数理统计 实验操作手册-1

实验一抽样分布实验实验目的1.产生来自常用分布的随机数，并会利用软件计算常用分布的密度函数（概率函数），分布函数，分位数；2.能利用软件绘制给定分布概率密度的图像，并能将不同参数的情形体现在同一张图中，能根据图形判断分布随参数变化而改变的趋势；3.能利用软件绘制给定分布经验概率密度的图像，并验证当样本容量充分大时经验分布函数是总体分布函数较好的近似；4.验证抽样分布定理。

实验步骤1.常用分布随机数的产生及相关性质的计算?d+分布名: 自动弹出与该分布有关的帮助文档“d”：density，密度函数（连续型随机变量）或者概率函数（离散性随机变量）“p”：probability，分布函数“q”：quantile, 分位数“r”：random number,随机数例1.1对二项分布随机变量(10,0.8)B ξ ，计算（1）概率函数{5}P ξ=；（2）{5}P ξ≤；（3）独立生成服从该分布的随机变量5次。

操作：（1） dbinom(5,10,0.8) [1] 0.02642412 （2） pbinom(5,10,0.8) [1] 0.0327935（3）rbinom(5, 10, 0.8)[1] 7 9 8 7 7 （说明：该操作每次产生的结果都有所不同）例1.2对正态分布随机变量2(5,2)N ξ ，计算（1）密度函数(5)f ；（2）{6}P ξ≤；（3）下0.1α=分位数（4）独立生成服从该分布的随机变量10次。

操作：（1） dnorm (5,5,2) [1] 0.1994711 （2） pnorm(6,5,2) [1] 0.6914625 （3） qnorm(0.1,5,2) [1] 2.436897 （4） rnorm(10,5,2)[1] 3.018812 3.056879 5.246831 3.578441 7.184516 4.551375 6.766428 6.093256[9] 4.983039 2.525055 （说明：每次操作所产生的结果都有所不同）例1.3 生成具有不同自由度（1,3,8,30df ）的t分布密度函数的图像，并在同一张图中作出标准正态分布密度函数的图像，观察随着自由度的增长，t分布趋于标准正态分布N的趋势。

(0,1)操作：# Display the Student's t distributions with various degrees of freedom and compare #to the normal distributionx <- seq(-4, 4, length=100)hx <- dnorm(x)plot(x, hx, type="l", lty=2, xlab="x value",ylab="Density", main="Comparison of t Distributions")degf <- c(1, 3, 8, 30)colors <- c("red", "blue", "darkgreen", "gold", "black")labels <- c("df=1", "df=3", "df=8", "df=30", "normal")for (i in 1:4){lines(x, dt(x,degf[i]), lwd=2, col=colors[i])}legend("topright", inset=.05, title="Distributions", labels, lwd=2, lty=c(1, 1, 1, 1, 2),col=colors)2.随机变量经验（后验）分布的描述例2.1（1）作标准正态分布(0,1)n=的N密度函数的图像；（2）生成一个样本容量100标准正态分布的简单随机样本，并在同一张图中作出其经验密度的图像；（3）将（2）中的样本容量提高至300,500,1000,3000n=，并观察经验密度趋于理论上密度函数的程度有何变化。

操作：（1）curve(exp(-x^2/2)/(2*pi)^0.5, xlim=c(-5,5), ylim=c(0,0.5), xlab = "x", ylab = "f(x)", main="N(0,1)")（2）x1 <- rnorm(100,0,1)lines(density(x1), col='red')（3）x2 <- rnorm(300,0,1)lines(density(x2), col='orange')x3 <- rnorm(500,0,1)lines(density(x3), col='yellow')x4 <- rnorm(1000,0,1)lines(density(x4), col='green')x5 <- rnorm(3000,0,1)lines(density(x5), col='blue')从图中可以看出，当样本容量n →∞时，经验密度函数ˆ()n f x 趋于理论密度函数()f x .例2.2 由具有不同形状参数1,2,3,4,5,6,7α=和相同尺度参数2λ=的伽马分布分别生成一个简单随机样本（样本容量均为1000n =），并在同一张图中作出这七种分布各自的经验概率密度图像。

操作：x1 <- rgamma(1000,1,2)x2 <- rgamma(1000,2,2)x3 <- rgamma(1000,3,2)x4 <- rgamma(1000,4,2)x5 <- rgamma(1000,5,2)x6 <- rgamma(1000,6,2)x7 <- rgamma(1000,7,2)plot(density(x1), col='red', lwd=2, xlim=c(0,5), ylim=c(0,1.5), xlab = "x", ylab = "f(x)", main="Gamma Distribution")lines(density(x2), col='orange', lwd=2)lines(density(x3), col='yellow', lwd=2)lines(density(x4), col='green', lwd=2)lines(density(x5), col='blue', lwd=2)lines(density(x6), col='darkblue', lwd=2)lines(density(x7), col='purple', lwd=2)legend(2.5, 1.5, paste("alpha=", 1:7, ",", "lambda=2"), lty=1, lwd=2, col =c("red","orange","yellow","green","blue","darkblue","purple"), cex = 1.0)3. 抽样分布定理 例3.1 设总体2(,)N a ξσ，1,...,n ξξ为总体ξ的样本，验证2(,)N a nσξ.要求：固定1,a =225,σ=模拟的次数为5000次，对3,10,100n =这三种情形作出一张31⨯的分布图。

操作：xbar1 <- rep(0,5000) xbar2 <- rep(0,5000)xbar3 <- rep(0,5000)for (i in 1:5000){x1 <- rnorm(3,1,5)x2 <- rnorm(10,1,5)x3 <- rnorm(100,1,5)xbar1[i] <- mean(x1)xbar2[i] <- mean(x2)xbar3[i] <- mean(x3)}par(mfrow=c(3,1))plot(density(xbar1), col='red', lwd=2, xlim=c(-5,5), ylim=c(0,0.5), xlab = "x", ylab = "f(x)", main="N(1,25/3)")plot(density(xbar2), col='orange', lwd=2, xlim=c(-5,5), ylim=c(0,0.5), xlab = "x", ylab = "f(x)", main="N(1,25/10)")plot(density(xbar3), col='green', lwd=2, xlim=c(-5,5), ylim=c(0,1.0), xlab = "x", ylab = "f(x)", main="N(1,25/100)")练习题（10分） 截止日期：2014年4月4日, 请提交至 math _stat@ ，作业以“学号+姓名”命名。

注意：（1）请定稿后再提交，不要反复提交。

（2）作业若发现有雷同之处，相应的题将以零分论处（抄袭者和被抄袭者都适用）。

练习1. 对t 分布随机变量(10)t ξ ，计算（1）(0)f ；（2）{1}P ξ≤；（3）下0.1α=分位数（4）独立生成服从分布(10)t 的随机变量10次。

练习2. 由具有相同形状参数2α=和不同尺度参数1,2,3,4,5,6,7λ=的伽马分布分别生成一个简单随机样本（样本容量均为1000n =），并在同一张图中作出这七种分布各自的后验概率密度图像。