置如图1所示．①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠F= °；②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是 ． （3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为 ．解析：（1）①70；②∠F =12∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED =360°；（3）3045α︒≤<︒ 【解析】【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ），求得∠ABF+∠CDF=70︒，即可求解； ②分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE ，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF ），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF ，即可求解；（2）根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，过点E 作EG ∥AB ，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED 与∠BFD 之间的数量关系；（3）通过对1452E F ∠≥∠+︒的计算求得30α≥︒，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得45α<︒，即可求得3045α︒≤<︒．【详解】（1）①过F 作FG//AB ，如图：∵AB ∥CD ，FG ∥AB ，∴CD ∥FG ，∴∠ABF=∠BFG ，∠CDF=∠DFG ，∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60︒+80︒=140︒，∴∠ABF+∠CDF=70︒，∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70︒，故答案为：70；②∠F=12∠BED，理由是：分别过E、F作EN//AB，FM//AB，∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，∴∠BED=∠ABE+∠CDE，∵DF、BF分别是∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线，∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）；同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF，∴∠F=12∠BED；（3）2∠F+∠BED=360°．如图，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，∵AB∥CD，EG∥AB，∴CD∥EG，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∴∠CDE=2∠CDF ，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF ），由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF ，∴∠BED=360°-2∠BFD ，即2∠F+∠BED=360°；（3）∵1452E F ∠≥∠+︒，∠F =α， ∴2452αα≥+︒，解得：30α≥︒，如图，∵∠CDE 为锐角，DF 是∠CDE 的角平分线，∴∠CDH=∠DHB 190452<⨯︒=︒， ∴∠F <∠DHB 45<︒，即45α<︒，∴3045α︒≤<︒，故答案为：3045α︒≤<︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．3．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．解析：（1）AE//BF;QE=QF ；(2)QE=QF ，证明见解析；(3)结论成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据AAS 得到AEQ BFQ ∆≅∆，得到AEQ BFQ ∠=∠、QE=QF ，根据内错角相等两直线平行，得到AE//BF ；（2）延长EQ 交BF 于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（3）延长EQ 交FB 的延长于D ，根据AAS 判断得出AEQ BDQ ∆≅∆，因此EQ DQ =，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明．【详解】（1）AE//BF ；QE=QF（2）QE=QF证明：延长EQ 交BF 于D ，,AE CP BF CP ⊥⊥//AE BF ∴AEQ BDQ ∴∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, AEQ BDQ ∴∆≅∆EQ DQ ∴=90BFE ︒∠=QE QF ∴=（3）当点P 在线段BA 延长线上时，此时（2）中结论成立证明：延长EQ 交FB 的延长于D因为AE//BF所以AEQ BDQ ∠=∠AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEQ BDQ ∴∆≅∆EQ=QF90BFE ︒∠=QE QF ∴=【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：AAS ，平行线的性质，根据P 点位置不同，画出正确的图形，找到AAS 的条件是解决本题的关键．4．已知：如图1，直线//AB CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，BEF ∠，DFE ∠的平分线相交于点K ．（1）求K ∠的度数；（2）如图2，BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，问1K ∠与K ∠的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；（3）在图2中作1BEK ∠，1DFK ∠的平分线相交于点2K ，作2BEK ∠，2DFK ∠的平分线相交于点3K ，依此类推，作n BEK ∠，n DFK ∠的平分线相交于点1n K +，请用含的n 式子表示1n K ∠+的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）解析：（1）90︒；（2）12K K ∠∠=，证明见解析；（3）111902n n K ∠++=⨯︒【解析】【分析】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，证出//AB CD ∥KG ，得到BEK EKG ∠∠=，GKF KFD ∠∠=，根据角平分线的性质及平行线的性质得到()2180BEK DFK ∠∠+=，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质得到1112BEK KEK KEB ∠∠∠==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==，根据90BEK KFD ∠∠+=求出1145KEK KFK ∠∠+=，根据()()111180K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠=-+-+求出答案；（3）根据（2）得到规律解答即可.