粒子数表象中的产生与湮灭算符
温伯格 产生湮灭算符-概述说明以及解释
温伯格产生湮灭算符-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述温伯格-沃尔面产生湮灭算符是量子力学中重要的数学工具，它在描述多粒子系统中的相互作用过程中起到了关键的作用。
该算符是由德国物理学家格雷戈尔·温伯格和约翰·温伯格以及奥地利物理学家弗里茨·沃尔面所提出的。
温伯格-沃尔面算符在量子场论中也扮演着重要的角色，特别是在描述电磁相互作用以及粒子的产生和湮灭过程时。
温伯格-沃尔面算符被定义为一对互为共轭的算符，分别用a和a†表示，它们与粒子的产生和湮灭有着密切的关系。
其中，a†算符表示粒子的产生，而a算符则表示粒子的湮灭。
这两个算符在量子力学的形式体系中起到了重要的作用，能够用于构建系统的哈密顿量以及描述系统的演化过程。
温伯格-沃尔面算符具有一系列特殊的性质，比如它们满足一定的对易关系，即[a, a†] = 1。
这个对易关系是描述产生和湮灭算符之间互相作用的基础，也是构建量子场论的重要基础之一。
此外，温伯格-沃尔面算符还具有正定性和严格的归一化条件等性质，这些性质使得它们在描述物理过程时具有很强的实用性和可计算性。
温伯格-沃尔面算符的应用非常广泛。
它们在量子力学以及量子场论的各个领域都扮演着重要的角色。
比如，在量子力学中，它们可以用于描述系统中粒子的数目变化以及相应的能量变化；在量子场论中，它们可以描述粒子的产生和湮灭过程，以及粒子与场之间的相互作用。
除此之外，温伯格-沃尔面算符还在量子信息和量子计算等领域有着广泛的应用。
综上所述，温伯格-沃尔面产生湮灭算符在量子力学和量子场论中具有重要的地位和作用。
它们的定义、性质以及应用都是研究这两个领域的基础知识。
对于理解多粒子系统的相互作用以及粒子的产生和湮灭过程，深入了解和掌握温伯格-沃尔面算符是非常重要的。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文将按照以下结构进行讨论：1. 引言：在引言部分，将对温伯格产生湮灭算符进行简要介绍，并说明本文的目的和意义。
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
量子力学中自由粒子演化的算符方法
（ ） ｄｐ
ｅ ψ ｐ ｉ ｐｘ－Ｅ ｐｔ ／ ０
２π
ψ０ ｐ ＝ ｐ ｜ ψ ０
（５）
解，又可以当做练习用来熟悉算符的运算．这种处理 但对于一些特殊的问题，也可以直接从算符的运算
具体物理体系的练习，应该比一些纯形式计算有好 规则出发，得到严格的结果，本文中我们将采用算符
处，因为学生在做这些纯形式计算的时候往往不知 道它们有什么用处．
系之一为自由粒子．自由粒子可以为引入薛定谔方 算 ｔ 时刻的波函数［４］．对于自由粒子，可以在位置表
程而讲述，自由粒子有一些重要的性质，这些性质可 象下插入动量的完全性关系，将波函数表为平面波
以解析的给出证明．在量子力学教材中，这些性质通 的叠加，之后计算相应的积分．
常 是 以 波 包 的 形 式 讲 述 的 ［１，２］． 实 际 上 ，自 由 粒 子 演 化的很多结论可以通过算符的形式计算给出严格的
（７）
（）〉 （） （）〉， （） （） ｜ ψ ｔ ＝ Ｕ＾ ｔ ｜ ψ ０
Ｕ＾ ｔ ＝ ｅ ＾－ｉＨ０ｔ ／ ｈ
３
〈 〉 〈 （ ） （ ）〉 ｘ＾ ２ ｔ ＝ ψ ０ ｜ ｅ ＾ｉＨ０ｔ／ ｘ＾ ｅ ＾ ２ －ｉＨ０ｔ／ ｜ ψ ０
（８）
； 收稿日期： 修回日期：
２０１８ － １１ － １９
该高斯波包，我们不妨借用这些工具进行计算．若该
！［ ， ］ ｅＡ＾ Ｂ＾ ｅ－Ａ＾ ＝ ∞ １ Ａ＾ （ｎ） Ｂ＾ ｎ ｎ ＝ ０
根据基本对易关系： ［，］ ｘ＾ ｐ＾ ＝ ｉ
（９） 自由粒子初始时刻处于态 ｜０〉，则有
（１０）
（）〉 〉 ｜ ψ ｔ
＝
ｅ ＾－
ｐ ２ｔ ｉ２ｍ
｜
０
关于量子力学中的表象
给粒子编号， 因为自动满足全同性原理的要 求。 描述全同多粒子系统状态的这一方法 所用的态矢是 n1 , n2 ,......nv ...... ，相应的表 象称为福克表象。其中，对于玻色子nv =0， 1，2……；而对于费米子，由于必须满足泡 利不相容原理，因此nv =0，1。
3 表象变换
设力学量 F 和 G 在各自表象中的本征方 程为 F i = fi i 和 G n = g n n ，那么， 如果我们定义 S = n i 以及 S = i n ， 那
†
参考文献
[1] 刘连寿.理论物理基础教程.高等教育 出版社.2003.pp.373-379. [2] 曾谨言.量子力学教程（第二版）.科学 出版社.2008.pp.82-84. [2] 钱伯初 曾谨言.量子力学习题精选与 剖 析 （ 第 三 版 ） . 科 学 出 版 社.2008.pp.259-260.
