二次函数有关线段和差面积最值问题-doc
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。
在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。
关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。
小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。
变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。
分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。
，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。
分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。
变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。
2024年中考数学方法、技巧：二次函数中的最值问题
中考数学方法、技巧9-二次函数中的最值问题题型分析
题型一【铅垂高系列】
中考高频考点，常常考在压轴题部分，最常见以考查面积的最值为考点，做法常常作铅锤高，利用坐标法构造面积的二次函数，求得面积最值.
题型二【线段和差最值篇】
中考高频考点，常常考查将军饮马，和的最小值（利用两边之和大于第三边求解），或者线段差的最大值（利用三角形两边之差小于第三边来求解）；还有期间涉及到的隐圆问题，也和最值有关。
题型三【构造二次函数模型求最值】
设坐标，构造二次函数，也叫做设坐标法。
题型四【加权线段最值】
利用阿氏圆或者胡不归模型（以上内容公众号中都有的哦），将加权线段进行转化，进而求得最值。
题型五【几何构造最值篇】
几何构造常考于特殊的边和角度时，利用构造特殊图形进行求解。
10 二次函数与线段关系及最值定值问题 -备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A 的坐标为(3, 4)，点B 是x 轴正半轴上的一个动点，设OB ＝x ，AB ＝y ，那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理，就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示，AB ＝5，点O 沿直线EF 翻折后，点O 的对应点D 落在AB 边上，设AD ＝x ，OE ＝y ，那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ； ①在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.思路点拨（1）根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案； （2）由EBP PGF ∆∆:得出PE BPPF GF=，又2,1FG AB BP ===为定值，即可得出答案； （3）先设,2AE t BE t ==-结合EPF AEF BEP PFG ABGF S S S S S ∆∆∆∆=---矩形得出245S t t =-+①将t=1代入245S t t =-+中求解即可得出答案；②将s=4.2代入245S t t =-+中求解即可得出答案.满分解答（1）相似理由：∵090BAP BPA ∠+∠=，090CPD BPA ∠+∠=， ∴BAP CPD ∠=∠， 又∵090ABP PCD ∠=∠=， ∴ABP PCD ∆∆:； （2）在旋转过程中PEPF的值为定值， 理由如下：过点F 作FG BC ⊥于点G ，∵BEP GPF ∠=∠，90EBP PGF ∠=∠=，∴EBP PGF ∆∆:，∴PE BPPF GF=， ∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABGF 为矩形， ∴2,1FG AB BP === ∴12PE PF = 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值，12PE PF =； （3）由（2）知：EBP PGF ∆∆:，∴12BE PE PG PF ==， 又∵,2AE t BE t ==-，∴()2242PB t t =-=-，()14252BG AF BP PG t t ==+=+-=-， ∴EPF AEF BEP PFG ABGF S S S S S ∆∆∆∆=---矩形()()()()2111252521224245222t t t t t t t =--⨯--⨯⨯--⨯⨯-=-+即：245S t t =-+；①当1t =时，EPF ∆的面积214152S =-⨯+=， ②当 4.2EPF S ∆=时，∴245 4.2t t -+=解得：1452t =-，2452t =（舍去） ∴当EPF ∆的面积为4.2时，4525t =-； 【点睛】本题考查的是几何综合，难度系数较高，涉及到了相似以及矩形等相关知识点，第三问解题关键在于求出面积与AE的函数关系式.【例2】如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE 折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．满分解答（1）由翻折可知：AD＝AF＝10，DE＝EF，求出BF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；（2）①首先求出AG，DG，∠ADM＝∠NMG，证明△ADM∽△GMN，可得AD AMMG GN，整理后根据二次函数的最值求解即可．②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时．如图3﹣2中，当MN＝DN时，分别通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求解即可．思路点拨（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△ABF中，BF＝22AF AB-＝6，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，即CE＝3.