描述函数法
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第二节 描述函数法
第二节 描述函数法
18
作业：7-1(b)
2020/10/18
第二节 描述函数法
19
(A )
2020/10/18
第二节 描述函数法
16
2) 非线性环节的串联 当两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非
线性环节描述函数乘积。
非线性环节串联
必须首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性， 然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。 例7-2 求下图所示两个非线性环节串联总的描述函数N(A)。
一、描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Asinωt,输出波形为
y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n 1
2020/10/18
第二节 描述函数法
2
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
N ( A) N1( A) N2( A)
2020/10/18
第二节 描述函数法
12
3、组合非线性特性的描述函数
当非线性系统中含有两个或两个以上线性环节时： 一般不能按照线性环节的串并联方法求总的描述函数； 应按非线性的并联、串联方法计算。
1）非线性特性的并联 设系统中有两个并联的非线性环节，其非线性特性都是
A
AA A A A
2020/10/18
第二节 描述函数法
9
⑦ 非线性增益I 非线性特性
描述函数
N ( A)
k2
2
(k1
k2 )[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
描述函数法
系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
描述函数法
7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1
1 1
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1
4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1
二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1
《描述函数法》课件
2. 描述函数的建立步骤
建立描述函数的一般步骤包括分析系统的输入与输出，确定合适的数学表达式，并进行相应 的参数优化。
3. 描述函数的建立方法
常见的描述函数建立方法包括传递函数法、微分方程法和信号流图法，每种方法都有其适用 的场景和优劣之处。
描述函数与系统关系
1
2. 描述函
《描述函数法》PPT课件
描述函数法是一种在控制系统中用于分析和设计的重要工具。本课件将介绍 描述函数法的概念、不同类型、优点与限制，以及在控制系统设计中的应用 案例。
函数类型与定义
1. 描述函数的定义与表达式
描述函数是一种数学工具，用于表示控制系统的动态特性。它可以形式化地描述系统输入与 输出之间的关系。
脉冲响应、斜坡响应和正弦响应等动
态特性。
3
1. 描述函数与原系统的关系
描述函数可以精确地反映原系统的动 态特性，从而实现对系统的分析和设 计。
3. 描述函数的频率域表示
描述函数可以分析系统的频率响应、 相位和增益裕度等性能指标，帮助优 化系统的控制效果。
描述函数的优点和应用
优点
描述函数法简化了复杂系统的分析和设计过程， 提供了一种直观且有效的方法。
应用案例
描述函数法广泛应用于控制系统设计、自动化工 程和工业过程优化等领域。
描述函数法的进一步研究
1 1. 稳定性分析
描述函数法可以用于判断系统的稳定性，并优化控制器的参数以实现稳定性要求。
2 2. 小信号分析
描述函数法可以用于系统的小信号分析，帮助评估系统的响应速度和抗干扰能力。
3 3. 进一步研究方向
近年来，描述函数法在人工智能、机器学习和自适应控制等方面的应用引起了广泛关注。
总结
建立描述函数的一般步骤包括分析系统的输入与输出，确定合适的数学表达式，并进行相应 的参数优化。
3. 描述函数的建立方法
常见的描述函数建立方法包括传递函数法、微分方程法和信号流图法，每种方法都有其适用 的场景和优劣之处。
描述函数与系统关系
1
2. 描述函
《描述函数法》PPT课件
描述函数法是一种在控制系统中用于分析和设计的重要工具。本课件将介绍 描述函数法的概念、不同类型、优点与限制，以及在控制系统设计中的应用 案例。
函数类型与定义
1. 描述函数的定义与表达式
描述函数是一种数学工具，用于表示控制系统的动态特性。它可以形式化地描述系统输入与 输出之间的关系。
脉冲响应、斜坡响应和正弦响应等动
态特性。
3
1. 描述函数与原系统的关系
描述函数可以精确地反映原系统的动 态特性，从而实现对系统的分析和设 计。
3. 描述函数的频率域表示
描述函数可以分析系统的频率响应、 相位和增益裕度等性能指标，帮助优 化系统的控制效果。
描述函数的优点和应用
优点
描述函数法简化了复杂系统的分析和设计过程， 提供了一种直观且有效的方法。
应用案例
