“关联速度”模型

“关联速度”模型太原市第十二中学 姚维明模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。

这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。

“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。

由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。

模型典案：【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。

与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。

分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。

将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图2所示。

根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。

所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。

【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。

物理意义很明显。

这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。

解法二：位移微元法如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s·cos θθcos 1ts t s ∆∆=∆∆ 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义ts v ∆∆=可得v 1＝v cos θ。

所以，物体M 上升速度的大小为v /=v cos θ。

这种方法从理论上揭示了运动效果分解法的本质。

图2图3图1【点评】这是一种数学的方法。

这种方法提示了“运动效果分解法”的本质，不失为一种很好的方法。

这种方法常常借助三角函数来求解。

解法三：功能关系法不计滑轮、绳子质量及一切摩擦，由功能关系可知，在汽车前行牵引物体上升的过程中，汽车对绳子的拉力F 所做的功W （对应功率设为P ）等于绳子对物体拉力F’所做的功W’（对应功率设为P’）设作用时间（相等）为△t ，则F ＝F /，W ＝W /，故tW t W ∆'=∆，P ＝P’ 又因为P ＝Fv cos θ，P’＝F /v /以上几式联立解得物体上升速度的大小为v /＝v cos θ【点评】这种方法从功能关系上揭示了“运动效果分解法”的本质。

可以说是一种特别好理解的物理方法。

这类问题从解法上常常与“功能关系”、“动能定理”联系起来，增加了题目的内涵。

【典案2】如图4所示，小船用绳索通过定滑轮牵引，设水对小船阻力不变，在小船以速度v 匀速靠岸的过程中拉绳的速度v /应怎样变化？〖解析〗由题中已知条件，小船的实际运动是以速度v 沿水平方向的匀速直线运动，可将其分解为绕滑轮转动和沿绳方向的直线运动如图5所示，根据平行四边形法则画出小船运动的矢量图已知小船的速度为v ，是题中所给的直接条件，因此我们可以直接求出拉绳的速度。

可得v /=v cosθ，并且逐渐变小。

【典案3】如图6所示，两细棒a 、b 交叉放置在一平面内，a 棒绕O 点以角速度ω逆时针转动，b 棒固定，O 点离b 棒距离为d 。

某一时刻a 、b 棒的夹角θ，此时交叉点A 的速度是多少？〖解析〗根据题意，我们可以看出，a 、b 的交叉点A 相对于b 棒做直线运动，而交叉点A 相对于棒a 做向O 点的运动，与此同时，A 点又随棒a 做旋转运动。

因此，我们可以把某时刻交叉点A 沿b 棒的运动分解为：沿a 棒径向的直线运动和切向的圆周运动。

而A 的实际速度是径向速度v x 和切向速度v y 的合速度。

如图7所示，根据平行四边形法则画出A 运动的矢量图。

图4 图5图6 图7题中给出a 棒转动的角速度为ω，并未直接给出速度，因此我们要根据这个间接条件来求a 棒转动的线速度。

我们求出的线速度也是切线方向的速度，而A 点的速度为径向和切向的合速度，还需要再转化。

v y ＝ω·OA ，OA ＝θsin d ，v ＝θsin y v 因此，v ＝θω2sin d 〖点评〗解此题的关键是掌握好径向和切向运动，有时一个直线运动分解为一个直线运动（径向运动）和一个圆周运动（切向运动），会使问题简单化。

【典案4】如图8所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A 和B 的质量分别为M 和m ，物体A 在水平面上。

A 由静止释放，当B 沿竖直方向下落h 时，测得A 沿水平面运动的速度为v ，这时细绳与水平面的夹角为θ，试分析计算B 下降h 过程中，地面摩擦力对A 做的功？（滑轮的质量和摩擦均不计）〖解析〗把物体A 、B 看成一个整体，对该系统进行受力分析。

