(高中)高一数学《指数函数》典型综合测试题梳理(附答案详细解析)汇总
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结单选题1、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．2、基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天答案：B分析：根据题意可得I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，根据e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，解得t 1即可得结果. 因为R 0=3.28，T =6，R 0=1+rT ，所以r =3.28−16=0.38，所以I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天， 则e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，所以e 0.38t 1=2，所以0.38t 1=ln2， 所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 3、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.4、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a3·√a6=(−a)13⋅a16=−a13⋅a16=−a13+16=−a12=−√a.故选：A.6、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.7、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个， 故选：A8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、已知函数f (x )=log 3(x 2−1)，g (x )=x 2−2x +a ，∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的可能取值是（ ）A ．12B ．1C ．52D ．3 答案：CD分析：将问题转化为当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)等价于当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ．当x ∈[2,+∞)时，令t =x 2−1，则y =log 3t ，因为t =x 2−1在[2,+∞)上为增函数，y =log 3t 在定义域内为增函数，所以函数f (x )=log 3(x 2−1)在[2,+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (2)=1． g (x )=x 2−2x +a 的图象开口向上且对称轴为x =1， ∴当x ∈[13,3]时，g (x )min =g (1)=a −1，∴1≤a −1，解得a ≥2． 故选：CD ．10、已知x 1+log 3x1=0，x 2+log 2x2=0，则（ ）A．0<x2<x1<1B．0<x1<x2<1C．x2lgx1−x1lgx2<0D．x2lgx1−x1lgx2>0答案：BC分析：根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.由x1=−log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，因为x∈(0,1)时，恒有log2x<log3x所以x1−x2=log2x2−log3x1<0，即x1<x2，故A错误B正确；因为0<x1<x2<1，所以lgx1<lgx2<0，即0<−lgx2<−lgx1，由不等式性质可得−x1lgx2<−x2lgx1，即x2lgx1−x1lgx2<0，故C正确D错误.故选：BC小提示：关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得0<x1<x2<1是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD，属于中档题.11、已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，则（）A．函数f(x)+g(x)的定义域为(−1,1)B．函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)−g(x)在区间(0,1)上是减函数答案：AB解析：求出函数f(x)+g(x)和f(x)−g(x)的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．解：∵f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，∴f(x)+g(x)=log a(x+1)+log a(1−x)，由x+1>0且1−x>0得−1<x<1，故A对；由f(−x)+g(−x)=log a(−x+1)+log a(1+x)=f(x)+g(x)得函数f(x)+g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵−1<x<1，∴f(x)+g(x)=log a(1−x2)，∵y=1−x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)+g(0)=log a(1−0)=0；当a>1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故 C错；∵f(x)−g(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，当0<a<1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递减，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递增，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递增；故D错；故选：AB．小提示：本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．填空题12、若f(x)=1+a3x+1(x∈R)是奇函数，则实数a=___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.13、心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将A=200，L(5)=20带入即可得出结论. 由题意可知200(1−e−5k)=20，所以，e−5k=0.9，所以ln e−5k=ln0.9≈−0.105，解得k≈0.021．所以答案是：0.021.14、已知函数f(x)={e x−1,x≥0，ax2+x+a,x<0恰有2个零点，则a=__________．答案：12##0.5分析：先求得f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，则方程ax2+x+a=0有1个负根，a=0时不成立，a≠0时，由一元二次方程的性质分Δ=0和Δ>0讨论求解即可.当x≥0时，令f(x)=e x−1=0，解得x=0，故f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，即方程ax2+x+a=0有1个负根.当a=0时，解得x=0，显然不满足题意；当a≠0时，因为方程ax2+x+a=0有1个负根，所以Δ=1−4a2≥0.当Δ=1−4a2=0，即a=±12时，其中当a=12时，12x2+x+12=0，解得x=−1，符合题意；当a=−12时，−12x2+x−12=0，解得x=1，不符合题意；当Δ=1−4a2>0时，设方程ax2+x+a=0有2个根x1，x2，因为x1x2=1>0，所以x1，x2同号，即方程ax2+x+a=0有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，a=12．所以答案是：0.5.解答题15、已知函数f(x)=log2(2x+1).（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log2(2x−1)(x>0)，若关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]有解，求m的取值范围.答案：（1）{x|x>0}；（2）[log213,log235].分析：（1）由f(x)>1可得2x+1>2，从而可求出不等式的解集，（2）由g(x)=m+f(x)，得m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，再由x∈[1,2]可得log2(1−22x+1)的范围，从而可求出m的取值范围（1）原不等式可化为2x+1>2，即2x>1,∴x>0，所以原不等式的解集为{x|x>0}（2）由g(x)=m+f(x)，∴m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，当1≤x≤2时，25≤22x+1≤23，13≤1−22x+1≤35，m∈[log213，log235]。
