高中数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质双基限时练新人教A版必修2
最新人教A版数学必修二同步练习2.3.3直线与平面垂直的性质(含答案解析)
直线与平面垂直的性质一、选择题 ( 每题 6 分, 共 30 分)1.直线 l 垂直于梯形ABCD 的两腰 AB 和 CD, 直线 m 垂直于 AD 和 BC,则 l 与 m 的地点关系是()A. 订交B. 平行C.异面D.不确立2.已知平面α与平面β订交 ,直线 m⊥ α ,则()A. β内必存在直线与m 平行 ,且存在直线与m 垂直B. β内不必定存在直线与m 平行 ,不必定存在直线与m 垂直C.β内不必定存在直线与m 平行 ,但必存在直线与m 垂直D. β内必存在直线与m 平行 ,不必定存在直线与m 垂直3.设 m,n 是两条不一样的直线 ,α ,β是两个不一样的平面. ()A. 若 m∥α ,n∥ α ,则 m∥ nB. 若 m∥ α,m∥ β ,则α∥ βC.若 m∥ n,m⊥α ,则 n⊥αD. 若 m∥α ,α ⊥ β,则 m⊥β4.如图 ,已知△ ABC 为直角三角形,此中∠ ACB=90 ° ,M 为 AB 的中点 ,PM 垂直于△ ABC 所在平面,那么()A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠ PB≠ PC5., ABC, ACB=90,l A ABC,P l,P点 A 时,∠PCB的大小()A. 变大B. 变小C.不变D.有时变大有时变小二、填空题 (每题 8 分 ,共 24 分 )6.已知直线m平面α,直线n平面α ,m∩ n=M,直线a⊥m,a⊥ n,直线b⊥ m,b⊥ n,则直线a,b 的地点关系是.7.AB 是☉ O 的直径 ,点 C 是☉ O 上的动点线 VC 垂直于☉ O 所在的平面 ,D,E 分别是是(填写正确结论的序号 ).(点 C 不与 A,B 重合 ),过动点 C 的直VA,VC 的中点 ,则以下结论中正确的(1)直线 DE ∥平面 ABC.(2)直线 DE ⊥平面 VBC.(3)DE ⊥VB.(4)DE ⊥AB.8.阅读相关球的基天性质回答以下问题球的性质 :(1)假如用平面截球面 ,那么截得的是圆 .(2)球心与截面圆心的连线垂直于截面.(3) 设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r,球的半径为R,则 r=.(4)球的表面积公式 :S=4π R2. 问题 :已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点 ,PA⊥平面形 .若 PA=2,则球 O 的表面积是三、解答题 (9 题 ,10 题 14 分 ,11 题 18 分)9.如下图 ,四边形ABCD是平行四边形,直线BDE ⊥平面 ABCD.ABCD, 四边形 ABCD.SC⊥平面ABCD,E是是边长为2SA 的中点的正方,求证 :平面10.如图 ,已知平面α∩平面β =AB,PQ ⊥ α于 Q,PC⊥ β于 C,CD⊥ α于 D.(1)求证 :P,C,D,Q 四点共面 .(2)求证 :QD ⊥ AB.11.(能力挑战题 )如图 ,四边形 ABCD 为矩形 ,AD ⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点 ,且 BF⊥平面 ACE.(1)求证 :AE ⊥平面 BCE.(2)设 M 在线段 AB 上 ,且知足 AM=2MB, 试在线段 CE 上确立一点 N,使得 MN ∥平面 DAE.答案分析1.【分析】选 D.由于 l⊥ AB,l ⊥ CD 且 AB 与 CD 订交 ,因此 l ⊥平面 ABCD, 固然 m⊥ AD,m ⊥ BC,可是 AD ∥BC,因此 m 与平面 ABCD 不必定垂直 ,因此 l 与 m 订交、平行、异面都有可能.2.【分析】选 C.若β内存在直线l 与 m 平行 ,则由 m⊥ α可知 l⊥ α ,于是α ⊥β .由此可知当平面α与平面β订交但不垂直 ,直线 m⊥ α时 ,β内不必定存在直线与 m 平行 .由于 m⊥ α,因此m 和平面α与平面β的交线垂直 ,因此β内必存在直线与 m 垂直 .3.【分析】选 C.A 选项中 m 与 n 还有可能订交、异面;B 选项中α与β 还有可能订交;D 选项中 m 与β还有可能平行或mβ .4.【分析】选 C.由于△ ABC 为直角三角形,M 为斜边 AB 的中点 ,因此 MA=MB=MC,由于 PM 垂直于△ ABC 所在平面 ,因此 Rt△PMA ≌Rt△ PMB ≌ Rt△ PMC,因此 PA=PB=PC.【变式备选】已知直线PG⊥平面α于 G,直线 EFα,且PF⊥ EF于F,那么线段PE,PF,PG 的关系是()A.PE>PG>PFB.PG>PF>PEC.PE>PF>PGD.PF>PE>PG【分析】选 C.Rt△ PFE 中 ,PE>PF;Rt △ PFG 中,PF>PG,因此 PE>PF>PG.5.【分析】选 C.由于 l⊥平面 ABC, 因此 BC ⊥ l.由于∠ ACB=90 ° ,因此 BC⊥ AC.又 l∩ AC=A, 因此 BC ⊥平面 PAC,因此 BC⊥ PC,因此∠ PCB=90 ° .6.【分析】由于直线a⊥ m,a⊥ n,直线 m平面α,直线n平面α ,m∩ n=M,因此 a⊥ α ,同理可证直线b⊥ α,因此 a∥b.答案 : a∥ b7.【分析】由于AB 是☉ O 的直径 ,点 C 是☉ O 上的动点 (点 C 不与 A,B 重合 ),因此 AC ⊥ BC,由于 VC 垂直于☉ O 所在的平面 ,因此 AC ⊥ VC, 又 BC∩ VC=C,因此 AC ⊥平面 VBC.由于 D,E 分别是 VA,VC 的中点 ,因此 DE∥ AC,又 DE?平面 ABC,AC平面ABC,因此 DE∥平面 ABC,DE ⊥平面 VBC,DE ⊥ VB,DE 与 AB 所成的角为∠ BAC 是锐角 ,故 DE ⊥AB 不建立 .由以上剖析可知(1)(2)(3) 正确 .答案 :(1)(2)(3)8.【解题指南】确立球心的地点是解题的重点,由球的性质可知球心在过正方形ABCD的中心与正方形ABCD 所在平面垂直的直线上.【分析】如下图,取正方形ABCD 的中心 O1,连结 OO 1,则 OO1⊥平面 ABCD,又由于 PA⊥平面 ABCD,因此 PA∥OO 1,因此 P,A,O,O1四点共面 .过 O 作 OE⊥ PA,由 OP=OA 知 E 是 PA 的中点 ,因此 PE= PA=,由于 O1A ⊥ PA,因此 OE∥O1A,因此四边形EAO 1O 是平行四边形,因此 OE=O1A=×AB=× 2=,PO==2,即球的半径为2,因此球的表面积S=4π (2)2=48 π .答案 :48π9.【解题指南】要证面面垂直,需证线面垂直.这里需要找寻已知条件“SC⊥平面ABCD ”与.需证结论“平面BDE ⊥平面 ABCD ”之间的桥梁【证明】连结AC,BD, 交点为 F,连结 EF,因此 EF 是△ SAC 的中位线 ,因此 EF∥ SC.由于 SC⊥平面 ABCD, 因此 EF⊥平面 ABCD.又 EF 平面 BDE,因此平面BDE ⊥平面 ABCD.【拓展提高】解决立体几何问题的基来源则空间问题转变成平面问题是解决立体几何问题的一个基来源则,解题时要抓住几何图形自己的特色,如等腰三角形三线合一、中位线定理、菱形对角线相互垂直、勾股定理及其逆定理等 .10.【证明】 (1) 由于 PQ⊥ α ,CD⊥ α ,因此 PQ∥ CD,于是 P,C,D,Q 四点共面 .(2) 由于 ABα ,因此PQ⊥ AB,又由于 PC⊥ β,ABβ ,因此 PC⊥ AB,又由于 PQ∩ PC=P,设 P,C,D,Q 四点共面于γ ,则 AB ⊥ γ ,又由于 QDγ ,因此QD⊥ AB.11.【分析】 (1) 由于 AD ⊥平面 ABE,AD ∥BC,因此 BC⊥平面 ABE, 则 AE ⊥ BC,又由于 BF⊥平面 ACE, 则 AE ⊥ BF,BC ∩ BF=B,因此 AE ⊥平面 BCE.(2)在三角形 ABE 中过 M 点作 MG∥ AE 交 BE 于 G 点,在三角形 BEC 中,过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连结 MN,由比率关系易得CN= CE,由于 MG ∥ AE,MG ?平面 ADE,AE平面ADE,因此 MG ∥平面 ADE, 同理 ,GN ∥平面 ADE, 又 MG ∩GN=G,因此平面 MGN ∥平面 ADE,又 MN 平面 MGN,因此 MN ∥平面 ADE,因此 N 点为线段CE 上凑近 C 点的一个三平分点.。
人教版高中数学必修二 2.3.3 直线与平面垂直的性质学案+课时检测
