山东大学 自动控制原理 71描述函数法
自控理论 8-3描述函数法
2kX
y(t ) B1 sinwt
饱和非线性的描述函数
B1 2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) sin X X X X
y
X a
(8 11)
a a
x
上式只有X ≥ a才有意义，因为若X＜a，尚 未进入饱和，该环节是线性的，求其描述函数 是无意义的。
(1) 首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下 的输出波形,并写出输出y(t)的数学表达式。
(2) 利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。 (3) 将求得的基波分量代入定义式(8-8), 即得N(X)。 描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记 作N ( X ) ,当非线性元件中包含储能元件时，N同 时为输入信号振幅及频率的函数，记作 N ( X , w ) 。
2M ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( X X B1 jA1 N(X ) X 2M ma 2 a 2 2 Ma ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 X X X X
当m或a取不同数值，可得三种继电器的描述函数
. -M
M
2
X a
y
M
.
-a a
.
x
-M
x
A1 1
2
0
y( t )coswtd (wt )
wt 2
t1
M
2
w
2 Ma Mcoswtd (wt ) ( m 1) X
wt 1 w t 2
B1
1
2
0
y( t ) sinwtd (wt )
w
2
wt 2
山东大学王化一版自动控制原理课后题解答解析(部分)
[选取日期]
x（输出量）
k
m
u(t)
（输入作用力）
k1
k2
x（输出量）
m
u(t)
（输入作用力）
无摩擦
(a)
解： （a） 对质量块 m 进行受力分析，列出平衡方程。
u(t) kx(t) mx(t) mx(t) kx(t) u(t)
（b） 对质量块 m 进行受力分析，列出平衡方程。
设 k1 和 k2 间的质点位移为中间变量 x1(t) 。
3 s
5 3
18 5 s 0.5
x(t) 3 e3t 18 e0.5t
5
5
(b)x 2x (t),
x(0 ) 0
两端进行拉式变换：
[sX (s) x(0)] 2X (s) 1
X (s)[s 2] 1
X (s) 1 s2
x(t) e2t
(c)x 2nx n2x 0, x(0) a, x(0) b
两端进行拉式变换：
[s2 X (s) sx(0) x(0)] 2n[sX (s) x(0)] n2 X (s) 0
X (s) as b 2an a(s n ) b an
a(s n )
b
an n
n
s2 2ns n2
(s n )2 n2
(s n )2 n2 (s n )2 n2
c(t) 3c(t) 2c(t) 2r(t)
两端进行拉式变换得:
[s2C(s) sc(0) c(0)] 3[sC(s) c(0)] 2C(s) 2R(s)
C(s)[s2 3s 2] 2R(s) 3 s
C(s)
2R(s) 3 s s2 3s 2
21 s3 s
(s 1)(s 2)
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
山大继续教育自动控制原理期末考试答案
词汇第一章自动控制 ( Automatic Control) ：是指在没有人直接参与的条件下，利用控制装置使被控对象的某些物理量（或状态）自动地按照预定的规律去运行。
自动控制系统：将被控对象和控制装置（控制器）按照一定的方式连接起来构成的有机总体。
开环控制 ( open loop control )：开环控制是最简单的一种控制方式。
它的特点是，按照控制信息传递的路径，控制量与被控制量之间只有前向通路而没有反馈通路。
也就是说，控制作用的传递路径不是闭合的，故称为开环。
闭环控制 ( closed loop control) ：凡是将系统的输出量反送至输入端，对系统的控制作用产生直接的影响，都称为闭环控制系统或反馈控制 Feedback Control 系统。
这种自成循环的控制作用，使信息的传递路径形成了一个闭合的环路，故称为闭环。
复合控制 ( compound control ）：是开、闭环控制相结合的一种控制方式。
被控对象：指需要给以控制的机器、设备或生产过程。
被控对象是控制系统的主体，例如火箭、锅炉、机器人、电冰箱等。
控制装置则指对被控对象起控制作用的设备总体，有测量变换部件、放大部件和执行装置。
被控量 (controlled variable ) ：指被控对象中要求保持给定值、要按给定规律变化的物理量。
被控量又称输出量、输出信号。
给定值 (set value ) ：是作用于自动控制系统的输入端并作为控制依据的物理量。
给定值又称输入信号、输入指令、参考输入。
干扰 (disturbance) ：除给定值之外，凡能引起被控量变化的因素，都是干扰。
干扰又称扰动。
第二章数学模型 (mathematical model) ：是描述系统内部物理量（或变量）之间动态关系的数学表达式。
传递函数 ( transfer function) ：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。
自动控制原理(任彦硕)第七章PPT..