【详解】（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，∵//AB CD ，∴//AB CD ∥KG ，BEK EKG ∠∠∴=，GKF KFD ∠∠=，EK ，FK 分别为BEF ∠与EFD ∠的平分线， BEK FEK ∠∠∴=，EFK DFK ∠∠=，∵//AB CD ，180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠∴+++=，()2180BEK DFK ∠∠∴+=，90BEK DFK ∠∠∴+=，则 90EKF EKG GKF ∠∠∠=+=；（2） 12K K ∠∠=，理由为：BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，1112BEK KEK KEB ∠∠∠∴==，1112KFK DFK DFK ∠∠∠==， 180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠+++=，即 ()2180BEK KFD ∠∠+=， 90BEK KFD ∠∠∴+=，1145KEK KFK ∠∠∴+=，()()11118045K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠∴=-+-+=，12K K ∠∠∴=；（3）由（2）知90K ∠=；1119022K K ∠∠==⨯同理可得2112K K ∠∠==14K ∠1904=⨯， ∴111902n n K ∠++=⨯. 【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答.5．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．解析：（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°∵∠BAC ＝90°∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°∴∠CAE ＝∠ABD∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∴∠ABD=∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B 的坐标为B （1，4）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．解析：（1） 122°；（2）12BEC α∠=；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠， 12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒；（2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902BQC A ∠=︒-∠．（4）由（3）可知，119090645822BQC A，再根据（1），可得180()BPC PBC PCB1118022QBC QCB1180902Q118090582119；由（2）可得：115829 22R Q;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．7．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．解析：（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．【解析】【分析】（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．【详解】（1）补全图形，如图1所示（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点∵等边△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短故B,D之间直线最短，点P即为所求．②证明：连接DE，DF．如图3所示∵△ABC，△ADC是等边三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝12∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED∴△FAD≌△FED（SAS）∴∠AFD＝∠EFD∴点D到AF，EF的距离相等．【点睛】本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．8．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？解析：（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）154；（4）经过803s点P与点Q第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；（2）利用SAS可证三角形全等；（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．【详解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm ．又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，∴PC=8﹣3=5cm ，∴PC=BD又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BPD ≌△CQP(SAS)（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP≠CQ∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，∴点P ，点Q 运动的时间t=433BP =s ， ∴154Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得154x=3x+2×10， 解得80x=3 ∴经过803s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．9．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF解析：（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD 和△ABE 中，BC=AB ，∠DBC=∠EAB ，BD=AE∴△BCD ≌△ABE （SAS ），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，∴△ADG 为等边三角形，∴AD=DG=CE ，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．10．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．解析：（1）4；（2）DEF ∆的最小内角为15°或9°或180()11︒；（3）30°＜x ＜45°． 【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再根据n 倍角三角形的定义判断即可得到答案；(2) 根据△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；(3) 可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．【详解】解：(1)∵在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故ABC ∆为4倍角三角形；(2) 设其中一个内角为x °，3倍角为3x °，则另外一个内角为：1804x ︒-①当小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时， 即：x=13（90°-3x ）， 解得：x=15°， ②3倍内角的度数是小内角的余角的度数的13时， 即：3x=13（90°-x ），解得：x=9°， ③当()11804903x x ︒-=︒-时， 解得：45011x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭， 此时：4501804180411x ⎛⎫︒-=︒-⨯︒ ⎪⎝⎭=180()11︒，因此为最小内角， 因此，△DEF 的最小内角是9°或15°或180()11︒． (3) 设最小内角为x ，则2倍内角为2x ，第三个内角为（180°-3x ），由题意得： 2x ＜90°且180°-3x ＜90°，∴30°＜x ＜45°，答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°．