粒子数表象中的产生与湮灭算符
温伯格 产生湮灭算符-概述说明以及解释
温伯格产生湮灭算符-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述温伯格-沃尔面产生湮灭算符是量子力学中重要的数学工具，它在描述多粒子系统中的相互作用过程中起到了关键的作用。
该算符是由德国物理学家格雷戈尔·温伯格和约翰·温伯格以及奥地利物理学家弗里茨·沃尔面所提出的。
温伯格-沃尔面算符在量子场论中也扮演着重要的角色，特别是在描述电磁相互作用以及粒子的产生和湮灭过程时。
温伯格-沃尔面算符被定义为一对互为共轭的算符，分别用a和a†表示，它们与粒子的产生和湮灭有着密切的关系。
其中，a†算符表示粒子的产生，而a算符则表示粒子的湮灭。
这两个算符在量子力学的形式体系中起到了重要的作用，能够用于构建系统的哈密顿量以及描述系统的演化过程。
温伯格-沃尔面算符具有一系列特殊的性质，比如它们满足一定的对易关系，即[a, a†] = 1。
这个对易关系是描述产生和湮灭算符之间互相作用的基础，也是构建量子场论的重要基础之一。
此外，温伯格-沃尔面算符还具有正定性和严格的归一化条件等性质，这些性质使得它们在描述物理过程时具有很强的实用性和可计算性。
温伯格-沃尔面算符的应用非常广泛。
它们在量子力学以及量子场论的各个领域都扮演着重要的角色。
比如，在量子力学中，它们可以用于描述系统中粒子的数目变化以及相应的能量变化；在量子场论中，它们可以描述粒子的产生和湮灭过程，以及粒子与场之间的相互作用。
除此之外，温伯格-沃尔面算符还在量子信息和量子计算等领域有着广泛的应用。
综上所述，温伯格-沃尔面产生湮灭算符在量子力学和量子场论中具有重要的地位和作用。
它们的定义、性质以及应用都是研究这两个领域的基础知识。
对于理解多粒子系统的相互作用以及粒子的产生和湮灭过程，深入了解和掌握温伯格-沃尔面算符是非常重要的。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文将按照以下结构进行讨论：1. 引言：在引言部分，将对温伯格产生湮灭算符进行简要介绍，并说明本文的目的和意义。
高等量子力学31产生算符和消灭算符
2; bb
)
bα b β
∑
= 2; ab 2; ab 2; ab + 2; ba 2; ba 2; ab 2; ab 2; ab 2; ab = 2; ab 2; ab 2; ab + ε 2 2; ba 2; ba 2; ab = 2 2; ab 2; ab 2; ab = 2; ab
分析:① 分析 ① a( b) 把n粒子基矢 → (n-1)粒子基矢⇒ a ( b ) ——消灭算符 粒子基矢 粒子基矢 消灭算符
中有一个离子处于b态则 ②如在 n; bα b β bγ Lbν 中有一个离子处于 态则 a( b) 的作用正 是去掉该粒子,得出其余 个粒子的态,若没有粒子处于 是去掉该粒子 得出其余(n-1)个粒子的态 若没有粒子处于 得出其余 个粒子的态 若没有粒子处于b 才有)， 的作用是将处于b态 ③若 n; bα bbb L bν (Bose才有 ，则 a( b) 的作用是将处于 态 才有 的粒子对称去掉一个，仍得出(n-1)粒子的态 的粒子对称去掉一个，仍得出(n-1)粒子的态 对此态的作用结果为0 态,则 a( b) 对此态的作用结果为 则
