高三数学课件专题三数列

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高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）

⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。

高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)

数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 5．倒序相加法把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．

高三数学第五模块第3节等比数列的概念与性质课件新人教A

(1)证明：由 a1＋S1＝1 及 a1＝S1 得 a1＝12. 又由 an＋Sn＝n 及 an＋1＋Sn＋1＝n＋1 得 an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1. ∴2(an＋1－1)＝an－1，即 2bn＋1＝bn. ∴数列{bn}是以 b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．
(2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列， ∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1， ∴ a1 ， a3 ， a5 ， … ， a2n － 1 ， … 与 a2 ， a4 ， a6 ， … ， a2n，…都是公比为3的等比数列． ∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1， ∴bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1.
解：要确定一个等比数列，只需求出它的首项a1和公比q即可．利用已知条件，可得首项a1和公比q的两个方程，解之可得数列{an}，从而S8可求得．
设数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知条件得： a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*) a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.
()
A．2
7 B.3
8 C.3
D．3
思路分析：观察题目的结构特点知，本题涉及S3，S6， S9之间的关系，可考虑用等比数列的前n项和的性质求解．
解析：根据等比数列的性质知，若 Sn 是等比数列的前 n 项和(Sk≠0)，则 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)也成等比数列，于是，S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列．
考纲要求
1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．

[精]高三第一轮复习全套课件3数列：数列的综合应用

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证明：①根据 S n a n
a 1 , ( n 1) 得 an=a+(n─1) 2b, S n S n 1 , ( n 2 )
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例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且 b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设 a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1,P2,P3 都落在圆外的 r 的取值范围
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解：①依题意，由{an}是等差数列，有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时，方程成立，因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列
∴{an}是等差数列，首项为 a,公比为 2b
②由 x=an=a+(n─1)2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法）