11．请按照研究问题的步骤依次完成任务．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”， 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D ．（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．解析：（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=23x y+；（5）∠P=1802B D︒+∠+∠．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，得到y+（∠CAB-13∠CAB）=∠P+（∠BDC-13∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-13∠CAB-∠CDB+13∠CDB=23x y+；（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到12∠BAD+∠P=[∠BCD+12（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+12∠BCD-12∠BAD +∠D=1802B D︒+∠+∠.【详解】解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：3124P BP D∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩①②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=23°；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°；故答案为：26°；（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-13∠CAB）=∠P+（∠BDC-13∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-13∠CAB-∠CDB+13∠CDB= y+23（∠CAB-∠CDB）=y+23（x-y）=21 33 x y+故答案为：∠P=2133x y+；（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴12∠BAD+∠P=（∠BCD+12∠BCE）+∠D，∴12∠BAD+∠P=[∠BCD+12（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+12∠BCD-12∠BAD +∠D=90°+12（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+12（∠B-∠D）+∠D=1802B D︒+∠+∠，故答案为：∠P=1802B D︒+∠+∠.【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．12．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB AC=，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD BE=，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以ACB EFB∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE =解析：见解析【解析】【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.13．在等腰ABC ∆中，AB AC =,AE 为BC 边上的高，点D 在ABC ∆的外部且60CAD ∠=，AD AC =,连接BD 交直线AE 于点F ，连接FC ．(1)如图①，当120BAC ∠<时，求证：BF CF =；(2)如图②，当40BAC ∠=时，求AFD ∠的度数；(3)如图③，当120BAC ∠>时,求证：CF AF DF =+．解析：（1）见解析；（2）60AFD ∠=；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE 垂直平分BC ，F 为垂直平分线AE 上点，即可得出结论；（2）根据（1）的结论可得AE 平分∠BAC ，∠BAF=20°，由AB=AC=AD ，推出40ABD ADB ∠=∠=，根据外角性质可得AFD BAF ABF ∠=∠+∠计算即可；（3）在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，证明△ACM ≌△ADF （SAS ），进而证得△AFM 为等边三角形即可．【详解】（1）证明：∵AE 为等腰△ABC 底边BC 上的高线，AB=AC ，AE BC ∴⊥，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE ，∴AE 垂直平分BE ，F 在AE 上，BF CF ∴=；(2) ,AB AC AD AC ==，AB AD ∴=，100BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，40ABD ADB ∴∠=∠=，由（1）知，AE 平分∠BAC ，20BAF CAF ∴∠=∠=，60AFD BAF ABF ∴∠=∠+∠=，故答案为：60°；(3) 在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，由（1）可知，∠ABC=∠ACB ，∠FBC =∠FCB ，ABF ACF ∴∠=∠，AB AC AD ==，ABF D ∴∠=∠，ACF D ∴∠=∠，在△ACM 和△ADF 中，AC AD ACM ADF CM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACM ≌△ADF （SAS ），,AF AM FAD MAC ∴=∠=∠，60FAM DAC ∴∠=∠=，∴△AFM 为等边三角形，FM AF ∴=，CF FM MC AF DF ∴=+=+．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．14．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．（1）求OAB ∠的度数；（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．解析：（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8-，0)．【解析】【分析】（1）根据A，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．【详解】（1）A，(0,B ，∴OA=OB=∵∠AOB=90°，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE 的值不变，理由如下：∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，∵PO=PD ，∴∠POD=∠PDO ，∵D 是线段OA 上一点，∴点P 在线段BC 上，∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，∴∠POC=∠DPE ，在△POC 和△DPE 中，90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△POC ≅△DPE(AAS)，∴OC=PE ，∵OC=12AB=12××=4， ∴PE=4；（3）∵OP=PD ，∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP ，在△POB 和△DPA 中，OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△POB ≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=42，DA=PB ， ∴DA=PB=42×2-42=8-42，∴OD=OA−DA=42-(8-42)=828-，∴点D 的坐标为(828-，0)．