人教版高中数学必修二第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质学案【学习目标】1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3．理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化．(重点)【要点梳理 夯实基础】知识点 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P 70的内容，完成下列问题． 文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 图形语言作用①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线[思考辨析 学练结合]1. (1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？[答案] 共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？[答案] 有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()[解析]由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．[答案](1)√(2)√(3)√【合作探究析疑解难】考点1 线面垂直性质定理的应用[典例1] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．[分析](1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.(2)可证ON＝AM，ON＝12AB.[解答](1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A 1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON＝12DC＝12AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．[方法总结]1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．[跟踪练习]1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.考点2 条件开放题[典例2] 如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)[解]因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，需A1C⊥BD.又因为A1A⊥平面ABCD，A1A⊥BD，A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD.由以上分析，知要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD或任何能推导出AC⊥BD的条件，如四边形ABCD是正方形、菱形等.[解题感悟]此题是对条件开放的，因此解决此类问题时一般从结论入手，分析得到该结论所需的条件，逐步使问题简化，最终得证.这种解决问题的技巧在今后的学习中经常会用到，注意掌握.【学习检测巩固提高】1. 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交. 求证：EF∥BD1.[证明]如图所示，连接AB1、B1D1、B1CC、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.2. 如图，已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.求证：QR⊥AB.[证明]如图，因为α∩β＝AB，PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO.因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR.[解题感悟]证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 3．AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．(1)证明如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GH=12AB．又EF=12AB，∴EF綊GH．∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH．而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB．(2)证明由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．又EF∥AB，∴EF⊥BC．而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB．(3)解∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF．∴BF为四面体B－DEF的高．又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝2．V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13．人教版高中数学必修二第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质课时检测一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直[解析] 由线面垂直的定义知B 正确．[答案] B2．在空间中，下列命题正确的是( )A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行[解析] A 项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交； B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C 项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D 项正确.[答案] D3．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B4．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．[答案] C5．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，在平面AB 1上任取一点M ，作ME ⊥AB 于E ，则( )A ．ME ⊥平面ACB ．ME ⊂平面ACC ．ME ∥平面ACD ．以上都有可能[解析] 由于ME ⊂平面AB 1，平面AB 1∩平面AC ＝AB ，且平面AB 1⊥平面AC ，ME ⊥AB ，则ME ⊥平面AC .[答案] A6．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE >PG >PFB ．PG >PF >PEC ．PE >PF >PGD ．PF >PE >PG[解析] 由于PG ⊥平面α于G ，PF ⊥EF ，∴PG 最短，PF<PE ，∴有PG<PF<PE ．故选C ．[答案] C7．P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．P A ⊥BCB ．BC ⊥平面P ACC ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC[解析] PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，A 正确；又BC ⊥AC ，∴BC ⊥面PAC ，∴BC ⊥PC ，B 、D 均正确．∴选C ．[答案] C8．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A.①②B.③④C.①④D.②③[解析]①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.