高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）
高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）一、选择题：1、已知(10)xf x =，则(5)f =（ ））A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >¹，下列说法中，正确的是（，下列说法中，正确的是（ ））①若M N =则log log aa M N =； ②若loglog aaM N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a aM N=。
A 、①②③④、①②③④ B 、①③、①③ C 、②④、②④ D 、②、②3、设集合2{|3,},{|1,}xS y y x R T y y x x R ==Î==-Î，则S T 是 （ ）） A 、Æ B 、T C 、S D 、有限集、有限集 4、函数22log (1)y x x =+³的值域为（的值域为（ ））A 、()2,+¥B 、(),2-¥C 、[)2,+¥D 、[)3,+¥5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -æö===ç÷èø，则（，则（ ））A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 6、在(2)log(5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ）） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++×等于（等于（ ））A 、0B 、1C 、2D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（表示是（ ））A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x=，则10x-等于（等于（）） A 、15 B 、15- C 、150 D 、16251010、若函数、若函数2(55)xy a a a =-+×是指数函数，则有（是指数函数，则有（ ））A 、1a =或4a =B 、1a =C 、4a =D 、0a >，且1a ¹ 11、当1a >时,在同一坐标系中, 函数xy a -=与log xa y =的图象是图中的（的图象是图中的（ ））12、已知1x ¹，则与x 3log 1+x 4log 1+x5log 1相等的式子是（相等的式子是（ ）） A 、x 60log 1 B 、3451log log log x x x ×× C 、 60log 1x D 、34512log log log x x x ×× 1313、、若函数()l o g (01)af x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ））A 、24B B、、22C C、、14D D、、121414、下图是指数函数（、下图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =x ，（4）x y d =x的图象，则的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（的大小关系是（ ））A 、1a b c d <<<<B B、、1b a d c <<<<C 、1a b c d <<<<D D、、1a b d c <<<< 1515、若函数、若函数my x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，轴有公共点，则m 的取值范围是（的取值范围是（ ））A 、1m £-B B、、10m -£<C C、、1m ³D D、、01m <£二、填空题：1616、指数式、指数式4532-ba 化为根式是化为根式是 。
高一数学指数函数试题答案及解析
高一数学指数函数试题答案及解析1.（本小题12分）不用计算器求下列各式的值⑴⑵【答案】(1)(2)【解析】（1）……6分（2）……12分【考点】本小题主要考查指数和对数的运算，考查学生的运算求解能力.点评：指数和对数的运算性质的灵活应用是解决此类问题的关键，另外也经常用到. 2.要使方程x＋px＋q = 0的两根a、b满足lg(a＋b) = lga＋lgb，试确定p和q应满足的关系．【答案】p＋q = 0且q＞0【解析】由已知得，又lg(a＋b) = lga＋lgb，即a＋b = ab，再注意到a＞0，b＞0，可得－p = q＞0，所以p和q满足的关系式为p＋q = 0且q＞0．3.计算：＝【答案】【解析】原式4.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，当时，，则，解得，故选A。
点睛：利用分离参数法得到，因为对任意的，不等式恒成立，则只需，解得，最后求得的取值范围。
函数恒成立问题，分离参数法是最常用的方法，属于含参函数题型的通法之一。
5.已知：，则__________．【答案】2【解析】由题意得.6.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A。
7.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.8.化简计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；（2）根据对数的运算法则及特殊值的对数即可求解.试题解析：（1）原式．（2）原式．9.函数y＝a x(－2≤x≤3)的最大值为2，则a＝________．【答案】或【解析】当0<a<1时，y＝a x在[－2，3]上是减函数，＝a－2＝2，得a＝；所以ymax当a>1时，y＝a x在[－2，3]上是增函数，＝a3＝2，解得a＝.综上知a＝或.所以ymax10.要得到函数y＝21－2x的图像，只需将指数函数y＝的图像()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】，所以可以由图象右移个单位，故选D。
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设，则的大小关系是（）.A．B．C．D．【解析】，，，因此.【考点】指数函数和对数函数的性质.2.三个数，，之间的大小关系（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于，当时；对于，当时，；对于，当时，；故.【考点】对数函数，指数函数的性质.3.．【答案】【解析】原式=【考点】指数与对数4.如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是．【答案】【解析】设，则，因为AC平行于y轴，所以，因此.又三点三点共线，所以由得，因此.【考点】指数函数运算，向量共线.5.将函数的图像向左平移一个单位，得到图像，再将向上平移一个单位得到图像，作出关于直线对称的图像，则的解析式为 .【答案】【解析】根据平移口诀“上加下减”可得函数解析式为，函数解析式为，因为图像与图像关于直线对称，所以函数与函数互为反函数。
因为，所以，解得，所以，所以函数的反函数为，即的解析式为。
【考点】图像平移，指数和对数的互化。
6.已知,且，则A的值是（）A．15B．C．±D．225【答案】B【解析】由得到代入到得：，利用换底法则得到，所以故选B【考点】指数函数综合题．7.三个数，之间的大小关系是A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以；；。
所以。
故C正确。
【考点】指数函数和对数函数的单调性及运算。