（2）①如图2中，,∵AD∥CG，∴AD DE CG CE=，∴1053 CG=，∴CG＝6，∴BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG2281685+=在Rt△DCG中，DG226810+=，∵AD＝DG＝10，∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，∴∠ADM＝∠NMG，∴△ADM∽△GMN，∴AD AMMG GN=，1085xyx=--，∴y＝110x2﹣455x+10，∴当x＝45时，y有最小值，将x＝45代入可得，最小值＝2；②存在，由①可得∠DMN＝∠DGM，∴∠DNM＝∠DMG，∴∠DNM≠∠DMN，所以有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，∵∠MDN＝∠GDM，∠DMN＝∠DGM，∴△DMN∽△DGM，∴DM MN DG GM，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝85﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN ＝∠DGM ， ∴∠MDG ＝∠MGD ， ∴MD ＝MG ， ∵MH ⊥DG ， ∴DH ＝GH ＝5，∵∠DAG ＝∠DGA ，∠DAG ＝∠AGB ， ∴∠DGA ＝∠AGB ， 又∵∠MHG ＝∠ABG ＝90°， ∴△GHM ∽△GBA ， ∴GH MGGB AG =， ∴516=，∴MG ＝2，∴x ＝AM ＝综上所述，满足条件的x 的值为10或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -，抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D . （1）求出,,a b c 的值；（2）如图1，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上的动点，连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴，对称轴l 上，且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时，请求出点P 的坐标及此时AM MN NP++的最小值；（3）如图2，连接AC ，把AOC ∆按照直线y x =对折，对折后的三角形记为A OC ∆''，把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动，移动后三角形的记为A O C ∆'''''，连接DA ''，DC ''，在移动过程中，是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在，直接写出点C ''的坐标；若不存在，请说明理由.思路点拨（1）由抛物线的对称性可得到(4,0)B ，然后将A 、B 、C 坐标代入抛物线解析式，求出a 、b 、c 的值即可得到抛物线解析式；（2）利用待定系数法求出直线BC 解析式，作//PQ y 轴交BC 于点Q ，设(,4)Q x x -，则21,42P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，表示出PQ 的长度，然后得到△PBC 的面积表达式，根据二次函数最值问题求出P 点坐标，再把A 向左移动1个单位得1(3,0)A -，连接11,A P A N ，易得1+A P MN 即为最小值；（3）由题意可知C ''在直线4y x =+上运动，设(),4''+C m m ，则()4,2''++A m m ，分别讨论：①''''''=A C DC ，②''''''=A C DA ，③''''=D DA C ，建立方程求出m 的值，即可得到C ''的坐标.满分解答（1）由抛物线的对称性知(4,0)B ，把(2,0),(4,0),(0,4)--A B C 代入解析式2y ax bx c =++，得42016404a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为2142y x x =--. （2）设BC 直线解析式为为y kx b =+ 将(4,0),(0,4)-B C 代入得，404k b b +=⎧⎨=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线BC 的解析式为4y x =-. 作//PQ y 轴交BC 于点Q ，如图，设(,4)Q x x -，则21,42P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2211(4)4222PQ x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭. 22214224(2)42PBC CPQ BPQx x S S S x x x ∆∆∆⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭=+==-+=--+ 当2x =时，PBC S ∆取得最大值，此时，(2,4)P -.把A 向左移动1个单位得1(3,0)A -，连接11,A P A N ，如图111411AM MN NP A N MN NP A N NP MN A P MN ++=++=++≥+=.（3）由题意可知C ''在直线4y x =+上运动， 设(),4''+Cm m ，则()4,2''++A m m ，∴()()22242420''''=+-++--=A m m m m C()()222214261D 7C ''=-++=++m m m m ()()22224122101DA 3''=+-++=++m m m m①当''''''=A C DC 时，22617=20++m m ，解得31522=-±m 此时31551522C ''⎛- ⎝⎭或31551522C ''⎛-++ ⎝⎭；②当''''''=A C DA 时，221013=20++m m ，解得5392=-±m 此时539339,2222C ''⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或539339,2222C ''⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭③当''''=D DA C 时，2221013=2617++++m m m m ，解得1m =，此时(1,5)C ''，综上所述C ''的坐标为539339,22C ''⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或539339,22C ''⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭315515,22C ''⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或315515,22C ''⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭或(1,5)C ''. 