二次曲线的定义

二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线
2、切线的方程 问题：已知二阶曲线
: S aij xi x j 0
i , j 1 3
(aij a ji )
(1)
求过定点 P(p1, p2, p3) 的 Γ 的切线方程。 设 Q(q1,q2,q3)为平面上任一点，则直线 PQ 上任一点可表为
a11 a12 a13 x1 S ( x1 , x2 , x3 ) a12 a22 a23 x2 0, a x a a 23 33 3 13 或 S XAX 0. ( A A, 秩( A) 1)
注3. 由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对 偶地适用于二级曲线。 命题 S = 0 退化 |aij| = 0.
i , j 1 3
定义1' 坐标满足
(1)
T bij uiu j 0
i , j 1 3
(aij a ji )
(bij b ji )
(1')
的所有点 (x1, x2, x3) 的集合称 为一条二阶曲线. 其中 (aij) 为 三阶实对称阵, 秩 (aij)≧1。
的所有直线 [u1, u2, u3] 的集合称 为一条二级曲线. 其中 (bij) 为三 阶实对称阵, 秩 (bij)≧1。
展开, 得 T Aijui u j 0. 且Aij Aji , | Aij || aij |2 0. 这里Aij是aij的代数余子式.
利用定理1的证明，此二射影线束 A B 0 A B 0 生成的二阶曲线的方程为 aAA dBB bAB cAB 0 由 λ + μ = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = –1 , 代入上式得
2 x1x3 x2 x3 x3 0,
xi = pi + λqi 。 PQ 为 Γ 的切线 PQ 交 Γ 于两个重合的点 将 xi = pi + λqi 代入 Γ：S = 0 后只有一个解。代入得
即
a ( p q )( p a ( p p p q
ij i i
j
q j ) 0,
ij
i
j
i
2 q p qi q j ) 0 j i j
定义2′ 如果 T 可以分解为 定义2 如果 S 可以分解为两 个一次因式的乘积，则称 S = 0 两个一次因式的乘积，则称 T 为退化二阶曲线，否则称为非 = 0 为退化二级曲线，否则称为 非退化二级曲线。 退化二阶曲线。
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。 注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
OP( K ).
O( A, B, P, M ).
设 OA BM A, OB AM B.
O( A, B, P, M )
分别以AM, BM截得
AM ( A, B, K , M ) BM ( A, B, K , M ). BM ( A, B, K , M ).
注意到 M M , AM ( A, B, K , M )
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。 推论2′ 任一二级曲线可由 两个射影点列生成。 推论3′ 二级曲线上四条定 直线被其上任意一条直线所截 得四点的交比为定值。
注：推论3对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
二次曲线的射影定义 三、二次曲线的射影定义
由上述的两个定理及其推论，我们有 定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。 定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
(5' ) (6' )
二次曲线的射影定义
例2 如果两个三点形 ABC 与 A′B′C′ 同时内接于一条二次曲线， 求证它们也同时外切于一条二次曲线。 证. 设交点 D, E; D′, E′ 如图。 因为 A, B, C, A′, B′, C′ 在同一条二次曲线 上，据二阶曲线的射影定义有 C ( B, A, B, A) C( B, A, B, A). 又
因此有
a11 p1 a12 p2 a13 p3 ku1 0 a21 p1 a22 p2 a23 p3 ku2 0 a31 p1 a32 p2 a33 p3 ku3 0 u1 p1 u2 p2 u3 p3 0
二次曲线的射影定义
这个关于p1,p2,p3和k的方程组有非零解，所以
二次曲线的射影定义
AM OP K 设 BM OP K
定理2的证明. 设 Γ 由 O(P) O′(P) 生成，需证 A( M ) B( M ).
