第三章 多自由度系统振动6.19
多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
汽车振动分析 第3章 多自由度振动系统_part1
3.1多自由度振动系统概述3.1多自由度振动系统概述七自由度模型四自由度模型二自由度模型能较为准确地反映车辆的基本行驶特征3.1多自由度振动系统概述试建立系统的运动微分方程。
()1P t ()2P t 3.2.1直接法3.2.1直接法，外力2School of automotive studies, tongji3.2多自由度振系运动微分方程的建立3.2.1直接法3.2.1直接法3.2.1直接法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法Page 25Dr. Rong GuoSchool of automotive studies, tongji university第3章多自由度振动系统()1p t ()3p t ()2p t 例题：利用拉格朗日方法列出图示系统的振动微分方程。
()22211223312T m x m x m x =++ 设系统的广义坐标为x 1、x 2和x 3，系统的势能()()2221122133212U k x k x x k x x ⎡⎤=+−+−⎣⎦系统能量耗散函数()()2221122133212D c xc x x c x x ⎡⎤=+−+−⎣⎦ 系统的动能3.2.2拉格朗日法解：3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法建立如图所示简化分析模型Page 31School of automotive studies, tongji university机械振动学3.2.2拉格朗日法())22cos l xl θθθ++ 3.2.2拉格朗日法。
《多自由度系统振动》课件
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
第3章 多自由度线性振动
1
k 3k ，2 J J
多自由度系统的振动 令θ1、 θ2具有如下形式的解
经整理后写成矩阵的形式
（3.1.7）
KU 0 MU
式中： U——系统的广义坐标列阵 M——系统的质量矩阵
（3.1.8）
U x
T
m 0 M K——系统的刚度矩阵 0 J k1l1 k2l2 k1 k2 K 2 2 k l k l k l k l 11 2 2 11 2 2
y1 (0) Y11 , y2 (0) Y21
y1 (0)
Y12 k12 Y22 k11 2 2 m1
即第二振型
多自由度系统的振动
图示两个振型
1
第一主振型
2
第二主振型
多自由度系统的振动 例2 圆盘扭转系统，假定k1＝k2 ＝k3＝k，J1＝J2＝J，求其 固有频牢和主振型，并解释 其物理意义。
当F1（t）＝F2（t）＝0时，(3.1.2）式成为
Kx 0 Mx
(3.1.3）式即为系统的自由振动方程
（3.1.3）
多自由度系统的振动 如图所示为一个扭转振动系统。两圆盘转动惯量分别为J1、J2，各段 轴的扭转刚度分别为k1、k2、k3，在两个圆盘上作用有激振力矩T1 （t）、T2（t）。设立θ1、θ2两个广义坐标。
解：由上述假定，其自由振动方程成为
J 0
2k k 1 0 0 1 J 2 k 2k 2 0
2k J 2 k k 0 2 2k J
其特征方程为
可求出
1 2 n
称为一阶固有频率、二阶固有颁率…n阶固有频率。将ωi（i ＝1，2，…，。）代回式（3.2.2）就得到A的非零解，记 之为A(i)，A(i)就是与ωi对应的特征矢量，它是一组振幅的相 对值，称为第i阶固有振型，也称为第i阶主振型。
结构动力学-多自由度系统的振动
sin(1t sin(1t
1) 1)
A2Y1(2) A2Y2(2)
sin(2t sin17
m1 y1 m2 y2
(k1 k2
y1
k2 ) y1 (k2
k2 y2 k3 ) y2
0 0
方程的全解:
y1(t) y2 (t)
A1Y1(1) A1Y2(1)
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
正实根，仅依赖于结构体系的物理性质，
即质量和弹簧刚度。
2021/6/24
13
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
具有两个自由度的体系共有两个自振频率， 1 表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或 基本圆频率（fundamental frequency）； 2 称为第二圆频率。
y1 (t) y2 (t)
YY12ssiinn((tt))
1）、在振动过程中，两个质点具有相同的频
率 和相同的相位角 。
2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上 随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：
y1(t) Y1 常数 y2 (t) Y2
2021/6/24
10
主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称
设方程的解为：
y1(t) Y1 sin(t ) y2 (t) Y2 sin(t )
2k m 2
k
2k
k
m
2
YY12
0
第三章(多自由度系统的振动)
系统运动方程：
k u1 0 m 0 u1 (1 )k 0 m u k u 0 (1 )k 2 2
k1 m1
k2 m2
k3
Mu Ku 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
第r阶模态刚度
Kr / M r ?