8.计算:⑴ ;⑵．【答案】（1）；（2）．【解析】对于（1），主要是利用指数幂的运算性质进行化简求值；对于（2），主要是利用对数的运算性质进行化简求值，要求熟练的掌握指数幂和对数的运算性质．试题解析:（1）原式；（2）原式.【考点】本题主要考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．.9.【答案】(1)；（2）1.【解析】（1）由指数的运算法则，原式==；（2）由对数的运算法则，原式===1.试题解析：（1）原式= 5分= 7分（2）原式= 10分= 12分=1 14分考点:1、有理数指数幂的运算性质；2、对数的运算性质.10.已知，.（1）求的解析式；（2）解关于的方程（3）设，时，对任意总有成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）当时，方程无解当时，解得若，则若，则（3）【解析】(1)利用换元法求解函数的解析式,设,则,代入即得解析式(2)依题意将方程中化简得,然后分和分别求解,(3)对任意总有成立，等价于当时，,然后分的取值来讨论.试题解析：解：（1）令即，则即(2)由化简得：即当时，方程无解当时，解得若，则若，则（3）对任意总有成立，等价于当时，令则令①当时，单调递增，此时，即（舍）②当时,单调递增此时，即③当时，在上单调递减，在上单调递增且即，综上:【考点】本题考查指数函数的性质及闭区间上的最值问题，考查了恒成立问题转化为求函数最值及分类讨论.11.计算 .【答案】14【解析】【考点】指数幂的运算；对数的运算12. (1)(2)计算【答案】(1) (2)【解析】（1）通过指数形式转化为对数的形式，让后再运算.（2）通过把除号改写为分数线，再把负指数化为正指数.再运算.试题解析：【考点】1.指数转化为对数形式.2.分式的运算.13.已知，则____________________．【答案】1【解析】由已知得，，，所以，，故.【考点】1.指数式与对数式之间的互化；2.对数运算.14.已知，则的增区间为_______________．【答案】（或）【解析】令函数，因为，，由函数零点存在性定理知，所以函数为减函数，又由函数的单调递减区间为，故所求函数的增区间为.【考点】1.函数的零点；2.指数函数；3.二次函数.15.函数的图象可能是（）【答案】D【解析】，，排除A；当时，排除B；当时，排除C.故选D.【考点】指数函数的图像变换16.对于函数)中任意的有如下结论：①；②；③；④；⑤.当时，上述结论中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】当时,，①错误；，②正确；，③正确；当时，，④错误；因为是上的递增函数，即：时，，或时，，因此与同号，所以，⑤正确.【考点】指数函数的性质17.化简或求值：（1）;（2）计算.【答案】(1)；(2)1.【解析】(1)将小数化成分数，利用指数幂的运算法则；（2）对于比较复杂的式子，把它拆成几部分分别化简或计算.本小题利用对数的运算法则分别对分子和分母进行求值.试题解析：（1）原式= 3分. 6分（2）分子=； 9分分母=；原式=. 12分【考点】指数幂与对数的运算法则.18.指数函数f(x)的图象上一点的坐标是(－3，)，则f(2)＝______________．【答案】4【解析】令指数函数为，其过点(－3，)，则，求得，所以，f(2)＝。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数习题(经典含答案及详细解析)
指数函数习题一、选择题1．概念运算⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ，那么函数x x f 21)(⊗=的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 知足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，那么f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，那么k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的概念域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的概念域是B ，假设A ⊆B ，那么正数a 的取值范围( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 55．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-77)3)(3()(6x a x x a x f x ，假设数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，那么实数a 的取值范围是( )A ．[94，3) B ．(94，3) C ．(2,3)D ．(1,3) 6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14)∪[4，＋∞) 二、填空题7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，那么a 的值是________． 8．假设曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 的取值范围是________．9．(2020·滨州模拟)概念：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的概念域为[a ，b ]，值域为[1,2]，那么区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝2342x x ---+的概念域、值域和单调区间．11．(2020·银川模拟)假设函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的概念域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)假设函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a ≤b b a >b 得f (x )＝1⊗2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≤0，1 x >0.答案：A2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2.又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，那么3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )．若x <0，那么3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，因此有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案：C4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，那么u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，因此函数u (x )在(1,2)上单调递增，那么u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3.答案：B5. 解析：数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a >13－a >0a 8－6>3－a ×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2， 当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1， 综上，12≤a <1或1<a ≤2. 答案：C7. 解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32. 答案：12或328. 解析：别离作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判定参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如下图，由图象可得：若是|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 应知足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]9. 解析：如图知足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数成心义，那么只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1.