则有
A( M ) OP( K ) B( M ) OP( K )
所以只要证 OP( K )
O( P) O( P),
C ( B, A, B, A) C( B, A, B, A) AB( B, E, D, A) AB( D, A, B, E ). AB( B, E, D, A) AB( D, A, B, E ).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。 注：本题的逆命题成立。
(2)
x3 0 即 x1 x2 x3 0 这是一条退化的二阶曲线。
二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线
本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.
1. 定义 定义4 与二阶曲线 Γ 交于两个重合的点的直线称为 Γ 的切线。
外 相异的实切线 一般地 , 点P在 上 过P有的两条 重合的实切线 内 共轭的虚切线
从而对应点的连线共点，即 AA′, BB′, KK′ 共点于 S。 但是 S OA OB 为定点，故当 M 变动时，KK′ 经过定点 S，即 OP(K ) OP(K ).
二次曲线的射影定义
推论1 平面上五点(其中无 三点共线)唯一确定一条非退 化二阶曲线。 推论2 任一二阶曲线可由 两个射影线束生成。 推论3 二阶曲线上四个定 点与其上任意一点连线所得四 直线的交比为定值。
二次曲线的射影定义 六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非 退化二阶曲线的全体切线构成 一条非退化二级曲线。 证明 设 : S aij xi x j 0.
定理3′ (Maclaurin) 一条非 退化二级曲线的全体切点构成 一条非退化二阶曲线。
若P(p1,p2,p3)是切线u[u1,u2,u3]的切点，则有Sp=0，于是 a11 p1 a12 p2 a13 p3 a21 p1 a22 p2 a23 p3 a31 p1 a32 p2 a33 p3 k u1 u2 u3
二次曲线的射影定义
注：Sp = 0 常用的等价写法
(1). a11 ( p1 , p2 , p3 ) a12 a 13 a12 a22 a23 a13 x1 a23 x2 0. x a33 3
(2).
S S S x x1 x x2 x x3 0. 1 p 2 p 3 p
2 S pq Sqq S pp
(4)
(4) 式即为 Q(q1,q2,q3)是 Γ 过 P(p1, p2, p3) 的切线上的点的充要条 件。习惯地，将其中的流动坐标 qi 换为 xi ，得到二阶曲线过点 P(p1, p2, p3) 的切线方程为
2 Sp S pp S
(5)
(5) 式为一个二次方程，故经过平面上一点 P 一般有两条切线。 如果 P 在 Γ 上，则 Spp = 0，从而，二阶曲线上一点 P 处的切线 方程为 Sp 0 (6)
二次曲线的射影定义
整理得
2 aij qi q j (aij pi q j aij qi p j ) aij pi p j 0
为简便计，我们引入记号
(2)
S pp aij pi p j S pq aij pi q j S p aij pi x j
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。 解 令 A x1 0, B x3 0; A x2 0, B x3 0.
Sqp aij qi p j Sq aij qi x j
Sqq aij qi q j
aij a ji , S pq Sqp .
代入(2)式得
Sqq 2 2S pq S pp 0
(3)
二次曲线的射影定义
从而Q(q1,q2,q3) 在过 P(p1, p2, p3) 的切线上 (3) 对 λ 有二重根
a11 a12 a13 u1 a12 a22 a23 u2 a13 a23 a33 u3 u1 u2 u3 0 0 (13)
这是一个二级曲线的方程.
二次曲线的射影定义
设 : S aij xi x j 0. 由本定理的证明可知，[u1,u2,u3] 为 Γ上一点处的切线
a11 a12 a13 u1 a12 a22 a23 u2 a13 a23 a33 u3 u1 u2 u3 0 0 (13)
设
:
T bijuiu j 0
(bij bji )
| bij | 0
(1)
1.切点的定义 一般地，过平面上一点有 Γ′ 的两条直线。若过平面上某 点 P 有且仅有 Γ′ 的一条直线，则称 P 为 Γ′ 的一个切点。 2. 切点方程 一般 ( Γ′ 在l上的切点)：Tl 2 TllT 特殊 ( l 属于 Γ′ )： Tl 0