《自动控制原理》描述函数法
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《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
《自动控制原理》复习题
第一章 习题1. 闭环和开环控制各有什么优缺点？开环: 结构简单，成本低廉，工作稳定，当输入信号和扰动能预先知道时，控制效果较好。
但不能自动修正被控制量的偏离，系统的元件参数变化以及外来的未知扰动对控制精度影响较大。
闭环:具有自动修正被控制量出现偏离的能力，可以修正元件参数变化及外界扰动引起的误差，控制精度高。
缺点：被控量可能出现振荡，甚至发散。
2．随动、恒值、程序控制系统。
按给定值变化规律分有：随动、恒值、程序控制系统。
3．开环、闭环、复合控制系统。
按系统结构分有：开环、闭环、复合控制系统4. 对一个自动控制系统的性能要求可以概括为哪几个方面 ？ 可以归结为稳定性、准确性（精度）和快速性。
第三章 习题一、基本概念1.最大超调量： 直接说明控制系统的阻尼特性。
2. 过渡过程时间：在过渡过程的稳态线上，用稳态值的百分数∆（通常%2%5=∆=∆或）作一个误差允许范围，过渡过程曲线进入并永远保持在这一允许误差范围内，进入允许误差范围所对应的时间叫过渡过程时间。
3. 峰值时间： 欠阻尼系统单位阶跃响应输出达到最大值时对应的时间。
4. 上升时间：在单位阶跃信号作用下，欠阻尼二阶系统输出第一次达到最终稳态值所对应的时间。
5. 闭环主导极点：假如距虚轴较远的闭环极点的实部与距虚轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于5，且在距虚轴最近的闭环极点的附近不存在闭环零%100)()()(⋅∞∞-=c c tp c p σ点。
这个距虚轴最近的闭环极点将在系统的过渡过程中起主导作用，称之为闭环主导极点。
它常以一对共轭复数极点的形式出现。
6. 稳态误差：稳态误差ess是系统的误差响应达到稳定时的值，是对系统稳态控制精度的度量，是衡量控制系统最终精度的重要指标。
7.开环静态位置放大倍数KP8.开环静态速度放大倍数Kv9.开环静态加速度放大倍数Ka二、问答题1、线性连续系统稳定的充要条件是什么？答：系统特征方程式的根全部具有负实部。
(优选)自动控制原理第七章非线性系统
1, x 0 signx 1, x 0
0
xa
y k( x asignx) x a
3 滞环特性
滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是
在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3
所示。其数学表达式为：
y
b
y
k(
x asignx) bsignx
y0 y0
-a
0a
x
（优选）自动控制原理第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义
1.描述函数的应用条件
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输
出为零，其静持性关系如图7-2所示。
y
其数学表达式为
k -a
0a
x
0,| x | a
y
k(x
a),
x
a
k( x a), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性
死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
自控理论 8-3描述函数法
1
2kX
y(t ) B1 sinwt
饱和非线性的描述函数
B1 2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) sin X X X X
y
X a
(8 11)
a a
x
上式只有X ≥ a才有意义，因为若X＜a，尚 未进入饱和，该环节是线性的，求其描述函数 是无意义的。
(1) 首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下 的输出波形,并写出输出y(t)的数学表达式。
(2) 利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。 (3) 将求得的基波分量代入定义式(8-8), 即得N(X)。 描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记 作N ( X ) ,当非线性元件中包含储能元件时，N同 时为输入信号振幅及频率的函数，记作 N ( X , w ) 。
2M ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( X X B1 jA1 N(X ) X 2M ma 2 a 2 2 Ma ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 X X X X
当m或a取不同数值，可得三种继电器的描述函数
. -M
M
2
X a
y
M
.
-a a
.
x
-M
x
A1 1
2
0
y( t )coswtd (wt )
wt 2
t1
M
2
w
2 Ma Mcoswtd (wt ) ( m 1) X
wt 1 w t 2
B1
1
2
0
y( t ) sinwtd (wt )
w
2
wt 2
2kX
y(t ) B1 sinwt
饱和非线性的描述函数
B1 2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) sin X X X X
y
X a
(8 11)
a a
x
上式只有X ≥ a才有意义，因为若X＜a，尚 未进入饱和，该环节是线性的，求其描述函数 是无意义的。
(1) 首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下 的输出波形,并写出输出y(t)的数学表达式。
(2) 利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。 (3) 将求得的基波分量代入定义式(8-8), 即得N(X)。 描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记 作N ( X ) ,当非线性元件中包含储能元件时，N同 时为输入信号振幅及频率的函数，记作 N ( X , w ) 。
2M ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( X X B1 jA1 N(X ) X 2M ma 2 a 2 2 Ma ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 X X X X
当m或a取不同数值，可得三种继电器的描述函数
. -M
M
2
X a
y
M
.