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积最值与线段最值问题，等腰三角形存在性问题，是中考常考的压轴题，难度较大，采用数形结合与分类讨论是解题的关键.【例4】如图在锐角△ABC 中，BC ＝6，高AD ＝4，两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点)，且MN ∥BC ，以MN 为边长向下作正方形MPQN ，设MN ＝x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ．(1)如图(1)，当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时，求x 的值；(2)如图(2)，当PQ 落△ABC 外部时，求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大，最大是多少？思路点拨（1）利用相似三角形的判定和性质列比例式求解；（2）利用相似三角形的判定和性质列比例式求正方形MPQN与△ABC公共部分的长和宽，从而列出函数关系式并求最值.满分解答(1)当PQ恰好落在边BC上时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC∴MN AG BC AD=，∵以MN为边长向下作正方形MPQN ∴GD=MN=4即464x x-=，∴x＝125．(2)设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．设ME＝NF＝h，AD交MN于G(如图2)GD＝NF＝h，AG＝4﹣h．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴MN AGBC AD=，即464x h-=，，∴h＝23-x+4．∴y＝MN•NF＝x(23-x+4)＝23-x2+4x(2.4＜x＜6)，配方得：y＝23-(x﹣3)2+6．∴当x＝3时，y有最大值，最大值是6．【点睛】掌握相似三角形对应高的比等于相似比从而列出比例式是本题的解题关键.【例5】如图，抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A，交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A，与抛物线交于另一点B，证明：AB的长是定值；（3）连接AC，延长AC交x轴于点D，作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°，求m的值．思路点拨（1）直接写出顶点式即可得出结论；（2）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，得出n=2m+12m2，进而得出直线AB的解析式为y=-x+2m+12m2，再联立抛物线解析式得出方程组，转化成方程，利用根与系数的关系即可得出结论；（3）先求出点A，C关于x轴的对称点，进而得出直线EF解析式，再联立抛物线解析式，过点C作MN ∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，设点E，F坐标，联系抛物线和EF表达式，利用根与系数的关系列出方程求解.满分解答（1）Q 抛物线22222211111(2)()22222y x mx m x mx m m m x m m m =-++=--+++=--++，∴顶点A 的坐标为21(,)2m m m +；（2）由（1）知，顶点A 的坐标为21(,)2m m m +，Q 直线y x n =-+经过点A ，212m m m n ∴+=-+，2122n m m ∴=+，∴直线AB 的解析式为2122y x m m =-++①，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，Q 抛物线2211()22y x m m m =--++②，联立①②得，222111()2222x m m m x m m --++=-++，即：22(1)(2)0x m x m m --+-=， 122(1)x x m ∴+=-，12(2)x x m m =-，AB ∴即：AB 的长是定值，其值为（3）Q 抛物线212y x mx m =-++与y 轴相交于C ，(0,)C m ∴，∴点C 关于x 轴的对称点的坐标为(0,)m -，由（1）知，顶点A 的坐标为21(,)2m m m +，∴点A 关于x 轴的对称点的坐标为21(,)2m m m --， Q 直线EF 是直线AD 关于x 轴的对称点，∴点(0,)m -，21(,)2m m m --在直线EF 上，∴直线EF 的解析式为12y mx m =--③， Q 抛物线212y x mx m =-++④，设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），过点C 作MN ∥x 轴，过点E 作EM ⊥MN 于点M ，过点F 作FN ⊥MN ，如图1， ∵∠ECF=90°， ∴∠ECM+∠FCN=90°， ∠FCN+∠CFN=90°， ∴∠ECM=∠CFN ， ∵∠EMC=∠FNC=90°， ∴△EMC ∽△CNF ， ∴=EM MCCN FN, 即1122=m y x x m y ---， 化简得：()2121212=m y y m y y x x -++-，联立③④得，2340x mx m --=， 12=3x x m +，124x x m =-，12y y =112mx m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭212mx m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=3212m m +，2123=22y y m m +--，∴2232312=422m m m m m m m ⎛⎫---++ ⎪⎝⎭，∴()222m m m +-=0解得：m=1-+m=1-m=0， ∵m>0∴m=1-【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，根与系数的关系，直角三角形的性质，建立方程组是解本题的关键．