3虚拟变量的引入

90年前 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
表
1979~2001 年中国居民储蓄与收入数（据亿元）
储蓄
GNP
90年后
储蓄
GNP
281
4038.2
1991
9107
21662.5
399.5
4517.8
1992
11545.4
薪金Y
60 Y
40
男职工 女职工
20
2
0 0
0
X 工龄X
20
40
60
• 可以通过传统的回归检验，对2的统计显著性进行检验， 以判断企业男女职工的平均薪金水平是否有显著差异。
• 例：中国成年人体重y（kg）与身高x（cm） 的回归关系如下：
•
–105 + x D = 1 (男)
y = - 100 + x - 5D =
曾生子女数 b0 b1年龄 b2EDU2 1.41 0.068年龄 1.13 0.28 0.068年龄
• 表明，对于相同年龄和居住地而言，小学 文化程度妇女比文盲妇女曾生子女数多出 b2个部分，即少生1.13个子女。
回归方程的解释
• 当教育程度为文盲、居住地为城市时，
曾生子女数 b0 b1年龄 b6AREA 1.41 0.068年龄 0.49 0.92 0.068年龄
如，设
1 正常年份 Dt 0 反常年份
消费模型可建立如下：
Ct 0 1 X t 2 Dt X t t
• 这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中， 从而可用来考察消费倾向的变化。
• 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
正常年份：
E(Ct | X t , Dt 1) 0 (1 2 ) X t
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量” 来完成的。根据这些因素的属性类型，构造只取 “0”或“1”的人工变量，通常称为虚拟变量,记为 D。
• 例如，反映文程度的虚拟变量可取为：
1， 本科学历 D=
0， 非本科学历
• 一般地，在虚拟变量的设置中：
• 基础类型、肯定类型取值为1； • 比较类型，否定类型取值为0。
•女职工本科以下学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
•男职工本科以下学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 1, D2 0) (0 2 ) 1 X i
•女职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yi | X i , D1 0, D2 1) (0 3 ) 1 X i
• 加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同。 • 许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、
截距同时发生变化。 • 斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量
来测度。
例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收 入水平Y，但在一个较长的时期，人们的消费倾 向会发生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常 年份，消费倾向往往出现变化。这种消费倾向的 变化可通过在收入的系数中引入虚拟变量来考察。
Yt
0
1X t
2(Xt
X
* t
)Dt
t
OLS法得到该模型的回归方程为：
Yˆt
ˆ0
ˆ1 X t
ˆ2 (X t
X
* t
)Dt
Байду номын сангаас
则两时期进口消费品函数分别为：
当t<t*=1979年， Yˆt ˆ0 ˆ1Xt
当tt*=1979年，
Yˆt
(ˆ0
ˆ
2
X
* i
)
(
ˆ1
ˆ2 )X t
（三）虚拟变量的设置原则
上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的 引入采取了加法方式。
在该模型中，如果仍假定E(i)=0，则 企业女职工的平均薪金为：
E(Yi | X i , Di 0) 0 1 X i 企业男职工的平均薪金为：
E(Yi | X i , Di 1) ( 0 2 ) 1 X i 几何意义：
• 假定2>0，则两个函数有相同的斜率， 但有不同的截距。意即，男女职工平均薪金对 教龄的变化率是一样的，但两者的平均薪金水 平相差2。
73142.7
2237.6
10201.4
1998
53407.5
76967.2
3073.3
11954.5
1999
59621.8
80579.4
3801.5
14922.3
2000
64332.4
88228.1
5146.9
16917.8
2001
73762.4
94346.4
7034.2
18598.4
以Y为储蓄，X为收入，可令：
•
– 100 + x D = 0 (女)
又例：在横截面数据基础上，考虑个人保健支 出对个人收入和教育水平的回归。