高三数学专题——数列

第二讲数列● 高考风向标数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场． ● 典型题选讲例１若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为（）A ．67B ．57C ．37D ．17讲解逐步计算，可得167a =,231251,771031,77a a =-==-=456,71251,...77a a ==-=这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+, 所以2075a =．应选B ．点评分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．例２在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m , a m+2, a m+1成等差数列.（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.讲解（１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m , a m+2, a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列. （２）设{a n }的首项为a 1，公比为q由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1=a 11-m q +a 1q m ∵a 1≠0 q ≠0 ,∴2q 2－q －1=0 , ∴q=1或q=－21. 当q=1时，∵S m =ma 1， S m+2= (m+2)a 1，S m+1= (m+1)a 1， ∴S m +S m+1≠2 S m+2,∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列. 当q=－21时, 2 S m+2=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--++212121134211])21(1[2m m a a ,∴S m +S m+1=2 S m+2 , ∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列．综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q ≠1时，逆命题为真．点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．例３设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且11131,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==∈≥⎨⎬⎩⎭求证，为等差数列，并求n b ．讲解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+ {}n a ∴是等比数列．111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n mb a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有点评为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例４设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列.（１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）；（２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论.讲解（１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列，∴)0(11>=-q q S S n n ．当n=1时，a 1=S 1；当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时． ∴⎩⎨⎧≥-==-)2()1()1(211n qq S n S a n n（２）当n=1时，213211312(1)2(1)[()]0,24a a a S S q q S q S q +-=+---=-+>Q∴2312a a a >+． 21211112,2(1)(1)2(1)n n n n n n n a a a S q qS q q S q q--++≥+-=-+---当时()3211.n S q q -=- ∵210,0,n S q ->>①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+= ②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q ③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q综上以上，我们可知：当n=1时，2312a a a >+．当212,1,2;n n n n q a a a ++≥=+=时若则若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则若211,2.n n n q a a a ++>+<则点评数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到n S 与n a 之间的关系式：11,(1).(2)n n n S n a S S n -⎧==⎨-≥⎩ 例５已知数列}{n a 满足n a >0，且对一切n ∈N x ，有3211, nninn i i i a S S a ====∑∑其中，(1) 求证：对一切n ∈N x ，有n n n S a a 2121=-++；(2) 求数列}{n a 的通项公式； (3) 求证：31<∑=nk k ka ．讲解 (1) 由321ni n i aS ==∑ ①得13211n in i aS ++==∑ ②②-①得 22131n n n S S a -=++=(S n +1+S n )(S n +1-S n )=(2 S n +a n +1) a n +1∵ a n +1 >0，∴n n n S a a 2121=-++ ．(2) 由n n n S a a 2121=-++，得122-=-n n n S a a (n ≥2)，两式相减，得(a n +1+ a n )( a n +1 - a n )= a n +1+ a n ， ∵a n +1+ a n >0，∴a n +1 - a n =1．(n ≥2)当n=1，2时易得，a 1=1，a 2=2，∴a n +1 - a n =1(n ≥1) ．从而{ a n }是等差数列，其首项为a 1=1，公差d=1，故a n =n ． (3)1nnk k ===21nk =<+∑1122 3.2=++-<+< 点评关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．例6 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过xx 秒后，它所处的坐标．讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n L ，当粒子从原点到达n A 时，明显有13,a = 211,a a =+3111234,a a a =+=+⨯ 431,a a =+5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+∴2114[35(21)]n a a n -=++++-L ＝241n -, 222114n n a a n -=+=.221212(21)441n n b a n n n --=--=-+, 2222244n n b a n n n =+⨯=+．222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-, 2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+.（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．（3）由2n c n n =+≤xx ，解得112n -≤≤，取最大得n=44,经计算，得44c ＝xx<xx ，从而粒子从原点开始运动，经过xx 秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．点评从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．例７已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ . 讲解（１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯-…….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a Λ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n Λ经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n-，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---．令,(1)nn na b =-就有 122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+，这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得 111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-，即121()(2)(1)33n n na -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n （３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，]121121[2311121-++=+--+n n n n a a ).2121(232222312222223123221213221----------+=+⨯<--++⨯=n n n n n n n n n n当m m 且4>为偶数时，ma a a 11154+++Λ )212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m m m a a a a a ΛΛ .878321)211(4123214=+<-⨯⨯+=-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景 .87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a ΛΛ 故任意整数m >4，有.8711154<+++m a a a Λ 点评本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．针对性演练１某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（） (A) 1楼 (B) 2楼 (C) 3楼 (D) 4楼 2. 若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则 ( )（A ）P =M S （B ）P ＞M S （C ）n M S P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 （D ）2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛3. xx 年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死＂禽流感＂病毒N 的同时能够自身复制．已知１个细菌M 可以杀死１个病毒N ，并且生成２个细菌M ，那么１个细菌M 和2048个＂禽流感＂病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（）（A ）1024 （B ）2048 （C ） 2049 （D ）无法确定 4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为xx ，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为(A) xx (B) xx (C) xx (D) xx5. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：而一旦植完，则不会被沙化. 问：（1）每年沙化的亩数为多少？（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？６．已知正项数列{}n a 满足a a =1 （10<<a ），且.11nnn a a a +≤+求证（1）();11an aa n -+≤（2）.111<+∑=nk kk a 答案１．C ２． C ３．C ４．A５．（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.因为xx 年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200=-亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以xx 年沙化土地为200亩.同理xx 年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩.（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.设xx 年及其以后各年的造林亩数分别为1a 、2a 、3a 、…，则n 年造林面积总和为：4002)1(1600⨯-+=n n n S n . 由题意：n S n 20024000+≥ 化简得012072≥-+n n ,解得： 8≥n .故8年，即到xx 年可绿化完全部沙地.６．（1）将条件n n n a a a +≤+11变形，得1111≥-+nn a a . 于是，有,1112≥-a a ,11123≥-a a ,11134≥-a a …………1111≥--n n a a . 将这n-1个不等式叠加，得,111-≥-n aa n 故 ().11an aa n -+≤（2）注意到10<<a ，于是由（1）得()nn aa n a a n 111111<-+=-+≤，从而，有 .1111111)1(11111<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+<+∑∑∑===n k kk k k a nk n k nk k。

高三数学第四篇第三节等比数列课件理北师大版

第二十五页，编辑于星期五：八点三十五分。
也成等比数列，其公比为qn，于是，问题转化为： A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12，要求A1q3n＋A1q4n＋A1q5n的值．由A1＝2，A1qn＋A1q2n＝12，得q2n＋qn－6＝0，那么qn＝2或qn＝－3. 由A1q3n＋A1q4n＋A1q5n ＝A1q3n(1＋qn＋q2n)＝2·q3n·7＝14·q3n
第四页，编辑于星期五：八点三十五分。
性质 .
(5)设等比数列{an}的公比为q，则数列 {kan}(k为常数)仍为q等比数列，公比为 .
(6)设数列{an}，{bn}为等比数列，公比分别为q1，q2，则{an·bn}也为等比q1q数2 列，公比为
第五页，编辑于星期五：八点三十五分。
b2=ac是a,b,c成等比的什么条件？提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件，∵ 当b=0,a,c至少有一个为零时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，假设a,b,c成等比，那么必有 b2=ac.
第三节等比数列
第一页，编辑于星期五：八点三十五分。
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1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定. 2.以考查通项公式、前n项和公式为主，
那么na1＝40,2na1＝3 280，矛盾．
∴q≠1，∴ a1(11－－qqn)＝40
①
a1(11－－qq2n)＝3 280 ②
第二十三页，编辑于星期五：八点三十五分。
②÷①得1＋qn＝82，∴qn＝81 ③ 将③代入①得q＝1＋2a1 ④ 又∵q＞0，∴q＞1，∴a1＞0，{an}为递增数列． ∴an＝a1qn－1＝27 ⑤ 由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4. ∴a2n＝a8＝1×37＝2 187.