【例6】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q 为抛物线上一点，且S △ABQ ＝12S △ACQ ，求点Q 的坐标； （3）若直线l ：y ＝mx +n 与抛物线有两个交点M ，N （M 在N 的左边），P 为抛物线上一动点（不与M ，N 重合）．过P 作PH 平行于y 轴交直线l 于点H ，若HM HNHP⋅＝5，求m 的值．思路点拨（1）抛物线与y 轴交于点C （0，-3），则c=-3，将点B 的坐标代入抛物线表达式并解得：b=-2，即可求解； （2）分点Q 在x 轴下方、点Q 在x 轴上方两种情况，分别求解即可； （3）MH=21cos RHm α=+t-x 1），同理：NH=（x 2-t 21m +，MH•MN=（m 2+1）（mt+n-t 2+2t+3）=（m 2+1）•PH ，即可求解．满分解答解：（1）抛物线与y 轴交于点C （0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 的坐标代入抛物线表达式并解得：b ＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点Q（m，m2﹣2m﹣3），①当点Q在x轴下方时，如图1，S△ACQ＝12×4×（﹣m2+2m+3），S△ABQ＝S△AOC+S△QOC﹣S△AOQ＝32﹣12×3×m﹣12×1×（﹣m2+2m+3）＝12m2+12m，则：12×4×（﹣m2+2m+3）＝12m2+12m，解得：m＝83或﹣1（舍去﹣1），故点P（83，﹣119）；②当点Q在x轴上方时，如图2，取AC的中点E（﹣12，﹣32），S△ABQ＝12S△ACQ，则点E、B到AQ的距离相等，BE∥AQ，直线BE的表达式中的k值为：37，同理直线BQ的表达式为：y＝37x+37，∴2233377y x xy x⎧=--⎪⎨=+⎪⎩，解得：x＝247或﹣1（舍去﹣1），故点Q（247，9349）；综上，点Q 的坐标为：（83，﹣119）或（247，9349）；（3）过点H 作x 轴的平行线RH ，过点M 、N 分别作RH 的垂线交于点R 、S ，设点M 、N 的横坐标分别为x 1，x 2，点P （t ，t 2﹣2t ﹣3），则点H （m ，mt+n ）， 则PH ＝mt+n ﹣t 2+2t+3，联立直线与抛物线的表达式并整理得： x 2﹣（m+2）x ﹣3﹣n ＝0， 则x 1+x 2＝m+2，x 1x 2＝﹣3﹣n直线M 、N 的k 值为m ，即tan ∠RHM ＝m ＝tanα，则cosα21m +∴MH ＝21cos RHm α=+（t ﹣x 1），同理：NH ＝（x 2﹣t 21m + ∴MH•MN ＝（m 2+1）（mt+n ﹣t 2+2t+3）＝（m 2+1）•PH ， 而5HM HNHP•=，则m 2+1＝5， 解得：m ＝±2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图形的面积计算等，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用所学的性质进行进行解题，其中（2），要注意数形结合和分类讨论进行求解，避免遗漏．【变式训练】1．如图，抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ，且点B 的横坐标为5，抛物线与y 轴交于点C （0，6），A 是抛物线的顶点，P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点，则AQ +QP +PB 的最小值为_____．【答案】170【解析】【分析】根据题意求得B的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式，从而求得顶点A的坐标，求得A关于y轴的对称点A′（-2，10），B点关于x轴的对称点B′为（5，-1），根据两点之间线段最短，即可判断AQ+QP+PB=A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．【详解】∵点B在反比例函数y＝5x的图象，且点B的横坐标为5，∴点B的纵坐标为：y＝55＝1，∴B（5，1），∵抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）与反比例函数y＝5x的图象相交于点B，与y轴交于点C（0，6），∴252016a cc++=⎧⎨=⎩，解得16ac=-⎧⎨=⎩，∴抛物线为y＝﹣x2+4x+6，∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，∴A（2，10），∴A关于y轴的对称点A′（﹣2，10），∵B（5，1），∴B点关于x轴的对称点B′为（5，﹣1），连接A′B′交x轴于P，交y轴于Q，此时AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，A′B′22(52)(110)++--170故AQ +QP +PB 的最小值为170．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，明确AQ+QP+PB=A′B′是AQ+QP+PB 的最小值是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________【答案】15 【解析】试题解析：∵D 是抛物线26y x x =-+上一点，∴设2(,6)D x x x ，-+ ∵顶点C 的坐标为(4,3)， 22435OC ，∴+= ∵四边形OABC 是菱形，5,BC OC BC x P ∴==轴，22155(63)(3)1522S BCD x x x V ，∴=⨯⨯-+-=--+502Q ，-<BCD S ∴V 有最大值，最大值为15，故答案为15.3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.【答案】5 【解析】 【分析】过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，ME 与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E ，结合点到直线之间垂线段最短及MF 为定值，即可得出当点P 运动到点P′时，△PMF 周长取最小值. 【详解】解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，ME 与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上， ∴P′F=P′E ．