排队论习题及答案
《排队论》习题解答
故方案I比方案II好。
2018/11/23 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－9
习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。
如果 1 台计算机正常工作时间服从负指数 分布，平均 10 天，而计算机损坏时由 1 名 工程师维修，维修 1 台计算机的时间是负 指数分布的，平均 5天。求： 2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
m 1
2! 1 i ( ) i 0 ( 2 i )! 2
2
1
2 0. 4 5
P{计算机损坏无法运行}＝p2
2! 1 2! 1 ( ) 2 p0 ( ) 2 0.4 0.2 ( 2 2)! 2 ( 2 2)! 2
计算机科学与工程学院 顾小丰 18－11
随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@ 2018年11月23日星期五
习题1
病人以每小时3人的泊松流到达医院，假
设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服 从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为 15分钟。
（a) 医生空闲时间的比例？ （b) 有多少病人等待看医生？ （c) 病人的平均等待时间？ (d) 一个病人等待超过一个小时的概率？
3 4 ( 1 4 ) 3 1 e e 4 4
3
≈0.276 即病人等待超过一个小时的概率约为0.276。
2018/11/23
计算机科学与工程学院
顾小丰
18－4
习题2
一台计算机有 2 个终端，假定计算一个题目
(完整word版)《运筹学》_第六章排队论习题及_答案
《运筹学》第六章排队论习题转载请注明1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
(完整word版)《运筹学》_第六章排队论习题及_答案
《运筹学》第六章排队论习题转载请注明1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
排队论练习题
4．在第一题中，设顾客到达速率增加到12人/小时，这时又增加一个同样熟练的修理工，平均 修理时间也是6分钟。求： （1）店内空闲的概率； （2）店内有两个或更多顾客的概率； （3）计算运行指标L，Lq，W，Wq。
Ls=1.47708 (7) Wq=1.08分钟
Ws=6.08分钟
例10 某车站候车室在某段时间旅客到达服从泊松流分布，平均速度 为50人/小时，每位旅客在候车室内逗留的时间服从负指数分布，平均 停留时间为0.5小时，问候车室内平均人数为多少？ 解：把旅客停留在候车室看做服务，于是就看为M/M/∞/∞/∞
服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求：
（1）顾客来店理发不必等待的概率； （2）理发店内顾客平均数； （3）顾客在理发店内的平均逗留时间； （4）当顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时。
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=3，=4，=/=3/4=0.75 （1） P0=1-=1-0.75=0.25 （2） （3） （4） ，=3.2，
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=4，=10，=/=2/5=0.4 （1） P0=1-=1-2/5=3/5=0.6 （2） P3=3(1-)=0.43×0.6=0.0384 （3） 1-P0=1-(1-)==0.4 （4） （5） （6）
（7）
例7．一个单人理发点，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时间
问题解决：
分三种情况考虑： （1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为： （a） 在时间t内没有病人排队，时刻也没有病人到达的概 率为。 （b） 在时间t内有一个病人，内没有顾客到达，但有一位 病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 在时间t内没有病人排队，但在时刻内有一位病人到 达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
排队论习题答案
排队论习题答案排队论习题答案排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中的等待时间、服务时间以及系统的稳定性等问题。
在实际生活中，我们经常会遇到排队的情况，比如超市、银行、医院等地方。
那么，如何有效地解决排队问题，减少等待时间呢？下面我将通过几个习题来探讨排队论的解题方法。
习题一：某银行有两个窗口，分别为A窗口和B窗口，顾客到达的时间间隔服从指数分布，平均每10分钟到达一人。
A窗口的服务时间服从均值为5分钟的指数分布，B窗口的服务时间服从均值为7分钟的指数分布。
求顾客平均等待时间和平均逗留时间。
解答一：首先，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。
根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μA=1/5=0.2人/分钟，平均服务率μB=1/7≈0.1429人/分钟。
根据排队论的基本原理，当λ<μ时，系统稳定，顾客平均等待时间为0。
当λ>μ时，系统不稳定，顾客平均等待时间为ρ/(μ-λ)，其中ρ为系统繁忙率。
由于该题目中有两个窗口，所以我们需要计算两个窗口的繁忙率ρA和ρB。
ρA=λ/μA=0.1/0.2=0.5，ρB=λ/μB=0.1/0.1429≈0.7。
由于两个窗口的繁忙率不相等，我们需要使用排队网络的方法来求解。
根据排队网络的基本原理，顾客平均逗留时间等于顾客在每个窗口的平均逗留时间之和。
根据排队网络的公式，顾客在A窗口的平均逗留时间为1/(μA-λ)≈5分钟，顾客在B窗口的平均逗留时间为1/(μB-λ)≈7.5分钟。
所以，顾客平均逗留时间为5+7.5=12.5分钟。
习题二：某医院门诊部有一个窗口，顾客到达的时间间隔服从泊松分布，平均每10分钟到达一人。
窗口的服务时间服从均值为8分钟的指数分布。
求顾客平均等待时间和平均逗留时间。
解答二：同样地，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。
根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μ=1/8=0.125人/分钟。
《运筹学》 第六章排队论习题及 答案
《运筹学》第六章排队论习题1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
排队论习题集汇总情况_jieda