∴函数的概念域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，那么t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254， ∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，现在x ＝－32，t min ＝0，现在x ＝－4或x ＝1. ∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52. ∴函数y ＝2341()2x x --+[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知， 当－4≤x ≤－32时，t 是增函数， 当－32≤x ≤1时，t 是减函数． 依照复合函数的单调性知：y ＝1()2在[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数． ∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]． 11. 解：令a x ＝t ，∴t >0，那么y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．②假设0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝(1a＋1)2－2＝14. ∴a ＝13或－15(舍去)． 综上可得a ＝3或13. 12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，因此实数λ的取值范围是λ≤2.法二：(1)同法一．(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，因此实数λ的取值范围是λ≤2.。
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.函数的图像过一个定点，则定点的坐标是【答案】（2,2）【解析】当x=2时，f（2）=a2-2+1=a0+1=2，∴函数y=a x-2+1的图象一定经过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【考点】含有参数的函数过定点的问题.2.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】由数形结合可知，两函数图像在直线两侧各有4个交点，其两两关于对称。
不妨令。
则所有交点横坐标之和为。
故C正确。
【考点】1函数图像；2余弦函数的周期；3数形结合思想。
3.已知幂函数的图象过点，则．【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算4.（1）计算.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用对数恒等式、换底公式、对数的运算性质进行计算；（2）首先对已知等式进行平方求得的值，再对其平方可求得的值，最后代入所求式即可求得结果．试题解析：（1）原式=．（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴原式．【考点】1、对数的运算性质；2、对数的换底公式；3、指数的运算性质．5.已知函数，则＝．【答案】【解析】根据题题意：，，故．【考点】1.分段函数；2.指数、对数运算.6.三个数，，的大小顺序是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性.7.计算的值为_________.【答案】2【解析】原式【考点】根式、指数、对数的运算8.三个数大小的顺序是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，.，，，，故选A【考点】考察指数函数，和对数函数，分别与1和0的之对比.9.若实数，满足，则关于的函数的图象形状大致是（）【答案】B【解析】由等式，可得，根据指数函数的图像可知（或者根据函数的奇偶性、单调性、特殊值来判断），正确答案为B.【考点】1.对数式与指数式的互化；2.指数函数图像、奇偶性、单调性.10.若a＜0，＞1，则( )A．a＞1,b＞0B．a＞1,b＜0C．0＜a＜1,b＞0D．0＜a＜1,b＜0【答案】D【解析】是上的增函数,由,所以是上的减函数, 由,所以故选D【考点】指数函数,对数函数的单调性.11.三个数的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】判断几个数的大小多用构造函数单调性来解题.因为是上的减函数,所以因为是上的减函数,所以因为是上的增函数,所以故选D【考点】用指数函数与对数函数单调性比较大小，转化思想应用.12.若，则函数的图象一定过点_______________.【答案】【解析】由函数过定点，令，即时，恒等于-3，故函数图像过定点；故答案为：.【考点】指数函数的图像和性质.13.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由对数函数的性质知：，所以答案选.【考点】1.指数大小比较；2.对数函数的性质.14.计算：（1）；（2）【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）直接采用换底公式计算即可；（2）利用指数幂的运算性质逐个运算即可.试题解析：（1）原式=（2）原式=【考点】1.换底公式的应用；2.指数幂的化简求值.15.函数的图象一定过点（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于函数，令x-1=0，x=1，可知函数值为2，故可知函数一定过点，选B.【考点】指数函数点评：本试题主要是考查了指数函数恒过（0，1）点的运用，属于基础题。
高一数学指数函数试题答案及解析
高一数学指数函数试题答案及解析1.若函数的图像经过第二，第三和第四象限，则一定有A．B．C．D．【答案】A【解析】根据指数函数的图象可知要使函数的图象经过第二，第三和第四象限，需要，即.【考点】本小题主要考查指数函数的图象和平移，考查学生对函数图象平移的掌握.点评：解决此类问题，一定要画出函数的图象，数形结合是解决问题的有力工具，要灵活应用.2.（本小题满分12分）（1）化简（2）计算的值【答案】（1）（2）【解析】（1）原式=. ……6分（2）原式=. ……12分【考点】本小题主要考查指数、对数的化简求值，考查学生的运算求解能力.点评：要解决此类问题，需要正确灵活的应用指数、对数的运算公式和运算性质.3.已求函数的单调区间.【答案】当0<a<1时，函数在上是减函数，在上是增函数；当a>1时，函数在上是增函数，在上是减函数.【解析】解：由>0得0<x<1，所以函数的定义域是(0,1)因为0<=，所以，当0<a<1时,函数的值域为;当a>1时,函数的值域为当0<a<1时，函数在上是减函数，在上是增函数；当a>1时，函数在上是增函数，在上是减函数.4.已知2x＝5y＝10，则＋＝________【答案】1【解析】由2x＝5y＝10得x＝log210，y＝log510，＋＝＋＝lg2＋lg5＝1.5.计算：＝【答案】【解析】原式6.已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是【答案】(0,1)【解析】由函数f (x)的定义域是（1，2）得;则函数的定义域为（0,1）7.函数y=()(-3)的值域是_____________【答案】[（）9，39]【解析】；所以又是减函数；所以即所以函数y=()(-3)的值域是[（）9，39]。
8.定义运算为：，例如：，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可得，，∵时，，综上可得，的取值范围是，故答案为.9.已知，则三者的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象与性质可知：；由函数的图象与性质可知：；∴故选：A10.若，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选A.11.（1）计算；（2）已知，，试用表示.【答案】(1)4；(2).【解析】(1)由题意结合分数指数幂的运算法则计算可得原式的值为4；(2)由题意结合换底公式可得.试题解析：（1）.（2）.12.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.13.的值为________．【答案】【解析】。