线性系统系统的稳定性只取决于系统结构 和参数，与输入信号及初始条件无关。 但非线性系统的稳 定性不仅与系统的 结构和参数有关， 还与输入信号及初 始条件有关。即可 能在某个初始条件 下稳定，而在另一 个初始条件下系统 可能不稳定。
3）非线性系统可以产生自持振荡： 在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定 的稳定周期性响应。该周期响应过程物理上可 实现并可保持,通常将其称为自持振荡或自振 荡； 线性系统只有两种工作模式：要么发散，要么 收敛； 非线性系统有收敛、发散和自持振荡三种状态。
二、本质非线性系统有以下特点： 1）初始条件与输入量对非线性系统的影响
非线性系统可能 会出现某一初始 条件下的响应过 程为单调衰减， 而在另一初始条 件下则为衰减振 荡，如图所示。 线性系统如果某系统在某初始条件下的响应过程 为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下 该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。
图7-14 根轨迹图
若随动系统的方块图如图7—15所示。
图7-15 非线性系统
当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发 散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的 曲线2。
图7-16系统的时间响应
三、间隙(非单值特性)
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。
7.2 常见非线性环节对系统 运动的影响
一.不灵敏区
不灵敏区又叫 死区，系统中
的死区是由测量元件的死区、 放大器的死区以及执行机构的 死区所造成的。
死区特性
死区非线性特性的数学表达式如下：
0 | x1 | x2 K x1 signx1 | x1 |
自动控制7-1描述函数法.详解
x0 t ln x -1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
11
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
6
2
4
14
7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
（1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法， 将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不 受系统阶次的限制。
4
7.1.1 典型非线性特性的种类
1．饱和特性
-a
y
M k 0 -M a x
a为线性区宽度，k为线性区斜率。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及 执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。
5
2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零
y k
-a
0
a
x
| x | a 0, y = k ( x - a ), x>a k ( x + a ), x < -a
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 12
山东大学王化一版自动控制原理课后题解答解析(部分)
接求出原函数。
(a)
F1(s)
s 1 s(s2 s 1)
1 s
s2
s s
1
1 s
s11 22
(s 1)2 3
24
t
f1(t) 1 e 2 cos
3t 2
1
t
e 2 sin
3
3t 2
(b)
F2
(s)
6s s2
3
6 s
3 s2
f2 (t) 6 3t
(c)
F3 (s)
5s 2 (s 1)(s 2)3
fs[ X k1[ Xi
(s) (s)
X X
0 (s)] k2 X (s)] k2 X 0
0 (s) (s)
(1) (2)
X0(s)
k1 fs
Xi (s) f (k1 k2 )s k1k2
பைடு நூலகம்
3 s
5 3
18 5 s 0.5
x(t) 3 e3t 18 e0.5t
5
5
(b)x 2x (t),
x(0 ) 0
两端进行拉式变换：
[sX (s) x(0)] 2X (s) 1
X (s)[s 2] 1
X (s) 1 s2
x(t) e2t
(c)x 2nx n2x 0, x(0) a, x(0) b
x0 (0) x0 (0) x1(0) 0
Xi (s) f1s X 0 (s)[ms2 f2s f1s]
X 0 (s) Xi (s)
ms2
f1s ( f1
f2 )s
f1 ms ( f1
f2 )
（b） 对弹簧和阻尼器之间的质点进行受力分析，列写平衡方程。
自动控制原理第三版
自动控制原理第三版自动控制原理（第三版）第一章引论本章简要介绍了自动控制的基本概念和发展历程，并对自动控制系统的组成和基本原理进行了概述。
通过对自动控制领域的引言，为后续章节的学习提供了基础。
第二章数学模型的建立与分析本章详细介绍了建立自动控制系统数学模型的方法和技巧。
包括对连续和离散系统的建模过程，以及常见系统的数学描述方法。
此外，还对模型的稳定性和性能进行了分析，为后续章节中的控制器设计提供了理论基础。
第三章传递函数本章主要讨论了连续系统的传递函数表示方法，并介绍了常见的传递函数运算技巧。
通过对传递函数的深入研究，为后续章节中的控制器设计和分析提供了工具和方法。
第四章控制系统的时域分析方法本章介绍了控制系统在时域分析中应用的方法和技巧。
包括对单位阶跃响应和单位冲激响应的分析，以及通过阶跃响应法进行系统参数估计的方法。
通过对时域分析的深入学习，可以更好地理解和分析控制系统的动态响应。
第五章控制系统的频域分析方法本章主要介绍了控制系统在频域分析中的应用。
包括对频率响应曲线和波特图的分析，以及使用频域方法进行系统性能评估和控制器设计的技巧。
通过对频域分析的学习，可以更好地理解和优化控制系统的频率特性。
第六章控制系统的稳定性分析本章详细介绍了控制系统的稳定性分析方法和技巧。
包括对闭环系统的稳定性判据和稳定性分析方法的讲解，以及通过根轨迹法和Nyquist稳定性判据进行系统稳定性分析的实例。
通过对稳定性分析方法的学习，可以更好地评估和改善控制系统的稳定性。
第七章比例控制本章主要介绍了比例控制的原理和应用。
包括对比例控制器的基本结构和工作原理的解释，以及比例控制的优缺点和应用领域的说明。
通过对比例控制的学习，可以更好地理解和应用控制系统中的比例控制器。
第八章积分控制本章详细介绍了积分控制的原理和应用。
包括对积分控制器的结构和工作原理进行了解释，以及积分控制的优缺点和应用案例的讲解。
通过对积分控制的学习，可以更好地理解和应用控制系统中的积分控制器。