80 多自由度非线性随机参数振动系统响应分析的概率摄动有限元法
多自由度振动系统的动力学模型构建
多自由度振动系统的动力学模型构建引言：多自由度振动系统是指由多个自由度的质点组成的系统，在这样的系统中，每个自由度都可以独立地进行运动。
动力学模型的构建是研究和理解振动系统行为的基础。
本文将介绍多自由度振动系统动力学模型的构建方法及应用。
一、质点模型多自由度振动系统的最基本组成单位是质点。
质点的运动可以用坐标形式以及质点的质量、刚性等参数来描述。
对于一个有n个自由度的振动系统，可以通过将每个自由度的质点模型相连接构成整个系统。
二、约束关系与广义坐标在多自由度振动系统中，质点之间相互约束，其运动不再是自由的，而是受到约束的影响。
为了描述约束关系，引入广义坐标来表示系统各个自由度的相对运动。
广义坐标是将实际坐标通过约束条件变换得到的坐标表示。
三、拉格朗日方程与振动方程拉格朗日方程是多自由度振动系统的基本动力学方程。
通过对系统的动能和势能进行推导和求导，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
对于振动系统而言，通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的振动方程，进一步描述系统的运动行为。
四、模态分析与特征频率模态分析是研究振动系统固有特性的方法。
对于多自由度振动系统，可以通过模态分析得到系统的固有模态和特征频率。
固有模态是指系统在自由振动时，各个自由度的振动模式。
特征频率是指系统在不同固有模态下的振动频率。
五、系统的耦合与动态响应多自由度振动系统中的各个质点之间存在耦合关系，一个自由度的振动会对其他自由度的振动产生影响。
通过研究系统的耦合关系，可以得到系统的动态响应。
动态响应是指系统对外界激励的响应行为，可以通过求解振动方程得到。
六、应用案例：建筑结构振动多自由度振动系统的应用广泛，尤其在建筑结构的振动研究中起到了重要作用。
通过对建筑结构的多自由度振动系统进行建模和分析，可以评估结构的稳定性、抗震性能等。
振动模型的构建和分析可以提供设计和改进建筑结构的依据。
结论：多自由度振动系统的动力学模型构建是研究振动系统行为的关键步骤。
随机振动响应分析技术研究
随机振动响应分析技术研究一、引言随机振动响应分析是结构工程领域中一个非常重要的课题。
结构物的振动响应具有随机性、复杂性和非线性等特点，因此，能够对结构物在随机激励下的振动响应进行研究和分析，对于提高结构物的可靠性、耐久性和安全性非常关键。
二、随机振动响应分析的方法随机振动响应分析技术主要包括两种方法：频域分析和时域分析。
1. 频域分析频域分析是指将随机振动信号分解成一系列特定频率的正弦波分量，然后对这些正弦波分量进行分析、计算和处理。
这种方法一般使用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）进行处理，可以方便地进行频率分析和频率响应。
2. 时域分析时域分析是指基于时间序列的方法，通过对随机振动信号的时间序列进行分析，得到结构物的响应特性。
这种方法可以使用自相关函数、互相关函数、功率谱密度和相干函数等分析工具。
三、随机振动响应分析的应用随机振动响应分析技术在各个领域都有广泛的应用。
1. 土木工程在土木工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估建筑物、桥梁、隧道等结构物在地震或风荷载下的响应情况，以及评估疲劳损伤的程度。
2. 航空航天工程在航空航天工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估航天器在发射过程中的响应情况，以及评估机体结构在飞行过程中的疲劳损伤程度。
3. 机械工程在机械工程中，随机振动响应分析技术可以用来评估机械系统在振动环境下的可靠性和安全性，以及寻找和消除机械系统的振动问题。
四、随机振动响应分析技术的发展趋势随着科学技术和计算机技术的快速发展，随机振动响应分析技术也得到了极大发展和应用。
未来，随机振动响应分析技术的发展主要将呈现以下几个趋势：1. 多物理场耦合建模针对涉及多种物理场同时作用的振动问题，将机械、声学、热学、流体力学等多种物理场有机结合起来，建立更加全面且真实的多物理场耦合模型，以便更好地分析和解决复杂振动问题。