排队论习题集汇总_解答例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson 分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。
求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
根据题意, λ=100辆/小时，μ1=15秒=2401（小时/辆）,即μ＝240（辆/小时）。
因此125240100==μλ=ρ 系统空闲的概率为：583.012712511P 0==-=ρ-= 系统忙的概率为：417.0125)1(1P 10==ρ=ρ--=- 系统中有1辆车的概率为：243.014435127125)1(P 1==⨯=ρ-ρ= 系统中有2辆车的概率为：101.01728175127125)1(P 222==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=系统中有3辆车的概率为： 0422.020736875127125)1(P 333==⨯⎪⎭⎫⎝⎛=ρ-ρ=1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
胡运权排队论习题解
胡运权排队论习题解10.1某修理店只有一个修理工人, 来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每小时3人,修理时间服从负指数分布,平均需10分钟, 求(1) 修理店空闲时间概率; (2) 店内有4个顾客的概率; (3) 店内至少有一个顾客的概率; (4) 在店内顾客平均数; (5) 等待服务的顾客平均数; (6) 在店内平均逗留时间; (7) 平均等待修理(服务)时间;(8) 必须在店内消耗15分钟以上的概率.04440s q s q 60M /M /1//3 6.1031(1)p 1162111(2)p (1)(1)()223211(3)1p 1223(4)L 1()631312(5)L ()632111(6)()633112(7)()636(8)1-F()W W λμρρρλμλρλμλμλρμλω∞∞====-=-==-=-=-=-====--⋅===--===--===--解：该系统为（）模型，，；；；人；人；小时；小时；1515-(6-3)--(-)6020eee .μλω⨯===11(1)(2)(3)23211(4)(5)2211(6)(7)(8)3615.15-20答：修理店空闲时间概率为；店内有三个顾客的概率为；店内至少有一个顾客的概率为；店内顾客平均数为1人；等待服务顾客平均数为人；在店内平均逗留时间分钟；平均等待修理时间为分钟；必须在店内消耗分钟以上的概率为e10.22015(1)(2)(3)(4) 1.25M /M /1.603(/20λ==设有一单人打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为分钟，求顾客来打字不必等待的概率；打字室内顾客的平均数；顾客在打字室内平均逗留时间；若顾客在打字室内的平均逗留时间超过小时，则主人将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为多少时，主人才会考虑这样做？解：该题属模型人小时0s s s 60)4(/).1531(1)p 11443(2)L 3()4311(3)1()431(4)1.2511.25 3.23.230.2(/).4W W μρλμλμλμλλλ===-=-====--===--=>-≥>-=-，人小时；人；小时；；，，人小时1(1)(2)3(3)41(4)0.2/.答：顾客来打字不必等待的概率为；打字室内顾客平均数为人；顾客在打字室内平均逗留时间为小时；平均到达率为人小时时，店主才会考虑增加设备及打字员 10.3 汽车按平均90辆/h 的poission 流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s 。
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排队论习题及答案
排队论习题及答案
排队论是概率论和数学统计中的一个重要分支，研究的是随机事件的排队问题。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的情况，如等候乘坐公交车、购物结账等。
排队论的研究可以帮助我们更好地理解和优化排队过程，提高效率和服务质量。
下面，我们将介绍几个排队论的习题及其解答。
习题一：某银行有两个窗口，顾客到达银行的时间服从平均到达率为λ的泊松
分布，每个顾客在窗口办理业务的时间服从平均服务率为μ的指数分布。
求平
均等待时间和平均排队长度。
解答：首先，我们可以根据泊松分布和指数分布的性质，得到顾客到达时间和
服务时间之间的关系。
假设顾客到达时间服从泊松分布，到达率为λ，那么两
个顾客到达时间之间的时间间隔服从参数为λ的指数分布。
同样，假设顾客的
服务时间服从指数分布，服务率为μ，那么两个顾客的服务时间之间的时间间
隔服从参数为μ的指数分布。
根据排队论的基本原理，平均等待时间等于平均排队长度除以到达率。
平均排
队长度可以通过利用排队论的公式计算得到。
在本题中，根据M/M/2模型，可以得到平均排队长度的公式为：
Lq = λ^2 / (2μ(μ - λ))
其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率。
接下来，我们可以计算平均等待时间。
根据排队论的公式，平均等待时间等于
平均排队长度除以到达率。
所以，平均等待时间的公式为：
Wq = Lq / λ
综上所述，我们可以通过计算得到平均等待时间和平均排队长度。
习题二：某餐厅有4个服务台，每个服务台的服务时间服从平均服务率为μ的指数分布，顾客到达时间服从平均到达率为λ的泊松分布。
求平均等待时间和平均排队长度。
解答：在这个问题中，我们可以使用M/M/4模型来求解。
根据M/M/4模型，平均排队长度的公式为：
Lq = (λ/μ)^4 * (1/(4! * (1 - ρ)))
其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率，ρ表示系统繁忙度。
平均等待时间的公式为：
Wq = Lq / λ
通过计算可以得到平均等待时间和平均排队长度。
习题三：某超市有3个收银台，每个收银台的服务时间服从平均服务率为μ的指数分布，顾客到达时间服从平均到达率为λ的泊松分布。
如果超市的服务台只有2个，平均等待时间和平均排队长度会发生什么变化？
解答：在这个问题中，我们可以使用M/M/3模型来求解。
根据M/M/3模型，平均排队长度的公式为：
Lq = (λ/μ)^3 * (1/(3! * (1 - ρ)))
其中，Lq表示平均排队长度，λ表示到达率，μ表示服务率，ρ表示系统繁忙度。
平均等待时间的公式为：
Wq = Lq / λ
当超市的服务台从3个变为2个时，即使用M/M/2模型，平均排队长度和平均等待时间会发生变化。
通过计算可以得到新的平均排队长度和平均等待时间。
通过以上习题的解答，我们可以看到排队论在实际问题中的应用。
通过研究排队论，我们可以更好地理解排队过程，并通过优化排队策略来提高效率和服务质量。
希望以上内容能帮助大家更好地理解排队论的习题及其解答。