又∵点到直线之间垂线段最短，22(30)(32)-+-=2，∴当点P 运动到点P′时，△PMF 周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5． 故答案为5. 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键.4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =16cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A →D 2cm /s 的速度向点D 运动，过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ，过E 点作EF ⊥BC 于点F ，设△ABP 的面积为S 1，四边形PDFE 的面积为S 2，则点P 在运动过程中，S 1+S 2的最大值为______．【答案】72． 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S 1和S 2，然后确定最值即可． 【详解】∵Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上的高， ∴2cm ， 又∵2t ， 则S 1=12AP•BD=12×2×2t=8t ，22t ， ∵PE ∥BC ， ∴△APE ∽△ADC ， ∴PE AP DC AD=， ∴2t ，∴S 2=PD•PE=（22t ）2t ，∴S 1+S 2=8t+（22t ）2t=-2（t-6）2+72． ∴S 1+S 2的最大值为72， 故答案为72． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S 1和S 2是关键．5．在平面直角坐标系中，已知()A 2,4、()P 1,0，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造ABC V ，使点C在x 轴上，BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点，则PM 的最小值为______．【答案】45【解析】 【分析】如图，作AH ⊥y 轴于H ，CE ⊥AH 于E ．则四边形CEHO 是矩形，OH =CE =4，由△AHB ∽△CEA ，得AH BHEC AE=，推出24BH AE=，推出AE =2BH ，设BH =x 则AE =2x ，推出B （0，4﹣x ），C （2+2x ，0），由BM =CM ，推出M （1+x ，42x -），可得PM 222454162455x x x -=+=-+（）（），由此即可解决问题． 【详解】如图，作AH ⊥y 轴于H ，CE ⊥AH 于E ．则四边形CEHO 是矩形，OH =CE =4．∵∠BAC =∠AHB =∠AEC =90°，∴∠ABH +∠HAB =90°，∠HAB +∠EAC =90°，∴∠ABH =∠EAC ，∴△AHB ∽△CEA ，∴AH BH EC AE =，∴24BHAE=，∴AE =2BH ，设BH =x 则AE =2x ，∴OC =HE =2+2x ，OB =4﹣x ，∴B （0，4﹣x ），C （2+2x ，0）． ∵BM =CM ，∴M （1+x ，42x-）． ∵P （1，0），∴PM 222454162455x x x -=+=-+（）（），∴x 45=时，PM 45． 45． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A ，点M 是x 轴上方抛物线上一点，过点M 作MP ⊥x 轴于点P ，以MP 为对角线作矩形MNPQ ，连结NQ ，则对角线NQ 的最大值为_________．【答案】4 【解析】∵四边形MNPQ 是矩形， ∴NQ=MP ，∴当MP 最大时，NQ 就最大.∵点M 是抛物线24y x x =-+在x 轴上方部分图象上的一点，且MP ⊥x 轴于点P ，∴当点M 是抛物线的顶点时，MP 的值最大.∵224(2)4y x x x =-+=--+，∴抛物线24y x x =-+的顶点坐标为（2，4），∴当点M 的坐标为（2，4）时，MP 最大=4， ∴对角线NQ 的最大值为4.7．如图，在平面直角坐标系中，过A （－1，0）、B （3，0）两点的抛物线交y 轴于点C ，其顶点为点D ，设△ACD 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．【答案】16【解析】【分析】设二次函数的解析式是y=a （x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a ，即可求得C 的坐标，表示出的值S 2，然后利用待定系数法求得AD 的解析式，进而求得EO 的值，得到CE 的长，根据三角形面积公式即可求得S 1，进而求解． 【详解】设二次函数的解析式是y=a(x+1)(x−3),即y=ax²−2ax−3a ，AD 与CB 交于点E. 令x=0，解得：y=−3a ，则OC=3a. ∴S2=12 AB ⋅OC= 12×4⋅3a=6a ； ∵D 是抛物线的顶点。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
中考数学中的二次函数的线段和差以及最值问题
二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x轴交于A,B（1,0），与y 轴交于点C,直线经过点A,C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l, （1）求抛物线解析式。
（2）求顶点D的坐标与对称轴l.（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。
（4）设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。
（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。
（6）在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。
（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？1.如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。
（1）求此抛物线的解析式。
（2）求AD的长。
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。