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（高中）高一数学《指数函数》典型综合测试题梳理（附答案详细解析）汇总1．若log 3a<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13 b>1，则( D ) A ．a>1，b>0 B ．0<a<1，b>0 C ．a>1，b<0 D ．0<a<1，b<02．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln (x ＋1)，则函数f(x)的图象为( D )A. B. C. D. 3．下列函数中，在(0，2)上单调递增的是( D )A ．y ＝log 12(x ＋1) B ．y ＝log 2x 2－1 C ．y ＝log 21x D ．y ＝log12(x 2－4x ＋5)【解析】 选项 A ，C 中的函数为减函数；(0，2)不是选项B 中函数的定义域；选项D 中，函数y ＝x 2－4x ＋5恒大于零且在(0，2)上单调递减，又12<1，故y ＝log12(x 2－4x ＋5)在(0，2)上单调递增．4．若函数f(x)＝a x＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为B A ．14 B ．12C ．2D ．4 【解析】 当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12 (舍去)；当0＜a ＜1时，1＋a＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝12.6．【多选题】 若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形函数”．给出的下列四个函数中，与函数y ＝log 2x 是“同形函数”的是( BD )A ．y ＝2log 2(x ＋1)B ．y ＝log 2(x ＋2)C ．y ＝log 2x 2D ．y ＝log 2(2x) 【解析】 y ＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴向右平移2个单位，得到y ＝log 2x 的图象，y ＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后得到y ＝log 2x 的图象，根据“同形函数”的定义，可知选BD.7．函数y ＝3x(x≥2)的反函数g(x)＝__log 3x ，x ∈[9，＋∞)__.8．若定义域为(－2，－1)的函数f(x)＝log (2a －3)(x ＋2)满足f(x)<0，则实数a 的取值范围是__(2，＋∞)__，函数f(x)是__增函数__(填“增函数”或“减函数”).【解析】 由x∈(－2，－1)，得0<x ＋2<1.又log (2a －3)(x ＋2)<0，所以2a －3>1，解得a>2，函数f(x)是增函数．9．已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0，则不等式f(log 4x)<0的解集是__⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x<2 __．【解析】 由题意及f(log 4x)<0，得－12 <log 4x<12 ，即log 44－12 <log 4x<log 4412，解得12<x<2.10．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为__(－∞，－3]__．【解析】 令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，因为y ＝log 12t 为减函数，所以y ＝log 12t≤log 128＝－3.11．已知函数f(x)＝log 12 (x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是__(－4，4]__．【解析】 二次函数y ＝x 2－ax ＋3a 图象的对称轴为x ＝a 2 ，由已知，有a 2 ≤2，且满足当x≥2时y ＝x 2－ax ＋3a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a ＞0， 解得－4＜a≤4.12．已知函数f(x)＝log a (2＋x)－log a (2－x)(a ＞0，且a ≠1).(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)求满足f(x)＞0的实数x 的取值范围．解：(1)函数f(x)是奇函数．证明如下：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞0，2－x ＞0， 解得－2＜x ＜2，所以函数f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称．又f(－x)＝log a (2－x)－log a (2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由f(x)＞0得log a (2＋x)＞log a (2－x)，①当a ＞1时，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，2＋x ＞2－x ， 解得0＜x ＜2；②当0＜a ＜1时，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，2＋x ＜2－x ， 解得－2＜x ＜0.综上可知，当a ＞1时，x 的取值范围是(0，2)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－2，0).13．【多选题】 已知函数f(x)＝(log 2x)2－log 2x 2－3，则下列说法正确的是( ABC ) A ．f(4)＝－3 B ．函数y ＝f(x)的图象与x 轴有两个交点 C ．函数y ＝f(x)的最小值为－4 D ．函数y ＝f(x)的最大值为4【解析】 A 正确，f(4)＝(log 24)2－log 242－3＝－3；B 正确，令f(x)＝0，得(log 2x ＋1)(log 2x －3)＝0，解得x ＝12 或x ＝8，即f(x)的图象与x 轴有两个交点；C 正确，因为f(x)＝(log 2x－1)2－4(x ＞0)，所以当log 2x ＝1，即x ＝2时，f(x)取最小值－4；D 错误，f(x)没有最大值，故选ABC.14．已知a ＝log 23＋log 2 3 ，b ＝log 29－log 2 3 ，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为__a ＝b>c__．【解析】 由题意得a ＝32 log 23，b ＝log 232－12＝32 log 23>32，c ＝log 32<1，故a ＝b>c.15．判断函数f(x)＝log 2(x ＋1＋x 2)的奇偶性．解：要使函数有意义，需满足x ＋1＋x 2>0，所以x∈R，故函数的定义域为R ，关于原点对称．因为f(－x)＋f(x)＝log 2(－x ＋1＋x 2 )＋log 2(x ＋1＋x 2 )＝log 2(1＋x 2－x 2)＝log 21＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即该函数为奇函数．16．已知函数f(x)＝lg (3x－3). (1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg (3x＋3)，若不等式h(x)>t 无解，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意得，3x －3>0，解得x>1，所以函数f(x)的定义域为(1，＋∞).因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以值域为R ．(2)因为h(x)＝lg (3x －3)－lg (3x＋3)＝lg 3x－33x ＋3 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3 ，所以h(x)的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上单调递增．又因为0<1－63x＋3<1，所以函数h(x)的值域为(－∞，0).若不等式h(x)>t 无解，则t 的取值范围是t≥0.1．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是g (x )，且g ⎝⎛⎭⎫14＝－1，则f ⎝⎛⎭⎫－12等于( ) A ．2 B ．2 C ．12 D ．2222．若函数y ＝e x 的图像与函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R )B ．f (2x )＝ln2·ln x (x >0)C ．f (2x )＝2e x (x ∈R )D ．f (2x )＝ln x ＋ln2(x >0) 3．函数y ＝1＋a x (0<a <1)的反函数的图像大致是( )4．设函数f (x )＝a x ，g (x )＝，h (x )＝log a x ，正实数a 满足a 0.5<a 0.2，则当x >1时必有( ) A ．h (x )<g (x )<f (x ) B ．h (x )<f (x )<g (x ) C ．f (x )<g (x )<h (x ) D ．f (x )<h (x )<g (x )1．