( K r2 M ) r 0
( K M ) r 0
T r 2 r
r2 Kr / M r
③ 按模态质量归一化
0.66 r* 0.33 1
特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位
r
* r
r M r
T r
r
Mr
特点：理论推导，分析方便
固有振型的正交性
2. 固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性※
K r r2 M r r, s 1,, N 2 K s s M s
3k m 2 k 0
k 2k m 2 k
0 k 3k m 2
2 3
0
k 2 2 k 2 k 2 3 ( ) 8 ( ) 19 12 0 m m m
固有频率:
1
k , m
2
3k , m
3 2
(1) 2 2
令：1(1) 1， 则
(1) 2k k 2 0
(1) k 2k k3 0
(1) 3 1
同理，将2代入到特征值问题的方程中，解方程得到
多自由度振动
= 0 = 0
二自由度汽车自由振动分析
mɺɺc + (k1 + k 2 )xc − (k 2 l 2 − k1l1 )θ = 0 x ɺ J θɺ − (k l − k l )x + k l 2 + k l 2 θ = 0
c 2 2 11 c
(
11
2 2
)
K2
L2
L1
θ
K1
ɺɺ + ax − b θ = 0 x ɺ θ ɺ + e θ − fx = 0
此式说明，当系统以频率p1振动时，质量m1和m2总是按 同一方向运动；而当以频率p2振动时，m1和m2则按相反 方向运动。 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称 为系统的主振动。
§3.1二自由度系统的自由振动
K1 M1 K2 M2 K3
m 1 ɺɺ1 + (k 1 + k 2 )x 1 − k 2 x 2 = 0 x m 2 ɺɺ2 − k 2 x 1 + (k 2 + k 3 )x 2 = 0 x
B1 = B2 =
(p (p
2 1
− ω − ω
(e
− ω
2
2
)( p )( p
1
)f
2 2 2 2
− ω − ω
1
2
) )
ff
2 1 2
2
其曲线如图3-4(下页)所示。 两个概念 ●反共振：当加在x1上的激振力的频率 ω = e 时，B1=0，实际上相 当于没有m1和k1时m2-k2-k3组成的单自由度系统的固有频率，这 叫反共振。利用这一规律，可以对定转速的电机进行减振，也叫 动力减振方法。
第三章-多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统)(1t P 3m )(2t P 1m 2m )(3t P 1k 1c 2c 3c 2k 3k 4k 4c解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
若质量、刚度和阻尼矩阵都是对角矩阵，则三个微分方程是独立的，相当于三个独立的)(1t P 1x 11x c 11x k )(212x xc -)(212x x k -x m 1)(2t P 2x )(323x xc -)(323x x k -xm 2)(212x x k -)(3t P 34x c 34x k xm 33x )(323x x c -)(323x x k -1m 3m 2m )(212x x c -单自由度系统，其求解变为三个单自由度系统求解。
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合，刚度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
此例中没有惯性耦合，因为质量矩是对角的。
但一般情况下质量矩阵并不是对角的，所以一般情况下多自由度系统既有弹性耦合、也有惯性耦合。
下面我们通过一个例子来说明质量矩阵不是对角的情况。
[例二] 写出图3-3所示系统振动微分方程系统中均质刚性杆AB 的质量为m ，转动惯量为c J ，前后两端分别用刚度为1k 和2k 的两个弹簧由承于地面上，杆全为长l 。
图3-3若用杆两端的竖向位移1x 、2x 来描述刚杆的运动状态，则受力图如图3.4所示，图3.4显然、质心处的加速度为()221x x +，根据牛顿第二定律，在竖直方向有：221121)2(x k x k xx m --=+ 杆的转动加速度为（顺时针为正）()lx x 21 -，对C 点应用动力矩定理：1x 2x A B'A ,BC11x k 22x k22)(112221l x k l x k l x x J C -=-整理并写成矩阵形式有：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0022222221212121x x l k l k k k x x l J l J m mC C质量矩阵并不是对角的。
当然，此例中若选质心的平动及绕质心的转动来描述运动，质量矩阵将是对角的。
