高量8-角动量表象

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应用角动量升降算符分析角动量的矩阵表示和表象变换

、／（Ｊ－＋１）一ｍ（ｍ＋１）．
Ｉｌｍ）＝ｃ１Ｉ１１）＋ｃ２Ｉ１０）＋Ｃ３Ｉｌ一１）
（１５）
通过对（１５）式的作用，可以得到叠加系数，算符作用Ｉ１１）的结果为：￡Ｉ１１）＝ｍ壳Ｉ１１）＝
第３５卷第４期
２０１４年８月
通化师范学院学报（自然科学）
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＯＮＧＨＵＡＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｖｏ１．３５№ ４
Ａｕｇ．２０１４
应用角动量升降算符分析角动量的矩阵表示和表象变换
Ｉｊｍ）＝ｍｈｌｍ）
１），，的作用使得Ｉ加）矢量的量子数ｍ上升（下降）一个量子数，所以称为升降算符］．
１．２升降算符对波函数的作用
（３）
（４）
由上可知，升算符可以使的本征函数的量子
ｌｊ『２，ｊ＝０ｊｒ２＝＋．７＋，一，＋
为厄米共轭，即：＝．
（６ｂ）（６）
１角动量升降算符
根据角动量的定义，角动量了的各分量满足如
下对易关系：
由定义可以知道，升降算符不是厄米算符，但他们互将（６ａ）式左作用于ｊｒ２和的共同本征矢量其中ｉ √ ，ｋ＝，），，ｚ（１）
（ｌ，一＋Ｉｍ）＝（ｊｍＩｊｒ２一一｝ｉＩ加）＝

高二物理竞赛角动量、角动量守恒课件

mv
m
A
2
定义：质点对选取的参考点的角动量等于其矢径 r 与其动量 mv之矢量积。用 L 表示。
L r mv
L
mv
r
注意：1、为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L 画在参考点上。
3
L
o•
r
mv
m
L r mv
注意：1、为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量L 画在参考点上。
角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum. Law
of Conservation of Angular Momentum)
一）角动量
例如天文上行星围绕太阳转。
1
定义：质点对选取的参考点的角动量等于其矢径 r 与其动量 mv之矢量积。用 L 表示。
L r mv
L
o•
r
M1
M内内2力力矩ddFt 1M(2L11F0.M21L220)4
O
M两 1对式质M点10 （ 1dd）Lt1：
1
相加： M1 M10 M 2
M对M2质02内M点力Mdd1（t0矩2(0L21）Md：dLLt222)0320
13
i
F
Fi 0,
i
F
Mi 0
i
11
力矩：
M rF
角动量 L r mv r p
角动量也称动量矩质点系的角动量
L Li ri piii来自12F1Z
对多个质点而言：
（以两个质点为例）
r1
m1 d
r Y
F12
F21
2X
m2
F2如外分图力别设矩受有外质M力点1.MmF211。mF22

高中物理竞赛讲义-角动量

高中物理竞赛讲义-角动量角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。

求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。

（2）三维问题r F τ=?r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=?=?=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =?=?u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==?r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。

高等量子力学位置表象和动量表象

而比较，得
x x ( x x )dx
x x ( x x )
（7.14）
这是算符X的本征矢量，即位置表象的基矢的正交归一化关系。
我们用全部正交归一化的 x 构成位置表象的基矢，讨论各种矢量和算符在这一表象中的矩阵，由于本征值是连续的，我们只能用本征值本身作为矩阵的行和列的编号；因而，这种矩阵将不是离散的而是连续的，这种矩阵称为连续矩阵。
设是一个归一化的矢量，归一于 1 或归一于函数均可，则利用（7.12）式得
dx x x x x dx x x
（7.15）
x 就是矢量在基矢 x 上的分量， x 取一切值的 x 全体完全等价于矢量，称为矢量的位置表象。 x 是本征值 x 的函数，
Axx '
x
（7.23）
下面看几个最基本的矢量和算符在位置表象中的具体形式。首先看位置表象的基矢。设讨论一个具体的矢量 x0 ，令
x0 ，则其位置表象为

dx x x 1
（7.12）（7.13）

dp p p 1
因而可以建立位置表象（x表象）和动量表象（p表象）。我们
首先讨论位置表象。
现将（7.12）式两边作用于 X 的一个特定的本征矢量 x ，得
x dx x x x
x ' dx x x x '
A, f B [ A, B] f B
特别地，
[ x, p ] 2ip x 2 x
2 x 2
§7 位置表象和动量表象