教育水平考虑三个层次：高中以下，
高中，
大学及其以上。 这时需要引入两个虚拟变量：
1 D1 0
高中 其他
1 D2 0
大学及其以上 其他
模型可设定如下：
Yi 0 1 X i 2 D1 3 D2 i 在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、 高中、大学及其以上教育水平下个人保健支出 的函数：
• 地区=1（城市）
AREA=1
• 地区=2（农村）
AREA=0
应用软件建立回归方程
曾生子女数 b0 b1年龄 b2EDU2 b3EDU3 b4EDU4 b5EDU5 b6AREA
• 回归结果：
曾生子女数 1.41 0.068年龄 1.13EDU2 1.31EDU3 1.58EDU4 1.57EDU5 0.49AREA
虚拟变量模型
（一）虚拟变量的基本含义
• 许多经济变量是可以定量度量的，如：商品需 求量、价格、收入、产量等。
• 但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量， 如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾 害对GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮） 销售的影响等等。
• 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提 高模型的精度，需要将它们“量化”。
• 高中以下： E(Yi | X i , D1 0, D2 0) 0 1 X i
• 高中： E(Yi | X i , D1 1, D2 0) (0 2 ) 1 X i
• 大学及其以上： E(Yi | X i , D1 0, D2 1) (0 3 ) 1 X i
假定3>2，其几何意义：
表明，对于相同年龄和文化程度而言，城 市妇女比农村妇女曾生子女数多出b6个部 分，即少生0.49个子女。
回归方程的解释
• 总之，该回归方程表示： • 参照类妇女曾生子女数对年龄的回归直线
的截据为1.41，年龄每上升1岁，参照类 妇女的平均曾生子女数上升0.068个。 • 城市妇女比农村妇女的平均曾生子女数少 0.49个。 • 小学、初中、高中和大学文化程度妇女的 平均曾生子女数分别比文盲妇女少1.13、 1.31、1.58、1.57个（在年龄和居住地相 同时）。
反常年份：
E(Ct | X t , Dt 0) 0 1 X t
当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入 加法与乘法形式的虚拟变量。
• 例，考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收 入关系是否已发生变化。 下 表 中 给 出 了 中 国 1979~2001 年 以 城 乡 储蓄存款余额代表的居民储蓄以及以GNP代表 的居民收入的数据。
概念： 同时含有一般解释变量与虚拟变量的模
型称为虚拟变量模型或者方差分析模型。 一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪
金的模型：
Yi 0 1 X i 2 Di i
其中：Yi为企业职工的薪金，Xi为工龄， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。
（二）虚拟变量的引入
虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基 本方式：加法方式和乘法方式。 1. 加法方式
(-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55)
R 2 =0.9836
由3与4的t检验可知：参数显著地不等于0， 强烈示出两个时期的回归是相异的，储蓄函数 分别为：
1990年前： 1990年后：
Yˆi 1649.7 0.4116Xi Yˆi 15452 0.8881Xi
3. 临界指标的虚拟变量的引入
• 1990年前： Yi=1+2Xi+1i
i=1,2…,n1
• 1990年后： Yi=1+2Xi+2i
i=1,2…,n2
则有可能出现下述四种情况中的一种：
(1) 1=1 ，且2=2 ，即两个回归相同，称为重 合回归；
(2) 11 ,但2=2 ，即两个回归的差异仅在其截 距，称为平行回归;
(3) 1=1 ，但22 ，即两个回归的差异仅在其 斜率，称为汇合回归；
哑变量的建立
• 原变量编码值
哑变量赋值的操作
• 文化程度=1（文盲）
所有EDU=0
• 文化程度=2（小学） EDU=0
EDU2=1,其他
• 文化程度=3（初中） EDU=0
EDU3=1,其他
• 文化程度=4（高中） EDU=0
EDU4=1,其他
• 文化程度=5（大学） EDU=0
EDU5=1,其他
回归方程的解释
• 当案例在两个分类变量都等于0时，即文化 程度为文盲，居住地在农村时，此种情况 称为参照类（其他情况将于此进行比较）， 其回归方程为：
曾生子女数 1.41 0.068年龄
• 表明所有参照类妇女年龄每上升1岁，其曾 生子女数的平均变化量为0.068个。
回归方程的解释