第6讲 向心力

第6讲 向心力姓名 学校 日期【学习目标】1．理解向心力的定义、效果及其表达式的确切含义。

2．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。

3．知道在变速圆周运动中，可用上述公式求质点在某一点的向心力和向心加速度。

【教学设计】（一）引入演示实验：1.用圆锥摆的圆周运动。

2.随匀速转动的圆盘转动的橡皮的圆周运动。

提问：摆球的圆运动平面在哪，向心加速度的方向如何？为什么？总结：1合力的方向总指向圆心。

2实验一中是重力和拉力的合力；实验二中是静摩擦力（或重力、支持力和静摩擦力的合力）。

（二）新课讲解创设情境：合力产生向心加速度，并引出向心力的概念。

回答：做匀速圆周运动的物体所受的合外力由于指向圆心，所以该合外力又叫做向心力。

由牛顿第二运动定律得出向心力的表达式：向向合ma F ma F =→=，r m rv m F 22ω==向。

总结：向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的。

它是根据力的作用效果命名的。

向心力可以由某一个力来提供，也可以由几个力的合力提供，或者也可以由某个力的分力提供。

A ．向心力的大小例题：长为 l =40cm 的细绳，一端拴一个质量m =0.20kg 的小球，在光滑的水平桌面内绕绳的另一端做匀速圆周运动。

若小球绕圆心转动的角速度ω=5.0 rad/s ，求绳对小球的拉力多大？B ．向心力的方向力是矢量，既有大小又有方向，那么现在请大家思考一下向心力的方向指向哪里？教师指引性地给出结论：圆周运动是变速运动，有加速度。

向心力是指向圆心的，方向时刻改变的，是变力。

C ．向心力的作用效果物体在受到向心力作用时做圆周运动；如果向心力突然消失，会如何运动？ 答案是沿切线飞出去。

这说明向心力的作用效果就是使物体围绕圆心做圆周运动。

【知识点】 知识一 向心力一、向心力1.定义：做匀速圆周运动的物体所受到的 指向圆心 的 合外力 力，叫向心力。

2.特点：方向始终 指向圆心 ，是 变力 （填“恒力”或“变力”）。

3.作用效果：只改变速度的 方向 ，不改变速度的 大小 。

4.向心力的大小：22224v r F m m m r r Tπω===向向心力是从力的作用效果命名的。

凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。

它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。

当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。

【例1】〖例3〗如图所示，小物块与圆盘保持相对静止，跟着圆盘且起做匀速圆周运动，则下列关于A 的受力情况说法正确的是( ) A.受重力、支持力。

B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力。

C.受重力、支持力、摩擦力和向心力。

D.受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力。

〖思路分析〗物体A 在水平圆盘上，受重力竖直向下，支持力竖直向上，且两力是一对平衡力。

A 是否受摩擦力，可通过对A 的运动状态分析便知：由于A 随圆盘一起做匀速圆周运动，故其必须有向心力作用，重力与支持力的合力不能提供向心力，只有A 受到摩擦力作用且此摩擦力方向指向圆心，大小就等于A 的向心力。

〖答案〗B【针对训练】1.如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮随圆盘一起运动，若橡皮质量为m ，转动半径为r ，角速度为ω〖答案〗f=mr ω2【例2】如图所示，一小球用细绳悬挂于O 点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O 点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是（ ） A.绳的拉力。

B.重力和绳的拉力的合力。

C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力。

D.绳的拉力和重力沿绳方向的合力。

向心力是指向圆心方向的合力。

因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。

故选CD 。

〖答案〗CD〖总结〗非匀速圆周运动，绳的拉力一重力的合力不是向心力。

【针对训练】1.质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（ ） A.0 B.mg C.3mg D.5mg〖答案〗C知识二 变速圆周运动和一般的曲线运动一、变速圆周运动物体所受的合力，并不指向圆心。

这一合力F 可以分解为互相垂直的两个力；跟圆周相切的分力F T 和指向圆心方向的分力F n 。

F n 产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向。

F T 产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。

仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同是时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动是变速圆周运动。

说明：①变速圆周运动中，向心加速度和向心力的大小和方向都变化。

②变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用a n =v 2/r 、a n =r ω2和 F n = mv 2/r 、F n = mr ω2公式求解，只不过v 、ω都是指那一点的瞬时速度。

③物体做匀速圆周运动的条件：物体做匀速圆周运动所需向心力或所需向心加速度由物体的运动情况来决定。

当所需向心力（mv 2/r 、mr ω2）与合力提供的向心力达到相对“供需平衡”（即F 供=F 需）时，物体才做匀速圆周运动。

二、一般曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线。

一般的曲线运动可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧，这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法。

注意：圆周运动的力学问题一般解题方法：① 确定做圆周运动的物体为研究对象。

② 确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径及轨道③ 按通常的方法，对研究对象进行受力分析，从中确定出向心力的来源。