c ( p, t ) =
i − px 1 h ψ x t e dx ( , ) ∫ 2π h
(12)
其中，在表象表换时，我们要特别注意 一下两点：
1、表象变换矩阵的幺正性。即表象变 换算符 S 为要争算符， S † S = 1 。 2、表象变换下量子力学的基本公式不 变，物理观测结果不变。其具体包括： a、表象变换不改变算符之间的对易关 系。 b、表象变换不改变力学量的本征值。 c、表象变换不改变矢量的内积。
∑n
v =1
∞
v
= N 。这种方法从一开始就不
1 表象与绘景
在量子力学中， 表象和绘景是两个完全 不同的概念。 由于希尔伯特空间中的基底选择不同， 而使量子力学原理有不同的表象。 表象是选 定基底使态矢量和算符有具体的表示形式。 也可以这样说， 表象就是希尔伯特空间中的 “坐标系” 。 由于对时间演化的处理方式不同， 使量 子力学有不同的绘景。 绘景是描述状态随时 间变化的图像，在同一绘景中，还可以有不 同的表象。 在量子力学中， 已知我们可以直接观测 的是力学量 F 在状态 a 中取不同值的概率 分布 P = n a
量子力学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古民族大学
量子力学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古民族大学内蒙古民族大学绪论单元测试1.卢瑟福粒子实验证实了（）。
答案:原子的有核模型2.斯特恩-盖拉赫实验证实（）。
答案:原子的自旋磁矩取向量子化.3.康普顿效应证实了（）。
答案:光的量子性4.戴维逊-革末实验证实了（）答案:电子的波动性5.下列各物体哪个是绝对黑体（）答案:不能反射任何光线的物体6.光电效应证明光具有粒子性。
（）答案:对7.黑体辐射证明光的能量是量子化的，具有粒子属性。
（）答案:对8.电子衍射实验证明电子具有粒子性。
（）答案:错9.写出德布罗意关系式___，___。
答案:null10.Einstein的光量子假说揭示了光的___性。
答案:null11.德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是什么？答案:null12.Bohr的氢原子理论解决了哪些问题？答案:null13.金属的光电效应的红限依赖于什么？答案:null第一章测试1.完全描述微观粒子运动状态的是（）。
答案:波函数2.完全描述微观粒子运动状态变化规律的是（）。
答案:薛定谔方程3.粒子处于定态意味着（）。
答案:粒子的力学平均值及概率密度分布都与时间无关的状态4.一维运动的粒子，所处状态为，则粒子在处单位体积内出现的概率为（）。
答案:5.下列条件不是波函数的必备条件的是（）。
答案:归一6.若是描述电子运动状态的波函数，则与描述的是同一个状态。
（）答案:对7.若是描述电子运动状态的波函数，则与描述的是同一个状态。
（）答案:错8.写出德布罗意波的表达式]___，___答案:null9.光电效应证明光具有___性。
答案:null10.电子衍射实验证明电子具有___性。
答案:null11.波函数是否自由粒子的能量本征态？为什么？如果是，能量本征值是多少？答案:null12.平面单色波所描述的态下，粒子具有确定的动量，称为动量本征态，动量的本征值为，在动量表象中写出此量子态。
答案:null13.微观粒子与经典粒子的粒子性的相同点是什么？不同点是什么？答案:null第二章测试1.粒子处于宽度为为的无限深对称方势阱中，则粒子的能级为（）。
谐振子的产生湮灭算符
谐振子的产生湮灭算符谐振子的产生湮灭算符谐振子是一种能量特别简单的量子系统，通常用于描述分子振动、光学振动以及固体材料中原子的晶格振动等现象。
它是量子力学中一个经典的例子，相信每一个学习量子力学的人都会在课本中见到谐振子经典问题的解析式。
谐振子是一个比较简单的物理模型，因此，用一些物理学中最基本和最基础的概念和方法就可以解析其性质和特性。
在量子力学中，我们使用产生湮灭算符来描述谐振子。
接下来，我们将详细讨论什么是谐振子的产生湮灭算符。
量子谐振子的产生湮灭算符量子谐振子的产生湮灭算符是通过经典谐振子中的 Hamiltonian 哈密顿量来定义的。
哈密顿量描述了谐振子的能量，通过把 Hamiltonian 哈密顿量表达式变为产生算符和湮灭算符的形式，这样，我们就可以直接使用这些算符来描述谐振子的物理性质和特性了。
物理学家德·布罗意(D. Broglie)和惠更斯(C. F. Huygens)首先提出产生湮灭算符的概念，在欧洲物理学家中，它们得到了广泛的接受。
在量子力学中，产生湮灭算符是一类运算符，它们可以被用于创建或摧毁量子系统中的项，例如粒子、能量量等。
在量子力学中，我们考虑二次量子化图片，其中谐振子的产生湮灭算符是：$\hat{a}^\dagger$微扰场的产生算符$\hat{a}^\dagger$可以用它的Hermite工程写成\begin{equation}\hat{a}^\dagger=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{q}-\dfrac{im\hat{p}}{m\omega\hbar}\right),\end{equation}其中$\hat{q}$和$\hat{p}$是位置和动量算符，$m$和$\omega$是谐振子的质量和频率，$\hbar$则是普朗克常数的一半。
类似地,有其共轭算符$\hat{a}^\dagger$的湮灭算符可以写成\begin{equation}\hat{a}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{q}+\dfrac{im\h at{p}}{m\omega\hbar}\right),\end{equation}这个湮灭算符是产生算符的共轭算符，它也经常被写成$\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger$，其中$\hat{a}^\dagger$是厄森堡(Hermitian)共轭。
