第五章-时间序列的模型识别
5时间序列模型
方差函数： 自协方差函数：
? ? 2 t
?
D(Y) t
?
?
[ yE?
??
(Y) td]2 FYt ( y)
?? Cov(Yt ,Ys ) ??E ???Yt EYt ??Ys ??EYs ??? t,s ? (t, s)
自相关函数（ACF)：
? ?ts, ? ?? ts, ?
?(ts,) ??tt, ????s,
模型
? 完善阶段 ：
? 异方差场合
? Robert F.Engle，1982年，ARCH模型 ? Bollerslov，1986年GARCH模型
? 多变量场合
? C.A.Sims等，1980年，向量自回归模型 ? C.Granger ，1987年，提出了协整（co-integration）理论
模拟时间序列数据：
8
? 随机过程与时间序列的关系如下所示：
随机过程: {y1, y2, …, yT-1, yT,} 第1次观测：{y11, y21, …, yT-11, yT1} 第2次观测：{y12, y22, …, yT-12, yT2}
???? ? 第n次观测：{y1n, y2n, …, yT-1n, yTn}
一般的，对于任意 m ? N,,t,1 t2 L , tm ? T,Yt1 ,L ,Ytm 的联合分布函数为：
FYt1 ,Yt2 ,L ,Ytm ( y1 ,,y,)2 L ymP ?? (Yt1 y1Y,,L tm ? ym )
均值方程：
? ?t ? E(Yt ) ?
?
?? ydFYt ( y)
9
2、随机过程的分布及其数字特征
设{Yt}为一个随机过程，对任意一个 t ? T ，Yt的分布函数为：
第五章-时间序列的模型识别
§5.1 自相关和偏自相关系数法
在平稳时间序列分析中，最关键的过程就是利用数据去识别和建模，根据第三章讨论的
内容，一个比较直观的方法，就是通过观察自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）
可以对拟合模型有一个初步的识别，这是因为从理论上说，平稳 AR、MA 和 ARMA 模型的
ACF 和 PACF 有如下特性：
生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。
第五章 时间序列的模型识别
前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型， 引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到 ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将 运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下：
1. 模型识别 用相关图和偏相关图识别模型 形式（确定参数 p, q）
T
1 k
T k j 1
xj x
xjk x , 1 k T 1
(5.3)
ˆk ˆk , 1 k T 1
在上述两种估计中，当样本容量T 很大，而 k 的绝对值较小时，上述两种估计值相差不 大，其中由(5.1)定义的第一种估计值的绝对值较小。根据前面章节的讨论，因为 AR( p )，
MA( q )或者 ARMA( p, q )模型的自协方差系数 k 都是以负指数阶收敛到零，所以在对平
希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便 成了路。
生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。
确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关 的准则函数，既考虑模型对原始观测值的接近程度，又考虑模型中所含待定参数的个数，最 终选取使该函数达到最小值的阶数，常用的该类准则有 AIC、BIC、FPE 等。实际应用中， 往往是几种方法交叉使用，然后选择最为合适的阶数(p,q)作为待建模型的阶数。
Lecture05多元时间序列分析方法
第一节 协整检验 第二节 误差修正模型 第三节 向量自回归模型(VAR) 第四节 格兰杰因果检验
协整检验
第一节 协整检验
一、协整概念与定义
在经济运行中，虽然一组时间序列变量都是随机游走，但它们的某个 线性组合却可能是平稳的，在这种情况下，我们称这两个变量是平稳 的，既存在协整关系。
其基本思想是，如果两个(或两个以上)的时间序列变量是非平稳的， 但它们的某种线性组合却表现出乎稳性，则这些变量之间存在长期稳 定关系，即协整关系。根据以上叙述，我们将给出协整这一重要概念。 一般而言，协整是指两个或两个以上同阶单整的非平稳时间序列的组 合是平稳时间序列，则这些变量之间的关系的就是协整的。
向量自回归模型(VAR)
三、向量自回归模型(VAR)的估计
应用Eviews软件，创建VAR对应选择 Quick/Estimate VAR，或选择Objects/new object/VAR，也可以在命令窗口直接键入VAR。
向量自回归模型(VAR)
四、脉冲响应函数与预测方差分解
从结构性上看，VAR模型的F检验不能揭示某个给定变 量的变化对系统内其它变量产生的影响是正向还是负 向的，以及这个变量的变化在系统内会产生多长时间 的影响。然而，这些信息可以通过考察VAR模型中的 脉冲响应（Impulse Response )和方差分解（Variance Decompositions）得到。