[答案] D9．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两平面平行．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4[解析]由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选B．[答案] B10．在△ABC所在的平面α外有一点P，且P A＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心[解析]设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO＝BO＝CO．[答案] C11．已知三条相交于一点的线段P A、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面ABC于H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心[解析]如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，∴BC⊥面APH，BC⊥AH．同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．[答案] C12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段[解析]连接AC，AB1，B1C，∵BD⊥AC，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BDD1，∴AC⊥BD1，同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥面AB1C．∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1，选A．[答案] A二、填空题13．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．[解析]由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．[答案] 414．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．[解析]正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．[答案]3615．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．[解析]①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．[答案]①②③16．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.[解析]因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.[答案]1317．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．[解析]由题意知CO⊥AB，∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．[答案] 6三、解答题18．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．[证明](1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1．(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．∴ON綊12CD綊12AB，∴ON∥AM．又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．19．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．[证明]连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，∴AGGD＝A′G′G′D′，∴GG′∥AA′，又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．20．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点.求证：平面DMN∥平面ABC．[证明]∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC．21．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N 分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．(1)[证明]如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．(2)解如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝22a，BC1＝2a．在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝C1DBC1＝12，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．。
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《直线与平面垂直的判定》练习题(含答案)
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．32．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD 的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A．1 B．2C．3 D．4二、填空题6．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的____________________ (填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．7．已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC 所成角的余弦值为________．8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．三、解答题9.(2015·重庆卷)如图所示，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2.证明：DE⊥平面PCD.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.B级能力提升1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1、G2、G3三点重合于点G，则下面结论成立的是()图①图②A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面A1B.(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论．.参考答案第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3解析：由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．答案：D2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．答案：A4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD 的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ⎭⎬⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC PA ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，所以直角三角形有△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC .答案：D二、填空题6．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的____________________(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)．解析：P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．答案：外心7．已知正三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等，则SA 与平面ABC 所成角的余弦值为________．解析：因为S -ABC 为正三棱锥，所以设点S 在底面ABC 上的射影为△ABC 的中心O ，连接SO ，AO ，如图所示，则∠SAO 为SA 与底面ABC 所成的角，设三棱锥的棱长为a ，在Rt △SOA 中，AO ＝23·a sin60°＝33a ，SA ＝a ，所以cos ∠SAO ＝AO SA ＝33. 答案：338．如图所示，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．解析：因为EA ⊥α，CD ⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA .同样，因为EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD . 又EA ∩EB ＝E ，所以CD ⊥平面AEB .又因为AB ⊂平面AEB ，所以CD ⊥AB .答案：CD ⊥AB三、解答题9.(2015·重庆卷)如图所示，三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2.证明：DE ⊥平面PCD .证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝2，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，故DE⊥平面PCD.10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BE⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.B级能力提升1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，则下面结论成立的是( )图① 图②A ．SG ⊥平面EFGB ．SD ⊥平面EFGC ．GF ⊥平面SEFD ．GD ⊥平面SEF解析：在图①是，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，因此在图②中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，又GE ∩GF ＝G ，所以SG ⊥平面EFG .答案：A2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中点，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则AE ⊥面BB 1C 1C .所以AE ⊥DE ，因此AD 与平面BB 1C 1C 所成角即为∠ADE ，设AB ＝a ，则AE ＝32a ，DE ＝a 2， 有tan ∠ADE ＝3，所以∠ADE ＝60°.答案：60°3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面A1B.(2)当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论．证明：(1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，所以A1C1＝B1C1.又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D.又AA1，A1B1⊂平面A1B，AA1∩A1B1＝A1，所以C1D⊥平面A1B.(2)当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下：作DE⊥AB1交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，此时AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．事实上，因为C1D⊥平面A1B，AB1⊂平面A1B，所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.由已知得A1B1＝ 2.连接A1B，在矩形A1B1BA中，A1B1＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B.又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点．故当F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.。
人教A版高一数学必修2--2.3.3直线与平面垂直的性质--含解析
课后导练基础达标1若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（）①a⊥α,b∥α⇒a⊥b ②a⊥α,a⊥b⇒b∥α ③a∥α,a⊥b⇒b⊥α ④a⊥α,b⊥α⇒a∥bA.1B.2C.3D.4解析：①正确，过b作平面β∩α=b′，∵b∥α,∴b∥b′.又∵a⊥α,b′⊂α,∴a⊥b′,∴a⊥b;②错，b有可能在α内；③b与α关系有四种，b⊂α,b∥α,b⊥α或b与α斜交；④正确.答案：B2下列说法中正确的是（）①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直A.①②③B.①②③④C.②③D.②③④解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内的所有直线都与该直线垂直.答案：A3设a、b是异面直线，下列命题中正确的是（）A.过不在a、b上的一点P一定可作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可作一个平面与b垂直D.过a一定可作一个平面与b平行解析：A项错，当点P在过a与b平行的平面内时不能作；B项错，若a⊥α,b⊥α,则a∥b与a、b异面矛盾；C项错，若有平面α，使得a α,b⊥α,则a⊥b，但条件中的a，b不一定是垂直的；D项正确，过a上取一点A，作b′∥b,则a与b′确定的平面与b平行.答案：D4如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连结PB、PC，过A作AD⊥BC于点D，连结PD，那么图中直角三角形的个数是（）A.4B.6C.7D.8解析：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，又AD⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD.∴直角三角形有：△PAB，△PAC，△PAD，△BAC，△ADB，△ADC，△PDB，△PDC.答案：D5设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是……（）①若m⊥α,n∥α，则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α，则m⊥γ③若m∥α,n∥α，则m∥n④若α⊥γ,β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④解析：①正确（前面已证）；②正确，∵m⊥α，又α∥β,∴m⊥β.又β∥γ,∴m⊥γ.③错，m与n可平行，可相交也可异面；④错，比如教室的墙角.答案：A6对于四面体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;。
高中数第二章直线、平面垂直的判定及其性质基础训练新人教A必修2
）
A. ≥ θ
B. ≤ θ C. 当 ＞ 90°时， ＞θ ; 当 D. 与 θ 的大小关系不确定
≤ 90°时， ≤ θ
Pa lC
B O
答案： A 解析：当 ≥ 90°时，由 θ ≤ 90°知 当 ＜ 90°时，若 a⊥ l ，则 =θ ;
≥θ.