（1）填空：点B 的坐标是 。
（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。
（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。
3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.(1)写出抛物线对应的函数解析式:△AOD的面积是(2)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?如果有,求点P的坐标;如果没有,请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点． 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．5.四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD =90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA =PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE -QC |最大？并求出最大值．6.已知，如图，二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线:3l y x =+ （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN +NM +MK 和的最小值．7.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2=y ax 上．（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；（2）平移抛物线2=y ax ，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．9.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）E 1B C E D （D 1）A PE 1BCED D 1A。
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)
二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。
二次函数背景下—线段的最大值问题.doc
二次函数背景下——线段的最大值问题重庆永川萱花中学：刘荣幸中考透视：随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。
二次函数背景下——线段的最大值问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题是以二次函数图像为载体，来研究图形的最大值问题，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目之一。
三维教学目标：1、能求二次函数中线段的最大值。
2、体会转化的数学思想。
教学重点：能求二次函数中线段的最大值。
教学难点：各种变式线段最值的求法教学方式：合作学习，读，讲，议，练，评。
教学手段：利用多媒体教学。
教学过程：一、新课引入：直接提问：我们在初中阶段学过哪些有关的线段的最值问题？学生回答：1，两点之间线段最短。
2，垂线段最短。
3“水水泵房选址”问题等。
教师立即接着提问：刚才同学回答的有关线段最值问题都是线段最小值问题，我们在学习什么内容时，有最大值问题呢？（同学们答：二次函数），那今天我们就来研究二次函数背景下——线段的最大值问题。
展示课题。
二、公式：直接出示平面坐标系中的竖直线段和水平线段，用点的坐标表示出线段。
得出：水平时,线段AB=右减左，竖直时,线段AB=上减下。
三、典型例题（基本题型）：2如图，已知二次函数y=-x-2x+3的图像交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；导学：PQ是竖直线段还是水平线段？如何表示？导做：独立完成，集体交流，抽同学上黑板上板书。
导思：线段的最值转化为求二次函数的最值。
二次函数线段差最大值问题
二次函数线段差最大值问题二次函数线段差最大值问题是一个经典的数学优化问题，通常在高中数学课程中进行讨论。
该问题要求找到一个二次函数图像上两个点之间线段的最大差值。
假设给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 分别代表二次项、一次项和常数项的系数。
为了求出线段差的最大值，我们需要确定两个点。
一种常见的方法是取二次函数的顶点和 x 轴上的一个点。
首先，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x)其中 x 和 y 分别代表顶点的横坐标和纵坐标，f(x) 代表二次函数在 x 处的函数值。
接下来，我们选择 x 轴上的一个点作为第二个点。
这个点可以在顶点两侧选择，在顶点的左侧或右侧都可以。
假设我们选择了一个横坐标为 x1 的点，那么对应的纵坐标为 f(x1)。
最后，我们计算两个点之间线段的差值：差值 = | f(x1) - y |其中 | | 表示取绝对值。
为了找到差值的最大值，我们可以使用微积分的方法。
首先，我们可以求出差值的函数关于 x 的导数，然后令导数为零，求解出 x 的值。
这个 x 的值就是使得差值最大的横坐标。
将这个 x 值代入差值函数，就可以得到最大的差值。
需要注意的是，有时候二次函数的顶点不在定义域内，此时我们可以选择定义域的端点作为顶点，然后按照以上的方法求解。
总而言之，二次函数线段差最大值问题是一个通过找到二次函数图像上两个点之间线段的最大差值来优化问题的数学问题。
这个问题可以通过求解顶点和定义域的端点来得到最优解。
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二次函数之最值问题
◆ 线段和或差（或三角形周长）最值问题:此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最
短距离,这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题．
◆ 最短距离和找法:以动点所在的直线为对称轴，作一个已知点的对称点，连结另一个已知点和对称点的
线段，与对称轴交于一点,这一点即为所求点.线段长即为最短距离和.