协整检验
（一）E-G两步法
E-G两步法，具体分为以下两个步骤：
第一步是应用OLS估计下列方程
yt a xt ut
这一模型称为协整回归，称为协整参数，并得到相应的残差序列：
第二步检验 序uˆt列 的yt 平(a稳ˆ 性ˆx。t )
时间序列模型的分析
时间序列模型的分析时间序列模型是一种用于分析时间序列数据的统计模型，在许多领域都有广泛的应用，如经济学、金融学、自然科学等。
时间序列模型通过建立数学模型，来描述随时间变化而产生的观测数据的模式和规律，从而可以预测未来的变化趋势。
时间序列模型的分析过程一般包括数据收集、数据预处理、模型选择和评估以及预测。
首先，收集数据是分析时间序列的第一步，可以通过各种途径获得观测数据。
然后，对数据进行预处理，包括去除趋势、季节性和异常值等，以保证模型分析的准确性。
接下来，选择适当的时间序列模型是至关重要的，常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
根据观测数据的特点和分析目的，选择合适的模型对数据进行拟合和预测。
最后，通过对模型进行评估，可以判断模型的拟合效果和预测准确性，如果模型不理想，需要对模型进行优化或者选择其他模型。
时间序列模型的选择和评估涉及到许多统计方法和技术。
首先，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来初步判断时间序列是否存在自相关性和季节性。
自相关图展示了观测值与某个滞后阶数的观测值之间的相关性，而偏自相关图则展示了在排除其他相关性的情况下，某个滞后阶数的观测值与当前观测值之间的相关性。
接着，可以使用信息准则（如赤池信息准则、贝叶斯信息准则）和残差分析等方法来选择合适的模型。
信息准则是一种模型选择标准，通过最小化信息准则的值来选择最优模型。
残差分析则用于检验模型的拟合效果，通常要求残差序列是白噪声序列，即残差之间不存在相关性。
在时间序列模型的预测过程中，常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法、ARMA模型预测法等。
其中，移动平均法用于捕捉序列的平稳性和周期性，指数平滑法适用于序列有趋势性和趋势变化的场景，而ARMA模型则可应对序列存在自相关性的情况。
根据实际情况，可以选择不同的方法进行预测。
时间序列模型讲义
时间序列模型讲义时间序列模型讲义一、概念介绍时间序列模型是一种用于分析和预测时间上变化的数据模型。
它是一种建立在时间序列数据上的数学模型，旨在揭示时间序列中的隐藏规律和趋势，并利用这些规律和趋势进行预测和决策。
二、时间序列的特征时间序列数据具有以下几个主要特征：1. 时间相关性：时间序列数据中的观测值在时间上是相关的，前一个时刻的观测值往往会影响后续时刻的观测值。
2. 趋势性：时间序列数据往往具有明显的趋势性，即观测值随时间呈现出递增或递减的趋势。
3. 季节性：时间序列数据中可以存在固定的周期性变化，比如月份、季节、一周等周期性变化。
4. 周期性：时间序列数据中可能存在非固定的周期性变化，比如经济周期、股票市场周期等。
三、时间序列模型的构建过程时间序列模型的构建过程主要包括以下几个步骤：1. 数据探索和预处理：对时间序列数据进行可视化和探索，查看数据的分布、趋势和周期性等特征，并进行缺失值处理、异常值处理等预处理操作。
2. 模型选择：选择适合数据特征的时间序列模型，常用的模型包括移动平均模型（MA模型）、自回归模型（AR模型）和自回归移动平均模型（ARMA模型）等。
3. 参数估计：利用已选定的时间序列模型，对模型中的参数进行估计，通常采用极大似然估计或最小二乘估计等方法。
4. 模型诊断：对估计得到的时间序列模型进行诊断，检验模型是否满足统计假设，例如模型的残差序列是否具有零均值和白噪声等特征。
5. 模型评价和预测：通过对模型在历史数据上的拟合程度进行评价，选择最优的模型，并利用该模型对未来的数据进行预测和决策。
四、常见的时间序列模型1. 移动平均模型（MA模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的加权平均，其中权重是模型的参数。
该模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列。
2. 自回归模型（AR模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的线性组合，其中系数是模型的参数。
该模型适用于具有明显的趋势性的时间序列。
典型时间序列模型分析
典型时间序列模型分析时间序列模型是一种用于预测未来时间上连续变量的模型。
它基于过去的观察数据，通过识别出时间序列中的趋势、季节性和随机性等特征，来预测未来的发展趋势。
典型的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归综合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归综合移动平均模型（SARIMA）、指数平滑模型、神经网络模型等。
自回归移动平均模型（ARMA）是一种广泛应用于时间序列分析和预测中的模型。
它结合了自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型的特点，能够较好地对时间序列进行建模。
ARMA模型的基本思想是通过过去p个时刻的观察值和过去q个残差项来预测当前时刻的观察值。