解析：由已知得g (x )＝log a x .因为g ⎝⎛⎭⎫14＝log a 14＝－1，所以a ＝4，所以f (x )＝4x，故f ⎝⎛⎭⎫－12＝4－12＝12.答案：C2．解析：由题意，知f (x )＝ln x .故f (2x )＝ln (2x )＝ln x ＋ln2.答案：D3．解析：先画出y ＝1＋a x 的图像，由反函数的图像与原函数的图像关于直线y ＝x 对称可画出反函数的图像．答案：A4．B 解析：∵由a 0.5<a 0.2，知0<a <1，∴当x >1时，0<a x<1，x 12>1，log a x <0.∴h (x )<f (x )<g (x ).5．若函数y ＝2＋log 3x (x ≥1)，则该函数的反函数的定义域是________． 6．函数f (x )＝log a (3x －1)(a >0，且a ≠1)的反函数的图像过定点________． 7．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，则f －1⎝⎛⎭⎫45＝________． 5．解析：当x ≥1时，y ＝2＋log 3x ≥2，即该函数的值域为[2，＋∞)，因此其反函数的定义域为[2，＋∞).答案：[2，＋∞)6．解析：令3x －1＝1得x ＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝0，即f (x )图像过定点⎝⎛⎭⎫23，0，故它的反函数图像过定点⎝⎛⎭⎫0，23.答案：⎝⎛⎭⎫0，23 7．解析：令1－3x 1＋3x ＝45，得3x ＝19，即x ＝－2，故f －1⎝⎛⎭⎫45＝－2.答案：－2 8．求下列函数的反函数： (1)y ＝log 13(2x ＋1)； (2)y ＝2x ＋12x －1.8．解析：(1)由y ＝log 13(2x ＋1)，得2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫13y ，所以x ＝12×⎝⎛⎭⎫13y－12，对换x ，y 得y ＝12⎝⎛⎭⎫13x－12，所以y ＝log 13(2x ＋1)的反函数是y ＝12⎝⎛⎭⎫13x －12. (2)由y ＝2x ＋12x －1，得2x (y －1)＝y ＋1.∵y ≠1，∴2x ＝y ＋1y －1.①∵2x >0，∴y ＋1y －1>0，解得y >1或y <－1.故反函数的定义域是{x |x >1或x <－1}．由①式，得x ＝log 2y ＋1y －1.因此，所求的反函数为y ＝log 2x ＋1x －1(x <－1或x >1).9．若点A (1，2)既在函数f (x )＝ax 2＋b (x ≥0)的图像上，又在f (x )的反函数f －1(x )的图像上，求a ，b 的值．9．解析：∵f －1(1)＝2，∴f (2)＝1.又f (1)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝73．10．已知f (x )＝log 4(4x －1).(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性； (3)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的值域． 10．解析：(1)由4x －1>0，解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞).(2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(3)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[0，log 415].1．设a ＝log 0.50.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b1．解析：因为0＝log 0.51＜a ＝log 0.50.9＜log 0.50.5＝1，b ＝log 1.10.9＜log 1.11＝0，c ＝1.10.9＞1.10＝1，所以b ＜a ＜c ，故选B.2．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 12．解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图像(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图像依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3.答案：B 3．若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，34B ．⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0，1) 3．解析：当a ＞1时，log a 34＜0＜1，成立．当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数．由log a 34＜1＝log a a ，得0＜a ＜34.综上所述，0＜a ＜34或a ＞1.答案：B4．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是( )A ．(0，2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．[2，＋∞) 解析：－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254≤254，又－x 2＋3x ＋4＞0，则0＜－x 2＋3x ＋4≤254，函数y ＝log 0.4x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞).5．函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a ＝________．解析：当a ＞1时，f (x )的最大值是f (3)＝1，则log a 3＝1，∴a ＝3＞1.∴a ＝3符合题意．当0＜a ＜1时，f (x )的最大值是f (2)＝1.则log a 2＝1，∴a ＝2＞1.∴a ＝2不合题意，综上知a ＝3. 6．已知函数f (x )＝log 2a －x1＋x为奇函数，则实数a 的值为________.6．解析：由奇函数得f (x )＝－f (－x )，log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x ，a －x 1＋x ＝1－x a ＋x ，a 2＝1，因为a ≠－1，所以a ＝1.7．如果函数f (x )＝(3－a )x 与g (x )＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．7．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，则1＜a ＜2；若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1，无解．答案：(1，2) 8．比较下列各组对数值的大小：(1)log 151.6与log 152.9； (2)log 21.7与log 23.5；(3)log 123与log 153；(4)log 130.3与log 20.88．解析：(1)∵y ＝log 15x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9.(2)∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，而1.7＜3.5，∴log 21.7＜log 23.5.(3)借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图像，如图所示．在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log 123＜log 153.(4)由对数函数性质知，log 130.3＞0，log 20.8＜0，∴log 130.3＞log 20.8.9．已知log a (2a ＋3)＜log a 3a ，求a 的取值范围．9．解析：(1)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2a ＋3＜3a ，2a ＋3＞0，解得a ＞3.(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2a ＋3＞3a ，3a ＞0，解得0＜a ＜1.综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(3，＋∞).10．已知a ＞0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1，1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )＜0，求m 的取值范围．