B 下降过程中，B 的重力做正功mgh ，摩擦力对A 做负功，设为W f 。

由于A 与水平面间的正压力是变化的，又不知动摩擦因数、W f 不能用功的定义求得，只能通过动能定理来求解W f 。

A 的实际运动沿速度v 的方向，它可以分解为分别是沿绳方向和绕滑轮转动两个分运动；根据第1步的分析和平行四边形法则，画出如图9的矢量图；由图9中可知，v 1为绳的速度，也就是该时刻物体B 的瞬时速度，v 1＝vcosθ。

对系统列动能定理表达式： mgh －W f ＝21Mv 2＋21mv 12 可得W f ＝mgh －21Mv 2－21m （vcosθ）2 〖点评〗此题是一道综合题，它涉及到了变力做功，动能定理这两个方面的知识，有一定的难度。

但关键点是利用运动合成与分解的知识求出速度，才能列出动能定理表达式。

由此可见，学好运动的合成与分解是至关重要的。

【典案5】如图10所示，某人与一平直公路的垂直距离h ＝50m ，有一辆汽车以速度v 0＝10m/s 沿此公路从远处驶来，当人与汽车相距L ＝200m 时，人开始匀速跑动，若人想以最小的速度赶上汽车，人应沿与v 0成多大角度的方向以多大的速度跑动？〖解析〗方法一：物理方法 本题主要考查巧选参考系，应用运动的合成与分解研究相遇极值问题。

如图11所示，以汽车为参照系，人相对于汽车的合运动v 合的方向如图中虚线OP 所示，人相对于地面的运动速度为v ，由图可知，要使v 最小，v 的方向显然应垂直于OP 连线方向，设汽车运动方向（即v 0方向）与OP 连线夹角为θ，图8 图9 －vv v 合O P θ v 0L h图10v 0则tan θ＝h L ＝14 。

v min ＝v 0sin θ＝10×sin(arctan0.25)m/s ＝2.4 m/s 。

方法二：数学方法在本题中，如果我们仍以地面为参照系，可以假设经过时间t 人正好在B 点赶上汽车，如图12所示。

设人车方向OP 与公路夹角为α（α为定值），OB 与公路的夹角为θ（θ为变量） 根据正弦定理αθsin sin OB L = L OB θαsin sin = 当2πθ=时，OB 最小，所需速度最小 由速度矢量三角形得：v min ＝v 0sin θ＝10×sin(arctan0.25)m/s ＝2.4 m/s 。

〖点评〗 如果汽车静止在路面上，这个问题就非常简单，人只要沿着人、车的连线方向运动即可。

在本例中，由于汽车在运动，问题就较为复杂，但是，如果我们以汽车为参照系，这个问题就变得较为简单，同样只要人沿着人、车的连线方向运动（即人相对于汽车的运动方向沿人、车的连线方向）就可赶上汽车，这时，由于是以汽车为参照系，人相对汽车来说已经具有一个分速度－v 0（负号表示方向相反），我们需要解决的是另一个分运动（即人相对于地面的运动）的大小和方向的问题。

灵活选择参考系往往可使问题得到简化。

【典案6】一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图13所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）。

〖解析〗选取物与棒接触点B 为连结点。

（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显） 因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2。

因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ令棒绕O 点转动角速度为ω则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h故：A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h〖点评〗本题的命题意图是考查综合分析及推理能力。

学生容易出现的错误是①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入。

②无法判断B 点参与的分运动方向。

【典案7】如图15所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置。

SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？〖解析〗由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°，图12 v O v 0 B αP θ 图13 图14 v 1 v 2 O M 30° S S ？ BOS ′=L /cos60°。

选取光点S ′为连结点，因为光点 S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动，速度为v 1和绕O 点转动，线速度为v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图16可得： v 1=v sin60°，v 2=v cos60°又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω则：v 2=2ωL /cos60°vcos 60°=2ωL /cos60°，解得：v =8ωL 〖点评〗光斑的运动是合运动，它可以分解成沿光线方向的传播速度与垂直于光线方向上的转动速度。