参数p和q是模型的阶数，可以通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来选择。
自回归综合移动平均模型（ARIMA）是ARMA模型的一种推广形式，它解决了ARMA模型无法处理非平稳时间序列的问题。
ARIMA模型通过差分运算将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，再利用ARMA模型对差分后的时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型的阶数包括差分阶数d、自回归阶数p和移动平均阶数q，可以通过观察时间序列的趋势和周期性来确定。
季节性自回归综合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型在季节性时间序列上的推广形式。
它考虑了时间序列中的季节性变化，并通过季节性差分运算将季节性时间序列转化为平稳时间序列。
SARIMA模型的参数包括季节性差分阶数D、季节性自回归阶数P和季节性移动平均阶数Q，还有非季节性差分阶数d、非季节性自回归阶数p和非季节性移动平均阶数q。
指数平滑模型是一种简单且常用的时间序列模型，适用于没有明显趋势和季节性的数据。
指数平滑模型通过对过去一段时间内的观察值进行加权平均，来预测未来的观察值。
基本的指数平滑模型有简单指数平滑模型（SES）、双指数平滑模型和三指数平滑模型等。
双指数平滑模型适用于具有一定趋势性的数据，而三指数平滑模型适用于具有趋势性和季节性的数据。
第五章 时间序列的模型识别
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X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p t 进行拟合。根据模型阶数节省原则(parsimony principle)，采取由低阶逐步升高的“过拟合”办 法。先对观测数据拟合模型AR(p)(p=1，2，…)， 用递推最小二乘估计其参数并分别计算对应模型 的残差平方和。根据适用的模型应具有较小的残 差平方和的特点，用F准则判定模型的阶数改变 后相应的残差平方和变化是否显著。
统计学原理第5章：时间序列分析
a a
n 118729 129034 132616 132410 124000 5
127357.8
②时点序列
若是连续时点序列： 计算方法与时期序列一样； 若是间断时点序列： 则必须先假设两个条件，分别是 假设上期期末水平等于本期期初水平； 假设现象在间隔期内数量变化是均匀的。 间隔期相等的时点序列 采用一般首尾折半法计算。 例如：数列 a i , i 0,1,2, n 有 n 1 个数据，计算 期内的平均水平 a n a n 1 a 0 a1 a1 a 2
（3）联系
环比发展速度的乘积等于相应的定基发展速度，
n n i 0 i 1 i 1
相邻两期的定基发展速度之商等于后期的环比发展速度
i i 1 i 0 0 i 1
（二）增减速度
1、定义：增长量与基期水平之比 2、反映内容：现象的增长程度 3、公式：增长速度
0.55
二、时间序列的速度分析指标
（一）发展速度 （二）增长速度 （三）平均发展水平
（四）平均增长速度
（一）发展速度
1、定义：现象两个不同发展水平的比值 2、反映内容：反映社会经济现象发展变化快慢相对程度 3、公式：v 报告期水平 100%
基期水平
（1）定基发展速度
是时间数列中报告期期发展水平与固定基期发展水平对比所 得到的相对数，说明某种社会经济现象在较长时期内总的发 展方向和速度，故亦称为总速度。 （2）环比发展速度 是时间数列中报告期发展水平与前期发展水平之比，说明某 种社会经济现象的逐期发展方向和速度。
c
a
b
均为时期或时点数列，一个时期数列一个时点数列，注意平均的时间长度 ，比如计算季度的月平均数，时点数据需要四个月的数据，而时期数据则 只需要三个月的数据。
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第五章 时间序列的模型识别
前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型， 引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到 ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将 运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下：
1. 模型识别 用相关图和偏相关图识别模型 形式（确定参数 p, q）
ˆkk ~ N 0, 1 T
这样根据正态分布的性质，我们有
T
1 k
T k j 1
xj x
xjk x , 1 k T 1
(5.3)
ˆk ˆk , 1 k T 1
在上述两种估计中，当样本容量T 很大，而 k 的绝对值较小时，上述两种估计值相差不 大，其中由(5.1)定义的第一种估计值的绝对值较小。根据前面章节的讨论，因为 AR( p )，
MA( q )或者 ARMA( p, q )模型的自协方差系数 k 都是以负指数阶收敛到零，所以在对平
ˆk ˆk ˆ0 , k T 1
(5.2)
是Xt 的自相关系数k 的估计。
作为Xt 的自协方差系数 k 的估计，根据数理统计知识，样本自协方差系数还可以