第7章角动量资料

到原点的矢量r和质点的线动量 p 的矢量积，即：
i jk
Lrp x y z
1
px py pz
式中的x，y，z和px，py，pz分别是矢量 r 和 p 在x，y和z轴方向的
分量。
2
1 经典力学中的角动量
根据角动量定义(1)，可得：
L ypz zpy i zpx xpz j xpy ypx k
S P D F…
23
➢根据原子光谱的实验数据及量子力学理论可以得出结论：对原子的同一组态而言，L和S都相同的状态，若不计及轨道－自旋相互作用，且在没有外界磁场作用下，都具有完全相同的能量。 ➢将同一组态中，由相同L和S所构成的诸状态合称为一个光谱项，每一个光谱项相当于一个能级。
24
➢对于一定的S，mS可有S、S－1、…、－S共计2S＋1个取值，分别对应总自旋角动量在外磁场方向的分量MSz的2S＋1种状态，即自旋多重度为2S＋1。因此，在光谱学符号中通常将自旋多重度写在L值符号的左上角，即：2S+1L。 ➢又由于轨道和自旋的相互作用，不同的J所对应的能级会有微小的差别。将J的数值记在L的右下角，即：2S+1LJ。称为光谱支项。Fra bibliotek总角量子数
J＝L＋S，L＋S－1，L＋S－2，…，│L－S│
总角动量在外磁场方向上的分量
M Jz mJ
总磁量子数
共有2J＋1个取值
mJ＝mL＋mS＝J，J－1，J－2，…，－J
22
二、光谱项及其应用
1. 光谱项与光谱支项
单电子轨道 l＝0 1 2 3 …
s 多电子原子 L＝0
p d f… 123…
这样： [Lˆx , Lˆ y ] f [Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx ] f Lˆx Lˆ y f Lˆ y Lˆx f

大学物理角动量ppt

由于各三角形具有公共高线 OH ，
因此掠面速度相等:
dS
1 vt OH 2
1 vr sin
1 r 2
常量
dt
t
2
2
式中
v sin
r
பைடு நூலகம்
ω 相当于质点绕O点转动的角速度。
由上式可得： mvr sin 常量
写成矢量式： r p r mv 常量
②再来看有心力场的简单情形。
质点在向心力的作用下作匀速圆周运动
由： M dL dt
则有：
若 M 0 L 常矢量
若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩的矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。
—角动量守恒定律
例如：质点在有心力作用下角动量守恒。
例题：质量为m的圆锥摆摆球，以速率υ运动时，对O参考点的角动量是否守恒？对C参考点的角动量是否守恒？
l c
星系的形状可能与此有关。
星系（银河系）的早期可能是具有动量矩的大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因而像银河系这样的星系呈扁平状。
银河系
银河系（模拟）
5.2 刚体的定轴转动
质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。
刚体（rigid body）是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体。
刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。
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角动量及其守恒ppt课件.ppt

解两个圆柱体并不是绕同一固定轴
在转动,虽然外力矩为零,但角动
量不守恒,用角动量定理
t
0 R1 fdt J1( 1 1 )
J1
1 2
M 1 R12
t
0 R2 fdt J 2( 2 2 )
J2
1 2
M 2 R22
最后两个圆柱体接触点的线速度相等 1R1 2 R2
1
M1R11 M 2 R2 2
与杆碰前速度
h
h
v0 2gh0
v0 2gh0
2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）
c
角动量守恒 mlv0 J mlv
m
l
动能不变
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
J 2
h
h
v
1 2
v0
3v0
2l
3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）
1 2
J 2
mghc
h
2hc
3 2
h0
1. 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面上
以角速度作半径为的r
z
圆运动.
or
mv
➢ 质点角动量（相对圆心） 90
A
L r p r mv
大小 L rmvsin
z L mv
L rmv mr 2 （圆运动）
L 的方向符合右手法则
r
2. 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
(A) 只有（2）是正确的;
(B)（1）、（2）是正确的;
(C)（2）、（3）是正确的;
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
练习
人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：

大学物理-8第八讲角动量与角动量守恒、质点力学的综合运用

解：以M、m和地球为系统，水平方向受力为零，故系统水平方向动量守恒。
设任意时刻m相对M的速率为vr；M相对地的速率为u。
m的绝vK对=速vKr 度+uK
vx = vr cosα − u
vy = −vr sin α = vry′
YK u
h Y′ M X′
v m
rx'
vry' α vr
X
17
依动量守恒定理得
⎩r // F = 0 有心力的力矩为零
3
二dLG、=质d点(r的G ×角m动vG)量= 定drG理×
G mv
+
G r
×
d
K
GL = (mv )
K r
×
G mv
dt dt
dt
dt
=
vK
×
K P
+
rK
×
K F
=
K r
×
K F
=
K M
质点角动量定理:
K M
=
K dL
◎注意MG：、LG
dt
是相对于同一参考点而言的。
→
f =0
ω2 =
⎛ ⎜
根据动能定理，外力做功 ⎝
r1 r2
⎞2 ⎟ ⎠
ω1
o
f′
K Kv rK
f
ω
A
=
1 2
mv22
−
1 2
mv12
=
1 2
m(r2ω2 )2
−
1 2
m(r1ω1 ) 2
=
1 2
mr12ω12
⎡⎣(r1
/
r2
)2
−1⎤⎦

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