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
量子力学复习题答案与题解
量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。
P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。
P22动量算符的定义。
P27写出单粒子薛定谔方程。
P27写出多粒子薛定谔方程。
P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。
P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。
P39写出线性谐振子的能级表达式。
P40写出波函数应满足的三个基本条件。
P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。
P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。
P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。
P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。
P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。
写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。
( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。
P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。
P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。
P83 写出力学量平均值的积分表达式。
P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。
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一．粒子数表象
只须把处于每个态上的粒子数，（n 1，n 2，…，n N ）交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了。
所以，只需用（n 1，n 2，…，n N ）来标记波函数就可以了。
为了避免对全同粒子编号，就需脱离q 表象。
此时，全同
对于费米子，泡利原理要求n ＝0或1。
设系统有量子态αβγ…。
脱离q 表象，可记为
（后式只标出了被粒子占据的那些单粒子态。
）
这种表示方式称为粒子填布数表象简称粒子数表象，也称为Fock 表象。
二．产生和湮灭算符
利用它们可以把粒子数表象的基矢以及各种类型的力学量方便的表示出来，而各种计算中，只需利用这些产生和湮灭算符的基本对易关系，量子力学的置换对称性即可自动得以保证。
1．全同玻色子体系的量子态描述
a i +与a i 应理解为单粒子态i ϕ的产生和湮灭算符
玻色子产生和湮灭算符满足对易关系： j i j i a a δ=+
],[ 0],[],[==+
+
j i j i a a a a (代表了玻色子产生和湮灭算符全部代数性质) （1） 此处a i +与a i 是相互共轭的。
（2） 特殊的1],[=+i i a a
在单粒子态i ϕ上有n i （i ＝0，1，2，，，，，）个玻色子
它是粒子数算符i i i a a n +
=ˆ的本征态，本征值为n i （i ＝1，2，，，，，），它也是总粒子数∑=i
i
n
N
ˆˆ算符的本征态，本征值为∑=
i
i
n
N 。
|0>为真空态。
可以可以看出上式是交换对称的。
玻色子产生和湮灭算符作用：
其伴式为
2．全同费米子体系的量子态描述
利用粒子产生算符，设系统有量子态αβγ…（α≠β≠γ≠…）。
则系统的量子态用一下右矢表示
由于费米子体系波函数的交换反对称性，即
所以，
00 +
+++++-=γβαγαβa a a a a a 。
即费米子产生和湮灭算符满足反对易关系：βαβαδ=++
],[a a
0],[],[==++++βαβαa a a a (代表了费米子产生和湮灭算符全部代数性质) （1）0==++ααααa a a a
（2）+
+++-=βααβa a a a
玻色子产生和湮灭算符作用：
由于单粒子态的归一性，<α|α>=1，即100=+
ααa a ，由于真空态|0>及其伴态<0|不简并，所以0+
ααa a 代表一个确定的态，即真空态|0>。
00==+
ααααa a a
α
（α≠β≠γ≠…）
（0，不是|0>。
|0>为真
空态。
0代表不存在。
）
如果把每个单粒子态上的粒子数明显写出来 21n n 对于费米子n i ＝0或1。
与玻色子相对应有
()()()0
1110
11112121111
1==⎪⎩
⎪⎨
⎧∑-=+-∑-=-=-=+ααααα
αααυναυνn n n n n n n n n n a n n
因为不同单粒子态上的(产生和湮灭)算符是反对易的，而+
αa 要跨过算符
()()
()
1
21
1
2
1
-+
-++ααn n n a a a 后才能对α态上的粒子数进行运算。
由于反对易关系，就出现了因
子()
()∑-=--=++1
1
111αυνα
n n n
于是有：
其伴式为：。