2015高三期末各区分类解析：函数与导数(文)

函数与导数 文科一、选择题1.（东城区第2题）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = 答案：B2.（西城区第8题）如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =- 答案：D3.（海淀区第7题）某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()(10)10V t H t =-（H 为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻是图中的（ ）（A ）1t （B ）2t（C ）3t（D ）4t答案：C4.（朝阳区第7题）已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,2 答案：B5.（丰台区第4题）已知32log 2a =，14log 2b =，132c -=，则a ，b ，c 的大小关系是(A) a > b > c (B) c > b > a (C) c > a >b(D) a >c >b答案：D6.（丰台区第6题）已知函数sin y a bx =+（b >0且b ≠1）的图象如图所示，那么函数log ()b y x a =-的图象可能是(C)答案：C7.（昌平区第2题）下列函数中，在区间(0，π2)上是减函数的是A ． cos y x =B ． sin y x =C ．2y x = D ． 21y x =+答案：A8.（昌平区第7题）某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历 了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈 亏情况(不考虑其它费用)是A. 略有盈利B. 略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况 答案：B9.（石景山区第2题）下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ）A.2x y =B.3x y -=C.||lg x y -=D.x y 2= 答案：A10.（石景山区第6题）函数()22f x log x x =+-的零点所在的区间是（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4） 答案：B11.（石景山区第8性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则()f x PF AP =+．那么可推知方程()f x = ）A.0B.1C.2D.4 答案：A 二、填空题1.（东城区第13题）设函数2log , 0,()4, 0,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤则1(())2f f =________；若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是________． 答案：142.（东城区第14题）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠． 甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款________ 元． 答案：5203.（西城区第14题）设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___. 答案：2-或4 ；(1,3]-4.（朝阳区第14题）设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______. 答案：45.（丰台区第14题）设函数()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，如果函数()()y f x g x =-在区间[,]a b 上有*()k k ∈N 个不同的零点，那么称函数()f x 和()g x 在区间[,]a b 上为“k 阶关联函数”．现有如下三组函数： ①()f x x =，()sin2g x x π=；②()2x f x -=，()ln g x x =； ③()|1|f x x =-，()g x =其中在区间[0,4]上是“2阶关联函数”的函数组的序号是___．（写出所有．．满足条件的函数组的序号） 答案：①③6.（昌平区第14题）在下列函数①13,x y +=②,log 3x y =③21,y x =+④,sin x y =⑤cos()6y x π=+中，满足“对任意的1x ，2x ∈(0,1)，则1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号) 答案：① ③ 三、解答题1.（东城区第20题）已知函数2()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R . （Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切，求a ，b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1[,e]e上的最大值；（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围. 答案： （Ⅰ）()2af x bx x'=-. 由函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，得(1)0,1(1).2f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩即20,1.2a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得21()ln 2f x x x =-，定义域为(0,)+∞． 此时1()f x x x '=-21=xx-.令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >． 所以()f x 在（1e，1）上单调递增，在（1，e ）上单调递减， 所以()f x 在1[,e]e 上的最大值为1(1)2f =-． ……………………………8分 （Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，即2ln a x bx x -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立， 即2ln a x x bx -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，即ln 0a x x -≥对2(e,e ]x ∈恒成立． …………………11分 即ln xa x≥对2(e,e ]x ∈恒成立， 即a 大于或等于ln xx在区间2(e,e ]上的最大值． 令()ln x h x x=，则2ln 1(=(ln )x h x x -'），当2(e,e ]x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()ln x h x x =，2(e,e ]x ∈的最大值为22e (e )2h =．即2e 2a ≥．所以a 的取值范围是2e[,)2+∞． ………………………………14分2.（西城区第20题）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线 相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）答案：（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下：由条件知2()f x x =-， 由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x'=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………4分 由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分 因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………8分所以当1x =时，()F x QUOTE取到最大值(1)0F = QUOTE，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x < QUOTE.