2. 精细化建模分析建立尽可能精细的结构物和振动环境的建模，以更加准确地反映实际情况，预测结构物的振动响应和疲劳损伤情况，从而提高结构物的可靠性和安全性。
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
多自由度系统振动的研究
多自由度系统振动的研究1.建立系统的数学模型：多自由度系统的数学模型通常可以通过运动微分方程来描述，这些微分方程可以由拉格朗日方程或哈密顿方程获得。
建立系统的数学模型是研究多自由度系统的第一步，它能够定量描述系统的振动特性。
2.振动模态分析：振动模态是指各种独立振动模式对应的特征值及特征向量。
在多自由度系统中，有多个振动模态，每个振动模态都有对应的特征值和特征向量，它们描述了系统在不同振动模态下的振动特性。
振动模态分析可以帮助我们理解系统的振动特性、模式和共振现象，并为系统的设计和优化提供依据。
3.模态叠加方法：模态叠加方法是一种常用的分析多自由度系统振动响应的方法。
该方法将系统的初始条件和外力激励在模态基下展开，通过将各模态响应相加，得到系统的总体振动响应。
模态叠加方法可以简化计算，使得问题的求解更加方便，应用广泛。
4.模态分析与结构动力学：多自由度系统的模态分析与结构动力学密切相关。
结构动力学是研究结构体受外力激励下的振动响应的学科，它通常涉及到多自由度系统的模态分析、频率响应和时域分析等。
模态分析为结构动力学提供了基础，通过分析结构的振动模态，可以预测结构在不同激励下的振动响应。
5.数值模拟与实验验证：在研究多自由度系统的振动过程中，可以借助于数值模拟和实验验证相结合的方法。
数值模拟可以通过有限元、边界元或半经验法等方法，对系统的振动响应进行计算和预测。
实验验证可以通过振动台试验或实验模态分析等方式，对系统的振动特性进行实测，从而验证数值模拟的准确性。
总之，研究多自由度系统振动是一个复杂而又重要的课题。
通过建立数学模型、进行振动模态分析、应用模态叠加方法以及进行数值模拟和实验验证等手段，可以更深入地了解多自由度系统的振动特性，为实际工程问题的求解和优化提供科学依据。
多自由度振动系统分析
多自由度振动系统分析引言：振动是物体在受到外力作用后，由于其固有特性而产生的周期性运动。
在实际生活和工程中，我们经常会遇到各种各样的振动现象，如桥梁的振动、机械系统的振动等。
而多自由度振动系统是一种复杂的振动系统，其分析和研究对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。
一、多自由度振动系统的基本概念多自由度振动系统是指由多个质点组成的振动系统，每个质点都可以在空间中自由运动。
在这种系统中，每个质点都有其自身的质量、刚度和阻尼等特性。
多自由度振动系统的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到，其中包括了每个质点的加速度、速度和位移等信息。
二、多自由度振动系统的分析方法1. 模态分析模态分析是一种常用的多自由度振动系统分析方法。
它通过求解系统的特征值和特征向量，得到系统的固有频率和振型。
在模态分析中，我们可以利用拉格朗日方程对系统进行建模，并通过数学方法求解得到系统的模态参数。
模态分析可以帮助我们理解系统的固有特性，如共振频率、振动模态等。
2. 频域分析频域分析是一种基于傅里叶变换的多自由度振动系统分析方法。
通过将系统的运动方程转化为频域中的复数形式，我们可以得到系统在不同频率下的响应。
频域分析可以帮助我们研究系统在不同频率下的振动特性，如频率响应函数、频谱等。
3. 时域分析时域分析是一种基于时间的多自由度振动系统分析方法。
它通过求解系统的运动方程，得到系统在不同时间下的响应。
时域分析可以帮助我们研究系统的动态特性，如振动幅值、振动周期等。
三、多自由度振动系统的应用多自由度振动系统的分析和研究在工程领域有着广泛的应用。
例如，在桥梁工程中，我们需要对桥梁的振动特性进行分析，以确保桥梁在自然灾害或车流等外力作用下的安全性。
在机械工程中，我们需要对复杂机械系统的振动进行分析，以减少系统的振动噪声和提高系统的稳定性。
此外，多自由度振动系统的分析方法还可以应用于建筑结构、航空航天等领域。
结论：多自由度振动系统的分析对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。
关于线性和非线性系统内在的本质联系——多自由度非线性系统的定量和定性分析
