逻辑函数的最小项表达式
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
最小项和标准与或式
例2.5.12 试将下列函数利 用真值表转化成两种标准 形式
Y ( A, B, C) AB AC BC
解：其真值表如表2.5.16 所示
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
00 0
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
则逻辑函数的标准与或型为
F ( A, B,C) m(0,1,3,4,6,7)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑函数的标准或与型为
F ( A, B, C) M (2,5)
( A B C)( A B C)
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
000
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0将逻辑函数变换为 与或式和或与式
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实 现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。
A
＆
C
B
＆
C
＆
Y
图 2.5.10 输 入 有 反 变 量 输 入
A
＆
C
＆
数字电路、圈卡诺图、最大项最小项
逻辑函数表达式的转换
最大项表达式 真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个 函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最 大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些 最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F(A, B,C) AC ABC 转换为最大项表达式。
AB C
0
1
00
01
11
10
1
0
0
1
0
1
1
0
ABC ABC BC
ABC ABC BC
逻辑函数化简—卡诺图化简
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项， 可以合并为一项，并消去2个变量。
AB
C
00
01
11
10
ABC ABC ABC ABC
0
1
1
1
1 (AB AB AB AB)C
① 表达式中的与项最少； ② 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并 且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。
（1）并项法
利用公式 AB AB A 将两个与项合并成一个与
逻辑函数化简—卡诺图化简
下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相 应的最小项mi。
三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个 相邻最小项：m0、m3 、m6
AB
C
00 01 11 10
0 m0 m2 m6 m4 1 m1 m3 m7 m5
卡诺图化简法
ABC ABC A BC
m3 m2 m1
m(1、 2、 3)
例2
L( ABC ) ( AB AB C ) AB
AB AB C AB
AB AB C AB ( AB AB) C AB ABC ABC AB(C C) ABC ABC ABC ABC
⒈用摩根定律去掉非号(多个变量上)直至只在一个变量上有非号为止
⒉用分配律去除括号，直至得到一个与或表达式
⒊配项得到最小项表达式
习 例1
题
A B A BC
的最小项
求函数F(A、B、C) 表达式 解：F(A、B、C)
A B A BC
A B A BC
AB(C C) A BC
如:
m0 m2 m4 m6 m8 m10 m12 m14 D
2.用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤
设已得到逻辑函数的卡诺图
1) 将相邻的值为“1”的小方块画成若干个包围圈
ⅰ)每个包围圈中必须含有2n个小方块 (n=0,1,2, …)
画 圈 原 则
ⅱ)小方块可重复被包围，但每个包围圈中必须含有其他 包围圈没有的新小方块 ⅲ)不能漏掉任何值为1的小方块 ⅳ) 包围圈所含的小方块数目要尽可能多 ⅳ) 包围圈数目要尽可能少，画包围圈的顺序由大→小
10 1
01 11 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
1 1 1
D
3.具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简
无关项的定义
在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者 这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无 关项或任意项。
逻辑函数的化简
1、逻辑函数的最小项及其性质 （1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的 全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且 仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常 称为最小项。 3个变量A、B、C可组成8个最小项：
A B C 、A B C、A BC 、A BC、AB C 、AB C、ABC 、ABC
Y ( A B)(C D E )
Y A B C D E
（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“·” 换成“＋”，“＋”换成“·” ，“0” 换成“1” ，“1” 换成“ 0” ，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式 Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
ABC ABC AB C ABC
m6 m7 m1 m3
m6 m7 m1 m3
或 m 1 , 3 , 6 , 7
作业：
将
L( A, B, C ) AB AC +BC化成最小项表达式
L( A, B, C ) AB(C C ) A( B B)C
A B
0-1率A· 1=1
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
（3）最小项的性质：
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
经典：8、逻辑函数最小项表达式
__
__ __ __ __ __
ABC ABC ABC A BC A BC
重叠定律
__ __ __
ABC ABC A BC
m7 m6 m2
4
例4、已知逻辑函数f(A,B,C)的真值表如
下，试写出它的最小项表达式。
A
B
C
f(A,B,C)
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
补足的方法是：例如项A__B需补足变量C， 只要构建 AB AB(C C)
3
__ __ __
例3将逻辑函数f (A, B,C) AB BC A BC
表示为最小项表达式。
__ __ __
பைடு நூலகம்
解：f (A, B,C) AB BC A BC
__
__ __ __ __
AB(C C) (A A)BC A BC
8
9
10
小结
1、逻辑函数的最小项表达式：任何 一个逻辑函数都可以写成它的最小项 的与或式。 方法：最小项表达式：首先要将逻 辑函数写成与或式，然后将因子不 足的项补足。 2、在真值表中值等于1的最小项的与 或式为逻辑函数的最小项表达式。