高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）最值问题之03数列篇

2020年高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）最值问题之数列篇【例】【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【例】【2018全国卷Ⅱ】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．【例】(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．【例】（2016年全国I ）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .【例】（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

有关数列中最大项的问题：【例】（2020·海南中学高三月考）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令=n b()*,2020∈<n n N ，当k b 是数列{}nb 的最大项时，k =（）A ．1100B ．1001C ．1011D ．1010有关等差数列前n 和中的最值问题：【例】等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？数列与不等式恒成立相结合的最值问题：【例】（2020·山西实验中学高三）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．数列与基本不等式相结合的最值问题：【例】（2020·江西高三模拟）已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（）. A ．16 B ．283C ．5D ．4数列与导数相结合的最值问题：【例】等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.数列与“对勾函数”相结合的最值问题：【例】（2020·河南高三模拟）已知各项都是正数的数列{}n a 满足()*12n n a N a n n +-=∈，若当且仅当4n =时，na n取得最小值，则（） A ．1012a <<B ．11220a <<C ．112a =D ．120a =1、（2020·山西高三开学考试）已知数列{}n a 的通项公式为()370.9nn a n =+⨯，则数列{}n a 的最大项是（）{}n a n n S 100S =1525S =nnSA ．5aB ．6aC ．7aD ．8a2．（2020·河南高三）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–203．（2020·山东省青岛第五十八中学高三）等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S4.（2020·河北高三期末）已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-5．（2020江苏无锡高三）设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．6．（2020北京高三）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时，{}n a 的前n 项和最大．7．（2020江西高三）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．8．（2020·河北邢台一中高三月）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =，540S =，则n S 的最大值为_________.9、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．10、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值。

苏教版高三数学复习课件5.3 等比数列

|q|
等比数列 ②{an}是等比数列，则{λan}，{|an|}也是等比数列，公比分别
，
；
等比
qm
按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列也是 Sm＋qmSn ．

为
③{an}成等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成
.
数列，公比

1． (2010·江苏通州市高三素质检测)若实数列1，a，b，c,4是等比数列，
(n≥2)为常数；(2)利用等比中项，
即证明a＝an－1·an＋1(n≥2)．
5．等比数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活
运用．
6．解决等比数列有关问题的常见思想方法： (1)方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”；列； (2)分类讨论的思想：当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时为递增数列；当a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数
【规律方法总结】
1．深刻理解等比数列的定义，紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这

两点．
2．运用等比数列求和公式时，须对q＝1或q≠1进行讨论．
3．已知三个数成等比数列，可设这三个数为
，a，aq(q≠0)．
4．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法是：

(1)利用定义，证明

a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*)
a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入(*)式，

±2.
得q2＝－2(舍去)，将a1q3＝8代入(*)式，得q2＝4.∴q＝
当q＝2时，得a1＝1，∴S8＝当q＝－2时，得a1＝－1，∴S8＝

[精]高三第一轮复习全套课件3数列：第4课时等差、等比数列的应用

4.某林场去年有木材贮量2万m3，从今年开始，林场加大了对生产的投入量，预测林场的木材贮量将以每年20%的速度增长，每年年底砍伐1000m3 的木材出售作为再生产的资金补贴，问：
(1)多少年后木材贮量达到翻番的目标?
(2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标?
【解题回顾】本题第(1)小题得到1.2n=7/3后，也可通过两边取对数求n，同理第(2)小题得1.2n＝6后，也可两准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元? 【解题回顾】从数字角度看，本例是解决与数列有关的应用问题.必须认真审题，弄清题意，解决问题的关键在于理解复利的概念及其运算，形成用数学的意识. 返回
【解题回顾】本题易误认为答案是187cm，即将梯形的上、下底也算在了其中.
2.某电子管厂2001年全年生产真空电子管50万个，计划从2002年开始每年的产量比上一年增长20%，问从哪一年开始，该厂的真空电子管年产量超过 200万个?
【解题回顾】本题容易忽视不等式1.2n-1×50＜200.
3.某村2002年底全村共有1000人，全年工农业总产值为840万元. (1)若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增加14万元，每年人口较上年净增数相同，要使该村人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增不超过多少人? (2)若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长 10%，每年人口较上年净增10人，则到2012年该村能否实现年人均产值较2002年翻一番(增加一倍)的经济发展目标? 【解题回顾】本题(2)用到了近似估算法.