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振 第２ ７卷第 １期
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ ＡＮＤ ＨＯＣＫ Ｉ Ｓ
关 于 线性 和非 线 性 系统 内在 的本 质 联 系
— —
多 自由度 非 线 性 系统 的定 量 和 定 性 分 析
郑兆 昌
线 性 振 动 和 非线 性 振 动 都 是 以线 性 主 模 态 呈 现 其 运 动 规 律 。
关键词 ：动 力学建模方法 ； 非线性振动 响应数值解法 ； 渐近奇异摄 动法 ； 主模态 ；Ｙ Ｓ 岔
中图 分 类 号 ： ０ ２ ３２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
多 自由度 非线 性 系统 的 求 解 之难 题 ， 长期 以来 受 到历史性 挑 战 ， 数 学 角 度 ， 从 即使 是 单 、 自 由度 非 线 双 性 系统 ， 从 工 程实 用 要 求 ， 非 单 、 自 由度 能 予 描 但 绝 双 述， 随着计 算机 和计算 技 术 的迅 猛发 展 ， 了更 接 近描 为 述 真实 系统 ， 自由度更 不 断按 量 级增 加 ， 种 数学 上 的 这 追求 和工 程要 求之 间矛盾 似乎 日益增 大 。 以 Ｎ ｙ ｎ和 Ｍｏｋ 为代 表 的各种 非线 性著 作 ， ａｆ ｅ ｏ… 迄
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
80 多自由度非线性随机参数振动系统响应分析的概率摄动有限元法
x
x) = F( t )
x
k2 - k2
x)
k2 - k2 - k2 k2
( i = 1, 2, …, s ; j = 1, 2, …, t ) ( 25) 这样动力响应的灵敏度矩阵, x / ( cs B) T , x / ( csB) , x / ( cs B) 可以表示为 x = ( csB) T x = ( csB) T x = ( csB) T x x x x b11 … b s1 … b1t … b st x x x x … s1 … 1t … st b11 b b b x x x x … … … b11 b s1 b1t b st ( 26) ( 27) ( 28)
1 引 言
由于工程实际系统的复杂性和所用材料在统 计上的离散性以及测量、 加工、 制造误差的存在 , 大 多数结构振动问题均含有不同程度的不确定性 , 必 然导致具有随机参数的随机振动系统 , 按结构系统 参数的性质来划分, 随机振动 问题包括两方面内 容 : ( 1) 确定结构系统问题; ( 2) 随机结构系统问题。 目前, 确定结构系统问题研究的较为充分 ; 对于随 机结构系统问题, 由于随机参数和随机响应的随机 性被数学模型化为随机变量或随机过程, 对于这种 结构系统模型的研究有相当的艰巨性 , 传统的方法 为 M onte Carlo 模拟方法, 后来二阶矩方法被应用 于线性系统问题, 并用以研究了具有随机参数的多 输入和多输出静态非线性系统。尽管如此 , 随机结 构系统问题的研究目前也取得了很大的进展, 发展 了实用有效随机有限元法, 并用以解决了线性和非 线性随机系统振动问题 , 详见综述[ 1-3] 。 在此基础 上 , 文献 [ 4-6] 发展了 2D 矩阵值函数的一般概率 摄动法和一般随机有限元法 , 并用以解决了非线性 随机振动机械的动力学等问题 。 本文在 Kronecker 代数、 矩阵微分理论、 向量 值和矩阵值函数的二阶矩技术、 矩阵摄动理论和概 率统计方法的基础上系统地扩展了国际上通用的 随机有限元方法, 对随机振动中的随机结构系统的
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C
x x [ 2] T2 + K T 2 [ d( cs B ] ( cs B) ( csB)
这里 C 和 K 分别为阻尼和刚度矩阵, 其表达式为 C= f T , K = x f T x ( 7)
[ Var( csB) ] ( 22)
把方程 ( 4) -( 6) 代入方程 ( 2) , 合并同阶项, 可
( 8)
1 A 2 ( csB) T 2
{ d[ cs( B) ] } [ 2]