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．15．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①．（1）求证：∠ACN =∠AMC ；（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB=； （3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．【详解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，∴△NEC ≌△CDM （AAS ），∴NE=CD ，CE=DM ；∵S 112=AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，∴AE=BD+BP=DP ．∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，∴△NEA ≌△CDP （SAS ），∴AN=PC ．【点睛】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．二、选择题16．如图，实数﹣3、x 、3、y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q解析：B【解析】【分析】【详解】 ∵实数-3，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ，∴原点在点P 与N 之间，∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N ．故选B ．17．当x 取2时，代数式(1)2x x -的值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：B【解析】【分析】把x 等于2代入代数式即可得出答案.【详解】解：根据题意可得：把2x =代入(1)2x x -中得： (1)21==122x x -⨯， 故答案为：B.【点睛】本题考查的是代入求值问题，解题关键就是把x 的值代入进去即可.18．若34(0)x y y =≠，则（ ）A ．34y 0x +=B ．8-6y=0xC ．3+4x y y x =+D ．43x y = 解析：D【解析】【分析】根据选项进行一一排除即可得出正确答案.【详解】解：A 中、34y 0x +=，可得34y x =-，故A 错；B 中、8-6y=0x ，可得出43x y =，故B 错；C 中、3+4x y y x =+，可得出23x y =，故C 错；D 中、43x y =，交叉相乘得到34x y =，故D 对.故答案为：D.【点睛】本题考查等式的性质及比例的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.19．一个由5个相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则从正面看到的平面图形是( )A．B．C．D．解析：A【解析】【分析】从正面看：共分3列，从左往右分别有1，1，2个小正方形，据此可画出图形．【详解】∵从正面看：共分3列，从左往右分别有1，1，2个小正方形，∴从正面看到的平面图形是，故选：A．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题时注意：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．20．下列判断正确的是（）A．有理数的绝对值一定是正数．B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．C．如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身．D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数．解析：C【解析】试题解析：A∵0的绝对值是0，故本选项错误．B∵互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确．C如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身．D ∵0的绝对值是0，故本选项错误．故选C ．21．若关于x 的方程234k x -=与20x -=的解相同，则k 的值为（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5 解析：D【解析】【分析】根据同解方程的定义，先求出x-2=0的解，再将它的解代入方程2k-3x=4，求得k 的值．【详解】解：∵方程2k-3x=4与x-2=0的解相同，∴x=2，把x=2代入方程2k-3x=4，得2k-6=4，解得k=5．故选：D ．【点睛】本题考查了同解方程的概念和方程的解法，关键是根据同解方程的定义，先求出x-2=0的解．22．-2的倒数是（ ）A ．-2B ．12-C ．12D ．2 解析：B【解析】【分析】根据倒数的定义求解.【详解】-2的倒数是-12故选B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握23．在0，1-， 2.5-，3这四个数中，最小的数是（ ）A ．0B ．1-C ． 2.5-D ．3 解析：C【解析】【分析】由题意先根据有理数的大小比较法则比较大小，再选出选项即可．【详解】解：∵ 2.5-<1-<0<3,∴最小的数是 2.5-，故选：C ．【点睛】本题考查有理数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力，注意正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．24．在222,7-四个数中，属于无理数的是（ ）A ．0.23B C ．2- D ．227解析：B【解析】【分析】根据无理数为无限不循环小数、开方开不尽的数、含π的数判断即可.【详解】0.23是有限小数，是有理数，不符合题意，是开方开不尽的数，是无理数，符合题意，-2是整数，是有理数，不符合题意，227是分数，是有理数，不符合题意， 故选：B.【点睛】本题考查无理数概念，无理数为无限不循环小数、开方开不尽的数、含π的数，熟练掌握无理数的定义是解题关键.25．下列选项中，运算正确的是（ ）A ．532x x -=B ．2ab ab ab -=C ．23a a a -+=-D ．235a b ab += 解析：B【解析】【分析】根据整式的加减法法则即可得答案.【详解】A.5x-3x=2x ，故该选项计算错误，不符合题意，B.2ab ab ab -=，计算正确，符合题意，C.-2a+3a=a ，故该选项计算错误，不符合题意，D.2a 与3b 不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意，故选：B.【点睛】本题考查整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解题关键.26．将方程3532x x --=去分母得（ ） A ．3352x x --=B ．3352x x -+=。
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图3
E
D B A 图2
E D B
A
图1
E
D C B A 1、如图，已知：点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB =AC ，DA =D
E ，∠BAC =∠ADE =α. ⑴如图1，当α=60°时，∠BCE = ；
（图1） （图2） （图3）
⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE 的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；
⑶如图3，当α=120°时，则∠BCE = ；
2、在平面直角坐标系xoy 中，直线6y x =+与x 轴交于A ，与于C .①求△ABC 的面积.