0
n; b α ′b β ′ L bν ′ = 1
离散形式
验证： 验证：
b b L bν ′
α′ β′
∑
n; b α ′b β ′ L bν ′
n; b α ′b β ′ L bν ′ n; b α b β L bν 1 ε p Pδ bα ′bα δ b β ′b β L δ bν ′bν ∑ n! P
§31
产生算符和消灭算符
Rn n ; b α b β L bν
没有 明显联系
粒子数表象中的产生与湮灭算符
一．粒子数表象只须把处于每个态上的粒子数，（n 1，n 2，…，n N ）交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了。
所以，只需用（n 1，n 2，…，n N ）来标记波函数就可以了。
为了避免对全同粒子编号，就需脱离q 表象。
此时，全同玻色子体系的量子态可以用下列右矢来标记：对于费米子，泡利原理要求n ＝0或1。
设系统有量子态αβγ…。
脱离q 表象，可记为（后式只标出了被粒子占据的那些单粒子态。
） 这种表示方式称为粒子填布数表象简称粒子数表象，也称为Foc k 表象。
二．产生和湮灭算符利用它们可以把粒子数表象的基矢以及各种类型的力学量方便的表示出来，而各种计算中，只需利用这些产生和湮灭算符的基本对易关系，量子力学的置换对称性即可自动得以保证。
1．全同玻色子体系的量子态描述a i +与ai 应理解为单粒子态的i ϕ产生和湮灭算符 玻色子产生和湮灭算符满足对易关系： j i j i a a δ=+],[ 0],[],[==++j i j i a a a a (代表了玻色子产生和湮灭算符全部代数性质) （1） 此处a i +与ai 是相互共轭的。
（2） 特殊的1],[=+i i a a在单粒子态上i ϕ有n i （i ＝0，1，2，，，，，）个玻色子它是粒子数算符i i i a a n +=ˆ的本征态，本征值为ni （i ＝1，2，，，，，），它也是总粒子数算符的本征∑=iinNˆˆ态，本征值为∑=iinN 。
|0>为真空态。
可以可以看出上式是交换对称的。
玻色子产生和湮灭算符作用：其伴式为2．全同费米子体系的量子态描述利用粒子产生算符，设系统有量子态αβγ…（α≠β≠γ≠…）。
则系统的量子态用一下右矢表示由于费米子体系波函数的交换反对称性，即所以，00 ++++++-=γβαγαβa a a a a a 。
产生湮灭算符-集智俱乐部
从此式我们看出来：(1),a|v>为aa+的特征向量，对应的特征值为(v-1) （2） a v v 1
上式对于一切v推理都成立。也就是说对于任意的v1,v-2,…,都是a+a的本征值，但是因为v>=0，所以v只能 取0,1,2,….，并且 a v v v -1
a 2 aa v a v v - 1 v(v 1) v - 1 a n n n! 0
a a v v v v a a v a v
2
v a v v , 并且v 0
我们用a乘以（1）式：
a a a v av v 1 a a a v a v aa a v va v aa a v v 1a v
exp x 2 Ln ( m / h x) 2h
其中 L ( m / hx) 是一个很复杂的函数，被称为厄米多项式。 最终薛定谔方程的解为：
n
m / h n ( x, t ) g (t ) f n ( x) 2n n!