11
最小项表达式
盐高职高二数学组：陆军
1
2
定义：任何一个逻辑函数都可以写成
它的最小项的与或式，这叫做该逻辑函数
的最小项表达式。
__ __ __
例3、将逻辑函数f (A, B,C) AB BC A BC
表示为最小项表达式
电子技术及应用第七章-第四节-3逻辑函数表达式的最简标准
2、最简与非—与非表达式
最简与非-或非表达式，就是 式中的非号最少、并且每个非号下 面乘积项中的变量也最少的与非与非表达式。
பைடு நூலகம்
Y A B AC A B AC
__________ ____ _____ _____ __ __ __________ __ __________ __ __ __
__
__
A B A C
3、最简或与表达式
最简或与表达式，就是式中的 括号最少、并且每个括号内相加的 变量也最少。
__ __
Y A B AC ( A B)( A C )
__ __
4、最简与或非表达式
最简与或非表达式，就是式中非 号下面相加的乘积项最少、并且每个 乘积项中相乘的变量也最少的与或非 表达式。
Y A B AC ( A B )( A C ) A B AC
__________ ____ __ __ __ __
__
__
所以，对逻辑函数进 从上面所介绍的函数的 各种最简表达式可知， 只要得到了函数的最简 与或表达式，再利用摩 根定律进行适当的变换， 就可以得到其他几种类 型的最简表达式。
逻辑函数的最小项
如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部 变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出 现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一
个标准积项，标准积项通常称为最小项。
逻辑函数的最小项表达式
任一个逻辑函数均可以表示成一
函数的标准 与或表达式
组最小项的和，这种表达式称为函数
的最小项表达式，也称为函数的标准 与或表达式，或称为函数的标准积之 和表达式。任何一个n变量的函数都 有一个且仅有一个最小项表达式。
逻辑函数的三个规则和标准形式
A B C = m2
0
1
1
A B C = m3
1
0
0
A B C = m4
1
0
1
A B C = m5
1
1
0
A B C = m6
1
1
1
A B C = m7
① n 个变量的所有最小项（2n个）之和为1 ；
② 相同变量的任意两个最小项mi 和mj 之积为0（i≠j）； ③ n变量最小项有n 个相邻最小项。
数字电路与逻辑设计
数字电路与逻辑设计
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最大项表达式 全部由最大项相与而构成的或－与表达式称为最大项表达式，又称为标准或－与式， 或标准和之积式。
最大项表达式的书写形式：
对于逻辑函数：F A B C A B C A B C
可以简写成： 或写成：
F A, B, C M0×M1×M4 F A, B,C M 0，1，4
等式仍成立。 解：
原式左边＝A[B +(C +D )]＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD 原式右边＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD
所以等式仍然成立。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
２．反演规则
设F 是一个逻辑函数表达式，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、 反变量互换，长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变，这样可得F 的反函数。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最小项表达式 全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－
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逻辑代数基础华中科技大学罗杰
7
逻辑函数的最小项表达式
逻辑函数表达式的形式
每一个与项都是最小项每一个或项都是最大项
最小项和与最小项表达式
最小项的定义
•在n 变量逻辑函数中，若一个乘积项包含了全部的n 个变量，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，则称该乘积项为最小项(minterm)。
•一般n 个变量的最小项应有2n 个。
C B
A
C B A
C B A BC A
C B A
C B A
C AB ABC
最小项
B
A
ABCA
()
A B C
不
是
最
小
项
例如，三个变量A、B、C 的最小项有八个
m0 m1 m2 m3m4 m5 m6 m7
例如，以三个变量乘积项为例，它的二进制取值为000，对应十进制数0，所以把最小项记作m 0；
•通常用m i 表示最小项，m 表示最小项,下标I 为最小项编号，用十进制数表示。
•将最小项中的原变量用1表示，非变量用0表示，可得到最小项的编号。
C B A C B A 乘积项的二进制取值为001，对应十进制数1，所以把最小项记作m 1。
三个变量的所有最小项的真值表m 0
m 1
m 2
m 3
m 4
m 5
m 6
m 7
A
B
C
000100000000010100000001000100000100000010000110001000010100000100110000000101
1
1
1
C B A BC A C B A C B A C B A C AB ABC
C B A
C B A BC A C B A C B A C B A C AB ABC
C B A A
B
C
000100000000010100000001000100000100000010000110001000010100000100110000000101
1
1
1
•对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；
•不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同；•对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；•对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
最小项的性质：
•由若干最小项相或构成的表达式，也称为标准与-或式。
最小项表达式
为“与或”逻辑表达式；
在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。
例将(,,)L A B C AB AC
=+化成最小项表达式。
解：这是一个 3 变量逻辑函数。
AB C AB C C ABC ABC ∴+=+中缺少变量因子，（） AC B AC B B ABC ABC
∴+=+中缺少变量因子，（）
例将(,,)L A B C AB AC
=+化成最小项表达式。
解：这是一个 3 变量逻辑函数。
(,,)()()L A B C AB C C A B B C
=+++= m 7＋m 6＋m 3＋m 1
(7,631)
m ,,=∑ABC ABC ABC ABC =+++
例(,,)()L A B C AB AB C AB =++将化成最小项表达式。
a.去掉非号()()L A,B,C AB AB C AB =+++()AB AB C AB
=⋅⋅+()()A B A B C AB
=+++b.去括号ABC ABC AB
=++()ABC ABC AB C C =+++ABC ABC ABC ABC =+++3576
(3,5,6,7)
m m m m m =+++=∑解：
再见！。