10．解析：(1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t ，所以f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(x ∈R ).(2)因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，且x ∈R ，所以f (x )为奇函数．当a ＞1时，a x －a －x 为增函数，并且注意到a a 2－1＞0，所以这时f (x )为增函数；当0＜a ＜1时，类似可证f (x )为增函数．所以f (x )在R 上为增函数．(3)因为f (1－m )＋f (1－2m )＜0，且f (x )为奇函数，所以f (1－m )＜f (2m －1). 因为f (x )在(－1，1)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜2m －1＜1，1－m ＜2m －1.解之，得23＜m ＜1.即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，1.一、选择题1．已知f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选D ∵－2＞－3，f (－2)＞f (－3)， 又f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，∴⎝⎛⎭⎫1a －2＞⎝⎛⎭⎫1a －3， ∴1a ＞1，∴0＜a ＜1. 2．函数f (x )＝12x ＋1在(－∞，＋∞)上( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析：选A u ＝2x ＋1为R 上的增函数且u ＞0，∴y ＝1u 在(0，＋∞)上为减函数，即f (x )＝12x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值． 3．已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－[ 3x －⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数．4．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12解析：选B 由已知，得0＜1－2a ＜1，解得0＜a ＜12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 5．设函数f (x )＝a－|x |(a ＞0且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－1)＞f (－2)B ．f (1)＞f (2)C ．f (2)＜f (－2)D ．f (－3)＞f (－2)解析：选D 由f (2)＝4得a －2＝4，又∵a ＞0，∴a ＝12，f (x )＝2|x |，∴函数f (x )为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选D.6．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2的单调递减区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：选B 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在R 上为减函数，欲求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12 x 2－2的单调递减区间，只需求函数u ＝x 2－2的单调递增区间，而函数u ＝x 2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．7．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3D ．32解析：选C 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.8．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，f (x )min＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，所以f (x )的值域为[1,9]．9．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－2)等于( )A ．－7B ．－3C ．7D ．3解析：选A 由f (x )为定义在R 上的奇函数知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1.因此f (－2)＝－f (2)＝－(22＋2×2－1)＝－7，故选A.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ，x ≥1，－x 2＋2ax －3，x ＜1在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(2，＋∞)D ．[1,2)解析：选B 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＞1，a ≥1，(a －1)1≥－12＋2a ×1－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≥1，a ≤3.即2＜a ≤3.故选B.二、填空题 11．若不等式322ax ax－>13对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式即为322ax ax－>3－1，则有ax 2－2ax >－1，即ax 2－2ax ＋1>0对一切实数x 恒成立． 当a ＝0时，满足题意；当a ≠0时，要满足题意，则需a >0且Δ＝(－2a )2－4a <0， 即a 2－a <0，解得0<a <1.综上，实数a 的取值范围是[0,1)． 答案：[0,1)12．若函数f (x )＝1＋a ·3x 在区间(－∞，1]内有意义，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意得1＋a ·3x ≥0在区间(－∞，1]上恒成立，即a ≥－13x 在区间(－∞，1]上恒成立，由－13x 在区间(－∞，1]上的最大值为－13，得a ≥－13.答案：⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ 13．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．解析：荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系式为y ＝2x .当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．答案：1914．函数f (x )＝3x －3－x3x ＋3－x＋2，若有f (a )＋f (a －2)＞4，则a 的取值范围是________．解析：设F (x )＝f (x )－2，则F (x )＝3x －3－x 3x ＋3－x ，易知F (x )是奇函数，F (x )＝3x －3－x 3x ＋3－x ＝32x －132x ＋1＝1－232x ＋1在R 上是增函数，由f (a )＋f (a －2)＞4得F (a )＋F (a －2)＞0， 于是可得F (a )＞F (2－a )，即a ＞2－a ，解得a ＞1. 答案：(1，＋∞) 三、解答题15．已知－1≤x ≤1，求函数y ＝4·3x －2·9x 的最大值． 解：因为y ＝4·3x －2·9x ＝4·3x －2·(3x )2 令t ＝3x ，则y ＝4t －2t 2＝－2(t －1)2＋2， 因为－1≤x ≤1，所以13≤3x ≤3，即t ∈⎣⎡⎦⎤13，3. 又因为y ＝4t －2t 2的对称轴t ＝1∈⎣⎡⎦⎤13，3， 所以当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2. 16．已知函数y ＝22x －1－3·2x ＋5. (1)如果y ＜13，求x 的取值范围； (2)如果0≤x ≤2，求y 的取值范围． 解：由题意知y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.