描述函数法广泛应用于控制系统设计、自动化工 程和工业过程优化等领域。
描述函数法的进一步研究
1 1. 稳定性分析
描述函数法可以用于判断系统的稳定性，并优化控制器的参数以实现稳定性要求。
2 2. 小信号分析
描述函数法可以用于系统的小信号分析，帮助评估系统的响应速度和抗干扰能力。
3 3. 进一步研究方向
近年来，描述函数法在人工智能、机器学习和自适应控制等方面的应用引起了广泛关注。
总结
第七章(非线性系统的描述函数法)
§7.4非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为)sin()(t X t x ω=非线性环节Nx (t )n(t )输出n(t)将是非正弦的周期信号。
可以展成傅利叶级数，n(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。
假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。
闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。
对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。
上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。
假设系统中非线性环节的输入函数为tX t x ωsin )(=输出信号可以展成傅利叶级数∑∑∞=∞=++=++=1010)sin(2)cos sin (2)(i i i i i i t i Y A t i B t i A A t n ϕωωω⎰=πωωπ20)()cos()(1t d t i t n A i ⎰=πωωπ20)()sin()(1t d t i t n B i 22iii BA Y +=iii B A tg1-=ϕ若非线性部分是齐次对称的，则A 0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。
输出部分的基波分量为)sin(cos sin )(11111ϕωωω+=+=t Y t B t A t y ⎰=πωωπ201)()cos()(1t d t t n A ⎰=πωωπ201)()sin()(1t d t t n B 21211B A Y +=1111B A tg -=ϕ可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。
描述函数法
所以其描述函数为
N ( A)
B(A)
jC ( A)
Kn B0 (
A) a
jC0
(
A a
)
Kn N0 ( A)
回环非线性的描述函数是复数，基准描述函数负倒数曲线如图所示。
4
继电器特性及其正弦信号输入时的输入-输出波形如图所示。
继电器特性的数学表达式为：
y(t) M
θ1 ωt θ2
其中：
πA
1 ( a )2 A
1
(
ma A
)2
K
n
B0
(
A a
,
m)
C( A)
2Kna2 πA2
(m
1)
KnC0 (
A a
, m)
由此可得继电器特性的基准描述函数为
A
2a
B0
(
a
n
B0
(
A) a
式中
θ1
sin 1
a A
所以其描述函数为
N ( A)
B( A)
jC( A)
2Kn
π
sin 1
a
a
1
(
a
线性的基准描述函数为
N0 ( A)
N ( A) Kn
B0
(
A a
)
从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个
实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准描述函数负倒数曲线，如下图所示。
§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念
非线性系统的结构图如图所示。图中 Ｇ(s)为线性部分的传递函数，N为非线性 元件。
(1)设非线性环节N 的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。
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x
y
k1
y
z k2
z
a1 x
b1 y
(a) 串联非线性
z k1k2
x
a1
a1
b1 k1
x
z
(b) 复合非线性
图8-18 串联非线性特性，复合非线性
27
2.并联非线性
x
NL1
+ y1
y
+
NL2
y2
图8-19 并联非线性
根据描述函数的定义，输出y到输入x之间的描述函数N（A） 显然等于两个并联非线性描述函数之和：
f(x)=-f(-x)
3、线性部分应具良好的低通滤波特性。
可以认为高次谐波完全滤掉，输出仅存在基波分量。
若满足以上条件，描述函数可定义为非线性环节输出基波分量 与输入正弦量的复数比，记为N(A)。
设非线性环节的输入为正弦量 e(t) Asint
4
一般情况下，其输出为周期函数，可展开成傅立叶级数
N(A) = N1(A) + N2(A)
28
[例1] 求下图所示非线性特性的描述函数。
x1
h
x0 + x2
y=x23
y
-h
+
图8-20 多重非线性
解： y x23 x0 x1 3 x03 3x02 x1 3x0 x12 x13
则 N( A) N1( A) N2( A) N3( A) N4( A)
2