若 a 和 l 不 垂直，设 a∩ l =B，过 a 上的点 P 作 PO⊥ β 于 O， 作 OC⊥ l 于 C，连结 PC， 则∠ PBO=θ ，∠ PCO= .
∵ sin θ = PO ， sin = PO .
PB
PC
在 Rt△ PBC中 ， PC＜PB，
∴ sin ＞ sin θ ，∴ ＞ θ .
综 上所述，选 A.
B. 若两条 平行线中的一条不垂直于某个平面，则另一条也不垂直于这个平面
C. 若 三条平行线中的一条垂直于某个平面，则这三条直线都垂直于这个平面
D. 若三条平行线中的一条不垂直于某个平面，则另两条中可以有一条和这个平面垂直
答案： D
4. 直线 l ⊥平面 α ，直线 m α ，则有（
）
A. l 和 m异面
直线、平面垂直的判定及其性质（基础训练）
1. 下列命题是真命题的是（
）
A. a⊥α b 是 α 内任一直线且 a⊥ b
B. 若 a⊥ α , 则 a 可与 α 内的某条直线 不垂直
C. 若 a⊥ α ，则 a 可与 α没有公共点
D. 若直线 a 和平面 α 内的某条直线 垂直，则 a 与 α 垂直
答案： A
）
A. l 和α 相互平行
B. l 和α 相互垂 直
C. l 在α 内
D. 不确定
答案： D
高中数学必修二2.3.3-2.3.4(第2课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质习题新人教A版必修2
一、选择题
1．已知 l ，m，n 为两两垂直的三条异面直线，过 l 作平面 α 与直线 m垂直，则直线 n 与平
面 α 的关系是 ( )
A． n∥ α B ． n∥ α 或 n? α C． n? α 或 n 与 α 不平行 D．n? α
(2) 过 P 作 PO⊥AD，垂足为 O.
∵平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴ PO⊥平面 ABCD， 即 PO为四棱锥 P－ ABCD的底面 ABCD上的高． 又△ PAD是边长为 4 的等边三角形，
∴ PO＝2 3. 在底面四边形 ABCD中， AB∥ DC， AB＝ 2DC， ∴四边形 ABCD为梯形．
已知 BD＝ 2AD＝ 8， AB＝ 2DC＝4 5.
(1) 设 M是 PC上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD； (2) 求四棱锥 P－ ABCD的体积． 解： (1) 证明：在△ ABD中，∵ AD＝4， BD＝8， AB＝ 4 5， ∴ AD2＋ BD2＝ AB2，∴ AD⊥ BD.
又∵平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD， BD? 平面 ABCD， ∴ BD⊥平面 PAD. 又 BD? 平面 MBD， ∴平面 MBD⊥平面 PAD.
2 设 CA＝ CB＝ a，则 AB＝ BD＝ AD＝ 2a， CO＝ 2 a.
13
6
∴ OH＝ 2× 2 × 2a＝ 4 a.