②D 为OA 延长线上一动点，以BD EA 的解析式.
③点E 是y 轴正半轴上一点，且∠OAE =30°，OF 点，点N 是线段AO 小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.
3. 如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分）
（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF
（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
（6分）
4. （本题12分）如图①，直线AB 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点. OA 、OB 的长度分别为a 和b ，且满足2
2
20a ab b -+=.
⑴判断△AOB 的形状.
⑵如图②，正比例函数(0)y kx k =<的图象与直线AB 交于点Q ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=9，BN=4，求MN 的长.
⑶如图③，E 为AB 上一动点，以AE 为斜边作等腰直角△ADE ，P 为BE 的中点，连结PD 、PO ，试问：线段PD 、PO 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.
①
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
1、如图，已知：点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB =AC ，DA =DE ，∠BAC =∠ADE =α. ⑴如图1，当α=60°时，∠BCE =120°；
⑵如图2，当α=90°时，试判断∠BCE 的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；
证明：如图，过D 作DF ⊥BC ，交CA 或延长线于F . 易证：△DCE ≌△DAF ，得∠BCE =∠DFA =45°或135°.
⑶如图3，当α=120°时，则∠BCE =30°或150°； 2、①求△ABC 的面积=36；
②D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边做等腰直角三角形BDE ，连结EA .求 解：过E 作EF ⊥x 轴于F ，延长EA 交y 轴于H . 易证：△OBD ≌△FDE ；得：DF =BO =AO ，EF =OD ； ∴AF =EF ，∴∠EAF =45°，∴△AOH 为等腰直角三角形. ∴OA =OH ，∴H （0，-6）
∴直线EA 的解析式为：6y x =--；
③解：在线段OA 上任取一点N ，易知使OM +NM 的值最小的是点O 到点N 关于直线AF 对称点N’之间线段的长.当点N 运动时，ON ’最短为点O 到直线AE 的距离，即点O 到直线AE 的垂线段的长. ∠OAE =30°，OA=6，所以OM +NM 的值为3.
3. （1）A （－3，0） B （0，3） C （0，－3）…………………………………………2分
3y x =--……………………………………………………………………………3分
（2）画图……………………………………………………………………………………4分
答：BE CF EF +=…………………………………………………………………5分 易证△BEA≌△AFC…………………………………………………………………6分 ∴BE ＝AF ，EA ＝FC ，
∴BE ＋CF ＝AF ＋EA ＝EF……………………………………………………………7分
（3）①对，OM ＝3…………………………………………………………………………8分 过Q 点作QH⊥y 轴于H ，则△QCH≌△PBO………………………………………9分 ∴QH ＝PO ＝OB=CH
∴△QHM≌△POM………………………………………………………………10分 ∴ HM ＝OM
∴OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM ∴ OM ＝
1
2
BC ＝3………………………………………………………………12分 4. 解：⑴等腰直角三角形 ………………………………………………1分
∵2
2
20a ab b -+= ∴2
()0a b -= ∴a b =
∵∠AOB=90° ∴△AOB 为等腰直角三角形 …………………4分 ⑵∵∠MOA+∠MAO=90°,∠MOA+∠MOB=90° ∴∠MAO=∠MOB
∵AM ⊥OQ ，BN ⊥OQ ∴∠AMO=∠BNO=90°
在△MAO 和△BON 中MAO MOB AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△MAO ≌△NOB
∴OM=BN,AM=ON,OM=BN
∴MN=ON-OM=AM-BN=5 ……………………………………8分
⑶PO=PD 且PO ⊥PD
如图，延长DP 到点C ，使DP=PC,连结OP 、OD 、OC 、BC
在△DEP 和△CBP DP PC DPE CPB PE PB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DEP ≌△CBP ∴CB=DE=DA,∠DEP=∠CBP=135°
在△OAD 和△OBC DA CB DAO CBO OA OB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OAD ≌△OBC
∴OD=OC,∠AOD=∠COB
∴△DOC 为等腰直角三角形
∴PO=PD ，且PO ⊥PD. ……………………………………………12分。