高三数学数列省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

3
9
9
9
所以｛an｝不是等比数列.
考题剖析
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(
=又23b(1-=1)-n(·λ（+1a8n)-,3所n+以21）=-
2 3
bn
2 3
an-2n+14)
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，
考题剖析
例3、（2023海南宁夏卷）已知数列{an}是一种等差数列，且a2 1 ，a5 5 。（1）求{an}旳通项；（2）求{an}前n项和Sn旳最大值。
解：（1）设旳公差为d，由已知条件解出a1＝3，d =－2，．
aa11
d 1 4d
5
，
所以，an a1 (n 1)d 2n 5 。
a = n+1
2 3
an
n
4, bn
(1)n (an
3n
21),
其中λ为实数，n为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你旳结论；
(Ⅰ)证明：假设存在一种实数λ ，使｛an｝是等比数列，则
有a22=a1a3,即矛盾.
( 2 3)2 ( 4 4) 4 2 4 9 4 2 4 9 0,
解：（I）由可得，两式相减得 an1 2Sn 1
an 2Sn1 1n 2
an1 an 2an , an1 3an n 2
又 a2 2S1 1 3 ∴ a2 3a1 ，故{an}是首项为1，

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{an} 前n项和公式
满足an＋1－an＝d(常数)，d＞0递增、d＜0递减、d＝0常数数列
an＝a1＋(n－1)d ＝am＋(n－m)d
am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p ＋q
am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p
Sn＝na1＋
n（n2－1）d＝
n（a1＋an） 2
Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…为等差数列
断与证明
通项 ——1.求等差数列中的某一项；2.求通项；3.求 n
考
点
前 n 项和——1.求等差数列前 n 项和；2.求通项；3.求基
考
本量
向
探
究题型：选择，填空，解答分值：5－14 分
难度：基础
热点：求等差数列基本量
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第8讲数列、等差数列、等比数列
例 1 (1)已知数列{an}，若对任意 n∈N*满足 an＋1＝an＋
考点
所以数列ann是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．
考
[小结]在等差数列问题中，最基本的量是首项和公
向探究
差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本量方法，
其中蕴含着方程思想的运用．等差数列的判断或证明，一
般是依据等差数列的定义或等差中项进行判断．
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第8讲数列、等差数列、等比数列
变式题 (1)设{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a1＋a2＋a5＋a8＝8，则 S7＝( )
A．13
B．14
C．15
D．16
考
(2)已知等差数列{an}单调递增且满足 a1＋a10＝4，则
点 a8 的取值范围是( )
考向
A．(2，4)
探
C．(2，＋∞)
a2，且 a3＝2，则 a2014＝(
)
A．2013
B．2014
C．20213
D．1012
考
(2)[2014·安徽卷改编] 已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1
点考
＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋，求证：数列ann是等差数列．
向
探
究
[答案] (1)A
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第8讲数列、等差数列、等比数列
⇔an＋1＋λ＝c(an＋λ)，λ＝
c－d 1.比较系数得出λ，转化
为等比数列
解决递推数列问题的基本思想是“转化”，即转化为两类基本数列——等差数列、等比数列
求解
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第8讲数列、等差数列、等比数列
—— 教师知识必备 ——
数列、等差数列、等比数列
概念
等差数列
通项公式
与等比数列的综合关键词：等差
与等比问题融合在
项公式 an＝________．
一个问题中如⑥.
[答案] 4n－2
[解析] 设等差数列的公差为d，
则d>0.因为a1，a2，a5成等比数列，所
以a
2 2
＝a1
a5
，即(a1＋d)2＝a1(a1＋
4d)，解得d＝4，所以an＝4n－2.
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第8讲数列、等差数列、等比数列
a1 anq 1 q
,
q
1,
na1, q 1
aman＝apaq⇔m＋n＝p ＋q aman＝a2p⇔m＋n＝2p
公比不等于－1时， Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…成等比数列
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第8讲数列、等差数列、等比数列
► 考点一等差数列的计算与证明概念 ——1.对等差数列概念的理解；2.等差数列的判
列{an}具有周期性，且周期为 3，所以 a1＝a7＝12.
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第8讲数列、等差数列、等比数列
(2)n＝1时，a1＝12a21＋1，得a1＝1，
当n≥2时，有Sn－1＝12an2－1＋n－1①，
又Sn＝12a2n＋n②，
考点