(1)由y ＜13，得(2x )2－6·2x －16＜0， 所以(2x －8)(2x ＋2)＜0，因为2x ＋2＞0，所以2x －8＜0，解得x ＜3， 所以x 的取值范围为(－∞，3)． (2)因为0≤x ≤2，所以1≤2x ≤4，而y ＝12(2x －3)2＋12，于是当2x ＝3时，y 取得最小值，且最小值为12；当2x ＝1时，y 取得最大值，且最大值为52.所以y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，52.17．(2018·荆州中学期中)设函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1210－ax ，a 是不为零的常数． (1)若f (3)＝12，求使f (x )≥4的x 的取值范围；(2)当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值是16，求a 的值．解：(1)由f (3)＝12得a ＝3，不等式f (x )≥4可化为23x －10≥22，∴x ≥4， 故x 的取值范围是[4，＋∞)．(2)当a ＞0时，f (x )＝2ax－10是增函数， 则22a －10＝16，所以a ＝7； 当a ＜0时，f (x )＝2ax －10是减函数，则2－a －10＝16，所以a ＝－14.综上，a ＝－14或a ＝7.18．对于函数f (x )＝a －22x＋1(x ∈R )． (1)判断并证明函数的单调性；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )为奇函数？证明你的结论．解：(1)函数f (x )为R 上的增函数．证明如下：函数f (x )的定义域为R .任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －221x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222x ＋1＝222x ＋1－221x ＋1＝2(21x －22x )(22x ＋1)(21x ＋1). 因为y ＝2x 是R 上的增函数，x 1＜x 2，所以21x －22x ＜0，又2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )为R 上的增函数．(2)因为x ∈R ，f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即a ＝1.所以存在实数a ＝1，使函数f (x )为奇函数．证明如下：当a ＝1时，f (x )＝1－22x ＋1＝2x －12x ＋1.对任意x ∈R ，f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，又f (x )的定义域为R ，故f (x )为奇函数． 1．函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( )A ．8B ．32C ．4D ．2 解析：选D 函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，∴2a －3＝1，解得a ＝2.∴f (x )＝2x ，∴f (1)＝2．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，对于任意实数x ，y 都有( )A ．f (xy )＝f (x )f (y )B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ) 解析：选C f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )．故选C.3．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2解析：选C 由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4.4．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( ) A. 6B ．1C ．2 2D ．0解析：选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ，即33＝3a 2，∴a 2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A. 5．某产品计划每年成本降低p %，若三年后成本为a 元，则现在成本为( )A ．a (1＋p %)元B ．a (1－p %)元C ．a (1－p %)3元D ．a (1＋p %)元 解析：选C 设现在成本为x 元，则x (1－p %)3＝a ，∴x ＝a (1－p %)3. 6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，则x ＝________.解析：因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a ＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1.7．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________. 解析：因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 8．某厂2018年的产值为a 万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．解析：2018年产值为a ，增长率为7%.2019年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)(万元)． 2020年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7%＝a (1＋7%)2(万元)．……2022年的产值为a (1＋7%)4万元．9．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x 是指数函数．(1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性，并加以证明．解：(1)由a 2＋a －5＝1，可得a ＝2或a ＝－3(舍去)，∴f (x )＝2x .(2)F (x )＝2x －2－x ，∴F (－x )＝－F (x )，∴F (x )是奇函数．10．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)为多少？解：∵21＋22＋23＋24＋25＝62，21＋22＋23＋24＋25＋26＝126.∴n ≥6，故最少需要6天．1．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3 ＝4＋3＝7.2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过________小时．解析：∵细胞分裂一次时有21个细胞，分裂2次时变为2×2＝22个细胞，分裂3次时变为2×2×2＝23个细胞…，∴当分裂n 次时变为2n 个细胞，故可得出2n ＝4 096，∵212＝4 096，∴n ＝12，∵细胞15分钟分裂一次，∴细胞分裂12次所需的时间为12×15＝180分钟＝3小时．故这种细菌由1个分裂为4 096个，这个过程要经过3小时．故答案为3.3．已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0，且a ≠1)． 1)若f (2)＝35，求f (x )解析式；(2)讨论f (x )奇偶性． 解：(1)∵f (x )＝a x －1a x ＋1，f (2)＝35.即a 2－1a 2＋1＝35，∴a ＝2.即f (x )＝2x －12x ＋1. (2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 4．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x 年后，此市人口数为y (万)．(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？解：(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2021年年底的人口数为 130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x 年后的人口数为130(1＋3‰)x (万)． 即y ＝f (x )＝130(1＋3‰)x (x ∈N *)．(2)2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134＜135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)．所以2031年年底的人口数将达到135万．。