-a a
.
x
-M
x
A1 1
2
0
y( t )coswtd (wt )
wt 2
t1
M
2
w
2 Ma Mcoswtd (wt ) ( m 1) X
wt 1 w t 2
B1
1
2
0
y( t ) sinwtd (wt )
w
2
wt 2
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
自动控制原理_第7章_5
3
1 这样， 在复平面的坐标便是非线性系统 N ( A0 )
的临界稳定点。 非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 是通过临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
4
在线性部分为最小相位的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
k =2
试求当开环增益 K = 15 时，自持振荡的振幅 A0 和 角频率 ω0 。 并求出使系统不产生自持振荡的最大 开环增益 K 的值。
22
Im
A
1 N ( A)
a
1
1 2
0
Re
ω
G ( jω )
23
2
死区特性对系统稳定性的影响 死区特性的负倒描述函数为
1 = N ( A)
1
2 2k a a a arcsin + k 1 π A A A
1 N ( A)
b2 b1
A
G( jω )
ω
31
如果线性部分传递函数为
K (τ s + 1) G (s) = 2 s (Ts + 1) 情况如下图所示。
1 k
(τ > T )
Im 0 b3 为稳定交点 代表自持振荡 Re 这类系统无论增益 K 取何值，都不可 避免自持振荡！
32
G ( jω )
∞
ω
G ( jω )
20 lg G ( jω )
∞
-160° °
1 N ( A) A
-120° ° -80° °
13
（3） ） dB
1 这样， 在复平面的坐标便是非线性系统 N ( A0 )
的临界稳定点。 非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 是通过临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
4
在线性部分为最小相位的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
k =2
试求当开环增益 K = 15 时，自持振荡的振幅 A0 和 角频率 ω0 。 并求出使系统不产生自持振荡的最大 开环增益 K 的值。
22
Im
A
1 N ( A)
a
1
1 2
0
Re
ω
G ( jω )
23
2
死区特性对系统稳定性的影响 死区特性的负倒描述函数为
1 = N ( A)
1
2 2k a a a arcsin + k 1 π A A A
1 N ( A)
b2 b1
A
G( jω )
ω
31
如果线性部分传递函数为
K (τ s + 1) G (s) = 2 s (Ts + 1) 情况如下图所示。
1 k
(τ > T )
Im 0 b3 为稳定交点 代表自持振荡 Re 这类系统无论增益 K 取何值，都不可 避免自持振荡！
32
G ( jω )
∞
ω
G ( jω )
20 lg G ( jω )
∞
-160° °
1 N ( A) A
-120° ° -80° °
13
（3） ） dB
自动控制原理知识点总结
自动控制原理知识点总结自动控制原理是一门研究自动控制系统的分析与设计的学科，它对于理解和实现各种工程系统的自动化控制具有重要意义。
以下是对自动控制原理中一些关键知识点的总结。
一、控制系统的基本概念控制系统由控制对象、控制器和反馈通路组成。
控制的目的是使系统的输出按照期望的方式变化。
开环控制系统没有反馈环节，输出不受控制，精度较低；闭环控制系统通过反馈将输出与期望的输入进行比较，从而实现更精确的控制。
二、控制系统的数学模型数学模型是描述系统动态特性的工具，常见的有微分方程、传递函数和状态空间表达式。
微分方程是最直接的描述方式，但求解较为复杂。
传递函数适用于线性定常系统，将输入与输出的关系以代数形式表示，便于分析系统的稳定性和性能。
状态空间表达式则能更全面地反映系统内部状态的变化。
三、时域分析在时域中，系统的性能可以通过单位阶跃响应来评估。
重要的性能指标包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。
一阶系统的响应具有简单的形式，其时间常数决定了系统的响应速度。
二阶系统的性能与阻尼比和无阻尼自然频率有关，不同的阻尼比会导致不同的响应曲线。
四、根轨迹法根轨迹是指系统开环增益变化时，闭环极点在复平面上的轨迹。
通过绘制根轨迹，可以直观地分析系统的稳定性和动态性能。
根轨迹的绘制遵循一定的规则，如根轨迹的起点和终点、实轴上的根轨迹段等。
根据根轨迹，可以确定使系统稳定的开环增益范围。
五、频域分析频域分析使用频率特性来描述系统的性能。
波特图是常用的工具，包括幅频特性和相频特性。
通过波特图，可以评估系统的稳定性、带宽和相位裕度等。
奈奎斯特稳定判据是频域中判断系统稳定性的重要方法。
六、控制系统的校正为了改善系统的性能，需要进行校正。
校正装置可以是串联校正、反馈校正或前馈校正。
常见的校正方法有超前校正、滞后校正和滞后超前校正。
校正装置的设计需要根据系统的性能要求和原系统的特性来确定。
七、采样控制系统在数字控制系统中，涉及到采样和保持、Z 变换等概念。
自动控制原理 第七章 非线性系统
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
1
ωt
y1 (t ) B1 sint
由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1 ( ) A A A A
M sin td ( t )
yMFra bibliotek0 π2π
ωt
所以基波分量为：
y1 ( t )
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
Y1 4M N ( A) 1 A A
2.饱和特性
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时， 饱和特性的输出波形如图7-10所示。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
