考点01有理数的分类

考点01有理数的分类知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正数和负数有理数及相关概念基础知识点有理数分类小数（分数）分类补充常用数学概念含义数集问题重难点题型规律探索 基础知识点：知识点1.1 正数和负数负数：规定一种意义的量为正数，与之意义相反的量规定为负数。

(1)用正负号表示相反意义量，一般用（+）表示增多等情况，用（-）表示减少量。

(2)注意：○1相反意义的量是成对出现的；○2相反意义的量必须是同类量；○3用正负表示时，一定要说明数量和单位；(3)在实际生活生产中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负。

(1) 正数：大于零的数，如3，21，π等，其中（+）可以省略 (2) 负数：小于零的数，如-1，-43，﹣30%等，其中（﹣）不可以省略(3) 0：正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。

（0并非表示没有） 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义⎪⎩⎪⎨⎧=><=-0a 000a ，负数，正数，a a例1．我国古代《九章算术）中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向北走5步记作-5步，那么向南走7步记作（ ） A ．+7步B ．﹣7步C ．+12步D ．﹣2步【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．例2．举出一个数字“0”表示正负之间分界点的实际例子，如__________．【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可．【解析】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．例3.下列说法中，正确的有哪些：①0是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0可以表示海平面的高度；④正数比0大，负数比0小，0是正数和负数的分界线；⑤0只表示什么都没有；⑥0是非正数；○70℃表示没有温度；○80是偶数，也是自然数；○9不带负号的数都是正数；【答案】①②③④⑥○8【解析】①正确，0是自然数；②正确，数分为正数、负数和0，其中0既不是正数也不是负数③正确，通常以0作为正负数的分界线，0可表示海平面高度；④正确，正负数的定义就是与0作比较⑤错误，如0℃并非表示没有温度；⑥正确，非正数包括负数和0；○7错误，0℃表示温度为水结冰的临界点温度，并非没有温度；○8正确，0是自然数，也是偶数；○9错误，判断正负，不能仅仅根据符号判定，而需要与0比较大小.0.03表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的例4.如图，是图纸上一个零件的标注，φ30±0.02直径最大可以是30.03mm，最小可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm【答案】D【分析】根据标注可知，零件直径标准30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，则最小为30﹣0.02＝29.98mm．0.03可知，零件的直径范围最大30+0.03mm，最小30﹣0.02mm，【解析】由零件标注φ30±0.02∴30﹣0.02＝29.98（mm）；故选：D．【点睛】本题考查正数与负数；理解题意，找准零件直径的变化范围是解题的关键．例5．下列说法：①带正号的数是正数，带负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上负号就是一个负数；③0是最小的正数；④大于0的数是正数；⑤0只表示没有．其中正确的是（）A．①②B．②④C．①②④D．③⑤【答案】B【分析】根据正负数的意义可判断①②④，根据0的意义可判断③⑤，进而可得答案．【解析】解：带正号的数不一定是正数，带负号的数也不一定是负数，所以①错误；任意一个正数，前面加上负号就是一个负数，所以②正确；0既不是正数，也不是负数，所以③错误；大于0的数是正数，所以④正确；0可以表示没有，也可以表示某种量的基准，所以⑤错误．故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数，明确正数大于0、负数小于0，0既不是正数又不是负数是关键．知识点1.2 有理数及相关概念正整数：像1， 2， 3， 4等这样的数叫作正整数； 负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；正分数：像43，0.24， 1.64等这样的数叫作正分数； 负分数：像－43，－3.56，－ 0.78等这样的数叫作负分数；整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 有理数：整数和分数统称为有理数。

知识点1.3 有理数的分类①按整数、分数分类 ②按数的正负性分⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数负整数正整数正有理数有理数0注：无论怎么分类，一共有5类，不可重复，也不可遗漏拓展：无理数，如π 例1. 下列说法中，正确的A.正有理数和负有理数统称为有理数 B ．正整数和负整数统称为整数 C ．整数和分数统称为有理数 D ．非正数就是指0、负整数和所有分数 例2．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④2π-不仅是有理数，而且是分数；⑤237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（） A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个例3．下列说法正确的有( )①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查有理数的概念及分类，运用时注意分类的依据，还要做到不重不漏．知识点1.4 小数（分数）分类补充⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数1)小数无限循环小数无限小数无限不循环小数2）①有限小数可以转化为分数，故我们将这类小数划分为分数类。

如0.3=310。

②无限循环小数也可以转化为分数，故我们也将这类小数划分为分数类。

如.10.33=。

③无限不循环小数不可以转化为分数，故不是分数，也不是有理数。

如π。

知识点1.5 常用数学概念的含义1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0 例1．请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： ﹣2，﹣20%，﹣0.13，﹣734，10，14，21，6.2，4.7，﹣8这四个集合合并在一起填_____(“是”或“不是”）全体有理数集合，若不是，缺少的是_____．例2. 将下列各数填在相应位置 -50，+10，1，51-，+102， 51.2，-3.06，0，2.0 ，+1131，（π+2），2π，3.12正整数有：{ }分数有：{ }正分数有：{ }非正数有：{ }有理数有：{ }例3.下列结论错误的是：A.负分数都是负有理数B.分数中除了正分数就是负分数C.有理数中除了分数就是小数D.有限小数是分数，也是有理数例4.把下列各数分别填在相应的横线上：1，-0.20，135，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…．正数有：______________________________________________________；分数有：______________________________________________________；负数有：______________________________________________________；正整数有：____________________________________________________；非正数有：_____________________________________________________；负整数有：_____________________________________________________；非负数有：_____________________________________________________；负分数有：_____________________________________________________；非负整数有：___________________________________________________．例5.在下表适当的空格里画“√”.重难点题型题型1 数集问题性质：有理数的分类注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。

此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。

例1．如图，已知A是整数集合，B是正数集合，C是分数集合，D是A和B的重叠部分，E是B和C的重叠部分．（1）D是集合，E是集合；（2）给出下列各数：10，﹣0.72，﹣98，25，83，63%，﹣3.14，请将它们填入图2中相应的集合中去．【点睛】本题考查了有理数的分类．熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题关键．例2．已知有A，B，C三个数的“家族”：A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：14.2,2.1,1,10,8⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，C：{2.1，－4.2,8,6}．(1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分．(2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________.(3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出．【答案】(1)见解析;(2)－1，－4，－4.2，18-;(3)见解析.【分析】（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得.【解析】解：(1)如图所示．(2)－1，－4，－4.2，18-; (3)有，是2.1.故答案为(2)－1，－4，－4;2，18-;(3)有，是2.1.【点睛】本题考核知识点：有理数分类.解题关键点：分析各有理数的关系.例3. 如下图所示，大圆覆盖的区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数的范围，小圆覆盖的区域表示正整数的范围，把下列各数填入它所属于的集合的圆内：15，，-5，，，0.1，-5.32，-80，123，2.333【答案】4．(1)如下图，下而两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里:201915%0.618,-，-，12790, 3.14,72 23-，-，-，(2)上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合? 5．）将下列各数填在相应的圆圈里：+6，﹣8，75，﹣0.4，0，230%，37，﹣2006，﹣145，题型2 规律探究解题技巧：该类题型比较灵活，需视具体情况而定。