2 b costd(t )
1
2b
(sin2
sin1 )
2ab(m 1)
A
B1
2
2 b sintd(t )
1
2b
(cos 2
cos1 )
2b
1
ma
2
A
1
a
2
A
x(t)cost d(t)
0
2
2 K ( Asint a)costd(t)
0
2
K ( A a)costd(t)
2
2
K( Asint
a)costd(t)
4KA
a
2
a
A A
由图可知，在正弦信号作用下，继电特性输出为
0, x(t) b,
0,
0 t 1 1 t 2 2 t
式中，
A s in 1
a,
1
sin1
a A
A s in(
2)
ma ,
2
sin1
ma A
20
A1
§8.3 描述函数法
• 描述函数法是P.J. Daniel在1940年首先提出的， 其基本思想是：在一定的假设条件下，将非线性 环节在正弦信号作用下的输出用一次谐波分量来 近似，并导出非线性环节的等效近似频率特性， 即描述函数。
• 描述函数法主要用来分析在无外作用下的情况， 非线性系统的稳定性和自振荡问题。这种方法不 受系统阶次的限制，对系统的初步分析和设计十 分方便，因而获得了广泛的应用。但它是一种近 似分析方法，其应用有一定的限制条件；而且只 能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间 响应的确切信息。
A
A
(m 1) a
1 tg1
A 1 m2 a 2 1 a 2
A
A
22
推论：
当a＝0 时，求得理想继电特性的 描述函数为
N ( A) 4b
A
x(t) b
e(t) -b
图8-14 理想继电特性
23
当m＝1，a≠0时，
K
(
A s in t
a),
t
0,
t
式中， Asin a, sin1 a
A
输出亦为奇函数，故A1＝0，1 0
2
B1
x(t ) sin td (t )
0
2 K Asint asintd(t)
设 x1 Asint NL1为a 0时的理想继电特性, A1 0
求N1(A)：
2
B1
h3 sintd(t) 4h3
0
N1( A)
B1 A
4h3
A
求N2(A)：
2
B1
3h2 Asint sintd(t) 3h2 A
0
N2( A) 3h2
a
e(t)
-b 图8-16 具滞环继电特性
25
8.3.3 多重非线性的描述函数
1.串联非线性
x
y
z
NL1
NL2
图8-17 串联非线性
串联非线性特性的描述函数绝不等于 两个非线性描述函数的乘积。
N( A) N1( A) N2( A)
26
假定图8-17中NL1为死区非线性，NL2为饱和非线性， 它们串联后的复合非线性如图8-18所示。
13
解得
B1
2
KA
2
sin1
a A
a A
1
Hale Waihona Puke a2 A
则死区特性的描述函数为：
N ( A) B1 2 K sin1 a a
1
a
2
A 2
A A A
由式可知，当
a A
很小，即不灵敏区小，N（A）趋近于K；
0
1
B1
2
x(t)sint d(t)
0
则基波分量为
x1(t) A1 cost B1 sint x1 sin(t 1)
式中
x1 A12 B12
1
arctg
A1 B1
6
则描述函数为
N ( A) x1 e j1 A
由式可知，描述函数是输入振幅A的函数，是一个可变增益的 放大系数。
求得具死区的继电特性的描述 函数为
N ( A) 4b
1
a
2
A A
x(t) b
-a
a
e(t)
-b
图8-15 具死区继电特性
24
当m＝－1时，
求得具滞环的继电特性的描述函数为
x(t)
a
N ( A) 4b e
A
jtg1
A
1
a
2
A
b
-a
1
描述函数法将一个非线性装置或环节用一个可变增益的环 节来代替。这个可变增益是输入正弦振幅A和振荡频率的 函数。
求法：给非线性环节作用一个正弦输入，在非线性环节满 足一定条件下，其输出为一周期函数，且可展开成傅立叶 级数；取输出基波分量与输入正弦量的复数比，即可求得 该非线性环节的描述函数（或可变放大系数）；用这个可 变放大系数代替非线性环节，即可用线性系统中频率法分 析系统。
N ( A) B1 j A1 AA
K sin1 A 2a A 2a
2
A A
1
A 2a A
2
j
4K
a(a A2
A)
N ( A) e j1
N ( A)
4K
0
Ka sintd(t)
KA
sin2
td
(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
N(A)是输入振幅A的实函数，而且是非线性关系。 因此，可将描述函数看作为一可变放大系数的放大器。 11
21
具死区和磁滞回环继电特性的描述函数N（A） 为
N ( A) N ( A) e j1
A1
2
B1
2 e
jtg1 A1 B1
A A
N ( A) 2b
21
m
a
2
1
m 2
a
4
(m2
1)
a
2
A A
若N (NAL)的，B特1即性A描是述单函值数奇是对输称入的正，弦则信x号(t)幅是值奇A函的数实，函则数A；1 0
若NL的特性是非单值奇对称的，则x(t)既非奇函数也非偶 函数，则 A1 0, B，1 描0述函数是输入正弦信号幅值的复函数。
8
8.3.2 典型非线性特性的描述函数
1. 饱和特性
2
A A
A
18
4. 继电特性
当输入 e(t) As时in，t
继电特性输入输出波形如下：
x(t)
b
a ma
x(t) k ma a e(t)
1 2 2