式 中 d[ cs( B) ] [ 2] = d[ cs( B) ] Kronecker 积 。
[ 8]
d[ cs( B) ] 为 代表
( 9) ( 10) ( 11) ( 12)
d[ cs( B) ] 的 二 阶 Kronecker 幂, 符 号
x
x) = F( t )
x
k2 - k2
x)
k2 - k2 - k2 k2
( i = 1, 2, …, s ; j = 1, 2, …, t ) ( 25) 这样动力响应的灵敏度矩阵, x / ( cs B) T , x / ( csB) , x / ( cs B) 可以表示为 x = ( csB) T x = ( csB) T x = ( csB) T x x x x b11 … b s1 … b1t … b st x x x x … s1 … 1t … st b11 b b b x x x x … … … b11 b s1 b1t b st ( 26) ( 27) ( 28)
I st +
M T Is t ( cs B)
x x [ 2] T + M T 2 [ d( csB ) ] ( cs B) ( cs B)
x2 = x2 =
F2 = 1 2
2
( 4) F= F + F 1 F [ 2] T d( csB) + 2 ( cs B) T 2 [ d( csB) ] ( cs B) ( 5)
1 引 言
由于工程实际系统的复杂性和所用材料在统 计上的离散性以及测量、 加工、 制造误差的存在 , 大 多数结构振动问题均含有不同程度的不确定性 , 必 然导致具有随机参数的随机振动系统 , 按结构系统 参数的性质来划分, 随机振动 问题包括两方面内 容 : ( 1) 确定结构系统问题; ( 2) 随机结构系统问题。 目前, 确定结构系统问题研究的较为充分 ; 对于随 机结构系统问题, 由于随机参数和随机响应的随机 性被数学模型化为随机变量或随机过程, 对于这种 结构系统模型的研究有相当的艰巨性 , 传统的方法 为 M onte Carlo 模拟方法, 后来二阶矩方法被应用 于线性系统问题, 并用以研究了具有随机参数的多 输入和多输出静态非线性系统。尽管如此 , 随机结 构系统问题的研究目前也取得了很大的进展, 发展 了实用有效随机有限元法, 并用以解决了线性和非 线性随机系统振动问题 , 详见综述[ 1-3] 。 在此基础 上 , 文献 [ 4-6] 发展了 2D 矩阵值函数的一般概率 摄动法和一般随机有限元法 , 并用以解决了非线性 随机振动机械的动力学等问题 。 本文在 Kronecker 代数、 矩阵微分理论、 向量 值和矩阵值函数的二阶矩技术、 矩阵摄动理论和概 率统计方法的基础上系统地扩展了国际上通用的 随机有限元方法, 对随机振动中的随机结构系统的
K T ( cs B)
C T I st ( cs B)
K T I st ( cs B)
2
x T + ( cs B)
2
K T I st ( cs B)
x T ( cs B)
[ V ar ( csB) ]
( 18)
根据向量值和矩阵值函数的二阶矩技术, 一 旦获得了x , x, x 和x 2 , x 2, x 2, 以及确定了 x 1, x 1, x 1, ( 6) 则动力响应的前二阶矩可以表示为 E( x ) = x + x 2, E( x ) = x + x 2, E( x ) = x + x 2 ( 19, 20, 21) Var( x ) = E( x 1 x1 ) = x ( csB) T
[ 7]
随机响应问题进行理论分析和数值计算 , 给出了随 机结构参数系统的随机振动响应的一阶矩和二阶 矩的一般数学表达式 , 从而解决了具有向量值和矩 阵值函数的随机结构参数系统的随机响应计算问 题 , 提出了一般概率摄动有限元法。 另外 , 要进行随 机分析, 就要确定概率密度和联合概率密度 , 但是 在工程实际中是很难有足够的资料来确定它们的, 即使是近似地指定概率密度的分布 , 在大多数情况 下也很难对其进行积分计算来确定随机响应的统 计量。 本文阐述的方法避免了概率密度和联合概字 密度的确定 , 只需要知道多随机参数的一阶矩和二 阶矩, 就可以确定出结构系统随机响应的一阶矩和 二阶矩 , 可见本文方 法是一种实用有效的数值方 法。
2
M 2 2 T2 ( Is t ( cs B) M T I st ( cs B) C T I st ( cs B)
2