由②－①得an＝12a2n－a2n－1＋1，即an－12－a2n－1＝0，
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第8讲数列、等差数列、等比数列
—— 教师知识必备 ——
数列、等差数列、等比数列
概念满足an＋1：an＝q(q≠0且q为常数)，单调性由a1 的正负，q的范围确定
等比数列 {an}
通项公式
前n 项和公式
an＝a1qn－1＝amqn－m
Sn＝
a1
(1 q 1 q
n
)
[解析] 在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，则a2＝a1＋a2，
所以a1＝0.令n＝2，则a3＝2a2，所以a2＝1.于是an＋1－an＝
1，故数列
a
n
是首项为0，公差为1的等差数列，所以a2014
＝2013.
(2)证明：由已知可得
an＋1 n＋1
＝
an n
＋1，即na＋n＋11
－
an n
＝1，
聚
焦
[答案] 8
[解析] 设公差为d，由题意得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝ 4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
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第8讲数列、等差数列、等比数列
体验高考
主干知识
核心知识
3．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编]
设首项为1，公比为
2 3
的等比数列{an}
⇒ 等比数列关键词：概念、基本量、通项
考向
所以an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)．
探
又因为an是单调递增数列，故an－an－1＝1，
a6＝54，则等比数列{an}的公比 q 的值为(
)
A．14
B．12
C．2
D．8
(2)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数
考分别加上 2，5，13 后成为等比数列{bn}中的 b3，b4，b5，若
点考
数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．
向
[答案] (1)B
专题三数列
第8讲数列、等差数列、等比数列第9讲数列求和及数列的简单应用
核
心
知
识
聚焦
第8讲数列、等差数列、等
考点
比数列
考
向
探
究
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第8讲数列、等差数列、等
比数列
体验高考
主干知识
核心
1．[2013·重庆卷]若2，a，b，
知识
c，9成等差数列① ，则c－a＝
聚 ________．
n
1, Sn1，n≥2
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第8讲数列、等差数列、等比数列
—— 教师知识必备 ——
数列、等差数列、等比数列
简单的递推数列解
法
累加法累乘法转化法
待定系数法
an＋1＝an＋f (n) 型
an＋1＝an f (n)型 an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，
q≠0)⇔apnn＋＋11＝pann＋q an＋1＝can＋d(c≠0，1，d≠0)
B．(－∞，2) D．(4，＋∞)
究▪
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第8讲数列、等差数列、等比数列
[答案] (1)B (2)C
[解析] (1)因为 a1＋a5＝2a3，a2＋a8＝2a5，所以由 a1 ＋a2＋a5＋a8＝8，可得 a3＋a5＝4，所以 S7＝7（a12＋a7）＝
考点
7（a32＋a5）＝14.
考
(2)a1＋a10＝a3＋a8＝4，由于数列{an}单调递增，所以
5 3
＝25，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)
＝log225＝5.
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第8讲数列、等差数列、等比数列
体验高考
主干知识
核心
6．[2014·湖北卷改编] 已知递增
⇒ 等差数列
知识聚焦
的等差数列{an}满足：a1＝2，且a1， a2，a5成等比数列⑥ ，则数列{an}的通
an 与 Sn
考
的关系 ——1.由 an 与 Sn 的关系求 an；2.由 an 与 Sn 的关
点考
系求 Sn
向
探
题型：选择，填空
究
难度：中等
分值：4－5 分热点：求通项 an
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第8讲数列、等差数列、等比数列
例 3 (1)[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足 an＋1 ＝1－1an，a8＝2，则 a1＝________．
聚焦
a2＋a3＝④ ________．
[答案] 15
[解析] 因为a1＋a2＋a3＋a4＝ 2(a2＋a3)＝30，所以a2＋a3＝15.
主干知识
⇒ 等差数列与等比数列的性质
关键词：在条件 m＋n＝p＋q 下 am，an，ap，aq 的关系，如④⑤.
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第8讲数列、等差数列、等比数列
考
点考
前n项和 ——1.求等比数列前n项和；2.求通项；3.求基
向
本量
探
究题型：选择，填空，解答分值：5－14分
难度：中等
热点：求等比数列基本量
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第8讲数列、等差数列、等比数列
例 2 [2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为
2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( )
[小结] 在等比数列问题中，最基本的量是首项和公比，
在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随