1/ 2
x [ A, B] x 2
位置与动量
首先任何一个关于位置的实数函数可以看作一个 X“坐标基”下的一个向量
f ( x) f (0) 0 f (0.1) 0.1 f (0.2) 0.2 f ( x) x
一个态Ψ既可以写成X坐标下的向量（位置波函数）， 又可以写成P“坐标基”下的波函数 ( x) x ( p) p , ( x) x , ( p) p 两个坐标系下的波函数可以相互转换
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
量子力学中自由粒子演化的算符方法
（ ） ｄｐ
ｅ ψ ｐ ｉ ｐｘ－Ｅ ｐｔ ／ ０
２π
ψ０ ｐ ＝ ｐ ｜ ψ ０
（５）
解，又可以当做练习用来熟悉算符的运算．这种处理 但对于一些特殊的问题，也可以直接从算符的运算
具体物理体系的练习，应该比一些纯形式计算有好 规则出发，得到严格的结果，本文中我们将采用算符
处，因为学生在做这些纯形式计算的时候往往不知 道它们有什么用处．
系之一为自由粒子．自由粒子可以为引入薛定谔方 算 ｔ 时刻的波函数［４］．对于自由粒子，可以在位置表
程而讲述，自由粒子有一些重要的性质，这些性质可 象下插入动量的完全性关系，将波函数表为平面波
以解析的给出证明．在量子力学教材中，这些性质通 的叠加，之后计算相应的积分．
常 是 以 波 包 的 形 式 讲 述 的 ［１，２］． 实 际 上 ，自 由 粒 子 演 化的很多结论可以通过算符的形式计算给出严格的
（７）
（）〉 （） （）〉， （） （） ｜ ψ ｔ ＝ Ｕ＾ ｔ ｜ ψ ０
Ｕ＾ ｔ ＝ ｅ ＾－ｉＨ０ｔ ／ ｈ
３
〈 〉 〈 （ ） （ ）〉 ｘ＾ ２ ｔ ＝ ψ ０ ｜ ｅ ＾ｉＨ０ｔ／ ｘ＾ ｅ ＾ ２ －ｉＨ０ｔ／ ｜ ψ ０
（８）
； 收稿日期： 修回日期：
２０１８ － １１ － １９
该高斯波包，我们不妨借用这些工具进行计算．若该
！［ ， ］ ｅＡ＾ Ｂ＾ ｅ－Ａ＾ ＝ ∞ １ Ａ＾ （ｎ） Ｂ＾ ｎ ｎ ＝ ０
根据基本对易关系： ［，］ ｘ＾ ｐ＾ ＝ ｉ
（９） 自由粒子初始时刻处于态 ｜０〉，则有
（１０）
（）〉 〉 ｜ ψ ｔ
＝
ｅ ＾－
ｐ ２ｔ ｉ２ｍ
｜
０
关于量子力学中的表象
给粒子编号， 因为自动满足全同性原理的要 求。 描述全同多粒子系统状态的这一方法 所用的态矢是 n1 , n2 ,......nv ...... ，相应的表 象称为福克表象。其中，对于玻色子nv =0， 1，2……；而对于费米子，由于必须满足泡 利不相容原理，因此nv =0，1。
3 表象变换
设力学量 F 和 G 在各自表象中的本征方 程为 F i = fi i 和 G n = g n n ，那么， 如果我们定义 S = n i 以及 S = i n ， 那
†
参考文献
[1] 刘连寿.理论物理基础教程.高等教育 出版社.2003.pp.373-379. [2] 曾谨言.量子力学教程（第二版）.科学 出版社.2008.pp.82-84. [2] 钱伯初 曾谨言.量子力学习题精选与 剖 析 （ 第 三 版 ） . 科 学 出 版 社.2008.pp.259-260.
c ( p, t ) =
i − px 1 h ψ x t e dx ( , ) ∫ 2π h
(12)
其中，在表象表换时，我们要特别注意 一下两点：
1、表象变换矩阵的幺正性。即表象变 换算符 S 为要争算符， S † S = 1 。 2、表象变换下量子力学的基本公式不 变，物理观测结果不变。其具体包括： a、表象变换不改变算符之间的对易关 系。 b、表象变换不改变力学量的本征值。 c、表象变换不改变矢量的内积。
∑n
v =1
∞
v
= N 。这种方法从一开始就不
1 表象与绘景
在量子力学中， 表象和绘景是两个完全 不同的概念。 由于希尔伯特空间中的基底选择不同， 而使量子力学原理有不同的表象。 表象是选 定基底使态矢量和算符有具体的表示形式。 也可以这样说， 表象就是希尔伯特空间中的 “坐标系” 。 由于对时间演化的处理方式不同， 使量 子力学有不同的绘景。 绘景是描述状态随时 间变化的图像，在同一绘景中，还可以有不 同的表象。 在量子力学中， 已知我们可以直接观测 的是力学量 F 在状态 a 中取不同值的概率 分布 P = n a
高量19-产生算符和消灭算符
对易关系
[ N (b), a (b' )] a (b) (b b) [ N (b), a(b' )] a(b) (b b)
将此二式积分，可得N与它们的对易关系
[ N , a (b)] a (b) [ N , a(b)] a(b)
以上四个对易关系对Bose子和Fermi子都一样。
(b b ) n;b b b b [ (b b )] n; b b b
而 N n; b b b dbN(b) | n; b b b
db (b b ) | n; b b b n n;b b b (共有n项求和)
之一相同，则a+(b)对态作用的结果为零。
3
粒子数n任意的系统的基矢统一用真空态|0>和适 当的产生算符表示出来：
0
1; b a b 0
在R0空间
在R1空间
在R2空间
2; b b
1 2!