M T ( cs B) C T ( cs B) K T ( cs B)
I st -
C T ( cs B) I st +
x T ( cs B)
I st + x T + ( csB)
I st -
第 20卷第 1 期 2003 年 2 月
计 算 力 学 学 报 Chinese Journal of Computational Mechanics
V ol . 20 , N o . 1 Februar y 2003
文章编号: 1007-4708( 2003) 01-0008-04
多自由度非线性随机参数振动系统 响应分析的概率摄动有限元法
张义民1 , 刘巧伶1, 闻邦椿2
( 1. 吉 林大学 南岭校区力学系 , 长春 130025; 2. 东北大学 机械工程与自动化学院 , 沈阳 110004) 摘 要 : 提出了一般概率摄动有限元法 , 并用 以解决了具有向量值和矩 阵值函数的多自由 度非线性随机结构系 统 承受随机激励的 响应分析问题 , 应用 K ro necker 代数 , 矩阵微分理 论 , 向量值和 矩阵值函数的二阶 矩技术 , 矩阵 摄 动理论 和概率统计方法系统 地扩展了国际上通 用的随机有 限元法 , 随机变量 和系统导数 很方便地 排列到二维 矩 阵中 , 得到了优美的数学表达式。 关键词 : 多自由度 ; 非线性 ; 随机参数 ; 振动响应 ; 向量值和矩阵值函数 ; 概率摄动有限元法 中图分类号 : O324 文献标识码 : A
2
( 14)
式中 x2 =
2 1 x [ Var ( cs B) ] 2 ( csB) T 2 2 1 x [ Var ( csB) ] 2 ( csB) T 2 2 1 x [ Var ( csB) ] 2 ( csB) T 2
x T ( cs B)
( 15) ( 16) ( 17)
x) x T ( csB) x T ( csB)
收稿日期 : 2001-06-10; 修改稿收到日期 : 2001-11-10. 基金项 目 : 国家自然科学 基金 ( 19990510, 50175043) 、 973 项 目 ( 1998020320) 和教育部高等学校骨干教师资助 计划资助项目 . 作者简介 : 张义民 ( 1958-) , 男 , 博士 , 教授 , 博士生导师 .
f= f + 1 2 f x x T + C T + K T d( cs B ) + ( cs B) ( cs B) ( cs B) f T2 + ( cs B) x T ( cs B)
2 2
F T2 ( cs B) x T ( csB) x T ( csB) x T ( csB)
f T2 ( cs B) I st -
K = k1 + k2 - k2 - k2 k2 - k2 k2 k2 - k2 - k2 k2
Var( x ) = E ( x1
x1 ) =
[ Var( cs B) ] ( 24)
可见只要获得位移、 速度、 加速度向量的灵敏度矩 T 阵 x / ( csB) , x/ ( csB) T , x / ( cs B) T , 就可以求 得动力响应的方差矩阵。 为此把方程 ( 10) -( 13) 代 入方程 ( 9) , 然后展开, 可以分别得到 s × t 个灵敏 度方程 x x x M b ij + C bij + K b ij = F b ij f bij M b ij x
9
若向量 A( p × 1) 为矩阵 B( s × t ) 的函数 , 则 A 在标称值 B 处的二阶 T ay lor 表达式为 A( B) = A( B) +
2
以得到与方程 ( 2) 相一致的零 阶、 一阶和 二阶方 程。 零阶方程
A T ( csB)
B= B
d[ cs( B) ] + B= B ( 3)
Mx = M x &#( cs B) [ cs( B - B) ]
( 13)
二阶方程 (
2
项)
-
M x 2 + C x 2 + Kx 2 = F2
M T ( I st ( cs B) M 22 T2 ( Is t ( cs B) x x) + M T d( cs B ) + ( cs B) x) + M T ( csB)
为了推导非线性结构动力学的一般概率摄动 有限元法的矩阵方程 , 使用下 面的符号和小参数 , 对于向量值和矩阵值函数 A( B) , B = E ( B) 为随 机参数矩阵 B 的均值 E ( ) , dB =
[ 2]
B=