2
CO 2 a 2 3
∴ tan ∠ CHO＝OH＝
＝ 6
3
.
a
4
23 答案：
3 三、解答题 9．如图，在四棱锥 P－ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD， AB∥ DC，△ PAD是等边三角形，
2021年高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质练习 新人教A版必修2
2021年高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质练习新人教A版必修2基础梳理1．直线与平面垂直的性质定理．练习1：正方体ABCDA1B1C1D1中，求证AC⊥平面BB1D1D.证明：由正方体的性质可知AC⊥BD，BB1⊥平面AC，所以BB1⊥AC，因为BD与BB1相交，所以AC⊥平面BB1D1D.2．平面与平面垂直的性质定理．练习2：直线与平面不垂直，那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗？答案：错►思考应用1．垂直于同一平面的两平面平行吗？解析：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？解析：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面．自测自评1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(D)A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b∥α或b⊂α2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(D)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内3．若直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m ③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的命题的序号是(D)A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③4．如图，▱ADEF 的边AF 垂直于平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝13．解析：∵AF∥ED，AF ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥平面ABCD.∴ED⊥DC.在Rt △EDC 中，ED ＝2，CD ＝3，∴CE ＝22＋32＝13.基础达标1．△ABC 所在的平面为α，直线l⊥AB，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是(C )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定解析： ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥AB l ⊥AC ⇒l ⊥a ， ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥BC m ⊥AC ⇒m ⊥a. 由线面垂直的性质定理得m∥l，故选C.2．如图，PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，下列结论中不正确的是(C )A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CDC ．PO ⊥BD D ．PA ⊥BD3．已知平面α、β和直线m 、l ，则下列命题中正确的是(D )A ．若α⊥β，α∩β＝m ，l ⊥m ，则l⊥βB ．若α∩β＝m ，l ⊂α，l ⊥m ，则l ⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则a与β的位置关系为__________．答案：a∥β或a⊂β或a与β相交5．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．答案：5巩固提升6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．解析：连接AD，在Rt△ABD中，BD＝12，AB＝4，∴AD＝122＋42＝410(cm)．∵AC⊥l，AC⊂面α，α⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥Β.又AD⊂β，∴CA⊥AD.在Rt△ADC中，AC＝3，AD＝410，∴CD＝32＋（410）2＝169＝13(cm)．7．已知，△ABC所在平面外一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC.求证：AC⊥BA.证明：过B 作BD⊥VA 于D ，∵平面VAB⊥平面VAC ，∴BD ⊥平面VAC ，∴BD ⊥AC ，又∵VB⊥平面ABC ，∴VB ⊥AC ，又∵BD∩VB＝B ，∴AC ⊥平面VBA ，∴AC ⊥BA.8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE∥平面BCF ；(2)证明：CF⊥平面ABF.(3)当AD ＝23时，求三棱锥FDEG 的体积V F －DEG . 解析：(1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC，在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立， ∴DE ∥BC.又∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC ，即AF⊥CF，①且BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥ABCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF.② ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF.(3)由(1)可知，GE ∥CF ，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴V FDEG ＝V EDFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.1．(1)直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b ⊂α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b ⊥α，则a∥b；③a⊥α，a ⊥β，则α∥β.(2)平面与平面垂直的性质：①性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂β，m ⊥l ，则m⊥α.②如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．2．直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化．%d/39768 9B58 魘fr-!,Md< 25118 621E 戞P。
学练考高中数学2.3.3、2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
图 2-3-55 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC＝PB，∴AE⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面 PAB.
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(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D -ABC 的体积．
图 2-3-18
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2.3.4 │ 考点(kǎo diǎn)类析
解：(1)证明：在图(a)中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC 2 ＋BC 2＝AB 2，故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC，平面
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
当堂自测
1．已知直线 b⊥平面 α，直线 a⊂α，则 a 与 b 的位置关系 是( )
A．a∥b B．a⊥b C．a 与 b 垂直相交 D．a 与 b 垂直且异面 [答案]B
第二十五页，共28页。
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
2．已知平面 α，β，直线 l，若 α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C．垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直
高中数学 2.3.3 直线与平面垂直的性质能力提升(含解析