一般地，对n 自由度系统，振动微分方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321432121222211121143212122221112114321212222111211...............................................................F F F F x x x x k k k k k k k k k x x x xc c c c c c c c c x x x xm m m m m m m m m nn n n n n nn n n n n nn n n n n 写成矩阵形式有：[]{}[]{}[]{}{}F x K x C x=++ M (3.1) 根据分析力学，具有定常约束的系统的动能T 与势能U 可写为下列二次型{}[]{}x M xT T 21={}[]{}x K x U T21= (3.2) 对于稳定平衡的振动系统,系统的动能T 总是大于零的(除非系统是静止的)，所以质量矩阵一般是正定的。
同样，系统的势能U 也总大于零，所以刚度矩阵也是正定的。
此外，系统的动能和势能不会因为表达形式不同而改变，对式(3.2)转置，比较可知，刚度矩阵和质量矩阵必须是对称矩阵，因而有：[][]K K T = [][]M M T = (3.3)3.2无阻尼自由振动一、固有频率和振形本节主要目的是通过无阻尼自由振动系统来介绍多自由系统的固有频率和振型，它们是多自由振动系统的重要特征。
在无阻尼情况下，系统的自由振动微分方程可以表达为：[]{}[]{}0M =+x K x(3.4) 在单自由度系统中,我们得到无阻尼自由振动解为正弦函数或余弦函数,不失一般性。
对于多自由度系统振动解可设为：{}{}t i e A x ω= (3.5)列向量}{A 和ω均为待定复常数。
若系统是振动的，则解ω必为实数。
将式(3.5)代入(3.4)，得到下列代数齐次方程组：[][](){}02=-A M K ω (3.6)上面的方程组存在非零解{}A 的充分必要条件是系数行列式为零，即： [][]02=-M K ω (3.7) 式(3.7)为系统的特征方程，具体写出为：222111112121122221212222222221122n n n n n n n n nn nnk m k m k m k m k m k m k m k m k m ωωωωωωωωω---------=0 (3.8)上式左端的行列式展开后是关于2ω的n 次代数多项式：22(1)2(2)21210n n n n n b b b b ωωωω---+++⋯++= (3.9)称为特征多项式，由式(3.8)或（3.9）可解出n 个2ω称为特征值或特征根，将其按升序排列为：22212n 0<≤≤≤ωωω…显然特征值仅取决于系统本身的刚度和质量参数。
这n 个特征值在大多数情况下互不相等且不为零，重根的零根说明系统有刚体运动。
有零根和情况本书不再讨论，有兴趣的读者可参考相关的线性代数和振动理论书籍。
在求得特征值后．把某一个2j ω代回式(3.6)，可求对应的列向量}{j A 。
由于式(3.6)的系数矩阵不满秩，在没有重根和零根情况下只有(n-1)个是独立的，故只能求出列向量}{j A 中各元素j a 1、j a 2、j a 3…nj a 的比例关系。
我们去掉其中不独立的某一式(例如最后一式)，并将剩下的n-1个方程式中某一相同的项(如n A 项)移到等式右边，可得代数方程组：()()()()()()()()()()()222211111121221,11,11,11222221211222222,12,11,222221,11,111,21,221,11,1+++j j j j n j n n j n j n nj j j j j n j n n j n j n njn n j n j n j n n j n n n k m a k m a k m a k m a k m a k m a k m a k m a km a k m a k m a ωωωωωωωωωωω----------------+-+-=---+-+-=---+-+-……………()21,1,1,j n n j n n njk m a ω--=--(3.10)解上面的方程，可得到用nj a 表达的解1j a 、j a 2…j n a ,1-，显然都与nj a 的值成比例。
我们可将这些比例常数用121,,,...,j j n j φφφ-表示，并补充1nj φ=，可得列向量{}{}12,,...,Tjjj nj φφφφ=，则有：{}{}A jnjjA φ= (3.11)列向量{}j φ是确定的常数，反映列向量{}j A 中各数的比例关系，叫作特征向量。
同比例放大或减小特征向量并不改变其比例关系，所以应用时常根据需要来放大或减小特征向量。
不失一般性，我们可在式（3.11）中用待定复常数j r 取代nj A ，式（3.11）可写为：{}{}A jjjr φ= (3.12)这样，当{}j φ成比例变化时，j r 有相应的变化，对应不同的特征值，可得到不同的特征向量。