a b a b 0
n; b b b
dx dx dx n; x x x n; x x x 1
15
由于历史的原因，习惯上用
ψ (x)
ψ (x)
表示产生算符 表示消灭算符
位置表象是连续表象，产生和消灭算符的作用是
ψ ( x) n; x x x n 1 n 1; x x x x
18
式中的
1 n; x x x n x b n! P
是由X表象变到B表象的变换矩阵。
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一．粒子数表象
只须把处于每个态上的粒子数，（n 1，n 2，…，n N ）交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了。
所以，只需用（n 1，n 2，…，n N ）来标记波函数就可以了。
为了避免对全同粒子编号，就需脱离q 表象。
此时，全同玻色子体系的量子态可以用下列右矢来标记：
对于费米子，泡利原理要求n i ＝0或1。
设系统有量子态αβγ…。
脱离q 表象，可记为
（后式只标出了被粒子占据的那些单粒子态。
）
这种表示方式称为粒子填布数表象简称粒子数表象，也称为Fock 表象。
二．产生和湮灭算符
利用它们可以把粒子数表象的基矢以及各种类型的力学量方便的表示出来，而各种计算中，只需利用这些产生和湮灭算符的基本对易关系，量子力学的置换对称性即可自动得以保证。
1．全同玻色子体系的量子态描述
a i +与a i 应理解为单粒子态i 的产生和湮灭算符
玻色子产生和湮灭算符满足对易关系： j i j i a a ],[ 0],[],[
j i j i a a a a (代表了玻色子产生和湮灭算符全部代数性质) （1） 此处a i +与a i 是相互共轭的。
（2） 特殊的1],[
i i a a
在单粒子态i 上有n i （i ＝0，1，2，，，，，）个玻色子
它是粒子数算符i i i a a n
ˆ的本征态，本征值为n i （i ＝1，2，，，，，），它也是总粒子数 i
i
n
N
ˆˆ算符的本征态，本征值为
i
i
n
N 。
|0>为真空态。
可以可以看出上式是交换对称的。
玻色子产生和湮灭算符作用：
其伴式为
2．全同费米子体系的量子态描述
利用粒子产生算符，设系统有量子态αβγ…（α≠β≠γ≠…）。
则系统的量子态用一下右矢表示
由于费米子体系波函数的交换反对称性，即
所以，
00
a a a a a a 。
即费米子产生和湮灭算符满足反对易关系：
],[a a
0],[],[ a a a a (代表了费米子产生和湮灭算符全部代数性质) （1）0
a a a a
（2）
a a a a
玻色子产生和湮灭算符作用：
由于单粒子态的归一性，<α|α>=1，即100
a a ，由于真空态|0>及其伴态<0|不简并，所以0
a a 代表一个确定的态，即真空态|0>。
00
a a a
α是任意的。
这正是湮灭算符的性质。
（α≠β≠γ≠…）
（0，不是|0>。
|0>为真
空态。
0代表不存在。
）
如果把每个单粒子态上的粒子数明显写出来 21n n 对于费米子n i ＝0或1。
与玻色子相对应有
1110
11112121111
1
n n n n n n n n n n a n n
因为不同单粒子态上的(产生和湮灭)算符是反对易的，而
a 要跨过算符
1
211
2
1
n n n a a a 后才能对α态上的粒子数进行运算。
由于反对易关系，就出现了因
子
1
1
111
n n n
于是有：
其伴式为：。