【优化方案】2013-2014学年高中数学2.3.3 直线与平面垂直的性质能力提升（含解析）新人教A版必修21.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，S D⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D.由AC⊥BD，AC⊥SD，且BD∩SD＝D，得AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确．由AB∥CD，∴AB∥平面SCD，故B正确．记AC与BD交于点O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成的角，∠CSO为SC与平面SBD所成的角，可证明△SAO≌△SCO，∴SA与平面SBD所成的角等于S C与平面SBD所成的角，故C正确．显然D错误．2．一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是2 cm,3 cm，这条线段与平面α所成的角是________．解析：如图：作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于点O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.答案：30°3．过锐角△ABC的垂心H，作PH⊥平面ABC，且使∠APB＝90°.求证：△BP C和△APC都是直角三角形．证明：如图．∵H为△ABC的垂心，∴BH⊥AC.又PH⊥AC，PH∩BH＝H，∴AC⊥平面PBH，∴AC⊥PB.又BP⊥AP，AP∩AC＝A，∴BP⊥平面P AC，∴BP⊥PC.∴△BPC是直角三角形．同理可证△APC是直角三角形．4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．求证：(1)B1D⊥平面A1C1B；(2)B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心．证明：(1)连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.又有DD1⊥A1C1，B1D1∩DD1＝D1，∴A1C1⊥平面B1DD1，B1D⊂平面B1DD1，从而A1C1⊥B1D.同理可证：A1B⊥B1D.A1C1∩A1B＝A1，∴B1D⊥平面A1C1B.(2)连接BO，A1O，C1O.由BB1⊥A1C1，B1O⊥A1C1，得到A1C1⊥平面BB1O.∴A1C1⊥BO.同理，A1B⊥C1O，BC1⊥A1O.故点O是△A1C1B的垂心．。
人教A版高中数学必修二 2-3-3 直线与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质教学目标1.知识与技能：（1）理解并掌握直线与平面垂直的定义和性质定理；能对定义与性质定理进行简单应用 ； （2）通过对定义和性质定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力； （3）通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯. 2.过程与方法：经历位置关系判断的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。
使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足直线和平面垂直的性质定理，培养学生分析问题、解决问题的能力 3.情感态度价值观：（1）空间教学的核心问题是让学生了解平面的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想 重点难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程及初步应用；2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程. 教学过程： 复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a ⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b⊥a. 导入新课如图2，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b∥a.直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 应用示例例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a ⊥α,b ⊥α. 求证：a ∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b ∩α=O,作直线b ′，使O ∈b′,a∥b′. 直线b ′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O ∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β, a∥b′显然不可能，因此b ∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA ⊥α于点A,EB ⊥β于点B,a ⊂α,a⊥AB. 求证:a ∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l⊥平面EAB.又∵a ⊂α,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a ⊥AB,∴a ⊥平面EAB. ∴a∥l.例2 如图8,已知直线a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α. 求证：a ∥α.图8证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b ′∥b ，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b ′作平面β，设α∩β=a ′,∵b′∥b，a ⊥b,∴a ⊥b ′.∵b ⊥α，b ′∥b, ∴b′⊥α.又∵a ′⊂α,∴b′⊥a′.由a ，b ′，a ′都在平面β内，且b ′⊥a ，b ′⊥a ′知a ∥a ′.∴a ∥α. 例3 如图9，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PD A=45°，求证:MN ⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE ∥CD,NE=21CD. 又∵AM ∥CD,AM=21CD, ∴AMNE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt △PAD 为等腰直角三角形, 则AE ⊥PD.又MN ∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD.变式训练已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角.求证：l ⊥α.证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO=BO=CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO ，∠POA=∠POB=∠POC ， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB 的中点D, 连接OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO ⊂平面POD,∴PO ⊥AB. 同理,可证PO ⊥BC.∵AB ⊂α，BC ⊂α，AB ∩BC=B,∴PO ⊥α，即l ⊥α.若l 不经过点O 时，可经过点O 作l ′∥l.用上述方法证明l ′⊥α， ∴l⊥α. 课堂练习：1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ ）()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。
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A． 1B． 2Fra bibliotekC． 3
D． 4
解析 ①、③、④正确，②不正确．因此选 C.
答案 C
6．圆 O 的半径为 4，PO 垂直圆 O 所在的平面 ，且 PO＝ 3，那么点 P 到圆上各点的距离是
________ ．
解析 依题意知 P 到圆 O上各点的距离都相等，由勾股定理算得其值为
5.
答案 5
7．二 面角 α － l － β 的大小为 120°，直线 AB? α ，直线 CD? β . 且 AB⊥l ，CD⊥ l ，则 AB
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PO⊥CD
D．PA⊥BD
解析 易证 BC⊥平面 PBA，CD⊥平面 PDA，∴ BC⊥PB，CD⊥PD.又 PA⊥平面 ABCD，
∴PA⊥BD，故 A、B、 D正确．
答案 C
3．已知直线 l ，m，平面 α ，β ，l ⊥ α ，m⊥ β，α ∥β ，则直线 l 与 m的位置关系是 ( )
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
解析 l ⊥ α ，α ∥β ，∴ l ⊥ β ，又 m⊥ β，∴ｌ∥m.