◆ 线段长最值问题：根据两点间距离公式12x x -把线段长用二次函数关系式表示出来求最值.
几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积ｙ与边长x 之间的二次函数关系,其顶点的纵坐
标即为面积最值．
例１、已知二次函数2y x bx c =++的图象过点()3,0A -和点()1,0B ，且与y 轴交于点C ，D 点在抛物线上且横坐标是2-．(1)求抛物线的解析式;(２)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA PD +的最小值．ﻫ ﻫ
ﻫ例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中,直线3
2y x =-
+分别交ｘ轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点Ａ顺时针旋转4５°得到射线AN.点D 为ＡＭ上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1)求线段A Ｃ的长； (２）求△BC Ｄ周长的最小值；
（3)当△BCD 的周长取得最小值,且52
BD =时,△BCD 的面积为＿＿__＿___.
ﻫ
ﻫﻫﻫﻫﻫ1、已知抛物线21y ax bx =++经过点()1,3A 和点()2,1B ．（１）求此抛物线解析式；
(２)点Ｃ、D 分别是ｘ轴和y 轴上的动点,求四边形ABCD 周长的最小值;ﻫ(3)过点Ｂ作x 轴的垂线,垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的2倍，试确定点F 的位置,使
得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．ﻫﻫﻫﻫ
2、如图，Rt △ABO 的两直角边O Ａ、O Ｂ分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为()3,0-、()0,4，抛物线2
23
y x bx c =++经过B 点,且顶点在直线52x =上.ﻫ(1)求抛物线对应
的函数关系式;
（2）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N .设点Ｍ的横坐标为t ,M Ｎ的长度为ｌ．求ｌ与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标.ﻫﻫ ﻫ
3、已知:抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于
()()3,0,0,2A C --.（1)求这条抛物线的函数表达式;ﻫ(2)小.请求出点Ｐ的坐标；
（3)若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）,过点D 作DE ∥PC 交ｘ轴于点E,连结PD 、ＰE ．设ＣD 的长为ｍ，PDE △的面积为S ，求Ｓ与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在,请求出最大值;若不存在，请说明理由.
4、如图，已知抛物线y=ax2+b ｘ＋3与x 轴交于Ａ、B 两点，过点Ａ的直线l 与抛物线交于点C,其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是（4，3).(１）求抛物线的解析式;（2)在（１)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BＣD 的周长最小?若存在,求出点D 的坐标,若不存在,请说明理由；并求出周长的最小值;(３）若点E 是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线A Ｃ的下方,试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标
.
5、如图,△ABC 的三个顶点坐标分别为Ａ（-２,0)、B （６，0)、C(0，32-
）,抛物线y=ax2+bx+ｃ(a ≠０)经过Ａ、B 、C 三点。
(１）求直线A Ｃ的解析式;(２)求抛物线的解析式;(３)若抛物线的顶点为D,在直线ＡC 上是否存一点P ，使得△BDP 的周长最小,若存在，求出P 点的坐标;若不存在，请说明理由。
6、如图，已知直线
112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于Ａ、
E两点,与x轴交于B、C两点,且Ｂ点坐标为(1,0)。
⑴求该抛物线的解析式;
⑵动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点Ｐ的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使
的值最大,求出点M的坐标。
||
AM MC。