写为
希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便 成了路。
生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。
ˆk
模型（序列）
AR(p)
MA(q)
ARMA(p,q)
自相关系数（ACF） 拖尾
q 阶截尾
拖尾
偏自相关系数（PACF） p 阶截尾
拖尾
拖尾
但是，在实际中 ACF 和 PACF 是未知的，对于给定的时间序列观测值 x1, x2 , , xT ，我们
需要使用样本的自相关系数 ˆk 和偏自相关系数 ˆkk 对其进行估计。然而由于ˆk 和
对于线性平稳时间序列模型来说，模型的识别问题就是确定 ARMA(p,q)过程的阶数， 从而判定模型的具体类别，为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主 要是依据样本的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）初步判定其阶数，如果利用 这种方法无法明确判定模型的类别，就需要借助诸如 AIC、BIC 等信息准则。我们分别给 出几种定阶方法，它们分别是（1）利用时间序列的相关特性，这是识别模型的基本理论依 据。如果样本的自相关系数（ACF）在滞后 q+1 阶时突然截断，即在 q 处截尾，那么我们 可以判定该序列为 MA(q)序列。同样的道理，如果样本的偏自相关系数（PACF）在 p 处截 尾，那么我们可以判定该序列为 AR(p)序列。如果 ACF 和 PACF 都不截尾，只是按指数衰 减为零，则应判定该序列为 ARMA(p,q)序列，此时阶次尚需作进一步的判断；（2）利用数 理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零，根据模型参数的置信区间是否含零来
ˆkk
Dˆ k Dˆ
,
k 1, 2,
,T
(5.4)
其中
1 ˆ1
ˆ k 1
1 ˆ1
ˆ1
Dˆ ˆ1 1
ˆk2 , Dˆk ˆ1
1
ˆ2
ˆk1 ˆk2
1
ˆk1 ˆk2
ˆk
关于样本的自相关系数ˆk 的统计性质，我们将在下一章给予讨论。
Quenouille 证明， ˆkk 也满足 Bartlett 公式，即当样本容量 T 充分大时，
§5.1 自相关和偏自相关系数法
在平稳时间序列分析中，最关键的过程就是利用数据去识别和建模，根据第三章讨论的
内容，一个比较直观的方法，就是通过观察自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）
可以对拟合模型有一个初步的识别，这是因为从理论上说，平稳 AR、MA 和 ARMA 模型的
ACF 和 PACF 有如下特性：
希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便 成了路。
生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。
确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关 的准则函数，既考虑模型对原始观测值的接近程度，又考虑模型中所含待定参数的个数，最 终选取使该函数达到最小值的阶数，常用的该类准则有 AIC、BIC、FPE 等。实际应用中， 往往是几种方法交叉使用，然后选择最为合适的阶数(p,q)作为待建模型的阶数。
ˆkk 均是随机变量，对于相应的模型不可能具有严格的“截尾性”，只能呈现出在某步之后
围绕零值上、下波动，因此，我们需要借助 ˆk 和 ˆkk 的“截尾性”来判断k 和kk 的
截尾性，进而由此可以给出模型的初步识别。首先，我们需要给出样本的自相关系数 ˆk 和
偏自相关系数 ˆkk 的定义。
2. 参数估计 对初步选取的模型进行参数估计
3. 诊断与检验 包括参数的显著性检验和 残差的随机性检验
模型是否可取
吗 可取
停止
不可取
图 5.1 建立时间序列模型流程图
在 ARMA(p,q)的建模过程中，对于阶数(p,q)的确定，是建模中比较重要的步骤，也是比较 困难的。需要说明的是，模型的识别和估计过程必然会交叉，所以，我们可以先估计一个比 我们希望找到的阶数更高的模型，然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程 去完成一部分模型识别，但是这样得到的模型识别必然是不精确的，而且在模型识别阶段对 于有关问题没有精确的公式可以利用，初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考 虑。
设平稳时间序列Xt 的一个样本 x1, , xT 。则样本自协方差系数定义为
ˆk
1 T
T k j 1
xj x
xjk x , 1 k T 1
(5.1)
ˆk ˆk , 1 k T 1
其中 x
1 T
T
x j 为样本均值，则样本自协方差系数ˆk 是Xt 的自协方差系数 k 的估
j 1
计。样本自相关系数定义为
稳时间序列的数据拟合 AR( p )，MA( q )或者 ARMA( p, q )模型时，希望实际计算的样本自
协方差系数ˆk 能以很快的速度收敛。因此，我们一般选择由(5.1)定义的第一种估计值作
为 k 的点估计。
根据第三章偏自相关系数的计算，利用样本自相关系数 ˆk 的值，定义样本偏自相关
系数 ˆkk 如下：