答案 C
4．设 α ，β 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是 ( )
A．若 l ⊥ α ，α ⊥ β ，则 l ? β
B．若 l ∥α ，α ∥β ，则 l ? β
C．若 l ⊥ α ，α ∥β 则 l ⊥ β
与 CD所成角的大小为 ________ ．
解析 由两条直线所成角通常是指两直线的夹角，因此应答
60°( 当 AB， CD为异面直
线时 ) 而不是 120°．
答案 60°
8．如图， ?ADEF的边 AF⊥平面 ABCD，且 AF＝ 2， CD＝ 3，则 CE＝ ________.
解析 由 AF⊥平面 ABCD，知 DE⊥面 ABCD. ∴DE⊥ＣD，在 Rt△CDE中， CE＝ CD2＋ DE2＝ 22＋ 32＝ 13. 答案 13 9．如图，在空间四边形 ABCD中， AB＝BC， CD＝DA， E， F， G分别为 CD， DA和 AC的中点． 求证：平面 BEF⊥平面 BGD. 证明 如题图， ∵AB＝ BC， G为 AC的中点，∴ BG⊥AC. 同理 DG⊥AC，又 DG∩BG＝ G， ∴AC⊥平面 BGD. 又 E，F 分别为 CD， DA的中点， ∴EF∥AC. ∴EF⊥平面 BGD. 又 EF? 平面 BEF. ∴平面 BEF⊥平面 BGD. 10．如图，在直三棱柱 ABC－A1 B1C1 中， AC⊥BC， AC＝ BC＝1， CC1＝2，点 D， E 分别是 AA1， CC1 的中点． (1) 求证： AE∥平面 BC1D； (2) 证明：平面 BC1D⊥平面 BCD. 证明 (1) 在矩形 ACC1A1 中，由 C1E∥AD，C1E＝ AD， 得 AEC1D是平行四边形，∴ AE ∥DC1. 又 AE?平面 BC1D，C1D? 平面 BC1D，
(1) 求证： MN∥平面 PAD. (2) 求证： MN⊥CD. (3) 若∠ PDA＝45°，求证： MN⊥平面 PDC.
证明 (1) 取 PD中点 Q，连接 NQ， AQ. ∵N， Q分别为 PC， PD的中点，
1 ∴NQ綊 2 CD綊 AM.
∴AMNQ为平行四边形． ∴AQ∥MN. 又 AQ? 平面 PAD， MN?平面 PAD， ∴MN∥平面 PAD. (2) ∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥AB. 又 AD⊥AB，∴ AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥AQ，即 AB⊥MN. 又 CD∥AB，∴ MN⊥CD. (3) ∵PA⊥平面 ABCD， ∴PA⊥AD. 又∠ PDA＝45°， Q为 PD的中点， ∴AQ⊥PD. ∴MN⊥PD. 又由 (2) 知 MN⊥CD，且 PD∩CD＝ D， ∴MN⊥平面 PCD.
2.3.3 直线与平面垂直的性质双基限时练
1．如果直线 l 与平面 α 不垂直，那么在平面 α 内 (
)
A．不存在与 l 垂直的直线
B．存在一条与 l 垂直的直线
C．存在无数条与 l 垂直的直线
D．任意一条都与 l 垂直
答案 C
2．如图， PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD为矩形，下列结论中不正确的是 ( )
D．若 l ∥α ，α ⊥ β ，则 l ⊥ β
答案 C
5．设 l ， m， n 为三条不同的直线， α 为一个平面，下列命题中正确的个数是 (
)
①若 l ⊥ α ，则 l 与 α 相交； ②若 m? α ，n? α ，l ⊥m，l ⊥n， 则 l ⊥ α ；③若 l ∥m，m∥ n，
l ⊥ α ，则 n⊥ α ；④若 l ∥m，m⊥ α ，n⊥ α ，则 l ∥n.
∴AE∥平面 BC1D. (2) 直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， BC⊥CC1，AC⊥BC， CC1∩AC＝ C， ∴BC⊥平面 ACC1A1， 而 C1D? 平面 ACC1A1，∴ BC⊥Ｃ1D. 在矩形 ACC1A1 中， DC＝ DC1＝ 2， CC1＝ 2， 从而 DC2＋ DC21＝ CC21， ∴Ｃ1 D⊥ DC. 又 DC∩BC＝ C， ∴Ｃ1D⊥平面 BCD， 而 C1D? 平面 BC1D， ∴平面 BC1D⊥平面 BCD. 11．如图所示，已知 PA⊥矩形 ABCD所在平面， M， N 分别是 AB， PC的中点．