r(t)=0 x
N
y
G(s)
c(t)
图7-8 非线性系统典型结构图
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即 y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不 包含直流分量。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤 除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认 为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法 所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。
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y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
一.描述函数的基本概念
(1)描述函数的定义
设非线性环节输入输出描述为
y=f(x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号
(8-54)
x(t)=Asinwt
(8-55)
时，可对非线性环节的稳态输出y(t)进行谐波分析。一般情况下，
为t的奇函数，故
,又y(t)具有半周期对称，按式(8-66),有
由定积分公式
得: 则该非线性元件的描述函数为
(8-69) (8-70)
(2)非线性系统描述函数法分析的应用条件 1)非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连
接的典型结构形式，如图8—36所示。
2)非线性环节的输入输出特征 y(x)应是x的奇函数，即f(x)=f(-x),或正弦输入下的输出为t 的奇对称函数，即 以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即 3)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。当非线性环 节的输入为正弦信号时，实际输出必定含有高次谐波分量，但经线 性部分传递之后，由于低通滤波的作用．高次谐波分量将被大大削 弱，因此闭环通道内近似地只有一次谐波分量流通，从而保证应用
可以确定y(x)关于wt的区间端点 和 。死区饱和特
性及其正弦响应如图8—37所示。输出y(t)的数学表达式为
(8-71)
如图所示，由非线性特性的转折点 和a，可确定y(t)产生不同的 线性变化的区间端点为
8—4 描述函数法 描述函数法是达尼尔(P．J．Daniel)于1940年首先提出的，其 基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在 正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性 环节的近似等效频率特性，即描述函数。这时非线性系统就近似等 效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行 频域分析。 描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的 稳定性和自振荡问题，并且不受系统阶次的限制，一般都能给出比 较满意的结果，因而获得了广泛的应用。但是由于描述函数对系统 结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定的要求，其本 身也是一种近似的分析方法，因此该方法的应用有一定的限制条件。
描述函数分析方法所得的结果比较准确。对于实际的非线性系统， 大部分都容易满足这一条件。线性部分的阶次越高，低通滤波性能 越好；而欲具有低通滤波性能，线性部分的极点应位于复平面的左 半平面。
(3)描述函数的物理意义 线性系统的频率特性反映正弦信号作用下，系统稳态输出中与 输入同频率的分量的幅值和相位相对于输入信号的变化；而非线性 环节的描述函数则反映非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值 和相位相对于输入信号的变化。因此忽略高次谐波分量，仅考虑基 波分量，非线性环节的描述函数表现为复数增益的放大器。 值得注意的是，线性系统的频率特性是输入正弦信号频率w的函 数，与正弦信号的幅值A无关，而由非线性环节的描述函数表示的
n
=
arctg
An Bn
式中，An ，Bn 为傅里叶系数，以下式描述
An
=
1
2
y(t)cos nwtdwt
0
（8-56）
而直流分量
Bn
=
1
2
y(t)sin nwtdwt
0
(n=1,2,…)
(8-57)
(8-58)
上式表明，非线性环节近似可以认为非线性环节的正弦响应仅有一
次谐波分量
y(t) A1 cos nwt + B1 sin nwt = Y1 sin(wt + 1)
典型非线性特性具有分段线性特点，描述函数的计算重点 在于确定正弦响应曲线和积分区间，一般采用图解方法。下面 针对两种典型非线性特性，介绍计算过程和步骤。
(1)死区饱和非线性环节
将正弦输入信号x(t)、非线性特性y(x)和输出信号y(t)的坐标
按图8—37所示方式和位置旋转，由非线性特性的区间端点
和
(8-64)
关于描述函数计算，还具有以下特点。若y(t)为奇函数，即 y(t)=-y(-t),则
若y(t)为奇函数，且又为半周期内对称时，即
(8-65) 时
(8-66)
例8—4 设某非线性元件的特性为
(8-67)
试计算其描述函数。 解 因y(x)为x的奇函数，故
。 当输入x＝Asinwt时
(8-68)
非线性环节的近似频率特性则是输入正弦信号幅值A的函数，因 而描述函数又表现为关于输入正弦信号的幅值A的复变增益放大 器，这正是非线性环节的近似频率特性与线性系统频率特性的 本质区别。当非线性环节的频率特性由描述函数近似表示后， 就可以推广应用频率法分析非线性系统的运动性质，问题的关 键是描述函数的计算。 二.典型非线性特性的描述函数