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 （Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………11分 当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相 切. …………13分3.（海淀区第19题）已知函数e ()xf x x=.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （Ⅱ）当0x >时，求证：()f x x >；（Ⅲ）问集合{()0}x f x bx ∈-=R （b ∈R 且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论） 答案：（Ⅰ）解：2e e '()x x xf x x-=. ………………1分 因为 切线0ax y -=过原点(0,0)，所以 00000200e e e x x x x x x x -=. ………………3分 解得：02x =. ………………4分（Ⅱ）证明：设2()e ()(0)x f x g x x x x==>，则24e (2)'()x x x g x x -=.令24e (2)'()0x x x g x x-==，解得2x =. ………………6分 x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值e 4. ………………8分所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >. ………………9分（Ⅲ）解：当0b ≤时，集合{()0}x f x bx ∈-=R 的元素个数为0；当2e 04b <<时，集合{()0}x f x bx ∈-=R 的元素个数为1；当2e 4b =时，集合{()0}x f x bx ∈-=R 的元素个数为2；当2e 4b >时，集合{()0}x f x bx ∈-=R 的元素个数为3. …………13分4.（朝阳区第19题）已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： （Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥. 答案：（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.因为()e xa f x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点， 所以a 的值为e . ………5分 （Ⅱ）证明： 方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.) 所以()e f x ≥. ………13分 方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-，所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增. （接下来表述同解法1相应内容） 所以()e f x ≥. ………13分5.（丰台区第18题）已知函数1()1ex f x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）过点(0,)B t 能否存在曲线()y f x =的切线，请说明理由． 答案：（Ⅰ）函数的定义域为R ．因为 1()1xf x x e =-+， 所以 1()x xe f x e -'=． …………………2分令()0f x '=，则0x =． …………………3分5分所以01()=(0)010f x f e =-+=极小值． …………………6分 （Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为00(,)x y ，则切线方程为000'()()y y f x x x -=- 即00001(1)(1)()x x y x e x x e---+=-- 将(0,)B t 代入得0011x x t e+=-． 方程0011x x t e+=-有解，等价于过点(0,)B t 作曲线()f x 的切线存在．…………8分 令1()1xx M x e +=-， 所以 ()x x M x e -'=．当()0xxM x e -'==时，00x =． 所以 当(,0)x ∈-∞时，()0M x '>，函数()M x 在(,0)x ∈-∞上单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0M x '<，()M x 在(0,)x ∈+∞上单调递减． ………10分 所以 当00x =时，max ()(0)0M x M ==，无最小值． 当0t ≤时，方程0011x x t e +=-有解； ………………11分当0t >时，方程0011x x t e+=-无解． ………………12分 综上所述，当0t ≤时存在切线；当0t >时不存在切线． …………13分 6.（昌平区第19题）已知函数() 1.x x f x e xe =-- （I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x= 其中1,0x x >-≠且，证明: ()g x ＜1. 答案：解：（Ⅰ）'(),x f x xe =- …………………2分 当(,0)x ∈-∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； …………………4分 当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． …………………6分…………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x >时，()0,()0 1.f x g x <<< …………………9分 当10x -<<时，()1g x <等价于().f x x > 设()()h x f x x =-，则'()1xh x xe =--．当(1,0)x ∈-时，01,01,xx e <-<<<则01,xxe <-<从而当(1,0)x ∈-时，'()0h x <，()h x 在(1,0)-单调递减．…………………12分 当(1,0)x ∈-时，()(0)0,h x h >= 即()(0)0,()f x x h f x x ->=>所以， 故g (x )＜1． 综上，总有g (x )＜1．…………………14分7.（石景山区第20题）已知函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈，()f x '为其导函数，且3x =时()f x 有极小值9-． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（k 为正整数）对任意正实数x 恒成立，求k的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln7 1.95,ln8 2.08≈≈）答案：（Ⅰ）由2()32f x ax x b '=-+，因为函数在3x =时有极小值9-，所以276027939a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩，从而得 ………………2分 ，所以2()23f x x x '=--， 由0)(<'x f 解得31<<-x ， 所以()f x 的单调递减区间为()13-，. ………………4分 （Ⅱ）因为2()23f x x x '=--，所以()(ln 1)64f x k x x x '>---等价于 241(ln 1)x x k x x ++>-，即……………6分由()0g x '=，得=1x k +， 所以()g x 在(0,1)k +上单调递减，在(1,)k ++∞上单调递增， 所以()(1)6ln(1)g x g k k k k +=+-+≥， ……………8分 ()0>x g 对任意正实数x 恒成立， 等价于6ln(1)0k k k +-+>，即……………10分，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以k 的最大值为6． ……………13分。