④ 选用合适的向心力公式，建立方程来求解，有些问题需运用几何知识建立辅助方程来帮助求解。

【例3】如图所示，细绳一端系着质量为M=0。

6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0。

3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0。

2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。

现使此平面绕中心轴转动。

问角速度ω在什么范围内m 处于静止状态？（g=10m/s 2）〖思路分析〗当ω具有最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，故水平面对M 的摩擦力方向背离圆心，且等于最大静摩擦力F m =2N ，对于M ：F T - F m =Mr ω12， F T =mg〖答案〗2。

9rad/s<ω<6。

5rad/s〖总结〗通过分析两个极端(临界)状态来确定变化范围,是求解”范围类”问题的基本思路和方法.提供的向心力等于所需向心力mv 2/r 时,物体维持圆周运动；提供的向心力小于所需向心力时，物体做离心运动；提供的向心力大于所需的向心力时，物体做近心运动，这是分析临界问题的关键。

【针对训练】1.如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆孔，质量为m 的物体A 放在转盘上，A 到竖直圆孔中心的距离为r ，物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同。

物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才能与转盘相对静止？〖难点精析〗〖方法总结〗匀速圆周运动物体受到的向心力大小不变，但方向时刻在变，所以向心力是变力；重力、弹力、摩擦力是按其性质命名的，向心力是按力的效果命名的，做匀速圆周运动的物体并没有受到一个特别性质的力——向心力，而是把物体受到的合力称为向心力，重力、弹力、摩擦力可以分别提供向心力，也可以几个力的合力提供向心力。

知识三 生活中的向心力一、水平面内的圆周运动 1.汽车转弯问题试分析在水平路面上拐弯的汽车的受力情况以及向心力的来源。

汽车所受的 支持力N 与 重力mg 平衡，路面对车轮产生的指向弯道圆心方向的 静摩擦力f 静 提供向心力。

要是汽车转弯时要更安全，路面应如何设计？ 设计成内低外高的倾斜路面汽车所受的 支持力N 与 重力mg 的合力F 合提供向心力。

【例4】汽车与某公路路面间的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R ，（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）问： （1） 若路面水平，要使汽车匀速率转弯时不发生侧滑，汽车的速度不得超过多少？（2） 若公路拐弯处设计成内侧低，外侧高，则路面与水平面的侧角为α，汽车的速度为多大时，可使汽车与路面间的侧向摩擦力为零？解（1）汽车受的 支持力N 、 重力mg 和指向弯道圆心方向的 静摩擦力f 静 三个力的作用。

汽车以最大速率转弯时，合外力max f g F m μ==合 ①2F v mr=向 ② 合外力等于向心力：F F =合向③ ∴2v mg m rμ=v=mgNf 静=mg tan θmgNf 静2.火车转弯问题（1）火车在水平轨道上拐弯时： 外轨对轮沿的侧压力 提供向心力。

（2）火车在侧倾的轨道上拐弯时：支持力N 与 重力mg 的合力F 合提供向心力。

二、竖直平面内的圆周运动 1.汽车过圆栱桥（1）汽车过凸型桥最高点时，分析汽车的受力情况和向心力来源。

汽车所受的 支持力N 与 重力mg 的合力F 合提供向心力。

2v F mg N m R=-=合（2）汽车过凹型桥最低点时，分析汽车的受力情况和向心力来源。

汽车所受的 支持力N 与 重力mg 的合力F 合提供向心力。

2v F N mg m R=-=合【例5】质量m =2t 的汽车，驶过半径R =100m 的圆弧形桥面，g =10m/s ²（1） 若桥面为凹形，汽车以20m/s 的速度通过桥面最低点时，汽车对桥面的压力是多大？ 解：汽车所受支持力N 和 重力mg 的合力F N mg =-合 ①2F v m R=向 ②F 合提供向心力，有 2v N mg m R-=∴233422021010210 2.810(N)100v N mg m R =⨯⨯+⨯⨯=⨯=+由牛顿第三定律，得42.810(N)F N ==⨯压，方向向下（2） 若桥面为凸形，汽车以20m/s 的速度通过桥面最高点时，汽车对桥面的压力是多大？解：汽车受支持力N ´ 和 重力mg 作用，合力F mg N ''=-合①2F v m R=向 ②F 合提供向心力，有 2v mg N m R'-=∴223342021010210 1.210(N)100v N mg m R '=-=⨯⨯-⨯⨯=⨯由牛顿第三定律，得41.210(N)F N ''==⨯压，方向向下 （3） 汽车以多大速度通过凸型桥顶点时，对桥面刚好没有压力由（2）可知，汽车对桥面没有压力时，0N '=，即2vmg m R=∴31.6(m/s)v ===2.无支撑模型——细绳拉着小球在竖直平面内做圆周运动 （1）分析小球在最低点和最高点的受力情况最低点：最高点：（2）当小球在最高点的速度为多少时，细绳的拉力为零？解：最高点小球受重力mg 和细绳拉力T 的作用，合力 F mg T =+合 ①细绳长度为R ，则2F v mR=向 ②F 合提供向心力，有 2v mg T m R +=细绳拉力为零时，有2v mg m R =解得v =【小结归纳】（1）临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用，即v 临界（2）不能过最高点的条件：v 。